Algebra

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Roger Burkhardt
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Fachhochschule Nordwestschweiz
Hochschule für Technik
Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
FS 2009
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Ortskurven
3 Ortskurven
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Ortskurven
3
Ortskurven
Einführung
Kurven in der Gauss’schen Zahlenebene
Die Gerade in der Gauss’schen Zahlenebene
Der Kreis in der Gauss’schen Zahlenebene
Inversion
Inversion
Inversion
Inversion
Inversion
einer
einer
eines
eines
Geraden durch den Ursprung
Geraden nicht durch den Ursprung
Kreises durch den Ursprung
Kreises nicht durch den Ursprung
Ortskurven mit MATLAB
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Ortskurven
Einführung
Einführung
Ortskurven werden in einigen technischen Disziplinen (Regelungstechnik, Nachrichtentechnik, usw.) eingesetzt. Unter einer
Ortskurve versteht man eine parametrisierte Abbildung in die
Gauss’sche Zahlenebene der Form
f
:
R→C
t 7→ z (t) = x (t) + iy (t)
Übersetzt könnte dies auch folgendermassen ausgedrückt werden:
Gegeben sei eine veränderliche komplexe Grösse. Die komplexe
Grösse kann bekanntlich als Zeiger in der Gauss’schen Zahlenebene
aufgefasst werden. Die Ortskurve beinhaltet nun alle Zeigerspitzen
der veränderlichen komplexen Grösse. Als Beispiel betrachten wir
die frequenzabhängige Gesamtimpedanz der folgenden Schaltung:
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Ortskurven
Einführung
R
L
Zser = ZR + ZL = R + iωL
f
:
R+ → C
ω 7→ Zser (ω) = R + iωL
Stellt man diese Impedanzen als Punkte in der Gauss’schen
Zahlenebene dar, so erhält man die folgende Ortskurve (Gerade):
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Ortskurven
Kurven in der Gauss’schen Zahlenebene
Die Gerade in der Gauss’schen Zahlenebene
Die allgemeine Gleichung einer Geraden1 in der Gauss’schen
Zahlenebene lautet:
z (t) = z0 + f (t) z1
Dabei bezeichnen z0 und z1 komplexe Zahlen (Zeiger) und f (t)
eine reellwertige Funktion für den Parameter. Eine klarere
Vorstellung liefert folgende Skizze:
z
z0
z1
z
1
Analog der Parametergleichung für die Gerade aus der Vektorgeometrie:
−
→
→
→
r =−
r0 + t −
r1
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Ortskurven
Kurven in der Gauss’schen Zahlenebene
Betrachten wir nocheinmal die Ortskurve des Einführungsbeispiels
Zser (ω) = R + iωL = (R) +ω (iL)
|{z}
|{z}
z0
z1
so sehen wir den analogen Aufbau.
Eine besonders einfache Form der Beschreibung einer Geraden in
der Gauss’schen Zahlenebene liefert die folgende Gleichung2 :
z (t) = a (1 + if (t))
bzw.
z (t) = a (1 + it)
Durch einfaches ausmultiplizieren findet man wieder die allgemeine
Geradenform:
2
Funktioniert nicht für Geraden durch den Ursprung!
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Ortskurven
Kurven in der Gauss’schen Zahlenebene
z (t) = (a) + (ia) t
|{z} |{z}
z0
z1
Nun stehen die gefundenen komplexen Zeiger z0 = a und z1 = ia
senkrecht zueinander und die komplexe Zahl a ist der kürzeste
Zeiger vom Ursprung auf die Gerade:
z
z 1 ia
z0 a
z
Das Einführungsbeispiel lautet in dieser neuen Darstellungsform:
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Ortskurven
Kurven in der Gauss’schen Zahlenebene
L
ωL
Zser (ω) = R + iωL = (R) + (iR) ω = R 1 + i
|{z} |{z} |{z}
R
R
a
ia
f (ω)
Nicht alle Geraden lassen sich so einfach finden. Betrachten wir ein
weiteres Beispiel:
Beispiel
Gesucht ist die Gerade durch die Punkte z1 = 2 + 3i und
z2 = 5 − i. Wechseln wir zur Bestimmung in die Vektorgeometrie
und suchen die Normalform der Geraden durch die Punkte P1 (2, 3)
und P2 (5, −1). Mit der Zwei-Punkt-Form finden wir die
Koordinatengleichung
y
=
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y2 − y1
(x − x1 ) + y1
x2 − x1
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Ortskurven
Kurven in der Gauss’schen Zahlenebene
Beispiel (Fortsetzung)
y
=
−1 − 3
4
17
(x − 2) + 3 = − x +
5−2
3
3
Die Normalform lautet somit:
4x + 3y − 17 = 0
−
bzw. die Hesse’sche Normalform (Normalenvektor →
n =
→
−
n = 5):
4
3
mit
4x + 3y − 17
=0
5
Der Ursprung hat somit die (kürzeste) Entfernung
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Ortskurven
Kurven in der Gauss’schen Zahlenebene
Beispiel (Fortsetzung)
17
4 ∗ 0 + 3 ∗ 0 − 17
=−
5
5
von der Geraden und daher zeigt der Vektor
68 →
−
n
→
−
25
=
a = −d →
51
−
n
25
d=
auf den nächsten Punkt (Fusspunkt) der Geraden. Die gesuchte
51
komplexe Zahl entspricht somit a = 68
25 + i 25 und die
Geradengleichung lautet:
68
51
z (t) =
+i
(1 + it)
25
25
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Ortskurven
Kurven in der Gauss’schen Zahlenebene
Der Kreis in der Gauss’schen Zahlenebene
Wir starten mit dem Spezialfall
z (t) =
1
1 + it
Als ertes zeigen wir, dass diese Ortskurve einem Kreis entspricht.
Formen wir dazu um:
z (t) =
1
1 − it
−t
=
+i
2
2
(1 + it) (1 − it) |1 +
t
1
{z } | +
{zt }
x(t)
x (t) =
y (t) =
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y (t)
1
1 + t2
−t
1 + t2
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Ortskurven
Kurven in der Gauss’schen Zahlenebene
Elimination des Parameters führt auf eine Koordinatengleichung 3 :
y
= −t
x
y
x
y=
1+
y 2
x
=
xy
x2 + y2
Umformen:
y x2 + y2
= xy
2
= 0
y x −x +y
2
2
2
x −x +y = 0
2
1
1 2
2
+y =
x−
2
2
3
Die Kreisgleichung mit Mittelpunkt M (xM , yM ) und Radius R lautet:
(x − xM )2 + (y − yM )2 = R 2
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Ortskurven
Kurven in der Gauss’schen Zahlenebene
Die gegebene Ortskurve
entspricht also einem Kreis mit dem
Mittelpunkt M 12 , 0 und Radius R = 21 (der Mittelpunkt liegt also
auf der reellen Achse und der Ursprung befindet sich auf dem
Kreis!).
z
M
1 2 ,0
z
R 1 2
Diesen ersten Kreis können wir nun durch Multiplikation mit der
komplexen Zahl a = |a| e iϕ (Drehstreckung) in einen neuen Kreis
transformieren:
1
z (t) = a
1 + it
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Ortskurven
Kurven in der Gauss’schen Zahlenebene
Der neue Kreis hat den Radius
R=
|a|
|a|
M 2 cos (ϕ) , 2 sin (ϕ) :
|a|
2
und den Mittelpunkt
z
a
M
R
z
Beispiel
Wir suchen die Beschreibung des Kreises durch den Ursprung mit
Mittelpunkt zM = −4 + 2i. Der benötigte Zeiger a für die
Beschreibung ist gleich a = 2zM = −8 + 4i. Die gesuchte
Kreisgleichung lautet somit:
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Ortskurven
Kurven in der Gauss’schen Zahlenebene
Beispiel (Fortsetzung)
z (t) = (−8 + 4i)
1
−8 + 4i
=
1 + it
1 + it
Für einen beliebigen Kreis verschieben wir nun den vorhin
gefundenen Kreis um die komplexe Zahl b:
z (t) = a
1
+b
1 + it
Durch diese Parallelverschiebung ändert sich der Radius nicht. Nur
der Mittelpunkt wird um den Zeiger b verschoben. Also erhalten
wirfür den Radius weiterhin R = |a|
2 und für den Mittelpunkt
M
Re(a)
2
+ Re (b) , Rm(a)
+ Im (b) :
2
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Ortskurven
Kurven in der Gauss’schen Zahlenebene
a
z
M
b
a
R
b
z
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Ortskurven
Inversion
Inversion
In der Technik müssen Ortskurven häufig invertiert werden. Sei
z.B. die frequenzabhangige Ortskurve einer Impedanz Z (ω)
gegeben, so erhält man den Strom durch die Impedanz mit dem
ohm’schen Gesetz zu I (ω) = Z U
(ω) . Wenn die Ortskurve der
Impedanz invertiert wird, erhält man (bis auf Skalierung mit U)
den Verlauf (Ortskurve) des frequenzabhängigen Stroms.
Im weiteren betrachten wir die wichtigsten Inversionen:
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Ortskurven
Inversion
Inversion einer Geraden durch den Ursprung
Wir betrachten die Gerade durch den Ursprung mit der Gleichung
z (t) = f (t) z0
Für die Inversion w =
w (t) =
1
z
finden wir:
1
1
1 z0
=
=
z (t)
f (t) z0
f (t) z0 z0
Dies ist wieder eine Gerade durch den Ursprung mit der
1
Parametrisierung: g (t) = f (t)
und der Richtung w0 = zz0 z0 0 .
z
z t
f t z0
z0
z
w0
w t
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g t w0
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Ortskurven
Inversion
Beispiel
π
Als Beispiel suchen wir die Inversion von z (t) = t 2e i 3 . Wir
finden:
1
1 1 −i π
1 1
3
=
=
e
w (t) =
π
z (t)
t 2e i 3
t 2
Die Inversion einer Geraden durch den Ursprung ergibt somit
wieder eine Gerade durch den Ursprung. Die invertierte
Gerade ist die Spiegelung der gegebenen Geraden an der
reellen Achse.
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Ortskurven
Inversion
Inversion einer Geraden nicht durch den Ursprung
Betrachten wir die Gerade (mit a = |a| e iϕ ):
z (t) = a (1 + i f (t))
Die Inversion ergibt:
w (t) =
1
1
=
=
z (t)
a (1 + i f (t))
1
a
|{z}
1
1 + i f (t)
| {z }
mit Drehstreckung Kreis durch Urprung
somit einen Kreis durch den Ursprung mit den Daten:
R=
M
1
2 |a|
1
1
cos (−ϕ) ,
sin (−ϕ)
2 |a|
2 |a|
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Ortskurven
Inversion
Wir betrachten zwei Beispiele:
Beispiel
z (t) = 2 (1 + i t):
1
1 1
=
2 (1 + i t)
21+i t
1
1
R = ,M
,0
4
4
w (t) =
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Ortskurven
Inversion
Beispiel (Fortsetzung)
z (t) = (1 − i) (1 + it):
π
1
1
ei 4 1
w (t) =
= √ −i π
= √
(1 − i) (1 + it)
2 1 + it
2e 4 (1 + it)
π 1
π 1
1
1 1
√ cos
Rz = √ , M
, √ sin
=M
,
4 2 2
4
4 4
2 2
2 2
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Ortskurven
Inversion
Die Inversion einer Geraden nicht durch den Ursprung ergibt
einen Kreis durch den Ursprung!
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Ortskurven
Inversion
Inversion eines Kreises durch den Ursprung
Die Inversion eines Kreises durch den Ursprung muss nach den
Überlegungen des letzten Abschnittes eine Gerade ergeben, welche
nicht durch den Ursprung geht. Sei also ein Kreis mit dem
Mittelpunkt
|a|
|a|
|a|
cos (ϕ) ,
sin (ϕ) ⇒ R =
M
2
2
2
gegeben. Diesen Kreis können wir durch die folgende Gleichung
beschreiben:
1
z (t) = a
1 + i f (t)
Die Inversion ergibt nun:
w (t) =
1
1
1 −iϕ
= (1 + i f (t)) =
e
(1 + i f (t))
z (t)
a
|a|
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Ortskurven
Inversion
1 −iϕ
Dies ist eine Gerade durch den Punkt z0 = |a|
e
(Punkt der
Geraden, welcher dem Ursprung am nächsten liegt) mit der
1 i ( π2 −ϕ)
Richtung z1 = iz0 = |a|
e
.
Die Inversion eines Kreises durch den Ursprung ergibt eine
Gerade die nicht durch den Ursprung geht!
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Ortskurven
Inversion
Inversion eines Kreises nicht durch den Ursprung
Als letzte wichtige Inversion betrachten wir die Inversion des
Kreises (nicht durch den Ursprung, also b 6= 0):
z (t) = b + a
Mit Mittelpunkt
zM =
und Radius
R=
1
1 + i f (t)
a
+b
2
|a|
2
Die Inversion:
w (t) =
1
1
1 + i f (t)
=
=
1
z (t)
a + b (1 + i f (t))
b + a 1+i f (t)
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Ortskurven
Inversion
Umformen:
1 + i f (t)
b (1 + i f (t)) + a
=
=
=
=
1 b (1 + i f (t))
b b (1 + i f (t)) + a
1 b (1 + i f (t)) + a − a
b b (1 + i f (t)) + a
a
1
1−
b
b (1 + i f (t)) + a
1 a
1
−
b b a + b (1 + i f (t))
Nun ist der Nenner des zweiten Bruches eine Gerade (nicht durch
den Ursprung) und somit der ganze zweite Bruch ein Kreis durch
den Ursprung. Der erste Bruch bewirkt zudem eine Verschiebung,
so dass der ganze Term einen Kreis beschreibt, welcher den
Ursprung nicht beinhaltet!
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Ortskurven
Inversion
Wir suchen nun den Mittelpunkt und den Radius dieses neuen
Kreises. Dazu verwenden wir die folgende Tatsache: Durch
Inversion eines Kreises, geht der Punkt, welcher dem Ursprung am
nächsten ist in den Punkt des neuen Kreises über, welcher dem
Ursprung am entferntesten liegt! Vom gegebenen Kreis bestimmen
wir den nächsten und den entferntesten Punkt:
zM
Rz
zM
zw ,n = zM ± Rz
= zM 1 ±
=
(|zM | ± Rz )
|zM |
|zM |
|zM |
Die Inversion dieser beiden Zeiger liefert nächster und entferntester
Punkt auf dem neuen Kreis:
wn,w =
1
zM
|zM |
(|zM | ± Rz )
=
zM
1
|zM | |zM | ± Rz
Der Mittelpunkt liegt zwischen diesen beiden Punkten:
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Ortskurven
Inversion
wM
1
zM
= (ww + wn ) =
2
2 |zM |
1
1
+
|zM | − Rz
|zM | + Rz
=
zM
|zM |2 − Rz2
Den Radius des neuen Kreises erhalten wir aus dem halben Betrag
der Differenz der beiden Zeiger:
Rw =
1
Rz
|ww − wn | =
2
|zM |2 − Rz2
Die Inversion eines Kreises nicht durch den Ursprung ergibt
wieder einen Kreis der nicht durch den Ursprung geht!
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Ortskurven
Inversion
Beispiel
Wir invertieren den Kreis mit Mittelpunkt zM = 1 + 3i und Radius
R = 2. Dieser Kreis wird beschrieben durch die Gleichung:
Kreis durch Ursprung mit dem gegebenen Radius:
z1 (t) = 4
1
1+i t
Verschobener Kreis:
z2 (t) = z1 (t) + (−1 + 3i)
1
= (−1 + 3i) + 4
1+i t
Roger Burkhardt [email protected]
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Ortskurven
Inversion
Beispiel (Fortsetzung)
Die Gleichung des gegebenen Kreises lautet nun:
1
4
z (t) = (−1 + 3i) + |{z}
| {z }
1+i t
a
b
Die Inversion liefert nun wieder einen Kreis mit:
wM =
zM
2
|zM | −
Rw =
Rz2
=
Rz
2
|zM | −
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Rz2
1 − 3i
1
1
= −i
10 − 4
6
2
=
2
1
=
10 − 4
3
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Algebra
Ortskurven
Inversion
Beispiel (Fortsetzung)
Die neue Kreisgleichung:
Kreis durch Ursprung mit dem Radius 13 :
w1 (t) =
2 1
3 1 + it
Verschobener Kreis:
w2 (t) = w1 (t) − Rw + wM
2 1
1 1
1
=
− + −i
3 1 + it
3 6
2
2
1
1
1
+
= − −i
6
2
3
1
+
it
|
{z
} |{z}
b
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a
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Ortskurven
Inversion
Beispiel (Fortsetzung)
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Ortskurven
Inversion
Zusammenstellung
Gerade
Kreis
nicht
nicht
durch 0 durch 0 durch 0 durch 0
G
e durch 0
r
a
nicht
d
durch 0
e
K durch 0
r
e
nicht
i
durch 0
s
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Ortskurven
Ortskurven mit MATLAB
Ortskurven mit MATLAB
Mit MATLAB lassen sich Ortskurven recht schnell erzeugen. Das
nachfolgende m-File stellt eine Ortskurve z(t) und ihre Inversion
im gleichen Fenster dar. Zudem kann die Parametrisierung auch
dargestellt werden:
MATLAB
%Ortskurven mit MATLAB:
%======================
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ANPASSUNGEN HIER VORNEHMEN%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Parameter:
syms omega
%Bereich für den Parameter: (DB)
omega_r = [0,100];
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Ortskurven
Ortskurven mit MATLAB
MATLAB (Fortsetzung)
%Feste Parameterwerte für die Beschriftung:
omega_w = [0,10,20,30,40,50,100];
%Ortskurve (komplexwert. Fkt. in Abhaengigkeit der symb. Var.):
z=0.5+i*omega*0.01
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Skizze Ortskurve der Funktion:
ezplot(real(z),imag(z),omega_r);
hold on
%Beschriftung:
for k=1:length(omega_w)
zz=subs(z,omega,omega_w(k));
xx=real(zz);
yy=imag(zz);
plot(xx,yy,’r*’)
text(xx,yy,strcat(’ \leftarrow \omega=’,num2str(omega_w(k)),...
’^1/_s’))
end
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Ortskurven
Ortskurven mit MATLAB
MATLAB (Fortsetzung)
%Inverse-Ortskurve:
z_inv=1/z
%Skizze:
ezplot(real(z_inv),imag(z_inv),omega_r);
hold on
%Beschriftung:
for k=1:length(omega_w)
zz=subs(z_inv,omega,omega_w(k));
xx=real(zz);
yy=imag(zz);
plot(xx,yy,’r*’)
text(xx,yy,strcat(’ \leftarrow \omega=’,num2str(omega_w(k)),...
’^1/_s’))
end
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Ortskurven
Ortskurven mit MATLAB
MATLAB (Fortsetzung)
Der dazugehörige Graph:
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