Blatt 4

Lineare Algebra und Analytische
Geometrie 1
Anne Henke
Julian Külshammer
Sam Thelin
WS 2015/2016
Gruppenübung 4
Schriftliche Aufgaben
Aufgabe 23 (8 Punkte)
Seien
 
6
1 3
2 0 0
7 1 1
,B =
,C =
und D = 7
A=
2 5
5 3 2
0 3 0
1
Matrizen mit Einträgen im Ring Z8 .
(a) Welche der folgenden Ausdrücke sind wohldefiniert?
(i) A + B (ii) B + C (iii) BA (iv) AB (v) CB (vi) CD (vii) AC + B (viii) BD + C
(b) Berechnen Sie die wohldefinierten Ausdrücke aus (a) und geben Sie das Ergebnis so
an, dass die Matrizen nur Einträge in den Repräsentanten k mit 0 ≤ k < 8 haben.
Aufgabe 24 (7 Punkte)
Sei (G, ·) eine Gruppe mit neutralem Element e. Seien g, h Elemente von G. Zeigen Sie
die folgenden Aussagen, falls möglich, oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.
(a) Aus g · h = g · k folgt h = k.
(b) Aus g 2 = h2 folgt g = h.
(c) Aus g · h · g −1 · h−1 = e folgt g · h = h · g.
(d) Falls f 2 = e für alle f ∈ G gilt, so ist G abelsch.
Aufgabe 25 (8 Punkte)
Man sagt, dass zwei Elemente x, y eines Rings R kommutieren, falls xy = yx.
Sei A ∈ M2 (R).
1 0
(a) Zeigen Sie, dass A und
genau dann kommutieren, wenn A eine Diagonal0 −1
matrix ist.
1 0
(b) Zeigen Sie, dass A und
genau dann kommutieren, wenn A eine Diagonalmatrix
0 0
ist.
0 1
(c) Welche 2 × 2-Matrizen A kommutieren mit
?
0 0
(d) Folgern Sie, dass A genau dann mit allen Matrizen von M2 (R) kommutiert, wenn ein
λ ∈ R existiert, sodass A = λ · I2 .
1
Zusatzaufgabe (wird bei schriftlicher Abgabe korrigiert)
Aufgabe 26
Zeigen Sie, dass Zn genau dann ein Körper ist, wenn n eine Primzahl ist.
Votieraufgaben
Aufgabe 27
Sei R ein kommutativer Ring, sei λ ∈ R, seien m, n und p natürliche Zahlen und seien
A, B, C ∈ Mn×p (R) und D ∈ Mm×n (R) Matrizen mit Einträgen in R. Zeigen Sie:
(i) (A + B) + C = A + (B + C),
(ii) (λ · D)A = D(λ · A) = λ · (DA),
(iii) D(A + B) = DA + DB.
Aufgabe 28
Sei
a b
K=
∈ M2 (R) a = d und b = −c .
c d
Addition und Multiplikation in K seien gegeben durch gewöhnliche Addition und Multiplikation von Matrizen.
(a) Zeigen Sie, dass Addition und Multiplikation in K wohldefiniert sind. Bestimmen Sie
das Null-Element 0 und das Eins-Element in K. Zeigen Sie, dass die Multiplikation
auf K kommutativ ist und dass zu jedem A ∈ K \ {0} ein multiplikativ Inverses
A−1 ∈ K existiert.
(b) Wir definieren die komplexen Zahlen C = {a+bi | a, b ∈ R}. Auf C sind eine Addition
und eine Multiplikation gegeben durch: Für a, b, c, d ∈ R sei
(a + bi) + (c + di) := (a + c) + (b + d)i,
(a + bi) · (c + di) := (ac − bd) + (ad + bc)i.
a b
Zeigen Sie, dass f : C → K, a + bi 7→
eine bijektive Abbildung definiert,
−b a
die für alle z, z 0 ∈ C die Gleichungen f (z + z 0 ) = f (z) + f (z 0 ) und f (z · z 0 ) =
f (z) · f (z 0 ) erfüllen. Hierbei heißt eine Abbildung bijektiv, wenn sie sowohl injektiv
als auch surjektiv ist.
Aufgabe 29
Geben Sie Matrizen A, B, C, D, X, Y, Z ∈ M3×3 (R) \ {0} an, sodass:
(a) AB = 0,
(b) CX = DX und C 6= D,
(c) Y 3 = 0 und Y 2 6= 0,
(d) Z 2 = I3 und Z ist keine Diagonalmatrix.
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/LAAG-Henke-WS1516/
Abgabe: 10./11. November 2015 in den Übungen
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