Ubungen zur Theoretischen Physik II (Quantenmechanik) für LA und

Übungen zur Theoretischen Physik II (Quantenmechanik)
für LA und Nanoscience
M. Göckeler, WS 2015/16
Blatt 6 (24.11. – 27.11.2015)
Aufg. 1
Betrachten Sie ein Teilchen der Masse m in dem eindimensionalen, unendlich tiefen Potentialtopf:
0 für 0 < x < L ,
V (x) =
∞ sonst.
a) Berechnen Sie die Eigenfunktionen ϕn und Eigenwerte des zugehörigen Hamiltonoperators
Ĥ = −
~2 d2
+ V (x) .
2m dx2
Welche Randbedingungen müssen die Eigenfunktionen bei x = 0 und x = L erfüllen?
b) Normieren Sie die Eigenfunktionen.
c) Verifizieren Sie, daß die Eigenfunktionen orthonormiert sind:
Z
L
dx ϕ∗n (x)ϕk (x) = δnk .
0
d) Das Teilchen werde zur Zeit t = 0 durch die Wellenfunktion
ψ(x, t = 0) = A sin3 (πx/L)
(0 ≤ x ≤ L)
beschrieben. Bestimmen Sie A sowie ψ(x, t), und berechnen Sie hx̂i als Funktion der Zeit.
Was ist der Erwartungswert der Energie in dem betrachteten Zustand?
Hinweis: Stellen Sie ψ(x, 0) zunächst als Linearkombination der Eigenfunktionen ϕn des Hamiltonoperators dar. Dabei hilft es, sich daran zu erinnern, daß sich sinn θ und cosn θ als
Linearkombinationen von sin(mθ) und cos(mθ) mit m = 0, 1, 2, . . . , n darstellen lassen.
Aufg. 2
Betrachten Sie den harmonischen Oszillator mit dem Hamiltonoperator
Ĥ = −
~2 d2
m
+ ω 2 x2 .
2m dx2
2
a) Es sei wkl (x)dx die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen gemäß der klassischen Mechanik im
Intervall [x, x + dx] zu finden, wenn der Zeitpunkt der Beobachtung zufällig gewählt ist.
Zeigen Sie, daß
−1/2
1
x2
wkl (x)dx =
1− 2
dx , −a < x < a ,
πa
a
wobei a die Amplitude der Schwingung ist.
1
b) Es seien ϕn (x) (n = 0, 1, . . .) die normierten Eigenfunktionen von Ĥ zu den Eigenwerten
En = ~ω(n + 1/2). Beweisen Sie, daß die Enveloppe der Maxima von |ϕn (x)|2 für n → ∞
durch
r
−1/2
2mω
mω x2
1−
~π 2 n
~ 2n + 1
gegeben ist.
√
Hinweis: Für n → ∞ gilt mit ξ = 2n + 1 cos α die folgende Darstellung der HermitePolynome Hn (ξ),
e−ξ
2
/2
Hn (ξ) =2n/2+1/4 (πn)−1/4
n 1
3π
1/2
−1
× (n!/ sin α)
sin
+
(sin(2α) − 2α) +
+ O(n ) ,
2
4
4
wenn ≤ α ≤ π − ( > 0 fest) ist. Berücksichtigen Sie auch, daß die Positionen der Maxima
von |ϕn (x)|2 , deren Zahl (linear) mit n wächst, sich in der Variablen α auf das n-unabhängige
Intervall ≤ α ≤ π − verteilen.
c) Vergleichen Sie wkl (x) mit der quantenmechanischen Wahrscheinlichkeitsdichte wqu (x) =
|ϕn (x)|2 im Fall n → ∞.
Aufg. 3
Die Hermiteschen Polynome Hn (x) können mit Hilfe der erzeugenden Funktion“ F (s, x) =
”
exp(−s2 + 2sx) durch die Gleichung
F (s, x) =
∞
X
sn
Hn (x)
n!
n=0
definiert werden.
a) Beweisen Sie, daß hieraus die Relationen
Hn0 = 2nHn−1 ,
Hn+1 = 2xHn − 2nHn−1
folgen, und leiten Sie daraus die Differentialgleichung
Hn00 (x) − 2xHn0 (x) + 2nHn (x) = 0
her.
b) Beweisen Sie die Orthogonalitätsrelationen
Z ∞
√
2
dx Hn (x)Hm (x)e−x = π 2n n! δnm ,
−∞
indem Sie das Integral
Z
∞
2
dx F (s, x)F (t, x)e−x
−∞
einerseits explizit berechnen und andererseits als eine Potenzreihe in den Variablen s und t
darstellen.
2