Grundwissenkatalog Mathematik Klasse 6

Grundwissenkatalog Mathematik Klasse 6
Thema
1. Brüche
Grundbegriffe
Bruchzahlen
Grundbegriffe
Brüche haben die Form
Beispiele
z
n
mit z ∈ N 0 , n ∈N , z heisst der Zähler, n
der Nenner des Bruches.
Bedingung
Bezeichnung
z>n
Unechter Bruch
z<n
Echter Bruch
z=1
Stammbruch
n teilt z
Scheinbruch
Unechte Brüche kann man in gemischte Zahlen umwandeln
Zu jeder Bruchzahl gehören unendlich viele verschiedene Brüche
B0 = Menge der Bruchzahlen. Es gilt: N 0 ⊂ B0 ( 4 ∈B0 , 3 ∈B0 ).
7
z:n=
Formänderung
von Brüchen
z.B.
z.B.
z.B.
z.B.
N 0 = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; ... }
B0 = { 0; 1 ; 1 ; 3 ;...; 1; 1 1 ;..;2;...}
3
4
Kürzen eines Bruches bedeutet: Zähler und Nenner werden durch einen
gemeinsamen Teiler k dividiert.
z
= z: k , k ∈ N
Bsp.:
14
21
Bsp.:
4
9
3
7
n
Bruchteil eines
Bruchs
z.B.
3
; 5 ; 8 ; ...
4
3
2
3
2
; ; 78 ; ...
4
5
1
; 1 ; 1 ; ...
7
2
3
4
; 6 ; 8 ; ...
4
2
3
7
=13
4
4
1
= 2 = 3
9
3
6
Erweitern eines Bruches bedeutet: Zähler und Nenner werden mit derselben Bsp.:
natürlichen Zahl k multipliziert.
z
= z ⋅ k , k ∈N
n
Anordnung der
Bruchzahlen
z
n
z.B.
3
2
5
=
3⋅ 3
4⋅3
=
3
9
12
n⋅k
=
14: 7
21: 7
=
2
3
n: k
Einen Bruch, den man nicht mehr kürzen kann, nennt man vollständig
gekürzt. (= Grundform des Bruches).
Von zwei Brüchen mit gleichem Zähler ist derjenige der größere, der den
kleineren Nenner besitzt.
Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist derjenige der größere, der den
größeren Zähler besitzt.
Brüche mit verschiedenem Nenner bringt man vor dem Vergleichen auf
den Hauptnenner ( = kgV aller Nenner).
Das Wort "von" wird nach einem Bruch durch " ⋅" ersetzt.
Bsp.:
Bsp.:
Bsp.:
<
<
4
7
5
7
3
5
3 9 10 5
und , ( HN bilden), =
<
=
4
6
4 12 12 6
2
5
von
3
8
kg =
2 3
⋅
5 8
kg =
3
20
kg
Addieren und
Subtrahieren
Multiplizieren
Division
Ordnen
Runden
Addition
Multipl. mit
Stufenzahl
Multiplikation
Division durch
natürliche Zahl
Division durch
Dezimalzahl
Bruch in
periodische
Dezimalzahl
4
= 7
11
11
3
= 4
13
13
1
=3 + 2= 5
6
12
12
12
1
1 3
= ⋅ =
2
2 3
Bsp.:
3 6
:
14 7
=
Bsp.:
0,04 =
Bsp.:
Brüche werden multipliziert, indem man zuerst so weit wie möglich kürzt,
und dann Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in unechte Brüche
verwandelt werden.
Bruch : Bruch = Bruch⋅ Kehrbruch
c
a d
a
=
⋅
:
Bsp.:
b
2.
Dezimalzahlen
3
+
11
7
13
1
+
4
3 12
⋅
8 9
Brüche mit gleichem Nenner werden addiert (subtrahiert), indem man die
Zähler addiert (subtrahiert) und den Nenner beibehält.
Brüche mit verschiedenen Nennern erweitert man zunächst
auf den Hauptnenner.
d
b
Bsp.:
−
3 7
⋅
14 6
=
1 1
⋅
2 2
=
1
4
c
Zahlen wie z.B. 1,356 heißen Dezimalbrüche. Dabei bedeutet die 1. (2.,
3., ...) Stelle hinter dem Komma ( Hundertstel, Tausendstel, ... ). Die
Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen.
Von zwei Dezimalbrüchen ist derjenige der größere, der von links nach
rechts gelesen zuerst eine höhere Ziffer hat.
Ist die wegzulassende Ziffer 0, 1, 2, 3, 4, so wird abgerundet, ist sie 5, 6, 7,
8, 9 so wird aufgerundet.
Addition ( Subtraktion ) der Stellen gleichen Wertes.
Verschieben des Kommas um so viele Stellen nach rechts ( links ), wie die
Stufenzahl Nullen hat.
Die Kommata bleiben beim Multiplizieren zunächst unberücksichtigt. Das
Ergebnis erhält so viele Dezimalen, wie die Faktoren zusammen haben.
1,234 =
Bsp.:
4
= 1
100
25
1 234 = 1 117
1000
500
1,2345 < 1,2346
Bsp.: 1. Dez. 2. Dez 3. Dez.
3,4564 ≈ 3,5 ≈ 3,46 ≈ 3,456
Bsp.: 3,76 + 4,32 = 8,08
Bsp.: 2 , 04 ⋅ 1000 = 2040
14,73 : 100 = 0,1473
Bsp.: 1,86 * 0,54
930
744
1,0044
Vor dem Herabholen der 1. Ziffer hinter dem Komma wird im Ergebnis das Bsp.: 9,2 : 8 = 9,20 : 8 = 1,15
Komma gesetzt.
Keine Quotientenveränderung, wenn man bei beiden Zahlen das Komma
Bsp.: 2,56 : 1,6 = 25,6 : 16 = 1,6
um gleich viele Stellen in gleicher Richtung verschiebt( gleichsinnige
Kommaverschiebung ). Das Komma wird beim Divisor so weit
verschoben, bis er eine natürliche Zahl ist.
z
= z : n ergibt einen
n
--- endlichen Dezimalbruch, wenn der Nenner des vollständig gekürzten
Bruches nur die Primfaktoren 2 oder 5 enthält
verwandeln
Periodische
Dezimalzahl in
Bruch
verwandeln
Intervalle
--- unendlichen periodischen Dezimalbruch sonst.
Die sich wiederholende Ziffernfolge heisst Periode.
Falls
a) die Periode direkt hinter dem Komma beginnt:
Zähler = Periode
Nenner= so viele Neunen, wie die Periode Ziffern hat.
b) die Periode erst später hinter dem Komma beginnt:
Multiplikation mit der entsprechenden Stufenzahl.
Das Intervall ist die Zahlenmenge zwischen den Grenzzahlen.
Abgeschlossenes Intervall [a; b]
Halboffenes Intervall [a; b[ oder ]a; b]
3.
Zuordnungen
direkte
Proportionalität
23
99
= 1 ⋅ 1 23
10
99
Bsp.:
0 , 23 =
Bsp.:
0 , 123
=
122
990
3≤ x ≤ 7
3≤ x < 7
3< x < 7
[3; 7]
[3; 7[
]3, 7[
Offenes Intervall ]a; b[
Bei einer Zuordnung wird jeder Zahl ( aus einer Menge von Zahlen ) eine
weitere Zahl zugeordnet.
Beschreibungsmöglichkeiten : Tabelle, Graph, Vorschrift
Bei einer direkten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen,... Wert ( Bsp.: Liter Benzin → Preis in Euro )
der einen Größe das Doppelte, Dreifache,... der anderen Größe zugeordnet. Bsp.: 7 Liter → 7,84 Euro
1 Liter → 7,84 Euro : 7 = 1,12 Euro
Dreisatz ( Schlussrechnung )
20 Liter → 1,12 Euro * 20 = 22,40 Euro
Zuordnungsvorschrift: x → m ⋅ x , m heisst Proportionalitätsfaktor.
Graph: Eine vom Nullpunkt ausgehende Halbgerade.
A( 1| m ) ist immer ein Punkt des Graphen.
Besondere Eigenschaft: Quotientengleichheit
Gemeinsamer Quotientenwert
Bsp.: x → 2 x ; m = 2 Proportionalitätsfaktor
y
=2
x
y
y
=m
x
1
1
x
x
1
2
3
4
y
2
4
6
8
indirekte
Proportionalität
Bei einer indirekten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen, ...
Wert der einen Größe die Hälfte, der dritte Teil,... der anderen Größe
zugeordnet.
Zuordnungsvorschrift: x → a , a fest
Anzahl der Arbeiter → Arbeitszeit
7 Arbeiter
→ 40 h
1 Arbeiter
→ 7 ⋅ 40h = 280 h
Bsp.:
Bsp.:
x
Graph:
Hyperbel
Besondere Eigenschaft: Produktgleichheit
Gemeinsamer Produktwert x ⋅ y = a
Bsp.: x →
2
x
x
1
y
2
y
1
1
4. Prozentrechnung
Prozentwert,
Prozentsatz,
Grundwert
Prozent = Hundertstel
Anteile werden häufig in Prozent angegeben.
p% = p , dabei gilt: p% von G = P
100
p% = Prozentsatz G = Grundwert, P = Prozentwert
Dem Grundwert wird immer 100 % zugeordnet.
→ 280 h : 5 = 56h
5 Arbeiter
Bsp.:
x
5
= 1
100
20
= 25 = 1
4
100
5% =
= 0,05
25%
= 0,25
2
1
3
4
2
3
0,5
Beispiele
Zinsrechnung
Lösung 1. Aufgabe:
100 % → 50,00 Euro
1% → 50,00 Euro : 100 = 0,50 Euro
116% → 0 , 50 ⋅ 116 Euro = 58,00 Euro
2. Aufgabe:
Lösung 2. Aufgabe:
Eine Ware kostet 58,00 Euro und wird um 16% verbilligt. Was kostet sie dan100 % → 58,00 Euro
1% → 58,00 Euro : 100 = 0,58 Euro
84% → 0 , 58 ⋅ 84 Euro = 48 , 72 Euro
3. Aufgabe:
Lösung 3. Aufgabe:
Eine Ware wird von 50 Euro auf 58 Euro verteuert. Um wieviel Prozent ist d 50 Euro → 100%
Ware teurer geworden?
1 Euro → 100% : 50 = 2%
8 Euro → 2% ⋅ 8 = 16%
Zins Z
= Leihgebühr in Euro
Kapital K = ausgeliehener Geldbetrag
Zinssatz p% = Leihgebühr in %
Zinsformel:
Z = t ⋅ p ⋅K
1. Aufgabe:
Eine Ware kostet 50,00 Euro und wird um 16% verteuert. Was kostet sie
dann?
360 100
1 Zinsjahr = 360 Tage, 1 Zinsmonat = 30 Tage , t = Tage
5. Rauminhalte Hat ein Würfel
Umrechung
so ist sein Volumen
die Kantenlänge
1mm
1 cm
1 dm
1m
3
mm → cm 3 → dm3 → m 3
1mm3
1cm 3 = 1 ml
1dm3 = 1 Liter
1m 3
mit der Umrechnungszahl 1000 .
Bsp.: 2345mm 3 = 2,345cm 3 = 0,002345dm 3
23l = 23dm 3 = 23000cm 3 = 0,023m 3
Quader
Würfel
VQ = l ⋅ b ⋅ h
VW = s3
mit l = Länge, b = Breite , h = Höhe
mit s = Seitenlänge.