Prof. Dr. J. Struckmeier WS 2004/05 Übungen zur Vorlesung

Prof. Dr. J. Struckmeier
WS 2004/05
Übungen zur Vorlesung Mathematische Modellierung und Simulation“
”
Blatt 6
Aufgabe 1:
Drei Bits werden über einen digitalen Nachrichtenkanal übertragen. Jedes Bit kann verfälscht
oder richtig empfangen werden.
a) Geben Sie den Ergebnisraum Ω an.
b) Wieviele Elemente besitzt Ω ?
c) Es sei
Ai = { i –tes Bit ist verfälscht} (i = 1, 2, 3)
Geben Sie A1 an.
d) Stellen Sie folgende Ereignisse mit Hilfe der Ai und passender Mengenoperationen dar:
B1
B2
B3
B4
=
=
=
=
{alle Bits sind verfälscht}
{mindestens ein Bit ist verfälscht}
{kein Bit ist verfälscht}
{höchstens ein Bit ist verfälscht}
e) Beschreiben Sie verbal folgende Ereignisse:
C1 = A1 ∩ (A2 ∩ A3 )
C2 = (A3 ∩ A1 ∩ A2 ) ∪ (A2 ∩ A1 ∩ A3 ) ∪ (A1 ∩ A2 ∩ A3 )
Lösung zu Teil a):
Ω = {(b1 , b2 , b3 ) | bi ∈ {V, R}, i = 1, 2, 3}
Lösung zu Teil b):
|Ω| = 23 = 8
und
Ω = {(V, V, V ), (V, V, R), (V, R, V ), (V, R, R), (R, V, V ), (R, V, R), (R, R, V ), (R, R, R)}
Lösung zu Teil c):
A1 = {(V, b2 , b3 ) | bi ∈ {V, R}, i = 1, 2}
= {(V, V, V ), (V, V, R), (V, R, V ), (V, R, R)}
und entsprechende Darstellungen für A2 und A3 .
Lösung zu Teil d):
B1 = A1 ∩ A2 ∩ A3 = {(V, V, V )}
B2 = A1 ∪ A2 ∪ A3 = Ω \ {(R, R, R)}
B3 = B2 = {(R, R, R)}
= A1 ∩ A2 ∩ A3
B4 = {(V, R, R), (R, V, R), (R, R, V ), (R, R, R)}
= (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) ∪ (A2 ∩ A1 ∩ A3 ) ∪ (A3 ∩ A1 ∩ A2 ) ∪ (A1 ∩ A2 ∩ A3 )
Lösung zu Teil e): Die Menge
C1 = A1 ∩ (A2 ∪ A3 )
bedeutet, dass das erste Bit verfälscht ist und von den anderen beiden höchstens eines
verfälscht ist. Daher folgt
C1 = {(V, R, R), (V, V, R), (V, R, V )}
C2 = (A3 ∩ A1 ∩ A2 ) ∪ (A2 ∩ A1 ∩ A3 ) ∪ (A1 ∩ A2 ∩ A3 )
bedeutet, dass genau zwei Bits verfälscht sind bzw. genau ein Bit richtig ist. Daher gilt
C2 = {(R, V, V ), (V, R, V ), (V, V, R)}
Aufgabe 2:
Welches der folgenden Ereignisse ist wahrscheinlicher:
a) Bei vier Würfen mit einem Würfel mindestens eine sechs zu erhalten oder
b) bei 24 Würfen mit zwei Würfeln mindestens eine Doppelsechs zu erhalten?
Lösung:
Das Ereignis a) ist wahrscheinlicher:
Im Fall a) erhalten wir
Ω = {(a1 , a2 , a3 , a4 ) | ai ∈ {1, . . . , 6}}
und setzen
A1 = {(a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ Ω | mindestens ein ai = 6 }
Damit folgt
A1 = {(a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ Ω | ai 6= 6 i = 1, 2, 3, 4}
und
|Ω| = 64
|A1 | = 54
Für die Wahrscheinlichkeit bei vier Würfen mit einem Würfel mindestens eine sechs zu erhalten
ergibt sich also
54
P (A1 ) = 1 − P (A1 ) = 1 − 4 ≈ 0.518
6
Im Fall b) lautet der Ergebnisraum
Ω = {(b1 , . . . , b24 ) | bj = (k, l), j = 1, . . . , 24, k, l ∈ {1, . . . , 6}}
Wir setzen nun
A2 = {(b1 , . . . , b24 ) | mindestens ein bi = (6, 6) }
sodass
A2 = {(b1 , . . . , b24 ) | bi 6= (6, 6) i = 1, . . . , 24}
Da es bei jedem einzelnen Wurf mit 2 Würfeln genau 62 = 36 mögliche Kombinationen gibt,
folgt
|Ω| = 3624
|A2 |3524
Daraus folgt dann
P (A2 ) = 1 − P (A2 ) = 1 −
3524
≈ 0.491
3624
Aufgabe 3:
Es sei Ω = {1, 2, 3, 4} gegeben:
a) Welche der folgenden Mengensysteme sind σ –Algebren?
A = {∅, Ω}
B = {∅, Ω, {1}, {2, 3}, {4}}
C = {∅, Ω, {1, 2}, {3, 4}}
b) Geben Sie die kleinste σ –Algebra über Ω an, in der die Mengen {1} und {2} enthalten
sind.
c) Geben Sie die σ –Algebra des zu Ω gehörigen Laplacschen Zufallseperiments an.
Lösung zu Teil a):
Da das Komplement von Ω gerade die leere Menge ist und umgekehrt und ∅ ∪ Ω = Ω gilt,
ist A eine σ –Algebra.
Die Menge B ist keine σ –Algebra, da mit {1} auch das Komplement {2, 3, 4} in B enthalten sein müsste.
Die Menge C ist eine σ –Algebra.
Lösung zu Teil b):
Die kleinste σ –Algebra, die die Mengen {1} und {2} enthält ist gegeben durch
D = {∅, Ω, {1}, {2}, {1, 2}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {3, 4}}
Lösung zu Teil c):
Die σ –Algebra des zu Ω gehörigen Laplacschen Zufallseperiments ist gerade die Potenzmenge
von Ω .