schaft ermitteln. Dal||r werden <%|5§f§}pfi$0

KAPITEL 5: REELLE ZAHLEN
Die Menge |R der reellen Zahlen stellt eine Erweiterung gegenüber der Menge Q
rationalen Zahlen dar und ermöglicht z. B. die Lösung der Gleichung x • x = 2. Für sie
läßt sich keine einfadEnTueiimutm auren eine Aiuzlfifim^^fi^jie Angabe einer Eigen
schaft ermitteln. Dal||r werden <%|5§f§}pfi$0©|jrder Regel cfliirch einen Satz von Axio
men (Grund-Definitillpen) eingeführt.
(reclUi umfangreiefaelai^im^tiÄigiiriführung sUjll hier verzichtet werden,
sollen difl| wichtigsten DeTlnHronen una Rechenregeljl ohne Beweis aufgeführt
werden.
•äüBhlich:
Für Teilmengen von
|R+
= { x Ettk
x > u >
= { x £ |R
|R
.< 0}
|R
—.. ={x
rknüpfungen reeller Zahlen
Als ^rknüpfungen zwischefrzwej!
Adflition:
x = a + b,z{
Multiplikation:
x = a • b,
hlen a und b wi
liniert:
h der Ad-
t die zu a i
"£ IR; ( 1 / a ) = a"1
ie Zahl bezüglich
der Multiplikation
Potenzieren:
xEIR
Die Subtraktion a - b ist zurückgeführt auf die
es Wertes (- b):
a-b = a + (
Die Division a/b wi
ckgeführt auf
< i k
Kehrwertes (1/b):
a-b"1
jückgeführt au
kann au
ziereTTOlit dem Wert (1/b): b/a = a1/b
^ikation zurückgeführt werden, wenn b £
a ■ a und
LESEPROBE
n zwei weitere Sym
n
uktzeichen ri: n aj = a-j • a2 •... • an; i, n e IN; aji=l
igen zwischen reellen Zahlen
iahlen können in Beziehung zueinander stehen. Zur
.terisierung dieser Bezie-
!en wuMe^e^a|aJeSv^bsoie_^|finierti_^^_^_^
:leich: IJ^^^^^^^^^^^i^Tfc^^^^ll^Si^ffln a und b sind gleich
LESERR0BE
Die ZahlWn a und b sind nicht gleich
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•
a ist kleiner als b
kleiner:
•
größer:
•
kleiner gleich:
•
größer gleich:
, sind folge:
-v a > b
Für zwei,
a s b v a > b
a = b v a * b
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usw.
Für Teilmengen A aus IR können Eigenschaften angegeben werden, die zu ihrer Charak
terisierung dienen:
obere Schranke si> Falls für alle Elemente a £ A gilt: a s s*, heißt s* obere Schranke
heißt nach oben besqhrän
s* heißt Supremu:
^jnste aller möglichen olDblJrsn
"
~!s
beliebig viele
Menpe A(s^Iiä^,Es_gilt S* s s*. Für'jedlf
r ein Supremum S* geben,
upremum S* der Menge A
ment der Me:
,auch Maximum von ^k
'alls für alle Elementen
eißt s untere Sehr,
selber heißt nach unten beS
•
n s heißt Infi
größte aller möglichen u:
es beliebig viele
A: S = inf A. Es gilt: S & s. Für jede Menge
aber nur ein Infimum S geben.
Minimum: Ist das Infimum S der Menge A selber ein Element der
heißt S gleichzeitig auch Minimum von A: S = min A .
•
Beschränktheit: Die Menge A heißt beschränkt, wenn sie nach oj
beschränkt ist.
Für bestimmte Typen von Mengen gelten besondere Zusamme:
•
Falls A C |R nach unten beschränkt ist, existiert immer da
Falls A C IR nach oben beschränkt j^sexistiert immer da
I. h. nur endlich viel
esitzt, existiert
immer das Minimum uÄaaasLMäJlMum.
5.3 Allgemeine Reche
Für die in 5.1 definie:
entweder als Axiome (i
Axiomen abgeleitet
einen Teil der Recl
folgenden aufgel
;elten eine
on Rechenregeln, die
!gen) definie
er durch Beweise aus
Lösung der m
iben. Die wichtigste
a, b, c £ |R.
en genügt es, nur
*^ enhänge werden im
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Distributivgesetz
LESEPROBE
L
neutrale Elemente
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a + (-a ) = 0
inverse Elemente
5.4 Rechenregeln fü:
Speziell die Bearbei
ng von Uni
t vielen Studenten als schwierig. In
der Regel liegt das < iran, daß diT Rechenregeln nicht geläufig ijjjid vielleicht auch etwas
sichtlich sind Die hier ai
LESEI
Ihnen üben alle Hürden hinweghel-
ii sei a, b, c d £ IR und'
•
•
•
a<bAC<d=»
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a<bAC<0=*
(Multiplikation
Die Verhältnisse beim Quadrieren lassen sich am besten im folgenc
len. Sei a > b. Dann folgt:
b > 0
b*-
b < 0
rsehbar
,a > 0
Artbildung
enso lassen sich die Verhäl
dann
b > 0
b < 0
11
Llll)
<£
mmmr
ab
a < 0
•
Für das PotenzierejLgilt:
LESEPROBE
•
a > 0
Für
n
zienen gilt ebenso:
b
nden Sie im
er den absoluten Betrag.
LESEPROBE
trag | a | einer Zahl a G |R isnäEgfiniert als,
a
aaO
für
a < 0
legativ; | a | G |R+Q.
C
immenhang mit dem Betrag treten eine Reihe wichji
edingt einprägen sollten.
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ngen auf, die Sie
(a F- IT? 1
-a
s
I a
a
n
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a2<b2
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IR)
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n
(ai « 'MfiftrMmster-Skripten.de
I
I a | -|b |
b |
1*1,
(a, b e IR)
Dreiecksungleichungen
~
a
—..
5.6 IntervalTi
Bestimmte,
geflde Teilmengen der re^
JRTcönnen als
dargestellt
gilt üblicherweise die folj
bwelse:
M =*fo b
M =>a
M = ( a7
nes Intervall; M = i,x.g IR
offenes Intervall; NO { x
.alboffenes Intervall; M = ^y*
geschlossenes Intervall; M =V
Ais SpezftlfÄlle können betrachtet werden:
\ i■ ) - { x £ IR j a < x }
[ a, oo ) = {
ix ,-,) = i x e ll< I a > x }
(-oo, a ] = { x G IR
insbesondere gilt natürlich:
(-<», oo ) = |R
Geschlossene Intervalle werden oft auch als kompakte Intervalle bezeic
Verschiedentlich werden offene Intervallgrenzen auch wie folgt dj££jäfallt:
] a, b [
statt
( a, b )
] a, b ]
statt
( a, b ]
[ a, b [
statt
[ a, b
LESEPROBE
LESEPROBE
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AUFGABEN zu KAPITEL 5:
©
[^AUFGABE 5-1:
Zeigen Sie, daß für alle reellen x & 0 gilt:
LESEPROBE
LESEI
LOSUNG:
eis kann ge ihrt werde]
itliche Umf rmungen dt
rungen <=) sein.
Zu beweisen ist:
der WurzJJJterme (geschickt quadrie-
nzumformuiflgen (oder Umkehrfolge-
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Vx + V x + 2 < 2 • V x +
Quadrieren (ist erlaubt, da beide Seiten positiv sind):
x + 2/xVx+2+
2 f x • V x + 2 < 4 x"+ 4.- x -
Vx + 2< x +_! .'.■ *'-'*
fx-f 2 ) < ( x + 1 )2
2x<x2 + 2x+l
2 ^
0 < 1 Dieses ist aberitchtig/L^
die Behauptung gilrtürj^jl X/ für
einzelnen Terme
[bAUFGABE 5-2:
Die Menge derjenigen x G [ 0, 1 ], die die Ungleichun
erfüllen, ist ein kompaktes Intervall [ a, b ].
Beweisen Sie diese Behauptung und berechne
Hinweis: Äquivalente Umformungen der Un;
LESEPR
zunächst quadrieren!
Ungleichung
beidseitige Quadratur die
;cht um.
LESEPROBE
- x- s 12 / 25
beiden Seiten quadrieren (als Aquivalenzumfor
Nun
144/625
"-^
*- x + (1/2)2 s (1/2)2 - 144/625
625 - 576
j
}
2500
LESEPROBE
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1
r 7
X--IS
2 Weitere Infos:
_7_ 12
50
LES
Nun Fallunterscheidung:
i.
0
(*)
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<*
x a 1 / 2
x
-
_
= x
-
_
.
.
7
1. 32
valent zu x s — + —„ =•■•<«50
2 " ~ -5D-
x<
luivaient zu x a _ - — *
2
50
Also wird die gegebene Ungleichung erfüllt für alle x GIR für die
1. xal/2 und x s 16 / 25 oder:
2. x < 1 / 2 und x a 9 / 25
also insgesamt für alle x E [ 9 / 25, 16 / 25 ], was offensichtlich ein
darstellt.
LESEPROBE
V x2 + 16 + ( x2 + 16 )
6 ) = 9 • ( x2 + 1 )2
ir
setzen vftr z = x
2
LESEPROBE
.
,
und lösen dann zunächst 5 zr - 4i z + 9 = 0 nach z auf:
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«s
LESEPROBE
46
z
o
LESEPROBE
46
zi
1
46
=
10
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z
+
+
44
10
10
10
_
= 9 ;
z? =
L
46
10
-
44
10
=
Damit ergeben sich aUfenöglichen x-Werte,
LESEPROBE / z J|> x2 =& = - 3; x3 = / z,. = f
:ormungen a
n durch Ei
= 3 wi
z2 = -1 / •/" 5.
igen^Srchgeführt wurden, müssen wir
öglichen Lösungen ermitteln. Wir erhalung in der Aufgabenstellung gelöst.
llefTx * 0 gilt die Ungleichun;
0 ?
Intervalle, in denen die Ungleichung gilt, .sind
ugeben, mit
: Nach naheliegender Umformung quadratische
ie die Aufgabenstellung vollständig zur Kenntnis genommen haben, dann werden
laben, was zu tun ist. Die "nahelie-
de
ende UmHbrmung"
Multip
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kation beider Seiten mit
x2 (das ist erlaubt, da x * 0 ist =* x2 > 0).
^-/«.(x-2)2-3iOo(x-2)'
Nun 4a£ES££RR43!)tB£zelziehen a f beiden SeftNe&e|*& lofpSXT 3 (*)
(Betragstriche nicht vergessen!)
Als letzter Schritt bleibt eine Fallt
2.
Dann wird die Ungleichung durch alle die x a 2 errullt, rur die.gut { x - 2 )
x z 2 + -f 3 also insgesamt für alle x a 2 + f 3
<2=> I x-2 I =2-x
tellung erfüllt ist, ist
ie die Ungleichung dߣ A.
güngen:
ellüng)
3
3
,en als die Menge
S X < «> }
< x < 0 oder 0 < x s 2 -
oder ( 0,2 - V 3 ] oder [ 2
UFGABE5-5-.
Die Menge derjenigen x 6 [ 0, 1 ], die die Ungleichung
3
2
erfüllen, ist ein kompaktes Intervall ffegb ].
undj^Vechnen Sie a und
LÖSUNG:
Mit x e [ 0,1 ] ist iedJgen^FdeBfflJRleichunK de,
können damit die Unglei-
chung umformen:
LESEPROBE
/i +{T^fr\-v/i -fr H.
_|:2
LESEPROBE
-1 ); 2 wird zu s
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