1.5 Das Standardmodell der Teilchenphysik: Die

1.5 Das Standardmodell der Teilchenphysik:
Die fundamentalen Wechselwirkungen
und ihre Vereinheitlichung
Lokale Eichfeldtheorien (Yang-Mills-Theorien; Yang und Mills
1954) erlauben eine einheitliche Beschreibung aller bekannten
Wechselwirkungen der fundamentalen Materiebausteine
(Leptonen und Quarks) basierend auf einem Symmetrieprinzip.
Die Eichsymmetriegruppen legen die Eigenschaften der
Wechselwirkungen vollständig fest. Die elementaren Fermionen
(Spin 12 ) besetzen die Multipletts der fundamentalen
Darstellungen der Eichsymmetrien.
Die Generatoren der Eichsymmetriegruppen (Lie-Gruppen) sind
die verallgemeinerten Ladungsoperatoren der Wechselwirkungen
(hermitesch). Die Wechselwirkung wird vermittelt durch den
Austausch von Vektorbosonen (Spin 1), den Eichfeldquanten.
Die elektromagnetische, die schwache und die starke
Wechselwirkung lassen sich durch die einfachsten speziellen
unitären Symmetriegruppen beschreiben:
Wechselwirkung El. magn.
Eichsymmetrie
Theorie
Ladungen
Eichbosonen
Schwach
Stark
U (1)
SU (2)
SU (3)
QED
GSW
QCD
elektrische 3 schwache 8 FarbLadung Ladungen ladungen
Photon
W ±, Z 0 8 Gluonen
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81
Die Zahl der unabhängigen Parameter und damit der
Generatoren (verallgemeinerte Ladungen) der Gruppe SU (N )
ist N 2 − 1 (Ordnung der Gruppe).
Die Dimension der fundamentalen Darstellung ist N = Zahl
der inneren Freiheitsgrade der Teilchenzustände.
Die Eichsymmetriegruppe des Standardmodells ist das Produkt
der Lie-Gruppen
U (1) ⊗ SU (2) ⊗ SU (3)
Die freien Fermionenzustände des Standardmodells sind daher
(f = e, µ, τ, νe, νµ, ντ , u, d, s, c, b, t):
.
Teilchen :
µ
ψf+(x; E > 0) = u(p)e−ipµx × eiQf α ×
.
u
d
!
Antiteilchen :
µ
ψf−(x; E < 0) = v(p)eipµ·x × e−iQf α ×




r
 
× g 
L
b q
u
d
!
r̄
 
×  ḡ 
R
b̄ q̄
Vorbild für die moderne Beschreibung der Teilchenphysik durch
Eichtheorien ist die Quantenelektrodynamik.
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82
1.5.1 Die Quantenelektrodynamik (QED)
Eichfeldtheorie mit der Symmetriegruppe U(1) (elektrische
Ladung).
Eichfeld (Photonfeld): 4-Vektorpotential Aµ(x).
Eichboson (Photon):
Eichsymmetrie.
Spin 1,
masselos aufgrund der
Lagrangedichte für Kopplung an elementare Fermionen
(f = e, µ, τ, u, d, s, c, b, t):
LQED
1
= − Fµν F µν
4
1
= − Fµν F µν
4
+
X
f
+
X
f
− e
ψ f (iγ µDµ − mf )ψf
ψ f (iγ µ∂µ − mf )ψf
X
!
Qf ψ f γ µψf Aµ
f
= Lfrei + LW W
mit der kovarianten Ableitung
Dµ = ∂µ + ieQf Aµ(x)
und dem Feldtensor
Fµν (x) = ∂ν Aµ(x) − ∂µAν (x).
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83
Strom-Eichfeld-Kopplung:
γ
Aµ
µ
Aµ
LW W = −ejel.magn.
Qf e
ψf
ψ̄f
t
mit dem elektromagnetischen Strom
µ
jel.magn.
=
X
µ
jel.magn.
Qf ψ f γ µψf .
f
Die Kopplungstärke ist gegeben durch die Elementarladung e.
Qf ist Eigenwert des Ladungsoperators (Generator der U (1)Eichsymmetriegruppe).
Lokale U(1)-Eichtransformationen:
ψf (x)
ψ f (x)
Aµ(x)
Dµψf (x)
−→
−→
−→
−→
eieQf α(x)ψf (x)
e−ieQf α(x)ψ f (x)
Aµ(x) − ∂µα(x)
eieQf α(x)Dµψf (x).
d.h. ψ f γµψf und ψ f Dµψf sind invariant.
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84
Globale U(1)-Eichsymmetrie =⇒ Erhaltung der elektrischen
Ladung (Noether-Theorem):
Kontinuitätsgleichung:
µ
=
∂µjel.magn.
=⇒
dQ
=
dt
Z
d3 x
∂ρ
=−
∂t
Z
∂ρ ~ ~
+ ∇ · j = 0.
∂t
~ · ~j = −
d3x∇
I
d~σ · ~j = 0.
Die Eichinvarianz verlangt mγ = 0.
Experimentell: mγ < 2 · 10−16 eV aus der Vermessung des
Magnetfelds des Jupiter durch die Pioneer 10-Sonde.
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85
Weitere Symmetrien der QED:
• Lorentzinvarianz + Invarianz unter Raum-Zeit-Translationen
(Homogenität und Isotropie der Raum-Zeit)
=⇒ Energie-Impuls- und Drehimpulserhaltung (NoetherTheorem).
• Diskrete Symmetrien:
1. Lepton- und Quarkflavour-Erhaltung.
2. Parität P (Raumspiegelung): ~x −→ −~x, p~ −→ −~
p.
3. Zeitinversion T: t −→ −t.
4. Ladungskonjugation C: Qf −→ −Qf .
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87
1.5.2 Die Schwache Wechselwirkung
Beschreibung in Analogie zur QED mit Kopplung schwacher
Ströme an massive, elektrisch geladene Feldquanten W ±:
j µ−Wµ+ + j µ+Wµ−
Kurzreichweitige Wechselwirkung mit Änderung der Leptonund Quark-Flavour.
Nuklearer β-Zerfall: n −→ pe−ν e
jµ+
u
n d
d
p
n
e−
g
ν¯e
t
u
d p
u
e−
jµ+
W−
g
ν¯e
Myonzerfall: µ+ −→ e+νeν µ
jµ−
+
µ
Erweiterung der
4-Fermion-WW
Fermis:
µ+
e
+
g
t
ν¯µ
W+
νe
g
jµ−
e+
GF
ν¯µ
νe
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88
Schwache Übergänge legen Paarung der elementaren Fermionen
in Dubletts nahe, der fundamentalen Darstellung der SU(2)Gruppe (in Analogie zu Spin und Isospin).
Linkshändige Zustände in SU(2)-Dubletts:
L` :
Lq :
νe
e−
!
u
d0
!
L
L
νµ
µ−
c
s0
!
L
!
L
ντ
τ−
t
b0
!
!
L
L
Qf
Yf
If0
0
−1
−1
−1
+ 12
− 12
+ 23
− 13
+ 13
+ 13
+ 12
− 12
0
−2
+ 43
− 23
0
0
0
0
Rechtshändige Zustände in SU(2) − Singuletts :
νeR
e−
R
uR
dR
νµR
µ−
R
cR
sR
ντ R
τR−
tR
bR
0
−1
+ 23
− 13
Q = I 0 + Y /2
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89
Die schwache Wechselwirkung bewirkt flavour-ändernde
Übergänge innnerhalb der Fermion-Dubletts L` (Leptonen)
und Lq (Quarks).
Nur linkshändige Fermionen ψL bzw. rechtshändige AntiFermionen ψ R nehmen an der schwachen WW teil.
⇐⇒ beobachtete maximale Paritätsverletzung durch die
schwache WW (V − A-Form der schwachen Ströme).
Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung:
• K + → π +π 0 und K + → π +π −π + (Lee, Yang 1956).
• Elektronpolarisation im Kern-β-Zerfall (Wu 1957).
Projektion der Chiralitätszustände:
ψL = PLψ =
ψR = PRψ =
!
1 − γ5
ψ
2
!
1 + γ5
ψ
2
ψ L = (PLψ)†γ 0 = ψPR
ψ R = (PRψ)†γ 0 = ψPL
mit PL + PL = 1, PL2 = PL, PR2 = PR, γ µPL = PRγ µ.
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90
Chiralität γ5 = γ5†:
γ5ψL = −ψL
γ5ψR =
ψR
für masselose Teilchen.
·~
p
Die Helizität h = |~~ss·~
p| ist abhängig vom Bezugssystem
(Impulsrichtung), außer für masselose Teilchen. Für masselose
Teilchen haben Helizität und Chiralität den gleichen Wert.
Schwache Fermion-Ströme:
µ
= ψ Lγ µψL
jschwach
= (PLψ)†γ 0γ µPLψ = ψ †PLγ 0γ µPLψ
1
= ψγ µPLψ = ψγ µ(1 − γ5)ψ
2
d.h. Vektor (γ µ)–Axialvektor (γ µγ5)-, V − A-Strom.
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91
Lokale schwache Isospin-Eichsymmetrie SU (2)L:
~~
SU(2)-Dubletts (L): Lf −→ eiI·β(x)Lf .
SU(2)-Singuletts (R): ψR −→ ψR .
3 Parameter (z.B. Euler-Winkel), 3 Generatoren (Ladungen):


Ix


• Isospinvektor I~ =  Iy 
Iz
• Lie-Algebra: [Ii, Ij ] = iεijk Ik
mit Strukturkonstanten εijk .
• Auf- und Absteigeoperatoren: I ± = 21 (Ix ± iIy ); I 0 = Iz .
Fundamentale SU(2)-Darstellung (2-dimensional):
~ = 1 , Iz = ± 1 .
• Fermion-Dubletts mit |I|
2
2
• I~ =
~
τ
2
mit Pauli’schen Spin-Matrizen τi (i = 1, 2, 3).
[τi, τj ] = 2iεijk τk ,
τ+ =
τ ± = 12 (τ1 ± iτ2 ).
0 1
0 0
!
; τ− =
0 0
1 0
!
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.
92
1.5.2.1 Die Elektroschwache Wechselwirkung
(Glashow-Salam-Weinberg-Theorie)
Gemeinsamer Ansatz mit lokaler SU (2)L- und U (1)Y Eichsymmetrie
(Glashow 1961, Salam 1968, Weinberg 1967).
Die elektromagnetische Wechselwirkung muß wegen der
elektrisch geladenen schwachen Eichbosonen W ± miteingeschlossen werden.
Y ist die schwache Hyperladung mit [Iz , Y ] = 0 (direktes
Produkt der Symmetriegruppen).
Deshalb is Yf gleich für die beiden Mitglieder eines SU (2)LDubletts und Q 6= Y .
Die elektromagnetischen Ladungen in den Multipletts ergeben
sich konsistent aus der Beziehung Q = I3 + Y /2.
Damit entsteht eine vereinheitlichte Eichtheorie der schwachen
und der elektromagnetischen Wechselwirkung, die aber noch
zwei verschiedene Kopplungskonstanten g (schwacher Isospin)
und g 0 (schwache Hyperladung) enthält:
1
1 i iµν
LSU (2)×U (1) = − fµν f µν −
Fµν F
4
4
X
X
+
ψ f R (iγ µDµR)ψf R +
Lf (iγ µDµL)Lf
f
L
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93
mit den linkshändigen SU (2)-Dubletts Lf , den SU (2)Singuletts ψf und den kovarianten Ableitungen:
DµL = ∂µ · 1 + ig
DµR
0 Yf L
0
2
~ µ(x)
Bµ(x) · 1 + ig I~ · W
g
g
~ µ(x)
= ∂µ · 1 + i Yf LBµ(x) · 1 + i ~τ · W
2
2
Yf R
Bµ(x),
= ∂µ + ig 0
2
=⇒ minimale eichinvariante Kopplung an 4 masselose
Eichfelder für U (1)Y und SU (2)L:

~ µ(x) = 
Bµ(x) und W

Wµx(x)
Wµy (x)
Wµz (x)



mit den Definitionen der Feldtensoren
fµν
i
Fµν
= ∂ν Bµ(x) − ∂µBν (x)
.
= ∂ν Wµi (x) − ∂µWνi (x) + gεijk Wµj (x)Wνk (x).
so daß die Form der Lagrangedichte für die freien Eichfelder
wie für die QED ist (s.o.).
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94
Alle Fermion-Massen = 0 wegen globaler SU (2)L-Invarianz:
Unterschiedliche Massen in den Fermion-Dubletts verletzen die
SU(2)-Symmetrie. Ein Dirac-Massenterm mψψ = m(ψ LψR +
ψ RψL) ist nicht invariant.
=⇒ Massen der elektroschwachen Eichbosonen (außer γ) und
der Fermionen durch spontane Brechung der lokalen
SU (2)L ⊗ U (1)Y -Eichsymmetrie (Higgs-Mechanismus, s.u.).
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95
Lokale SU(2)-Eichtransformationen U(x):
~
ig ~τ2 β(x)
0
L −→ L = U (x) · L = e
L
Damit die Lagrange-Dichte invariant bleibt, ist die die
Transformation der kovarianten Ableitung nach Definition:
Dµ0 L0
~τ ~ 0 0
= (∂µ + ig · Wµ)L ≡ U (DµL)
2
(d.h. Dµ0 = U DµU −1).
~τ ~ 0
=⇒ U (∂µL) +
∂µ U L + ig · W
µ(U · L)
2
~τ ~
· Wµ L
≡ U (∂µL) + igU
2
~τ ~
~τ ~ 0
1
(U
·
L)
=
U
=⇒ · W
·
W
(∂µU )L.
L
−
µ
µ
2
2
ig
Damit ist die Eichtransformation der nicht-Abelschen Eichfelder
definiert durch:
~ µ −→ ~τ · W
~ µ0 = U (~τ · W
~ µ)U −1 + i (∂µU )U −1
~τ · W
g
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96
Für infinitesimale Eichtransformationen,
~τ ~
U (x) = 1 + ig · β(x),
2
gilt:
Wµi (x)
−→
Wµi0(x)
Wµi (x)
=
1
− ∂µβ i(x) − εijk β j (x)Wµk (x)
g
Für Abelsche U (1)Y -Eichtransformationen,
i Y2 α(x)
UY (x) = e
,
gilt allgemein:
Bµ(x) −→
Bµ0 (x)
2i
=
+ (∂µUY )UY−1
Y
≡ Bµ(x) − ∂µα(x)
UY BµUY−1
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97
Umformung der Lagrange-Funktion:
unter Benutzung von
ψγ µ∂µψ = ψγ µ∂µ(PL2 + PR2 )ψ
= ψPRγ µ∂µPLψ + ψPLγ µ∂µPRψ
= ψ Lγ µ∂µ ψL + ψ Rγ µ∂µψR
mit γ µPL,R = PR,Lγ µ, ψ = ψ †γ 0
und ψ L = (PLψ)†γ 0 = ψ †PLγ 0 = ψPR.
.
LSU (2)×U (1) =
1 i iµν X
1
µν
fµν f − Fµν F
−
ψ f (iγ µ∂µ)ψf
+
4
4
f
X
X
Yf
~τ
~µ
− g0
ψ f γ µ ψf Bµ − g
Lf γ µ · Lf W
2
2
f
L
= Lfrei + LWW .
LW W
~µ
= −g 0jYµ Bµ − g~jIµ · W
g
= −g 0jYµ Bµ − gjIµ0Wµ0 − √ jIµ−Wµ+ + jIµ+Wµ−)
2
= LN C + LCC
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98
mit dem flavour-ändernden geladenen schwachen Strom (CC):
jIµ±
=
X
L
Lf γ µτ ± Lf = jIµ1 ± ijiµ2
und den geladenen schwachen Eichbosonen (siehe β-Zerfälle):
Wµ±
1
= √ (Wµ1 ± iWµ2)
2
Denn es gilt:
(jIµ−Wµ+ + jIµ+Wµ−) =
1
1
= (jI1 − ijI2) √ (Wµ1 + iWµ2) + (jIµ1 + ijIµ2) √ (Wµ1 − iWµ2)
2
√ µ1 1 2 µ2 2
=
2(jI Wµ + jI Wµ ).
.
Die flavour-erhaltenden neutralen elektroschwachen Ströme jYµ
und jIµ0 koppeln an die neutralen Eichbosonfelder Bµ(x) und
Wµ0.
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99
Fragen:
Wie läßt sich der elektromagnetische Strom der QED
identifizieren?
Gibt es einen neutralen schwachen Strom?
Die erhaltenen Ladungen aufgrund der globalen SU(2)Eichsymmetrie sind:
Ii =
Z
i
i
τ
dI
=0
d3xLγ 0 L;
2
dt
mit [I i, I j ] = iεijk I k .
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
100
Beispiel:
Die erste Lepton-Familie L =
.
νe
e−
LW W (SU (2)) = −gL γ
g
= − (ν eL, eL)γ µ
2
µτ
i
2
!
:
L
Wµi L
!
νeL
Wµ3
Wµ1 − iWµ2
eL
Wµ1 + iWµ2
−Wµ3
!
!
√
−
0
2Wµ
νeL
W
√ µ+
eL
2Wµ
−Wµ0
g
= − (ν eL, eL)γ µ
2
g
= − [ν eγ µ(1 − γ5)νeWµ0 − eγ µ(1 − γ5)eWµ0]
2
g
. − √ [ν eγ µ(1 − γ5)eWµ− + eγ µ(1 − γ5)νeWµ+].
2
0
1
1
2
e, νe
e, νe
τ
=
,
τ
=
1
0
NC
W0
3
τ
=
e
νe
W
±
CC
LW W (U (1)) = −g 0
X
f
ψf
0
i
1
0
−i
0
0
−1
!
,
Y
f
γ µ ψf Bµ
2
g0
= − YL[ν eLγ µνeL + eLγ µeL]Bµ
2
g0
. − [YνRν eR γ µνeR + YeReR γ µeR ]Bµ.
2

YL = −1 
1
mit Q = I0 + Y.
YeR = −2

2
Yν R = 0
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
101
.
=⇒ Neutrale Ströme:
LN C = −
+
1
g0
0
µ
0
(gWµ + g YLBµ)ν eLγ νeL − YνR Bµν eR γ µνeR
2
2
0
1
g
(gWµ0 − g 0YLBµ)eLγ µeL − YeR BµeR γ µeR .
2
2
Neutrale Ströme der ungeladenen Neutrinos können nur durch
die schwache Wechselwirkung vermittelt werden.
Sie wurden 1973 am CERN entdeckt in der Reaktion: νµp →
νµp (kein Myon im Endzustand).
Nach orthonormaler Transformation (Rotation) der neutralen
Eichbosonfelder
Bµ
Wµ0
!
−→
Aµ
Zµ0
!
=
cos θW
− sin θW
sin θW
cos θW
!
Bµ
Wµ0
!
mit dem sog. Weinberg-Winkel θW und
g
cos θW = p
;
2
2
02
g + g YL
g 0YL
sin θW = p
g 2 + g 02YL2
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
102
erhält man das Photonfeld
gBµ − g 0 YLWµ0
Aµ = p
g 2 + g 02YL2
und ein neues neutrales schwaches Eichbosonfeld (orthogonal
zum el.magn. Feld):
Zµ0
gWµ0 + g 0YLBµ
.
= p
2
2
02
g + g YL
Sowohl das Z 0-Boson als auch die W ±-Bosonen wurden 1983
am CERN in pp̄-Reaktionen direkt erzeugt und nachgewiesen
(s.u.).
Die neutrale schwache Wechselwirkung, Kopplung neutraler
schwacher Fermionströme an das Z 0-Eichboson, wird durch
die GSW-Theorie vorhergesagt (schon früher vermutet) und
wurde 1973 in Neutrinostreuung an Protonen in einem
Blasenkammerexperimnent am CERN nachgewiesen (s.u.).
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
103
Durch Invertieren der Transformation,
Bµ =
Wµ0 =
gAµ + g 0YLZµ0
p
,
2
2
02
g + g YL
gZµ0 − g 0YLAµ
p
,
2
2
02
g + g YL
und Einsetzen in LN C ergibt sich:
.
L
pN C =
g 2 + g 02YL2 0
Zµ(ν eLγ µνeL)
−
2
gg 0YL
gg 0YR
µ
µ
p
− p
A
(e
A
(e
γ
e
)
−
γ
eR)
µ
µ
L
L
R
2
2
2
02
2
02
g + g YL
2 g + g YL
g 02YLYR
g 02YL2 − g 2
µ
µ
p
p
Z
(e
Z
(e
−
γ
e
)
−
γ
eR)
µ
µ
L
L
R
2
2
2
02
2
02
2 g + g YL
2 g + g YL
=⇒ Neutrinos koppeln nicht an das elektromagnetische Feld
Aµ.
Nur die linkshändigen Neutrinos wechselwirken durch die
neutrale schwache Kraft über Zµ0 .
Rechtshändige Neutrinos haben keine Wechselwirkung, da auch
ihre schwache Ladung Y (νR ) = 0.
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
104
Die elektromagnetische WW wird identifizert durch die
Festlegung:
p
g 2 + g 02YL2
YL = −e
= −1 und YR = 2YL.
0
gg
Damit ist
p
g 2 + g 02 =
e
cos θW sin θW
gg 0
= g 0 cos θW = g sin θW
e=p
g 2 + g 02
02
2
g −g
p
2 g 2 + g 02
g 02
e
1
=
− + sin2 θW
cos θW sin θW
2
−p
g 2 + g 02
e
=
− sin2 θW
cos θW sin θW
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
105
und die neutrale Stromwechselwirkung erhält die Form:
g
ν eLγ µνeLZµ0
2 cos θW
e
1
− + sin2 θW eLγ µeL
cos θW sin θW
2
LN C = −
−
+ (− sin2 θW )eRγ µeR Zµ0
X
− e
(Qf ψ f γ µψf )Aµ
f
Allgemein gilt:
LN C = −
·
e
·
cos
θ
sin
θ
W
XW
[(If3L,R − Qf L,R sin2 θW )ψ f L,R γ µψf L,R ]Zµ0
fR ,fL
− e
X
(Qf ψ f γ µψf )Aµ.
f
e
(If3 − Qf sin2 θW )
cos θW sin θW
ist die schwache neutrale Kopplung aller linksrechtshändigen Fermionzustände an das Z 0-Boson.
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
und
106
1.5.3 Die Starke Wechselwirkung:
Quantenchromodynamik (QCD)
SU(3)-Eichfeldtheorie der starken Wechselwirkung zwischen
Quarks mit 8 Ladungen (Generatoren) λa (a = 1, ..., 8):
[λa, λb] = 2if abcλc
mit den Strukturkonstanten fabc der SU (3)-Lie-Algebra.
Lokale Eichtransformation:
Ψq (x) −→
Ψ0q (x)
a
igs λ2 γ a (x)
= U (x)Ψq (x) = e
Ψq (x).
Lagrange-Funktion:
LQCD
1 a aµν X
= − Fµν F
Ψq (iγ µDµ − mq )Ψq
+
4
q
mit der kovarianten Ableitung (mit Dµ0 Ψ0 = U (DµΨ)):
λa a
Dµ = ∂µ + igs Gµ,
2
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
107
den 8 masselosen Eichbosonfeldern Gaµ(x) (a = 1, ..., 8)
a0
a
und den Feldtensoren (mit λaFµν
= U λaFµν
U †):
a
Fµν
= ∂ν Gaµ − ∂µGaν + gsf abcGbµGcν .
In der fundamentalen SU(3)-Darstellung bilden die Quarkfelder
Tripletts mit einer neuen inneren Quantenzahl “Farbe” oder
Colour (rot, grün, blau): Ψq = ψq · χC :








1
qr
0
0

 

 
 
χC =  qg  ; χr =  0  ; χg =  1  ; χb =  0  .
qb
0
0
1
Die Antiquarks befinden sich in der konjugierten fundamentalen
Darstellung und besitzen Antifarben
(r̄, ḡ, b̄).
g
r
J+
Einführung von Schiebeoperatoren in
V+
U+
den SU (3)C Farb-Tripletts:
b
IC±
=
VC± =
UC± =
1
(λ1 ± iλ2 ); (Transformation g ←→ r),
2
1
(λ4 ∓ iλ5 ); (Transformation r ←→ b),
2
1
(λ6 ± iλ7 ); (Transformation b ←→ g).
2
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
108
Ihre Funktion in Analogie zu τ ± für SU (2) ist offensichtlich mit
der 3-dim. Darstellung der λ-Matrizen (Gell-Mann-Matrizen):
λ1
λ4
λ6

0

=  1
0

0

=  0
1

0

=  0
0
λ3 =
λ8 =
1
0
0
0
0
0
0
0
1

r
1
1
√ 
3  0
0


0 −i
0
0



0
0  (g ←→ r)
0  ; λ2 =  i
0
0
0
0



1
0
0 −i



0  ; λ5 =  0
0
0  (r ←→ b)
0
i
0
0



0
0
0
0



0 −i  (b ←→ g)
1  ; λ7 =  0
0
0
i
0
r
g
1
0

 0 −1
0
0


b

0

0 
0
g
b

0
0

1
0 
0 −2
r̄
ḡ
b̄
(koppelt rr̄, −gḡ)
r̄
ḡ
b̄
(koppelt rr̄, gḡ, −2bb̄).
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
109
=⇒ Wechselwirkungsterm der QCD-Lagrangedichte:
a
µλ
LW W (SU (3)C ) = −gsΨγ
ΨGaµ = jcµ,a · Gaµ
2
"
erhaltener
Farbstrom
gs
µ +
µ −
= −√
Ψγ IC Ψ(gr̄)µ + Ψγ IC Ψ(rḡ)µ
2
+ Ψγ µVC+Ψ(r b̄)µ + Ψγ µVC−Ψ(br̄)µ
+ Ψγ µUC+Ψ(bḡ)µ + Ψγ µUC−Ψ(g b̄)µ
+
1
1
√ Ψγ µλ3ΨG3µ + √ Ψγ µλ8ΨG8µ
2
2
mit den 8 Gluonfeldern
#
Farbströme
g
r
1
gµ1 = (gr̄)µ = √ (G1µ − iG2µ), Antig1 =
g¯1 =
gluon
2
(gr̄)
(rḡ)
1
1
2
gµ2 = (rḡ)µ = √ (Gµ + iGµ) = g µ1,
2
+ t
J
1
gµ4 = (r b̄)µ = √ (G4µ + iG5µ),
2
analog zu
1
+
τ
gµ5 = (br̄)µ = √ (G4µ − iG5µ) = g µ4,
νe
e−
2
−
+
1
W
W
7
6
gµ6 = (bḡ)µ = √ (Gµ − iGµ ),
2
1
t
gµ7 = (g b̄)µ = √ (G6µ + iG7µ ) = g µ6,
2
r
r
1
3
Gluon gµ3 = √ (rr̄ − gḡ) = Gµ (farbneutral),
g3 , g8
2
=
ḡ
ḡ
1
8
Anti- g
µ8 = √ (rr̄ + gḡ − 2bb̄) = Gµ (farbneutral).
gluon
2
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
110
zu 8 erhaltenen Farbladungsoperatoren, die sich in der N 2 −
1=8-dim. adjungierten Darstellung befinden:
3C ⊗ 3C = 1C + 8C .
Gluonaustausch ändert die
Quantenzahlen der Quarks.
Farb-,
nicht
die
Flavour-
Keine colour-Singulett-Gluonen in SU (3)C mit det U = 1 (im
Gegensatz zu U (3)):
würden an farbneutrale Zustände, Mesonen und Baryonen,
koppeln und starke Kernkräfte mit langer Reichweite, wie
elektromagnetische Felder, hervorrufen.
“Farbige” Teilchen (Quarks und Gluonen) sind in farbneutralen
colour-Singulett-Zuständen (Mesonen q q̄ und Baryonen qqq)
gebunden und treten nicht als freie Zustände auf (ConfinementHypothese).
Beispiel:
1
π + = √ (ur d¯r̄ + ug d¯ḡ + ubd¯b̄).
3
(Farbsingulettzustand 1C aus der Darstellung
3C ⊗ 3C = 1C + 8C ).
Kernkräfte sind Van-der-Waalssche Restwechselwirkung zur
Farbwechselwirkung der Quarks und Gluonen.
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
111
Motivation der Farbquantenzahl:
1. Die neuen inneren Freiheitsgrade der SU (3)C Farbsymmetrie erlauben die Konstruktion einer antisymmetrischen Wellenfunktion für das Baryon ∆++ = (u ↑ u ↑ u ↑)
3+
P
mit J = 2 und L = 0:
1
χC (∆++) = √ εijk ui uj uk
6
(Farbsingulettzustand 1c aus der Darstellung
3C ⊗ 3C ⊗ 3C = 1C + 8C + 8C + 10C ).
2. Hadronischer
Vernichtung:
Wirkungsquerschnitt
+ −
R = σ(e e →
= NC ·
X
q(ECM >2mq )
X
in
e+e−-
der
q q̄)/σ(e+ e− → µ+µ−)
PSfrag
Q2q
e−
q(ECM >2mq )
e+
qr,g,b
γ
t
q̄r̄,ḡ,b̄
mit NC = 3 = Zahl der Farbfreiheitsgrade der Quarks im
Gegensatz zu Leptonen.
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
112
3. Γ(π 0 → γγ) ∼ NC2 .
π
0
γ
u, d
ū, d¯
π 0 = uū + dd¯
γ
4. Renormierbarkeit der GSW-Eichfeldtheorie der elektroschwachen Wechselwirkung:
Aufhebung divergenter Terme in höherer Ordnung
der Störungstheorie, bei denen 2 Vektorströme und
1 Axialvektorstrom koppeln (sog. Dreiecks-Anomalien),
zwischen Lepton- und Quark-Beiträgen, falls gilt:
u
νe
Wµ−
X
f
Qf (L − Dubletts) = 0.
e−
d
Wν+
e+
d¯
t
Zλ0
Dies ist möglich, wenn Lepton- und Quark-Dubletts der
schwachen WW in jeder Familie gepaart sind, d.h. gleiche
Anzahl, und die Quarks jeweils in 3 Farben auftreten:
X
f
Qf =
X
`
Q` + NC ·
X
q
1
Qq = 3 · (−1 + NC · ) = 0.
3
D.h. Verknüpfung zwischen Leptonen und Quarks und
zwischen den Eichtheorien der elektroschwachen und der
starken WW: SU (2)L und SU (3)C !
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
113
2.5 Ursprung der Massen der Elementarteilchen
• Nur ein masseloses Spin-1 Teilchen beobachtet: Photon
−→ U (1)Q-Eichsymmetrie.
• Die schwache Wechselwirkung ist kurzreichweitig.
=⇒ schwere Feldquanten.
• Explizite Massenterme für Eichbosonen (Proca-Gleichung)
verletzen die lokale Eichsymmetrie der Lagrange-Funktion,
explizite Massenterme für die Fermionen (Dirac-Gleichung)
brechen die globale SU (2)L-Eichsymmetrie.
• Die Eichsymmetrie ist aber verantwortlich und notwendig
für die Aufhebung von Divergenzen in jeder Ordnung
der Störungstheorie, d.h.
die Renormierbarkeit der
elektroschwachen Theorie (wie in der QED).
Ausweg:
Sog. spontane Brechung der Symmetrie des Grundzustands
(des Vakuums der Feldtheorie),
während die volle Eichsymmetrie der Lagrange-Funktion und
der Feldgleichungen erhalten bleibt:
SSB
SU (2)L ⊗ U (1)Y −→ U (1)Q
(“verborgene Eichsymmetrie”).
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
114
Motivation:
Konstruktion in Analogie zu
Phasenübergängen 2. Ordnung in der
Festkörperphysik: SSB unterhalb der
kritischen Temperatur.
spontane
Magnetisierung
M
1/Tc
1/T
Ordnungsparameter (z.B. Magnetisierung) nimmt spontan
und diskontinuierlich einen von Null verschiedenen Wert im
Grundzustand an.
In der Teilchenphysik:
Volle Symmetrie des Vakuums
wiederhergestellt bei hohen Energien,
d.h. Phasenübergänge mit spontaner Symmetriebrechung bei
Abkühlung des expandierenden frühen Universums.
(GinzburgIn
der
Theorie
der
Phasenübergänge
Landau-Theorie) entspricht der Ordnungsparameter einem
selbstwechselwirkenden skalaren Feld, das im Grundzustand
einen von Null verschiedenen Erwartungswert annimmt.
Goldstone-Theorem:
Für jeden Generator einer globalen kontinuierlichen Symmetrie
der Bewegungsgleichungen, die im Grundzustand gebrochen
ist, tritt ein masseloses skalares Teilchen (Goldstone-Boson)
auf.
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
115
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
116
Goldstone-Bosonen sind (wegen der Eichsymmetrie) energielose
Anregungen, die die durch die gebrochenen SymmetrieGeneratoren erreichbaren (ineinander transformierbaren)
Grundzustände verbinden (Quasiteilchenanregungen in der
Festkörperphysik, z.B. Phononen).
Als Elementarteilchen wurden sie nicht beobachtet.
Bei lokaler Eichsymmetrie transformieren die GoldstoneBosonen mittels Eichtransformationen zu den gebrochenen
Generatoren als longitundinale Polarisationsfreiheitsgrade der
Eichbosonen, die dadurch eine Masse erhalten (HiggsMechanismus).
Analogie zum Supraleiter im Magnetfeld:
Durch lokal eichinvariante, elektromagnetische Wechselwirkung
mit den Cooper-Paarkondensat im kohärenten supraleitenden
Grundzustand (Ordnungsparameterfeld) wird das Photonfeld
aus dem Supraleiter abgeschirmt und erhält eine effektive Masse
(endliche Reichweite, Eindringtiefe).
Die lokale U (1)-Phasensymmetrie (Teilchenzahlerhaltung) wird
im kohärenten Grundzustand gebrochen.
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
117
2.5.1 (Minimaler) Higgs-Mechanismus
im Standardmodell
Zusätzliches komplexes, skalares Feld, SU (2)L-Dublett,
+
Φ=
Φ
Φ0
!
Q
+1
0
I0
+ 12
− 12
Y = 2(Q − I 0)
+1
+1
mit schwacher und elektromagnetischer Wechselwirkung (4
Freiheitsgrade).
Erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung mit SU (2)L × U (1)Y eichinvarianter Lagrange-Dichte:
LSkalar = (DµΦ)†(D µΦ) − V (Φ†Φ) = T − V
mit
g0
g
~µ
Dµ = ∂µ · 1 + i Y Bµ · 1 + i ~τ · W
2
2
und dem Selbstwechselwirkungspotential (λ > 0):
V (Φ†Φ) = µ2(Φ†Φ) + λ(Φ†Φ)2.
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
118
|Φ| ist der Ordnungsparameter in Analogie zur GinzburgLandau-Theorie (freie Energie ersetzt Lagrangedichte).
Für µ2 < 0 ist der Grundzustand (kin. Energie T = 0, V =
Vmin. ) bei einem von Null verschiedenen
Betrag des Skalarfelds
√
(Vakuumerwartungswert |Φ0| = v/ 2):
∂V
= 2µ2|Φ0| + 4λ|Φ0|3 = 0.
∂|Φ|
=⇒ |Φ0| =
r
−µ2
v
=: √ .
2λ
2
Die Mannigfaltigkeit (Unterraum) im Φ-Raum, auf der V (Φ†Φ)
minimal wird, ist SU (2)L × U (1)Y -invariant.
Durch Auswahl eines der möglichen Grundzustände,
Φ0 =
0
√
v/ 2
!
,
wird die SU (2)L × U (1)Y -Symmetrie spontan gebrochen.
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
119
Eine U (1)Q-Phasensymmetrie des Vakuums, entsprechend der
Erhaltung der elektrische Ladung bleibt, wie beobachtet,
ungebrochen zurück:
SSB
SU (2)L ⊗ U (1)Y −→ U (1)Q.
Generatoren T, die den Grundzustand Φ0 invariant lassen:
eiT αΦ0 = Φ0 =⇒ T Φ0 = 0.
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
120
Für die gebrochenen SU (2)L × U (1)Y -Generatoren gilt:
τ1Φ0 =
τ2Φ0 =
τ3Φ0 =
Y Φ0 =
(τ3 − Y )
Φ0 =
2
0
1
1
0
0 −i
i
0
1
0
0 −1
1
0
0
1
0
0
0 −1
!
!
!
!
!
0
√v
2
0
√v
2
0
√v
2
0
√v
2
0
√v
2
!
!
!
!
!
√v
2
=
=
0
−i √v2
=
0
−
0
0
=
=
√v
2
√v
2
0
−
√v
2
!
!
!
!
!
6= 0;
6= 0;
6= 0;
6= 0;
6= 0;
während die elektrische Ladung erhalten bleibt:
1
QΦ0 = (τ3 + Y )Φ0 = 0.
2
(orthogonal zum Generator (τ3 − Y )/2, der dem Zµ0 -Eichfeld
entspricht).
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
121
Eine Parametrisierung von Feldanregungen
Grundzustand Φ0 (Quasiteilchenanregungen):
Φ(x) =
~
~
τ ζ(x)
i
e 2v
0
√
(v + H(x))/ 2
aus
dem
!
mit der reellen radialen Anregung H(x) (skalares HiggsBoson: massiv, gegen die Rückstellkraft des Potentials V )
und den reellen Winkelanregungen ζi(x) (i = 1, ..., 3), die die
verschiedenen Grundzustände verbinden.
Die masselosen Goldstone-Moden ζi werden von den
Eichbosonen “absorbiert”, die den gebrochenen Generatoren
entsprechen.
Dies geschieht durch die lokale SU (2)L-Eichtransformation:
~
Φ(x)
Lf (x)
Rf (x)
~ µ(x)
W
Bµ(x)
−→
−→
−→
−→
−→
~
τ ζ(x)
−i
0
2v Φ(x),
Φ (x) = e
L0f (x),
Rf (x),
~ µ0 (x),
W
Bµ(x)
(sog. “unitäre Eichung”).
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
122
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
123
Mit YΦ = +1 gilt danach:
!
0
1
~τ ~ 0
0
√
+
ig
B
1)
(DµΦ)0 = (∂µ1 + ig · W
(v
+
H)
µ
µ
2
1
2
!
!
10
20
0
(Wµ − iWµ )(v + H)
1
ig
√
√
=
+
0
2 ∂µ H
2 2
!
0
i
√
.
+
0
30
2 2 (g Bµ − gWµ )(v + H)
Einsetzen von Φ0(x) und (DµΦ)0 in LSkalar = T − V ergibt:
T
= (D µΦ)0†(DµΦ)0
g 2(v + H)2 10
1 µ
∂ H∂µH +
|Wµ − iWµ20|2
=
2
8
(v + H)2 0
|g Bµ − gWµ30|2
+
8
1 µ
g 2v2
=
∂ H∂µH +
(Wµ+W µ+ + Wµ−W µ−)
2
8
2 2
g v
0 0µ
Z
+
µZ
2
8 cos θW
"
#
2
g
1
2
+
0 0µ
µ−
+
(H + 2vH) Wµ W +
Z
Z
.
µ
4
2 cos2 θW
V
= µ2Φ†Φ + λ(Φ†Φ)2
λ
λ 4
µ2
2
4
2 2
3
(v + H) + (v + H) = −µ H + λvH + H .
=
2
4
4
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
124
Alle Wechselwirklungsterme werden genau so benötigt, damit
die elektroschwache Theorie störungstheoretisch berechenbar
(“renormierbar”) ist (durch Eichsymmetrie!).
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
125
mit (Wµ10 + iWµ20)(W 10µ − iW 20µ) ≡ 2Wµ+W −µ
= Wµ+W µ+ + Wµ−W µ−
und Rotation mit Weinberg-Winkel θW wie beim neutralen
Strom (Diagonalisierung der Massenmatrix der neutralen
Eichbosonen):
Zµ0
g 0Bµ − gWµ30
g
=
(g 0Bµ − gWµ30).
= p
cos θW
g 2 + g 02
1 µ
λ
2
∂ H∂µ H − MH
H 2 − λvH 3 − H 4
2
4
"
1
g2 2
0 0µ
Z
(H + 2vH) Wµ+W −µ +
Z
µ
2
4
2 cos θW
1
1 2
MW (Wµ+W µ+ + Wµ−W µ−) + MZ2 Zµ0 Z 0µ.
2
2
=⇒ LSkalar =
+
+
mit
Eichbosonen : MW
Higgsboson : MH
2
gv
gv
MW
=
; MZ =
=
;
2
2
cos
θ
cos
θ
W
W
r
p
2
2
−2µ =
v.
=
λ
2
und sin θW = 1 − cos θW
2
MW
=1− 2 .
MZ
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
126
2.5.2 Massen der Fermionen
Eichinvariante Kopplung der links- und rechtshändigen
Fermionen an das Skalarfeld Φ(x):
"
#
X
∗
T
Yukawa
gf Lf Φ ψf R + ψ f R Φ Lf
LW W = −
f (up)
−
X
gf
f (down)
"
#
Lf Φ ψf R + ψ f R Φ†Lf
(Yukawa-Kopplung vom Typ −g(ψψ)φ zuerst für NukleonPion-Kernwechselwirkung eingeführt.)
mit dem SU (2)L-Dublett (YΦ = 2(Q − I 0) = −1 = −YΦ):
0
Φ := iτ2 Φ∗ =
Φ
−Φ−
Wegen der speziellen
daß τ2~τ ∗ = −~τ τ2,
Eichtransformationen:
!
√ !
(v + H)/ 2
.
0
SSB
−→
Eigenschaft der SU (2)-Gruppe,
gilt unter SU (2)L × U (1)Y -
Φ = iτ2Φ∗ −→ (iτ2 Φ∗)0 = iτ2(U Φ)∗
=
∗
~ −i YΦ α ∗
−i ~τ2 ·β
iτ2e
e 2 Φ
=
~ i Φα
i ~τ2 ·β
e
e 2 (iτ2 Φ∗)
Y
= U Φ.
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
127
=⇒ SU (2)L-Invarianz von LYukawa
:
WW
(LΦ)ψR −→ (LU †U Φ)ψR = (LΦ)ψR,
ψ R (Φ†L) −→ ψ R (Φ†U †U L) = ψR(Φ†L).
(und ebenso für die ‘up’-Terme mit Φ),
wobei
L −→ U L, L −→ LU †, ψR −→ ψR , Φ −→ U Φ und
Φ −→ U Φ.
U (1)Y -Invarianz von LYukawa
:
WW
durch Aufhebung der Phasenfaktoren der L-und R-Fermionen
und des Skalarfelds wegen
YL + YΦ + YR = +1 − 1 + 0 = 0 (up − Leptonen)
YL + YΦ + YR = +1 + 1 − 2 = 0 (down − Leptonen).
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
128
Einsetzen von Φ0(x) ergibt:
v+H
gf √
ψ f Lψf R + ψ f R ψf L
2
f
X gf
X gf v
√ ψ f ψf −
√ (ψ f ψf )H.
≡ −
2
2
f
f
= −
LYukawa
WW
v
X
Kopplung an
konst. Quelle
Higgs-Fermion-WW
Damit Dirac-Massenterm mit
H
gf v
mf = √
2
und Yukawa-Kopplung der Fermionen an das Higgsfeld H
mf
gf
√ =
∼ mf .
v
2
Damit H → f f¯ bevorzugt in schwerste Fermionen mit 2mf ≤
MH .
Beachte: für Quarks gilt:
Massen- (und flavour-)
Eigenzustände von SU (2)L.
Eigenzustände
6=
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
schwache
129
1.6.3 Schwache Wechselwirkung und
Massen der Quarks
Experimentelle Beobachtung (schwache Zerfälle von K-, D-,
B-Mesonen mit s-, c-, b-Quarks): (Generationenmischung)
Die Masseneigenzustände der Quarks (Massenoperator
diagonal; feste Massen) sind verschieden von den schwachen
Eigenzuständen der Quarks, den linkshändigen SU (2)Dubletts und den rechtshändigen SU (2)-Singuletts (schwache
Ladungsoperatoren, SU (2)-Generatoren diagonal; feste
schwache Ladungen).
Deshalb ist der Quark-Massenterm in der elektroschwachen
Lagrange-Funktion nach der spontanen Symmetriebrechung
statt
X gq v
√ (ψ qLψqR + ψ qR ψqL)
LMasse = −
2
q
X gq v
X
√ ψ q ψq = −
≡ −
mq ψ q ψq
2
q
q
(vereinfacht durch Annahme einer diagonalen Massenmatrix)
allgemeiner von der Form
hermitesch konjugiert
v X
∗
LMasse = − √
Γij uiLujR + ΓjiujRuiL
2 i,j
∗
+ Γij diLdjR + ΓjidjRdiL
X (u)
(u)∗
Mij uiLujR + Mji ujRuiL
= −
i,j
+
(d)
Mij diLdjR
+
(d)∗
Mji djRdiL
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130
mit den allgemeinen komplexen Massenmatrizen
v
v
(d)
(u)
Mij = Γij √ und Mij = Γij √
2
2
Oder mit der Definition für die up (u)- und down (d)-artigen
Quark-Eigenzustände des schwachen Isospins








d
D1
u
U1
  

 


D =  D2  =  s  und U =  U2  =  c 
D3
b
U3
t
in Matrixschreibweise:
(d)
LQuarks
DR − DR M (d)†DL
Masse = − D L M
− U LM (u)UR − U RM (u)†UL.
(Es gilt L† = L wie verlangt fuer eine Observable.)
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131
Die separaten Massenmatrizen für up- und down-artige
Quarks lassen sich diagonalisieren durch separate unitäre
Transformationen jeweils für die links- und die rechtshändigen
Quark-Zustände:
Un,d
Vn,d
(d)
(u)
Ud†M (d) Vd = Mdiag.; Uu†M (u)Vu = Mdiag.;
(d)∗
Vd†M (d)†Ud = (Ud†M (d)Vd )† = Mdiag.;
(u)∗
Vu†M (u)†Uu = (Uu†M (u)Vu)† = Mdiag.;
mit
0
DL
= Ud†DL; UL0 = Uu†UL;
0
DR
= Vd†DR; UR0 = Vu†UR.
⇒ LQuarks
Masse =
z =1
}| {
z =1
}| {
z =1
}| {
z =1
}| {
− D L UdUd† M (d) VdVd† DR − D R VdVd† M (d)† UdUd† DL
− U LUu Uu†M (u)Vu Vu†UR − U R Vu Vu†M (u)†Uu Uu†UL
| {z }
|
{z
}
0
0
(d)
(d)∗ 0
0
− D RMdiag.DL
= −D LMdiag.DR
=
0
(u)
0
(d)
Mdiag.D 0
0
(u)∗
−U LMdiag.UR0 − U RMdiag.UL0
−D
0
(u)
− U Mdiag.U 0. mit ψ̄ψ = ψ¯L ψR + ψ¯R ψL
Die letzte Zeile gilt nach einer U (1)-Phasentransformation der
Quarkfelder, so daß die Masseneigenwerte reell werden.
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132
Die Lagrange-Funktion für die schwache geladene
Stromwechselwirkung der Quarks läßt sich folgendermaßen
durch die Masseneigenzustände ausdrücken:
=
=
=
≡
≡
CC: up down
=
LQuarks
CC
U D
g µ+ −
µ−
+
− √ [jCC Wµ + jCC Wµ ]
2
3
i
g Xh
−√
(U Li γ µDLi)Wµ− + (D Liγ µULi)Wµ+
2 i=1
i diagonal für
g h
µ
−
µ
+
− √ (U Lγ 1DL)Wµ + (DLγ 1UL)Wµ schwache EZ
2h
U,D i
g
0
0
0
− √ (U LUu†γ µUdDL
)Wµ− + (DLUd†γ µUuUL0 )Wµ+
2h
g
0 µ
0
− √ (U Lγ VCKM DL
) Wµ−
nichtdiagonal für
{z
}
2 |
Massen-EZ
µ+
=jCC
U’, D’
i
0
†
+ (D LVCKM γ µUL0 ) Wµ+
|
{z
}
µ−
=jCC
mit der unitären Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM)-Matrix
VCKM = Uu†Ud.
†
−1
= Ud† Uu
VCKM
VCKM
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133
1.7 Mischung der Quark-Flavours
Die “Quark-Mischungsmatrix” VCKM führt zu geladenen
schwachen Übergängen zwischen den Quarkgenerationen,
definiert als die Masseneigenzustände der Quarks, die an
die elektromagnetische und starke Wechselwirkung koppeln,
und gibt verschiedene Gewichte für die Wahrscheinlichkeit der
schwachen CC-Übergänge zwischen den up- und down-artigen
Masseneigenzuständen der Quarks:







u
dC
Vud Vus Vub
d



 
 
 c  ←→  sC  =  Vcd Vcs Vcb   s  .
bC
t
Vtd Vts Vtb
b
Z.B.: u ←→ dC = Vudd + Vus s + Vub b.
Die Elemente der CKM-Matrix werden vom Standardmodell
nicht vorhergesagt, sondern müssen experimentell bestimmt
werden. Dies ist ein aktiver Forschungszweig, insbesondere für
die Übergänge mit schweren Quarks (c, b, t).
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134
Zahl der unabhängigen Parameter der CKM-Matrix:
Für n = 2 Generationen:
Bis zur Entdeckung des bottom-Quarks.
Reelle orthogonale 2 × 2 Matrix mit 1 reellen Parameter, keine
komplexe Phase:
!
cos θc sin θc
.
Cabibbo − Matrix : V =
− sin θc cos θc
θc ist der Cabibbo-Winkel mit sin θc ≈ 0.23 und cos θc ≈ 0.95.
Für n = 3 Generationen:
CKM-Matrix mit 3 reellen Parametern und 1 komplexen Phase:
V ∗ 6= V (möglich nur für ≥ 3 Generationen):


−iδ

1
0
0
c13
0 s13e
c12



c23 s23 
0
1
0
 0
 −s12
0 −s23 c23
−s13eiδ 0
c13
0

c12c13
s12c13

= −s12c23 − c12s23s13eiδ c12c23 − s12s23s13eiδ
s12s23 − c12c23s13eiδ −s23c12 − s12c23s13eiδ

s12 0

c12 0 
0 1

−iδ
s13e

s23c13 
c23c13
Mit den 3 Mischungswinkeln θij (i, j = 1, 2, 3; i > j),
cij = cos θij > 0, sij = sin θij > 0, und dem Phasenfaktor eiδ .
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135
Allgemeine Herleitung:
Komplexe n × n-Matrix: 2n2 Parameter.
Unitäre Matrix mit n2 Nebenbedingungen (V †V = 1): n2
Parameter.
Davon sind n(n − 1)/2 Parameter reell; die übrigen n2 − n(n −
1)/2 = n(n + 1)/2 Parameter sind komplexe Phasenfaktoren.
Denn eine reelle unitäre Matrix (orthogonale Matrix) mit n +
n(n − 1)/2 Nebenbedingungen (V T V = 1) hat n2 − n − n(n −
1)/2 = n(n − 1)/2 unabhängige reelle Parameter.
n Phasenfaktoren können in den n U -Feldern durch
Neudefinition ihrer Phase absorbiert werden (aus der 1. Spalte
der Mischungsmatrix):
(u)
−iαj
ULj −→ e
ULj (j = 1, ..., n).
n − 1 weitere Phasenfaktoren können aus der 1. Reihe der
Mischungsmatrix in den n − 1 D-Feldern absorbiert werden:
(d)
−iαj
DLj −→ e
DLj (j = 2, ..., n),
d.h. insgesamt werden 2n − 1 Phasenfaktoren eliminiert.
Danach bleiben n(n + 1)/2 − (2n − 1) = (n − 1)(n − 2)/2
unabhängige Phasenfaktoren übrig.
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136
Die aktuellen Meßwerte für die CKM-Matrixelemente sind:
|Vud| = 0.9736 ± 0.0010
|Vus | = 0.2205 ± 0.0018
aus nuklearem β- und µ-Zerfall
aus semilept. Kaon-Zerfällen
K → πeνe
aus semileptonischen Zerfällen
B → Xu`ν`
|Vub| = (3.6 ± 0.5) · 10−3
|Vcd| = 0.224 ± 0.016
|Vcs| = 1.01
charm-Quark-Produktionsrate
in ν(ν̄)-Kern-Streuung
semileptonische charm-Quark
Zerfälle D → Keνe (c → s)
aus semilept. B-Mesonzerfällen
± 0.18
|Vcb| = 0.040 ± 0.002
|Vtd| = 0.009 ± 0.002
|Vtd| < 0.009 (95% C.L.)
von
von
|Vtd/Vts| < 0.29 (95 % C.L.)
|Vtd/Vts| < 0.56 (90 % C.L.)
|Vts/Vcb | = 1.1 ± 0.4
|Vtb| > 0.016 (95 % C.L.)
Semileptonische
Zerfälle:
n→peν
νN → cc̄ + X




B0d B¯d0 -Oszillationen
0 0
Bd B d-Mischung
0 0
Bs B s -Mischung
0
0
Bd0B d- und Bs0B s -Mischung
von
von b → sγ Zerfällen
von b → sγ Zerfállen
aus top-Quark-Zerfällen
t → W +b
K→ πeν
D→Keν

b→ulν
Vud Vus Vub
(B→ ρlν, ωlν, ...)
 b→clν
Vcd Vcs Vcb 
 (B→D(∗) lν, ...)
Vtd Vts Vtb
b→sγ
t→Wb
lν
B0s B̄s0 − Oszillationen
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137
Die Hierarchie der Übergangswahrscheinlichkeiten und
der Quarkmassen läßt eine Erklärung durch eine dem
Standardmodell übergeordnete Theorie erwarten.
λ2
12
≈1
mc ≈ 1, 6 GeV
3
2
λ
u λ
λ c λ
t
d
s
mt = 174 GeV
1
≈1
λ2
b
mb = 5 GeV
Die näherungsweise Wolfenstein-Parametrisierung macht die
Rangordnung der Übergänge zwischen den Quark-Generationen
(Massen/flavour-Eigenzustände) deutlich:


VCKM =

2
1 − λ2
λ
λ2
2
2
−λ
1−
Aλ3(1 − ρ − iη) −Aλ
Aλ3(ρ − iη)
2
Aλ
1


+O(λ4),

bei der die Matrixelemente nach dem kleinen Parameter λ
entwickelt werden.
Die 4 Wolfenstein-Parameter haben die gemessenen Werte:
λ ≡ s12 = 0.2205 ± 0.0018,
A ≡ s23/λ2 = 0.82 ± 0.06,
p
ρ2 + η 2 ≡ |Vub |/Aλ3 = 0.36 ± 0.09.
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138
Eine komplexe CKM-Matrix ermöglicht eine Beschreibung der
beobachteten schwachen Verletzung der CP-Symmetrie im
Rahmen des Standardmodells (mit 6 Quarks in 3 Generationen),
hervorgerufen wiederum durch die schwache Wechselwirkung
und mit Ursprung in der Fermion-Higgs-Boson-Kopplung bzw.
der Quark-Massenmatrix:
Vorschlag von Kobayahi und Maskawa 1973 noch vor der
Entdeckung der dritten Fermion-Generation (τ -Lepton 1975,
bottom-Quark 1977, top-Quark 1994) und vor der Entdeckung
des charm-Quarks 1974.
Denn mit
µ+
jCC
µ−
jCC
CP
T
= U Lγ µVCKM DL −→ −D LVCKM
γ µ UL ;
CP
†
∗
γ µUL −→ −U Lγ µVCKM
DL ;
= D LVCKM
und
CP
Wµ± −→ −Wµ∓.
verhält sich LQuarks
unter CP-Transformationen wie
CC
†
γ µUL)Wµ+
(U Lγ µVCKM DL)Wµ− + (DLVCKM
CP
T
∗
−→ (DLVCKM
γ µUL)Wµ+ + (U Lγ µVCKM
DL)Wµ−,
d.h. LQuarks
ist nur CP-invariant, wenn V ∗ = V .
CC
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139
1.7.1 Neutrale Ströme der Quarks
LN C
i
h
e
µ
µ
Aµ−
sin2 θW Zµ
= −ejel.magn.
j µ3−jel.magn.
sin θW cos θW
mit dem elektromagnetischen Strom
µ
= Qu(U γ µU ) + Qd(Dγ µD)
jel.magn.
0 µ
0
0 µ
= Qu(U γ U ) + Qd(D γ D 0)
und dem Strom der dritten Komponente des schwachen Isospins
j µ3 = Iu3(U γ µU ) + Id3(Dγ µD)
1
1
=
(U γ µU ) − (Dγ µD)
2
2
1 0 µ 0
1 0 µ 0
(U γ U ) − (D γ D ).
=
2
2
Die neutralen Ströme bleiben flavour-erhaltend für die
Masseneigenzustände U 0, D 0 wie für die schwachen
Eigenzustände U , D wegen der Unitarität der Transformation,
†
†
Uu,d
Uu,d = 1; Vu,d
Vu,d = 1,
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
140
so daß z.B. gilt
U γµU
= U LγµUL + U RγµUR
0
0
= U LUu†γµUuUL0 + U R Vu†γµVuUR0
=
0
U LγµUL0
+
0
U RγµUR0
0
= U γµU 0.
=⇒ Keine CP-Verletzung in der schwachen neutralen und der
elektromagnetischen WW.
Die kinetischen Terme bleiben ebenfalls unverändert.
=⇒ Keine flavour-ändernden Prozesse mit neutralen Strömen
(FCNC-Prozesse) in 1. Ordnung im Standardmodell.
Unterdrückung von FCNC-Prozessen auch in höherer Ordnung
der schwachen WW: durch den
“GIM-Mechanismus” (Glashow, Illiopoulos, Maiani).
Experimentell sind FCNC-Prozesse sehr klein, z.B. ist das
Verzweigungsverhältnis
0
+ −
Γ(K
→
µ
µ )
+ −
0
L
≈ 9 · 10−7 %
BR(KL → µ µ ) =
tot
ΓK 0
L
während BR(K + → µ+νµ) = 63.5% (typischer schwacher
CC-Zerfall).
(NB: Schwacher Zerfall in Myonpaar bevorzugt gegenüber
Zerfall in Elektronpaar wegen Drehimpulserhaltung und
Paritätsverletzung!)
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
141
In 2. Ordnung der schwachen Wechselwirkung ist der Prozeß
für den Zerfall KL0 → µ+µ−:
d
KL0
s̄
cos θcW−
µ−
g
g
u
νµ
g
g
µ+
sin θc W+
≈λ
⇒ Mn
d − sin θcW−
µ−
g
g
νµ
KL0 u
g
g
s̄ cos θc W+
µ+
≈λ
⇒ Mc
Gegenseitige Aufhebung der Amplituden für up- und charmQuark-Austausch wegen der Unitariät der CKM-Matrix
(Orthogonalität der Cabibbo-Matrix für 2 Generationen):
Mu ∼
g 4 sin θC cos θC ;
Mc ∼ −g 4 sin θC cos θC ;
Details abhängig vom Wert der charm-Quark-Masse mc mu.
=⇒ Vorhersage für die Masse des charm-Quarks: > 1 GeV.
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
142
Konsequenzen der Quark-Flavour-Mischung in der schwachen
Wechselwirkung:
1. Quark-Flavour-Oszillationen.
2. Verletzung der CP-Symmetrie.
PD Dr. H. Kroha: Physik des Standardmodells der Elementarteilchen, WS 2003/04
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