Definition

107 Wegener BM/4/Wahrsch/q Freitag 23.05.2003 16:19:22
Wahrscheinlichkeit
Definition
Sei S eine Grundmenge mit Teilmengen A, B, C, D, .... Die Grundmenge S
heißt messbar, wenn zu je zwei Teilmengen A und B auch deren Vereinigung
A ∪ B zu S gehört.
Jeder Teilmenge A der messbaren Grundmenge S wird als Maß P eine Zahl
von 0 bis 1 (incl.) zugeordnet, wobei folgende Regeln (Axiome) vorgegeben
sind:
(1)
P(∅)
= 0
(2)
P(S)
= 1
(3)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
wenn gilt: A ∩ B = ∅
P(A) heißt die Wahrscheinlichkeit (Probability) von A (d.i. der Grad der Zuverlässigkeit, mit der ein zukünftiges Ergebnis aus der Ereignismenge A erwartet werden kann.)
 Dr. Gerd Wegener, Hannover 2003
1
Wahrscheinlichkeit
Rechenregeln
Aus der Definition der Wahrscheinlichkeit folgt unmittelbar:
(4)
P(A)
= 1 - P(A)
(5)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Beispiele:
Aus der Regelmäßigkeit des Würfels sowie den Axiomen (2) und (3) folgt:
P({
}) = P({
}) = P({
}) = P({
}) = P({
}) = P({
})
P({
}) + P({
}) + P({
}) + P({
}) + P({
}) + P({
})
= P({
,
,
,
,
1
P({
}) = , P({
6
,
}) = 1
1
}) = , P({
6
1
}) = , ...
6
Aus Folgerung (5) ergibt sich:
P({
,
,
}∪{
= P({
,
,
}) + P({
2
 Dr. Gerd Wegener, Hannover 2003
,
,
,
})
,
}) - P({
1
1
1
5
2
2
6
6
}) = + - =
Wahrscheinlichkeit
Produktwahrscheinlichkeit
Bei kombinierten Ereignissen sind die Elemente der Grundmenge S die geordneten Kombinationen der einzelnen Ereignisse.
Seien x ein Ereignis aus X und y ein Ereignis aus Y, dann heißt P(x,y) die
Produktwahrscheinlichkeit von x und y.
Sind das Auftreten von x aus X und y aus Y unabhängig voneinander, so gilt:
P(x,y) = P(x) · P(y)
Beim Würfeln mit zwei Würfeln gilt, da die Ergebnisse unabhängig voneinander sind, für die Wahrscheinlichkeit, etwa folgendes:
P({
= P({
}, {
}) = P({
}) · P({
}, {
})
1
1
1
6
6
36
}) = · =
P({
}, {
}) + P({
}, {
})
= P({
}, {
}) + P({
}, {
}) =
 Dr. Gerd Wegener, Hannover 2003
1
36
+
1
36
=
1
18
3
Wahrscheinlichkeit
Produktwahrscheinlichkeit
Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
 Dr. Gerd Wegener, Hannover 2003
4