A B g c 4r r r r ϕ

Beispiel 1 (Starrkörperdynamik)
Ein Metronom besteht aus einem homogenen Stab der Länge 6r mit einer kreisförmigen
Querschnittsfläche mit Radius r/6, sowie aus einem fest verschweissten, homogenen Zylinder mit Radius r und Breite r. Die Massendichte von Stab und Zylinder ist ρ. Im Punkt
A ist das Metronom reibungsfrei drehbar gelagert, die Verdrehung gegen die Vertikale
misst ein Winkel ϕ. Im Punkt B greift eine lineare Feder mit der Federkonstanten c an,
die in vertikaler Lage des Stabes entspannt ist. Nehmen Sie an, dass die Feder während
des gesamtem Bewegungsvorganges horizontal orientiert bleibt.
Gegeben: r, ρ, c.
(a) Zeichnen Sie zur Bestimmung der Dynamik das/die relevante/n Freikörperbild/er.
(b) Bestimmen Sie das Trägheitsmoment des Metronoms bezüglich der Drehachse durch
den Punkt A.
(c) Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung, d.h. die Winkelgeschwindigkeit ϕ̈ als Funktion von ϕ. Linearisieren Sie diese für kleine Winkel ϕ.
(d) Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz ω und die Periodendauer T .
(e) Bei der Berechnung des Trägheitsmoments des Metronoms in Punkt (b) tritt das
Trägheitsmoment des Zylinders bezüglich einer Achse durch seinen Schwerpunkt
auf. Wie berechnet sich die Formel dafür?
g
ϕ
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
r
c
4r
B
A
r
r
Beispiel 2 (Vektorstatik)
Eine Scherenhebebühne besteht aus zwei Kreuzbalkenanordnungen und zwei Hydraulikzylindern DE, die symmetrisch auf jeder Seite der Bühne angebracht sind. Die Bühne
der Masse m1 hat den Schwerpunkt in S1 . Die Last hat die Masse m2 und den Schwerpunkt in S2 , sie befindet sich mittig auf der Bühne. In den Punkten B und D befinden
sich Rollenlager, in A (ideale) Gelenke und in F Festlager.
Gegeben:
m1 = 60 kg, m2 = 85 kg, a = 0, 8 m, b = 1, 2 m, c = 2 m, d = 1 m, e = 1, 5 m.
Bestimmen Sie
(a) die Lagerreaktionen in den Punkten A, B und F sowie
(b) die Kraft in den Hydraulikzylindern DE.
Lösungen:
1) Starrkörperdynamik:
a)
17 5
r 
3
3c  5r 2g
a)  
 0
17 r 3
b)
IA 
b)  
3c  5r 2g
17 r 3
T  2
17 r 3
3c  5r 2g
2) Statik:
a) AH  0
AV  403,8N
B  307,4 N
FH  1066,8N
FV  403,8N
b)
FDE  1066,8N