Universität Basel Prof. Dr. Enno Lenzmann Analysis I/HS 2015 26.11.2015 Aufgabenblatt Nr. 12 Abgabe: Am Freitag, den 11.12.2015 bis 13:00 Uhr in der Spiegelgasse 1 in das jeweilige Assistentenfach im Eingangsbereich im Erdgeschoss. Hinweis: Die Aufgaben mit * sind für das Ergänzungsprogramm bestimmt. Sie können die Aufgaben selbstverständlich gemeinsam bearbeiten, jedoch müssen Sie Ihre Lösungen separat einreichen. Offensichtliches Kopieren ist nicht zulässig. Bemerkung: Am Freitag, den 11.12.2015, wird eine Probeklausur von 9:15 Uhr bis 10:00 Uhr (Ort: Hörsaal der Vorlesung) statt finden. —————– Aufgabe 12.1. (8 Punkte). (a) Zeige: Für beliebige positive reelle Zahlen x, y, z ą 0 gilt ˙3 ˆ x3 ` y 3 ` z 3 x`y`z ď , 3 3 wobei Gleichheit nur dann auftritt, wenn x “ y “ z ist. (b) Seien x1 , . . . , xn ą 0 positive reelle Zahlen. Bestimme für welche α P R die Ungleichung ˜ ¸α n n 1 ÿ 1 ÿ α xi ď x n i“1 n i“1 i gilt. Für welche α P R gilt obige Ungleichung mit ě anstelle von ď ? Aufgabe 12.2. (8 Punkte). Ein Versuch habe n mögliche Ergebnisse, die mit den řn entsprechenden Wahrscheinlichkeiten pi ą 0 eintreten, wobei i“1 pi “ 1 ist. Ein natürliches Mass für die Ungewissheit über den Ausgang der Versuchs ist die sogenannte Entropie, die man definiert als die Grösse H :“ ´ n ÿ pi log pi . i“1 Zeige, dass H genau dann am grössten ist, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Aufgaben 12.3 und 12.4. (16 Punkte). Bestimme die folgenden Grenzwerte mit der Regel von de l’Hospital: ˘ `? ? sin 1 ` x ´ 1 1 ´ cos x , pbq lim , paq lim xÑ0 xÑ0 x x ax ´ 1 xÑ0 bx ´ 1 pcq lim pa, b ą 0q, pdq lim xα ´ xβ ´ x1{α xÑ1 x1{β 1 pα ‰ βq. 2 *Aufgabe 12.5. (8 Punkte). Betrachte die Funktion # x ` 2x2 sinp1{xq für x ‰ 0, f pxq :“ 0 für x “ 0. Verifiziere die folgenden Aussagen: (a) f ist differenzierbar auf R; (b) f 1 p0q “ 1; (c) f 1 ist auf jedem kompakten Intervall beschränkt, d. h. für jedes Intervall ra, bs gibt es eine Konstante M P R` , sodass |f 1 pxq| ď M für alle x P ra, bs; (d) f ist auf keinem noch so kleinen Intervall p´ε, εq mit ε ą 0 monoton wachsend. *Aufgabe 12.6. (8 Punkte). Sei a ą 0. Beweise, dass die Funktion f : R Ñ R, f pxq “ ax genau dann einen Fixpunkt hat, wenn a ď e1{e ist. Hinweis: Man mache sich klar, dass f genau dann einen Fixpunkt hat, wenn die Gleichung plog aqx “ log x eine Lösung x ą 0 hat. Wann ist dies genau der Fall?