Stochastik Prof. Dr. I. Veselic Hausaufgabe 5 Abgabe
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Stochastik
Prof. Dr. I. Veselić
Hausaufgabe 5
Abgabe bis 17. Mai 13:00 Uhr
Aufgabe 1. Tom Bayes hat sich auf seiner Reise durch den Oberrabensteiner Nationalpark
verirrt. Seiner Erinnerung nach schätzt er, dass mit Wahrscheinlichkeit p der Ausgang aus dem
Nationalpark im Osten liegt und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p im Westen. Bevor er sich auf den
Weg macht, fragt er jedoch einen Passanten mehrmals nach der Richtung zum Ausgang, um
seinen Kenntnisstand zu verbessern. Die Personen in Nationalpark reagieren auf die Frage nach
dem Ausgang genauso, wie in Aufgabe 2 auf Hausaufgabenblatt 3 beschrieben. Zeigen Sie:
(a) Egal welche Antwort Tom auf seine erste Frage bekommt, er glaubt weiterhin, dass die
Antwort Osten mit Wahrscheinlichkeit p korrekt ist.
(b) Sind die ersten beiden Antworten identisch (OO oder WW), so glaubt Tom weiterhin, dass
die Antwort Osten mit Wahrscheinlichkeit p korrekt ist.
(c) Nach drei gleichen Antworten beurteilt Tom die Situation folgendermaßen:
P [Osten korrekt|OOO] =
9p
11 − 2p
Welche Werte ergeben sich für p =
und
P [Osten korrekt|WWW] =
11p
.
9 + 2p
9
20 ?
Satz (Borel-Cantelli). Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A1 , A2 , · · · ∈ A Ereignisse.
Sei weiterhin A∗ = lim supn→∞ An .
P
∗
(i) Ist ∞
n=1 P [An ] < ∞, so ist P [A ] = 0.
P
∗
(ii) Sind A1 , A2 , . . . unabhängig und ∞
n=1 P [An ] = ∞, so ist P [A ] = 1.
T
S∞
Beachte, A∗ = lim sup An = ∞
n=1 i=n Ai = {An tritt für unendlich viele n ein}.
Aufgabe 2. Eine Münze mit Wahrscheinlichkeit p < 1/2 für “Zahl” wird wiederholt geworfen.
Sei Ak , k ∈ N das Ereignis, dass bei den Würfen 2k , 2k + 1, . . . , 2k+1 − 1 mindestens k mal in
Folge “Zahl” fällt. Zeigen Sie, dass
P [Ak tritt für unendlich viele k ein] = 0.
(j)
Hinweis: Definieren Sie das Ereignis Bk = {Xj = 1, Xj+1 = 1, . . . , Xj+k−1 = 1}, j, k ∈ N, wobei
Xj = 1 bedeutet, dass der j-te Wurf “Zahl” ist. Benutzen Sie Teil (i) des obigen Satzes.
Aufgabe 3. Eine Münze mit Wahrscheinlichkeit p ≥ 1/2 für “Zahl” wird wiederholt geworfen.
Sei Ak , k ∈ N, das Ereignis, dass bei den Würfen 2k , 2k + 1, . . . , 2k+1 − 1 mindestens k mal in
Folge “Zahl” fällt. Zeigen Sie, dass
P [Ak tritt für unendlich viele k ein] = 1.
Hinweis: Definieren Sie das Ereignis Ei,k = {Xj = 1 für alle j = 2k + ik, 2k + ik + 1, . . . , 2k + ik +
k − 1}, k ∈ N und i = 0, . . . b2k /k − 1c. Benutzen Sie Teil (ii) des obigen Satzes.
Aufgabe 4. Eine Krankenversicherung ermittelte, dass bei Verkehrsunfällen von PKW-Fahrern,
die angegurtet waren, nur 8% schwere Kopfverletzungen aufwiesen. Bei nicht angeschnallten
Fahrern trugen 62% keine schwere Kopfverletzung davon. Trotz Anschnallpflicht legen immer
noch 15% aller Autofahrer keinen Gurt an. Wie groß ist dieWahrscheinlichkeit, dass ein nach
einem Unfall ins Krankenhaus eingelieferter Autofahrer mit schwerer Kopfverletzung keinen Gurt
angelegt hatte?
