Wirtschaftsmathematik

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Wirtschaftsmathematik - Übungen SS 2015
Blatt 4: Funktionen von einer Variablen
1. Gegeben sind die Mengen A = {a1 , a2 , a3 , a4 } und B = {b1 , b2 , b3 } von Rohsto↵en und
eine Menge M = {m1 , m2 , m3 , m4 } von Maschinen, auf denen die Rohsto↵e weiterverarbeitet werden können. Die folgenden Zuordnungsvorschriften geben an, auf welchen
Maschinen die jeweiligen Rohsto↵e verarbeitet werden.
f: A! M mit f (a1 ) = m1 , f (a2 ) = m2 , f (a3 ) = m3 , f (a4 ) = m4
g: A! M mit g (a1 ) = m2 , g (a2 ) = m3 , g (a3 ) = m4 , g (a4 ) = m1
P
h: A! M mit h (a1 ) = m2 , h (a2 ) = m2 , h (a3 ) = m2 , h (a4 ) = m2
P
j: A! M mit j (a1 ) = m2 , j (a2 ) = m2 , j (a3 ) = m2 , j (a4 ) = m2
k: B! M mit k (b1 ) = m2 , k (b2 ) = m3 , k (b2 ) = m4
P
l: B! M mit l (b1 ) = m1 , l (b1 ) = m2 , l (b2 ) = m2 , l (b2 ) = m3 , l (b3 ) = m3 , l (b3 ) = m4
a) Welche der Vorschriften sind Funktionen?
b) Welche der Funktionen aus a) sind injektiv, surjektiv, bijektiv?
c) Bestimmen Sie, wenn möglich, die Umkehrfunktionen!
2. Gegeben ist die Funktion f : R ! R mit
f (x) =
⇢
x + 1 für x  3
x + 6 für x > 3
a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f und bestimmen Sie an den Stellen x0 = 3
und x0 = 1 den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert. Besitzt die Funktion
an der Stelle x0 = 3 einen Grenzwert?
b) Untersuchen Sie die Funktion f an den Stellen x0 = 3 und x0 = 1 auf Stetigkeit.
3. Gegeben sind die Funktionen f : R ! R, x 7! 3x
Sie nun, wenn möglich, die Funktionen
f
a) f + g sowie .
P
g
b) f
g = f (g (x)) sowie g f = g (f (x))
2 und g : R ! R, x 7!
p
x. Bilden
P
Welche Voraussetzungen sind dabei zu beachten?
WM Übungen Blatt 1
1
SS 2015
4. Skizzieren Sie folgende Funktionen ohne Erstellung einer Wertetabelle:
i) f (x) =
ii) f (x) =
p
1
x+2
2
x
iii) f (x) = ln (x)
1 2
·x
2
1
g (x) =
x
g (x) = ex
g (x) =
P
a) Bestimmen Sie jeweils den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktionen und
geben Sie die jeweilige Bildmenge an!
b) Untersuchen Sie für alle Funktionen anhand der Skizze Monotonie, Beschränktheit
sowie das Verhalten im Unendlichen!
c) Welche dieser Funktionen sind als Abbildungen von D ! R injektiv, surjektiv,
bijektiv?
5. Für welche reellen Zahlen x ist die folgende Funktion f (x) definiert?
p
x2 + 3x + 10
f (x) =
ln(2x 6)
6. Skizzieren Sie jeweils in ein eigenes Koordinatensystem die Graphen der Funktionen
p
p
f (x) = x und g (x) = 3 · x,
p
p
f (x) = x und h (x) = x + 3,
p
p
f (x) = x und j (x) = x + 2.
P
und beschreiben Sie, wie jeweils der Graph der Funktionen g, h, j aus dem Graphen der
p
Funktion f (x) = x hervorgeht.
7. Bestimmen Sie, wenn möglich, die Inverse zur Polynomfunktion f (x) =
Intervall [-3, 0]!
WM Übungen Blatt 1
2
1 2
x + 2 im
2
SS 2015
8. Gegeben sind die folgenden Funktionen:
P
f2 (x) = 6x2
f1 (x) = ln (x + 1)
p
f3 (x) =
x 2
6x
x 2
f4 (x) = e
a) Ordnen Sie die Funktionen den nachstehenden Graphen zu! (Schreiben Sie den Namen der Funktion in das zugehörige Bild!)
b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f4 !
-5
-4
-3
-2
-1
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-5
-3
-2
-1
(III)
-5
3
2
2
1
1
1
2
3
4
5
-3
(V)
WM Übungen Blatt 1
-2
-1
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
(IV)
-3
-4
5
3
2
2
1
1
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
(VI)
-3
3
1
2
3
4
5
-3
3
0
4
-3
3
0
3
-2
(II)
-3
-4
2
-1
-2
(I)
1
1
2
3
4
5
-3
SS 2015
9. Gegeben sind die folgenden Funktionen:
f1 (x) = x2
x+3
P
f2 (x) =
p
x+3
ex
f3 (x) = 1
1
P
a) Berechnen Sie eventuelle Nullstellen und skizzieren Sie die Graphen der Funktionen.
b) Bestimmen Sie deren größtmöglichen Definitionsbereich und geben Sie die jeweilige
Bildmenge an!
c) Bestimmen Sie nun jeweils die erste Ableitung und untersuchen Sie, welche der Funktionen über ihrem Definitionsbereich (streng) monoton fallend bzw. steigend sind?
d) Bestimmen Sie die zweite Ableitung und untersuchen Sie die gegeben Funktionen
auf Konvexität (Konkavität) in ihrem Definitionsbereich!
10. Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion. Skizzieren Sie die erste
Ableitung dieser Funktion!
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
11. Gegeben ist die Funktion
x2
x2 + 3
Diskutieren Sie diese Funktion, d.h. bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge,
Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte, Monotonie, das Krümmungsverhalten und das
Verhalten im Unendlichen. Skizzieren Sie den Graphen!
f (x) =
12. Gegeben ist die Funktion:
P
f (x) =
p
6
2x · e x
x
2
a) Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge D 2 R von f (x)!
b) Wie lautet die erste Ableitung von f ?
WM Übungen Blatt 1
4
SS 2015
13. Bestimmen Sie die Grenzwerte:
x
x!2 x2
2
4
a) lim
ln x
b) lim p
x!1
x
c) lim+ x2 · ln x
x!0
14. Berechnen Sie sämtliche Stammfunktionen und das bestimmte Integral im Intervall [0, 1]
für:
1
f (x) = e2x + x 2
Hinweis:
e2
⇡ 3, 69
2
00
1
15. Bestimmen Sie alle Funktionen, deren zweite Ableitung f (x) = 6x2 + e 2 x ist!
16. Bestimmen Sie:
ˆ
a)
e2x+1 dx
c)
ˆ3
P
x · ln(x2 ) dx
b)
ˆ
d)
ˆ1
1
x2
5x + 3
dx
2x
P
P
x · (x2 + 1)5 dx
0
1 2
x . Berechnen Sie das bestimmte Integral im
9
Intervall [0, 3] und skizzieren Sie die Funktion! Begründen Sie, warum der Wert des bestimmten Integrals in diesem Fall nicht der Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse
im angegebenen Intervall entspricht! Wie groß ist diese Fläche?
P
17. Gegeben ist die Funktion f (x) = 1
18. Skizzieren Sie die folgenden Funktionen und berechnen Sie, wenn möglich, die uneigentlichen Integrale:
ˆ1
ˆ1
3
a)
dx
b)
(1 + e x ) dx
2
x
1
0
x
+ 2.
2
a) Erklären Sie den Begri↵ Grenzkosten. Was gibt die Grenzkostenfunktion an?
0
19. Eine Grenzkostenfunktion ist gegeben durch K (x) = 3x2
b) Bestimmen Sie die Kostenfunktion, wenn für eine Produktion von zwei Einheiten
Gesamtkosten in Höhe von 31 anfallen!
c) Wie hoch sind die Fixkosten der Produktion?
d) Welche Kosten fallen bei einer Produktion von x = 4 an und wie hoch sind an dieser
Stelle die Grenzkosten?
e) Bestimmen Sie die Durchschnittskostenfunktion und deren Wert an der Stelle x = 2 !
55
f) Das Produkt wird zu einem konstanten Preis von p =
abgesetzt. Bestimmen Sie
2
die Gewinnfunktion, die gewinnmaximale Ausbringungsmenge und den Maximalgewinn!
WM Übungen Blatt 1
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SS 2015
20. Eine Produktionsfunktion sei gegeben durch f (x) =
bereich ist gegeben mit [0;27].
P
0, 1x3 + 5x2 + 3x. Der Definitions-
a) Interpretieren Sie den Definitionsbereich!
b) Bestimmen Sie die Grenzproduktivität allgemein und an der Stelle x = 10 ! Interpretieren Sie das Ergebnis!
c) Bestimmen und interpretieren Sie die Produktionselastizität an der Stelle x = 10!
21. Der S-förmige Kostenverlauf eines Betriebes wird durch ein Polynom 3. Grades beschrieben. Die Fixkosten der Produktion betragen 6 GE. Die Grenzkosten sind an der Stelle
x = 6 minimal. Die Gesamtosten an dieser Stelle betragen 42 GE. Die Grenzkosten an der
3
Stelle x = 0 betragen 18 GE. Die Preis-Absatzfunktion lässt sich durch p(x) =
x + 18
2
beschreiben.
a) Bestimmen Sie Höchstpreis und Sättigungsmenge!
b) Bestimmen Sie die Kostenfunktion K(x), sowie die Erlösfunktion E(x)!
c) Ermitteln Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge sowie den maximalen Gewinn! Ist die Preiselastizität der Nachfrage an dieser Stelle
elastisch/unelastisch/einselastisch? (Hinweis: die Nachfragefunktion lautet: n (p) =
2
· p + 12 )
3
d) Ab welcher Erzeugungsmenge gilt das Gesetz der schließlich zunehmenden Grenzkosten?
22. Die tatsächliche Nachfrage nach einem Produkt wird durch die Funktion
1
13
g(x) = · x2 + x + 6 beschrieben. Ein Marktforschungsinstitut unterstellt eine andere,
2
2
wesentlich einfachere Funktion der Nachfrage: f (x) = 21. Die Fläche zwischen den beiden Funktionen im Intervall [0, 4] beschreibt die gesamte Abweichung der tatsächlichen
Nachfrage g(x) von der angenommenen Nachfrage f (x) im gegebenen Zeitintervall.
a) Wie groß ist die Fläche? (Hinweis: Eine Skizze ist hilfreich.)
b) Das Angebot wird im Betrachtungszeitraum [0, 4] nach der Annahme f (x) ausgerichtet. Liegt ein Über- oder Unterangebot vor?
23. Bestimmen Sie die Taylorentwicklung um den Punkt x0 (mit Gliedern bis einschließlich
zweiter Ordnung):
p
a) f (x) = 2 · x
x0 = 1
P
⇣
x⌘
b) f (x) = ln 1
x0 = 0
2
Die mit P gekennzeichneten Beispiele sind von den Studierenden vorzubereiten und nach
Aufruf durch den/die Lehrveranstaltungsleiter/in an der Tafel zu präsentieren!
WM Übungen Blatt 1
6
SS 2015
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