Kosmologie
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Kosmologie - Das Universum Inhalt des Universums Einsteinsche Feldgleichungen Lokale Lösungen - Schwarze Löcher Globale Lösungen - Das Urknall Modell Dr. Günther Inhalt des Universums Sonnensystem Dr. Günther All Planet Sizes - NASA / Lunar and Planetary Institute Stern im Zentrum: Sonne macht ca. 99, 9% der Gesamtmasse des Sonnensystems aus. (M ≈ 2 · 1030 kg , g ) ρ ≈ 1, 4 cm 3 Sonnensystem Planeten - z.B. die Erde m Dr. Günther ≈ 6 · 1024 kg , g ρ ≈ 5, 5 cm 3 Zwergplaneten, Monde, Asterorioden, ... Abstand Erde - Sonne ca. 149, 6 · 106 km = 1AU Abstand Neptun - Sonne ca. 30AU Objekte jenseits der Neptunbahn (30AU − 50AU ) Kuipergürtel Oortsche Wolke umschlieÿt das Sonnensystem schalenförmig etwa im Bereich 300AU − 100.000AU (∼ 1LJ ) Galaxie Dr. Günther Galaxie: gravitativ gebundene groÿe Ansammlung von Materie wie Sternen und Planetensystemen, Gasnebeln, Staubwolken und sonstigen Objekten. Milchstraÿe: Enthält ca. 300 Milliarden Sterne, Durchmesser ca. 100 000 Lichtjahre. Galaxie Messier 101 mindestens 1 Billion Sterne, Durchmesser ca. 1, 7 Dr. Günther · 105 LJ Pinwheel Galaxy (Messier 101) - European Space Agency & NASA Gröÿter Massenanteil ist Dunkle Materie ! Hubble Klassikation Dr. Günther Hubble Galaxy Classication - ESA / ESO E=Elliptische Galaxie; S=Spiralgalaxie; SB=Balken-Spiralgalaxie S0=Übergangsbereich Galaxienhaufen Galaxiengruppen: Masse: m < 50 Galaxien ≈ 1013 M Durchmesser: d ≈ 106 LJ Galaxienhaufen: einige Tausend Galaxien Gröÿte gravitationsgebundene Strukturen des Universums ! Masse: m ≈ 1014 M − 1015 M Durchmesser: d ≈ 10MLJ − 20MLJ Dr. Günther Fornax Cluster The Fornax Galaxy Cluster - ESO / J. Emerson / VISTA. Dr. Günther Filamente und Voids Dr. Günther Filamente: Gröÿte Strukturen im Universum! 10 17 − 1018 M , 9 Ausdehnung im Bereich 10 LJ Sloan Great Wall - A Map of the Universe, ApJ 624, 463-484 Weisser Zwerg Endstadium von Sternen mittlerer Masse, r Restmasse des Kerns unter 1, 44 M Weisser Zwerg - ESA / Nasa Dr. Günther . 104 km Neutronenstern Kern eines massiven Sterns nach Supernova Explosion, r Masse nach Supernova (1, 44 − 3) M Neutronenstern - Nasa Dr. Günther ∼ 10km Schwarze Löcher Dr. Günther Stellare S.L.: Masse> 3M mit Ereignisshorizont r 9 g ∼ 20 AU Supermassive S.L: Bis zu 10 M mit r Schwarzes Loch - Nasa / JPL-Caltech g > 9km Einsteinsche Feldgleichungen Einsteinsche Feldgleichungen Dr. Günther Allgemeine Relativitätstheorie 1915: Die Raumzeit wird als vierdimensionaler mathematischer Raum aufgefasst. Alle Körper (z.B. Planeten) bewegen sich auf den kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten in der vierdimensionalen Raumzeit. Die Struktur der Raumzeit wird durch die Einsteinschen Feldgleichungen vorgegeben: R 1 ik − 2 Rgik = 8πγ c 4 ik T Gravitationsfeld Eines Massepunktes Dr. Günther Karl Schwarzschild ndet 1916 eine stationäre, sphärisch symmetrische Lösung der Einsteinschen Gleichungen: ds 2 = 1 − 2γ M 2 c r 2 c dt 2 1 − 1 − 2cγ2M r dr 2 − r 2 d θ2 − r 2 sin2 θ d φ2 Gravitationsfeld Eines Massepunktes Dr. Günther Karl Schwarzschild ndet 1916 eine stationäre, sphärisch symmetrische Lösung der Einsteinschen Gleichungen: ds 2 = 1 − 2γ M 2 c r 2 c dt 2 1 − 1 − 2cγ2M r dr 2 − r 2 d θ2 − r 2 sin2 θ d φ2 Exaktere Beschreibung der Planetenbewegungen im Gravitationsfeld der Sonne Gravitationsfeld Eines Massepunktes Dr. Günther Karl Schwarzschild ndet 1916 eine stationäre, sphärisch symmetrische Lösung der Einsteinschen Gleichungen: ds 2 = 1 − 2γ M 2 c r 2 c dt 2 1 − 1 − 2cγ2M r dr 2 − r 2 d θ2 − r 2 sin2 θ d φ2 Exaktere Beschreibung der Planetenbewegungen im Gravitationsfeld der Sonne Eigenschaften der Schwarzschild-Raumzeit: Raumzeitkrümmung wird unendlich bei r Koordinatensingularität bei r 2γ M s= c 2 =0 (z.B. ist K = 12r 6rs 2 ) Gravitationsfeld Eines Massepunktes Dr. Günther Karl Schwarzschild's Lösung beschreibt ein Schwarzes Loch Schwarzes Loch - Nasa / JPL-Caltech ds 2 = 1 − 2γ M 2 c r 2 c dt 2 1 − 1 − 2cγ2M r dr 2 − r 2 d θ2 − r 2 sin2 θ d φ2 Ereignishorizont Schwarzer Löcher Dr. Günther Ein stationäres Schwarzes Loch besitzt einen Ereignishorizont bei s= r 2γ M c 2 Ereignishorizont Schwarzer Löcher Dr. Günther Ein stationäres Schwarzes Loch besitzt einen Ereignishorizont bei s= r Von r < rs 2γ M c 2 kommt nichts wieder heraus, auch kein Licht ! Alles was die Grenze passiert, trit auf die Singularität bei r =0 Ereignishorizont Schwarzer Löcher Dr. Günther Ein stationäres Schwarzes Loch besitzt einen Ereignishorizont bei s= r Von r < rs 2γ M c 2 kommt nichts wieder heraus, auch kein Licht ! Alles was die Grenze passiert, trit auf die Singularität bei r =0 Physik im Inneren eines Schwarzen Lochs weitgehend unbekannt Theorie der Quantengravitation ? Ereignishorizont Schwarzer Löcher Dr. Günther Ein stationäres Schwarzes Loch besitzt einen Ereignishorizont bei s= r Von r < rs 2γ M c 2 kommt nichts wieder heraus, auch kein Licht ! Alles was die Grenze passiert, trit auf die Singularität bei r =0 Physik im Inneren eines Schwarzen Lochs weitgehend unbekannt Theorie der Quantengravitation ? Schwarzschildradius der Sonne ca. 2, 97 km Schwarzschildradius der Erde ca. 0, 89 cm Gravitative Zeitdilatation Dr. Günther Was passiert, wenn sich Beobachter N dem Ereignishorizont nähert? Gravitative Zeitdilatation Dr. Günther Was passiert, wenn sich Beobachter N dem Ereignishorizont nähert? Bei stellaren Schwarzen Löchern sind Gezeitenkräfte zu groÿ! Gravitative Zeitdilatation Dr. Günther Was passiert, wenn sich Beobachter N dem Ereignishorizont nähert? Bei stellaren Schwarzen Löchern sind Gezeitenkräfte zu groÿ! Annäherung an ein supermassives Schwarzes Loch eher möglich. Gravitative Zeitdilatation Dr. Günther Was passiert, wenn sich Beobachter N dem Ereignishorizont nähert? Bei stellaren Schwarzen Löchern sind Gezeitenkräfte zu groÿ! Annäherung an ein supermassives Schwarzes Loch eher möglich. Für konstante r , θ, φ erhält man ds ∞−weit = p 1 − rrs cdt , daraus folgt: entfernter Beobachter W beobachtet Zeitdilatation bei N W = q t 1 N t rs − rs + D = tN · D = Abstand von N zum Ereignishorizont. r s +1 r D Gravitative Zeitdilatation Beispiel: Supermassives Schwarzes Loch Sagittarius A*, N = 10 s . Beobachter N misst einen Zeitraum von t Dr. Günther Gravitative Zeitdilatation Dr. Günther Beispiel: Supermassives Schwarzes Loch Sagittarius A*, N = 10 s . Beobachter N misst einen Zeitraum von t Bendet sich N dabei in 380000km Entfernung zum Ereignishorizont EH von Sgr A*, so misst ein weit entfernter W ≈ 57 s . Beobachter W für diese Zeitspanne t Gravitative Zeitdilatation Dr. Günther Beispiel: Supermassives Schwarzes Loch Sagittarius A*, N = 10 s . Beobachter N misst einen Zeitraum von t Bendet sich N dabei in 380000km Entfernung zum Ereignishorizont EH von Sgr A*, so misst ein weit entfernter W ≈ 57 s . Beobachter W für diese Zeitspanne t Nähert sich N auf 10 km dem EH, so misst W etwa 3 Stunden. Gravitative Zeitdilatation Dr. Günther Beispiel: Supermassives Schwarzes Loch Sagittarius A*, N = 10 s . Beobachter N misst einen Zeitraum von t Bendet sich N dabei in 380000km Entfernung zum Ereignishorizont EH von Sgr A*, so misst ein weit entfernter W ≈ 57 s . Beobachter W für diese Zeitspanne t Nähert sich N auf 10 km dem EH, so misst W etwa 3 Stunden. Nähert sich N auf 1 m dem EH, so misst W schon 12, 6 Tage. Gravitative Zeitdilatation Dr. Günther Beispiel: Supermassives Schwarzes Loch Sagittarius A*, N = 10 s . Beobachter N misst einen Zeitraum von t Bendet sich N dabei in 380000km Entfernung zum Ereignishorizont EH von Sgr A*, so misst ein weit entfernter W ≈ 57 s . Beobachter W für diese Zeitspanne t Nähert sich N auf 10 km dem EH, so misst W etwa 3 Stunden. Nähert sich N auf 1 m dem EH, so misst W schon 12, 6 Tage. W =∞ Bendet sich N auf dem EH, so misst W die Zeit t Das Urknall Modell Expansion des Universums Dr. Günther Galaxien entfernen sich um so schneller von uns, je weiter sie entfert sind (Spektrallinien sind rotverschoben - Dopplereekt). Expansion - ESA / ESO Expansion des Universums Dr. Günther Galaxien entfernen sich um so schneller von uns, je weiter sie entfert sind (Spektrallinien sind rotverschoben - Dopplereekt). Expansion - ESA / ESO Entdeckung der Expansion des Universums führt zu Urknallmodell ! Primordiale Nukleosynthese Big Bang Nukleosynthese (bis 3 min): 1 H, Dr. Günther 2 H, 3 He, 4 He, 7 Li Protonen Element Symbol 1 Wassersto H 1 H, 2 H, 3 H 1 1 1 2 Helium He . . .32 He, 42 He, . . . 3 .. . Lithium .. . Li .. . . . .73 Li, . . . Isotope Kernfusion in Sternen: Elemente bis Eisen (26 Protonen) Noch schwerere Kerne entstehen bei Supanovae! Kosmische Hintergrundstrahlung Dr. Günther Abkühlung durch Expansion, stablie Atome ab ca. 380 000 Jahre Thermisches Spektrum: Hintergrundstrahlung heute etwa 2, 7 K CMBR - ESA / Planck Mission Friedmann Modell Dr. Günther Kosmologisches Prinzip: Das Universum ist homogen und isotrop. Das Universum sieht immer von jedem Punkt aus gleich aus. Friedmann Modell Dr. Günther Kosmologisches Prinzip: Das Universum ist homogen und isotrop. Das Universum sieht immer von jedem Punkt aus gleich aus. NASA Mission WMAP: Universum ist räumlich ach! ds 2 = c 2 dt 2 − a2 (t ) dx 2 + dy 2 + dz 2 Friedmann Modell Dr. Günther Kosmologisches Prinzip: Das Universum ist homogen und isotrop. Das Universum sieht immer von jedem Punkt aus gleich aus. NASA Mission WMAP: Universum ist räumlich ach! ds 2 = c 2 dt 2 − a2 (t ) dx 2 + dy 2 + dz 2 1 ik − 2 Rgik = Aus Einsteins Feldgleichungen R 2 ȧ a wobei πγ ΩM = 38H 2 ρ0 , 0 = H02 ΩM · 1 a 3 Hubblekonstante: H0 8πγ c 4 ik T folgt: (1) km ≈ 0, 07 1 ≈ 70 s Mpc Gyr Friedmann Lösung Dr. Günther Die Lösung der DGL (1) ist oensichtlich a Gemesen: (t ) = ΩM ≈ 0, 279 3 2 2 p 3 H0 ΩM (t − t0 ) und H0 1 ≈ 0.07 Gyr . Für t0 = 0: Beschleunigte Expansion Problem: Die Expansion des Universums nimmt wieder zu. NASA / WMAP Dr. Günther Beschleunigte Expansion Kosmologische Konstante R 1 Λ Dr. Günther soll beschleunige Expansion bewirken: ik − 2 Rgik − Λgik = 8πγ c 4 ik T Beschleunigte Expansion Kosmologische Konstante R Λ Dr. Günther soll beschleunige Expansion bewirken: 1 ik − 2 Rgik − Λgik = 8πγ c 4 ik T Für unser räumlich aches Universum ergibt sich nun die DGL 2 ȧ = a wobei 2 H0 ΩM a 3 + ΩΛ (2) ΩΛ = 3cHΛ2 . 0 2 Lösen des Integrals mit z 2 = ΩΩMΛ a3 dann z = sinh y , siehe (3) Lösung der DGL Dr. Günther Die DGL (2) hat die Lösung s ( )= a t Für t0 =0 3 erhält man: ΩM ΩΛ 2 sinh 3 √ 3 ΩΛ 2 H0 (t − t0 ) Dunkle Materie und Energie Was bewirkt die beschleunige Expansion ? Dr. Günther Lösen der DGL Dr. Günther Lösen der DGL: Sammeln von a und da auf einer Seite der Gleichung ergibt ein Integral, dass sich mit der folgenden Stammfunktion leicht lösen lässt: Seien m , l ∈R dann gilt: ˆ dx x pm x +l 3 r 2 = √ 3 Arsinh l l m ! x 3 + c0 Das Integral kann natürlich einfach durch Substitution gelöst werden (mit z 2 = ml x 3 ) (3)