Online-Optimierung: Übungszettel 6 Abgabe Hausaufgaben 6

LS Wirtschaftsmathematik – Vorlesung
Online-Optimierung: Übungszettel 6
Sommersemester 2005
4 SWS Wahlpflicht-Vorlesung (Jörg Rambau)
2 SWS Übung (Jörg Rambau)
VL: Mo (H 20) 10–12 c. t., Mi (S 102) 10–12 c. t.
UE: Mo (S 37) 16–18 c. t., Mi (S 82) 8–10 c. t.
Abgabe
Montag, den 30. Mai 2005 in der Vorlesung.
Hausaufgaben 6
Aufgabe 5.1 „Durchsatzmaximierung auf einem Pfadgraphen“ (4 Punkte)
Betrachte das Durchsatzmaximierungsproblem für einen Pfadgraphen G = (V, E) mit N Knoten und m = N − 1 Kanten
mit Kapazität Eins auf jeder Kante sowie Anfragen der Bandbreite Eins. (Im folgenden werden wir daher für Anfragen
die Bandbreite nicht mehr angeben.)
Erinnerung: Ziel ist es, online durch Annahme und Ablehnung von Verbindungsanfragen die Anzahl der akzeptierten
Anfragen zu maximieren.
(a) (2P) Zeigen Sie: Kein deterministischer Online-Algorithmus ist besser als strikt m-kompetitiv.
(b) (2P) Warum widerspricht das nicht der O(log m)-Kompetitivität von L OW B ANDWIDTH?
Aufgabe 5.2 „Randomisierte Durchsatzmaximierung auf Pfadgraphen“ (12 Punkte)
Wir konstruieren einen randomisierten Online-Algorithmus für Durchsatzmaximierung auf Pfaden.
Sei N = 2 p für ein p > 0. Teile die Kanten wie folgt in Klassen ein: G wird durch eine eindeutige Kante e1 in zwei
gleichgroße Pfadgraphen G1l und G1r mit je 2 p−1 Knoten zerlegt. Wir setzen E1 := {e1 }. Jeden der kleineren Pfadgraphen
zerlegen wir wieder in der Mitte an den Kanten e2l und e2r in die Graphen G2ll , G2lr , G2rl und G2rr . Wir setzen E2 :=
{e2l , e2r }. Auf diese Weise erhalten wir eine disjunkte Zerlegung E = E1 ∪ · · · ∪ E p .
Eine Anfrage r j ist eine Klasse-i-Anfrage, wenn auf dem Weg zwischen s j und t j Kanten aus Ei liegen aber keine Kanten
aus Ek für k < i.
Sei C LASSi der deterministische Online-Algorithmus, der alle Klasse-i-Anfragen falls möglich annimmt und alle anderen
Anfragen ablehnt.
Algorithmus R ANDOM C LASS ist die folgende gemischte Strategie: Wähle k ∈ {1, 2, . . . , p} zufällig gleichverteilt und
arbeite dann wie C LASSi .
1. (1P) Sei N = 16 = 24 . Machen Sie eine Skizze mit vier Kopien von G, in die sie jeweils E1 , E2 , E3 , E4 einzeichnen.
2. (1P) Sei N = 16 und σ0 = (1, 10), (4, 5), (6, 2), (2, 3), (7, 13). Klassifizieren Sie alle Anfragen nach ihrer Klasse
(Klasse-1 bis Klasse-4).
3. (1P) Berechnen Sie C LASSi (σ0 ) für alle i = 1, 2, 3, 4.
4. (1P) Ist C LASSi kompetitiv für ein i?
5. (2P) Berechnen Sie den erwarteten Profit von R ANDOM C LASS und den Profit von O PT auf der Anfragefolge σ0 von
oben.
6. (4P) Zeigen Sie, dass für eine beliebige Anfragemenge σ die Anzahl der von R ANDOM C LASS akzeptierten Klasse-kAnfragen C LASSk (σ ) mindestens so groß ist wie die Anzahl der von O PT akzeptierten Klasse-k-Anfragen O PTk (σ ).
7. (2P) Zeigen Sie damit, dass R ANDOM C LASS strikt log N-kompetitiv gegen den blinden Gegner ist.
2