Mathematische Methoden 12.¨Ubung

Institut für Theoretische Physik
der Universität zu Köln
http://www.thp.uni-koeln.de/~berg/so11/
http://www.thp.uni-koeln.de/~af/
Johannes Berg
Andrej Fischer
Mathematische Methoden
12. Übung
Sommersemester 2011
Abgabe:
Montag, 4. Juli 2011
Besprechung:
Donnerstag, 7. Juli 2011
1. Komplexe Wurzeln und Additionstheoreme (7+3 Punkte)
a) (3 Punkte) Ein großer Vorteil der komplexen Zahlen ist die Lösbarkeit algebraischer
Gleichungen wie z.B. z 2 + 1 = 0 mit z = ±i. Nehmen wir nun die Gleichung
z n = 1,
k∈N
und bezeichnen mit {ωk }k=1,...,n die n Lösungen (auch die n-ten Einheitswurzeln genannt). Bestimmen Sie die Polarkoordinaten (rk , φk ) der Wurzeln ωk = rk ei φk ? Zeichnen Sie für n = 2, 3, 4, 5 die Einheitswurzeln in der komplexen Zahlenebene.
b) (2 Punkte) Was sind die n Lösungen der Gleichung z n = a := r ei φ ?
c) (3 Bonus-Punkte) Bestimmen Sie die beiden komplexen Lösungen der quadratischen
Gleichung (Tipp: quadratische Ergänzung)
z2 + a z + b = 0
Zeichnen Sie die Lösungen für a = 2 und b = 10 in der komplexen Zahlenebene.
d) (2 Punkte) Benutzen Sie die Eulersche Relation ei φ = cos φ + i sin φ, um die folgenden
Additionstheoreme zu beweisen:
(i) sin(α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α
(ii) cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
2. Taylorentwicklung I (9+3 Punkte)
Berechnen Sie für folgende reelle Funktionen die Taylorentwicklung um x0 = 0 bis
zur zweiten
Ordnung, also f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) + 21 f 00 (x0 ) (x − x0 )2 + O (x − x0 )3 .
p
√
1
2
(a) 1 + x
(b) 1 + x2
(c) ln(1 + x)
(d) ex +x
(e)
(f) arcsin x
1−x
(
exp(−1/x2 ), x 6= 0
(g) Bonus-Aufgabe: Bestimmen Sie die Taylorentwicklung von f (x) =
0,
x=0
um x0 = 0 und um x0 = 1. Wie groß ist der Konvergenzradius jeweils?
1
3. Taylorentwicklung II (6 Bonus-Punkte)
Die höherdimensionale Verallgemeinerung der Taylorentwicklung einer Funktion f : Rn → R um
den Punkt ~x0 lautet:
!
k
∞
∞ Y
n
X
X
(~x − ~x0 )j j
∂ (k1 )
∂ (kn ) f (~x) =
...
(1)
···
f (~x)
kj !
∂x1
∂xn k1 =0
kn =0 j=1
~
x0
1
= f (~x0 ) + (~x − ~x0 ) · ∇f (~x0 ) + 2 (~x − ~x0 ) · ( Hf (~x0 ) (~x − ~x0 )) + O k~x − ~x0 k3
Im Term erster Ordnung taucht im Skalarprodukt der Gradient ∇f (~x0 ) auf, im Term zweiter Ordnung die symmetrische Matrix zweiter Ableitungen, die sog. Hesse-Matrix Hf (~x0 ), mit
(Hf )ij = ∂xi ∂xj f . Berechnen Sie für folgende Funktionen die Taylorentwicklung um den Nullpunkt bis zur zweiten Ordnung.
2
(a) e−(x+y)
(b) √
1
1 + xy
(c) ex ln(1 + y)
4. Gewöhnliche Differentialgleichungen (9 Punkte)
a) (6 Punkte) Der Separationsansatz ist eine Lösungsmethode für elementar integrierbare
gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) der Form
Z
d x(t)
= g(t) h(x(t)), x(t0 ) = x0
dt
x(t)
⇒
x0
dx
=
h(x)
Z
t
g(t0 ) dt0
(2)
t0
dx
(Der Name beruht auf der Eselsbrücke dx
dt = g(t) h(x) ⇒ h(x) = g(t) dt, die jedoch
ohne Integration mathematisch nicht korrekt ist.) Bestimmen Sie mit dieser Methode
Lösungen der folgenden DGL.
d N (t)
dt
= −γN (t), N (0) = N0 , γ > 0
(ii) Beschränktes Wachstum: d Ndt(t) = β N (t) 1 − NK(t) , N (0) = N0 , β, K > 0
(i) Zerfallsgesetz:
(iii) Standard Atmosphärenformel:
d p(x)
dx
= −α Tp(x)
(x) , T (x) = T0 − b x, p(x0 ) = p0
b) (3 Punkte) Mit der Methode der Variation der Konstanten lassen sich Lösungen bestimmen zu gewöhnlichen linearen inhomogenen DGL der Form
d x(t)
= g(t) x(t) + b(t)
dt
(3)
Dazu bestimmt man zuerst die allgemeine
Lösung xh (t) der homogenen DGL mit b ≡ 0.
R t 0 0
Dies ergibt x(t) = C exp
g(t ) dt . Dann setzt man als spezielle Lösung xs (t) der
R
t
inhomogenen DGL an xs (t) = C(t) exp
g(t0 ) dt0 . Schließlich löst man die DGL
für C(t), die durch Einsetzen des Ansatzes in die ursprüngliche DGL resultiert, wobei
Integrationskonstanten vernachlässigt werden. Insgesamt ist die allgemeine Lösung der
inhomogenen DGL dann die Summe x(t) = xh (t) + xs (t). Lösen sie mit dieser Methode
das Anfangswertproblem:
d N (t)
= −γ N (t) + t e−γ t , N (0) = N0
dt
2