1. Übung Automaten, Sprachen und Komplexität

TU Ilmenau, Fachgebiet Automaten und Logik
Prof. Dr. D. Kuske, F. Abu Zaid
WS 2015/16
1. Übung Automaten, Sprachen und Komplexität
Aufgabe 1
Entscheiden Sie für jede der folgenden Mengen, ob sie eine formale Sprache ist.
(a) alle deutschen Städte
(d) alle geraden Primzahlen echt größer 2,
(b) die Namen der Einwohner Pekings
(e) die Dezimaldarstellungen nat. Zahlen
(c) alle natürlichen Zahlen
(f) die Dezimaldarstellungen reeller Zahlen
Aufgabe 2
Sei Σ = {a, b, c}. Unter den folgenden 16 Sprachen über Σ befinden sich acht Paare gleicher
Sprachen. Finden Sie heraus, welche Paare das sind und geben Sie jeweils eine kurze Begründung
für die entsprechende Gleichheit.
L1 = {w ∈ Σ∗ | |w|a = |w|b }
L9 = L31
L2 = {w ∈ Σ∗ | |w|a = 0}
L10 = (L2 L3 )2
L3 = {w ∈ Σ∗ | |w|a = 2}
L11 = Σ∗ \ L2
L4 = {w ∈ Σ∗ | |w|a = 4}
L12 = {an bn | n ∈ N}
L5 = {w ∈ Σ∗ | |w|a = |w|b = |w|c }
L13 = {ab}+
L6 = {b, c}∗ {a}{b, c}∗ {a}{b, c}∗
L14 = {b, c}∗
L7 = L1 ∩ {w ∈ Σ∗ | |w|b = |w|c }
L15 = Σ∗ {a}Σ∗
L8 = L1 ∩ {a}∗ {b}∗
L16 = {a}{ba}∗ {b}
Aufgabe 3
Sei Σ ein beliebiges Alphabet. Zeigen Sie, dass Σ∗ abzählbar ist.
Aufgabe 4
Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben:
(a) Es seien Σ ein Alphabet und L ⊆ Σ∗ eine Sprache. Zeigen Sie, dass L∗ = (L∗ )2 gilt. Gilt
die Gleichung auch, wenn man den Kleene-Stern ∗ durch + ersetzt?
(b) Geben Sie ein Alphabet Σ und Sprachen K0 , K1 , K2 , . . . ⊆ Σ∗ an, so dass für jedes n ∈ N
die Sprache Kn n-elementig ist und Kn2 möglichst wenige Wörter enthält.
(c) Geben Sie ein Alphabet Σ und Sprachen L0 , L1 , L2 , . . . ⊆ Σ∗ an, so dass für jedes n ∈ N die
Sprache Ln n-elementig ist und L2n möglichst viele Wörter enthält.
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Aufgabe 5
Im Folgenden sind vier Grammatiken durch die Liste ihrer Produktionen gegeben. Dabei ist S
jeweils die Startvariable, S, A und B sind Variablen und a und b sind Terminale.
G1 :
S → AA | ε,
A → B,
B→b
G2 :
S → aA,
A → aA | ε,
B → bA
G3 :
S → AB | ε,
A → S | AA | a,
B→b
G4 :
S → aAS | ε,
aA → aaB,
aB → ab
Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben für jedes i ∈ {1, 2, 3, 4}.
(a) Nennen Sie zwei verschiedene Wörter, die in L(Gi ) liegen. Geben Sie für beide Wörter
jeweils eine Ableitung in Gi an.
(b) Geben Sie an, welche der folgenden Eigenschaften Gi besitzt: kontextsensitiv, kontextfrei
und rechtslinear.
Aufgabe 6
Sei Gi = (Vi , Σ, Pi , Si ) eine kontextfreie Grammatik für i ∈ {1, 2}. Konstruieren Sie Grammatiken G∪ , G• und G∗ , so dass gilt:
L(G∪ ) = L(G1 ) ∪ L(G2 )
L(G• ) = L(G1 ) · L(G2 )
L(G∗ ) = L(G1 )∗
Begründen Sie jeweils kurz informal, warum Ihre Grammatik die korrekte Sprache erzeugt.
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