Mathematik - Schulbuchzentrum Online

Dr. Claus-Günter Frank
unter Mitarbeit von Johannes Schornstein
Mathematik
Jahrgangsstufe 1
Berufliche Gymnasien
Analysis
Bestellnummer 33520
Bildungsverlag EINS
www.bildungsverlag1.de
Gehlen, Kieser und Stam sind unter dem Dach des Bildungsverlages EINS zusammengeführt.
Bildungsverlag EINS
Sieglarer Straße 2, 53842 Troisdorf
ISBN 3-427-33520-8
© Copyright 2005: Bildungsverlag EINS GmbH, Troisdorf
Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages.
Hinweis zu § 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung
eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und
sonstigen Bildungseinrichtungen.
3
Vorwort
Vorwort
Die Oberstufe der beruflichen Gymnasien in Baden-Württemberg wurde in den
letzten Jahren grundlegend umgestaltet. Grund- und Leistungskurse sind entfallen,
jede Schülerin und jeder Schüler muss nunmehr einen vierstündigen MathematikKurs besuchen. Da außerdem die Mathematik-Bildungspläne aller beruflichen
Gymnasien angeglichen wurden, war es erforderlich, das Lehrbuch „Analysis für
Wirtschaftsgymnasien“ (03226) vollständig zu überarbeiten. Der hier vorliegende
Band „Mathematik für die Jahrgangsstufe 1“ kann an allen beruflichen Gymnasien
eingesetzt werden.
Eine weitere wesentliche Änderung ist die Zulassung des grafikfähigen Taschenrechners (GTR) als allgemeines Werkzeug. Ihm werden in diesem Buch vier Aufgabenbereiche zugewiesen:
• Als Kontrolleur bei Aufgaben, die der Schüler von Hand (händisch) lösen soll.
Der Schüler kann nun sehr oft selbstständig beurteilen, ob seine Lösung richtig ist
oder nicht.
• Als Rechner, der manche umfangreiche und schwierige Rechenarbeit übernimmt
und so die Bearbeitung weiterer interessanter Aufgaben ermöglicht.
• Als Visualisierer, da er Abbildungen, die bisher vorgegeben werden mussten, erstellen und verändern kann.
• Als Ideengeber, da der Schüler experimentieren kann, bis ihm die richtige Idee
kommt.
Wir haben uns auf ein Modell, den TI-83 plus, beschränkt, weil dieser nach unseren
Beobachtungen an den meisten beruflichen Gymnasien eingeführt ist. Allerdings haben wir bewusst darauf verzichtet, die Bedienung des Rechners in den Vordergrund
zu stellen. Deshalb können alle Aufgaben und Beispiele auch mit anderen Modellen
bearbeitet werden.
Unser Ziel ist es, den Schülern zu vermitteln, das Werkzeug GTR vernünftig einzusetzen: Wann sollte etwas von Hand gerechnet und wann dem Rechner überlassen
werden, wann können sie den Rechenergebnissen vertrauen und wann nicht.
Wir empfehlen dringend, sich mit der Programmierung des GTR zu beschäftigen.
Sein Nutzen wird dadurch stark erhöht. Einige Beispiele und Anregungen finden
sich im Buch.
Bewährte Aufgaben wurden übernommen, aber so geändert und ergänzt, dass sie
den Anforderungen des neuen Bildungsplans entsprechen. Mit * gekennzeichnete
Aufgaben stellen erhöhte Anforderungen an den Bearbeiter. Eine Vielzahl neuer
Aufgaben, vorzugsweise Aufgaben, die eigenverantwortliches Arbeiten verlangen,
wurde hinzugefügt.
Aufgaben, die die Verwendung des GTR erfordern, erkennt man häufig an der Formulierung „bestimmen Sie näherungsweise“ oder „bestimmen Sie mit dem GTR“.
Neben dem früher dominierenden Begriff der Tangente wurde die Änderungsrate
als zweiter zentraler Begriff gleichberechtigt gestellt. Das ermöglicht die Aufnahme
realitätsnaher Probleme und führt zu einem umfassenderen Verständnis des Ableitungsbegriffes.
Für Anregungen und Korrekturen sind wir dankbar und werden sie gerne in der
nächsten Auflage berücksichtigen (Rückmeldungen bitte unter [email protected]).
Frühjahr 2005
Die Verfasser
4
Mathematische Zeichen und Abkürzungen
Mathematische Zeichen und Abkürzungen
Zeichen und Begriffe der Mengenlehre
A ⫽ {0; 1; 2; 3}
A ⫽ {x | x 僆 ⺞ ∧ x ⬍ 4}
2僆A
4僆A
{}
D
W
L
⺞ ⫽ {0; 1; 2; …}
⺪ ⫽ {…; ⫺2; ⫺1; 0; 1; 2; …}
⺡
⺢
⺞*, ⺪*, ⺡*, ⺢*
⺪⫹, ⺡⫹ , ⺢⫹
⺪*⫹, ⺡*⫹, ⺢*⫹
⺪*⫺, ⺡*⫺, ⺢*⫺
Aufzählende Form einer endlichen Menge: Menge A wird
gebildet aus den Elementen 0, 1, 2, 3.
Beschreibende Form einer endlichen Menge: A ist die Menge
aller x, für die gilt: x ist eine natürliche Zahl und x ist kleiner
als 4.
2 ist Element von A.
4 ist kein Element von A.
Leere Menge; sie enthält kein Element.
Definitionsbereich, Definitionsmenge
Wertebereich, Wertemenge
Lösungsmenge
Menge der natürlichen Zahlen (einschließlich der Null)
Menge der ganzen Zahlen
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
Mengen ⺞, ⺪, ⺡, ⺢ ohne die Null
positive Zahlen der Mengen ⺪, ⺡, ⺢ (einschließlich der Null)
positive Zahlen der Mengen ⺪, ⺡, ⺢ (ohne die Null)
negative Zahlen der Mengen ⺪, ⺡, ⺢ (ohne die Null)
Logische Zeichen
a∧b
a∨b
¬ a (oder ā)
a und b (Konjunktion)
a oder b (Disjunktion)
nicht a (Negation)
a⇒b
a⇔b
wenn a, dann b (Implikation)
a äquivalent (gleichwertig) b (Äquivalenz)
Sonstige Zeichen
|a|
f: x 哫 f (x)
f (x)
Betrag von a. | a | ist diejenige der beiden reellen Zahlen a und
⫺a, die nicht negativ ist.
Funktion: x abgebildet auf f von x
(abgekürzte Sprechweise: x Pfeil f von x)
Funktionsterm, Funktionswert von x
Zeichen aus der Differenzial- und Integralrechnung
lim
Limes: Grenzwert
f⬘(x)
f (x0 ⫹ h) ⫺ f (x0)
h
Vorschrift der Ableitungsfunktion (kurz: Ableitung); wertgleich dem Differenzialquotienten
höhere Ableitungen
(z. B. f (a) ⫽ lim f (a ⫹ h) oder lim
h씮0
f ⬙ (x), f ⵮ (x), f (4) (x), …, f (n) (x)
b
f (x) d x
a
h씮0
bestimmtes Integral zwischen der unteren Grenze a und der
oberen Grenze b (kurz: Integral von a bis b)
Inhaltsverzeichnis
1
Grenzwerte (J. Schornstein)
2
Ableitungs- und Stammfunktionen
2.1
2.1.1
2.1.2
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.6.1
2.6.2
2.7
2.7.1
2.7.2
2.7.3
2.7.4
2.8
Differenzen- und Differenzialquotient . . . . . . . . . .
Interpretation als Änderungsrate . . . . . . . . . . . . . .
Interpretation als Steigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitung der ganzrationalen Funktion . . . . . . . . .
Differenzierbarkeit (J. Schornstein) . . . . . . . . . . . .
Stammfunktionen und höhere Ableitungsfunktionen
Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Höhere Ableitungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitung verketteter Funktionen (J. Schornstein) . .
Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . .
Das Newton’sche Näherungsverfahren . . . . . . . . . .
3
Kurvendiskussion
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.5.1
3.5.2
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
Monotonie und Ableitungsfunktion . . .
Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kriterien für relative Extrema . . . . . . . .
Wendestellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionenscharen . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gemeinsame Punkte von Scharen . . . . .
Ortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine vollständige Kurvendiskussion . . .
Bestimmung von Funktionsvorschriften
Extremwertprobleme . . . . . . . . . . . . .
Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Das bestimmte Integral
4.1
4.1.1
4.1.2
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.7.1
Flächeninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Flächenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Änderungsrate und der Bestand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Rechteckverfahren: Flächeninhaltsberechnungen mit dem Grenzwert
Die Integralfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . .
Eigenschaften des bestimmten Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flächenberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Sehnen-Trapez-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..................................
........................
12
12
19
24
27
36
44
50
50
52
57
57
59
63
67
72
........................................
76
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109
109
113
116
120
125
135
145
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152
153
160
170
181
187
192
199
199
6
Inhaltsverzeichnis
4.7.2
4.8
4.8.1
4.8.2
Die Regel von Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weitere Anwendungen des bestimmten Integrals . . . . . . . . . . . . .
Das Volumen von Rotationskörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften und in der Physik
5
Exponentialfunktionen (J. Schornstein)
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.7.1
5.7.2
5.7.3
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitungs- und Stammfunktion der Exponentialfunktion zur Basis e . . .
Ableitungs- und Stammfunktion der Exponentialfunktion mit allgemeiner
Basis a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine vollständige Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Logarithmusfunktion zur Basis e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die ln-Funktion als Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Stammfunktion der ln-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Trigonometrische Funktionen
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen
Die Integration der trigonometrischen Funktionen
Eine vollständige Kurvendiskussion . . . . . . . . . . .
Prüfungsaufgaben
....
....
....
...
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202
205
205
207
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
. . 215
. . 216
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221
223
225
227
229
229
231
232
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
...
...
..
...
...
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236
238
241
246
248
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
1
Grenzwerte
(Johannes Schornstein)
In der Eingangsklasse haben wir bei der Nullstellensuche mit dem Sägezahnverfahren die Begriffe der Konvergenz und der Divergenz veranschaulicht.
Kurze Wiederholung des Sägezahnverfahrens
Wenn wir z. B. die Nullstelle in der Nähe von
0,25 der Funktion f mit f(x) ⫽ x3 ⫺ 4 ⋅ x ⫹ 1 berechnen wollen, können wir an der Stelle 1, also
im Punkt (1/⫺2), starten. Die Gerade durch den
Punkt (⫺1/2) mit einer Steigung von ⫺10
schneidet dann die x-Achse im Punkt (0,8/0).
Nun berechnen wir den Funktionswert f(0,8)
211
mit ⫺221
125. Durch den Punkt (0,8/⫺125 ) zeichnen wir wieder eine Gerade mit der Steigung ⫺10 und berechnen die Schnittstelle
mit der x-Achse. Wir berechnen den Funktionswert von f an dieser Stelle, zeichnen
durch den entsprechenden Punkt wieder die Gerade mit der Steigung ⫺10 usw.
Das Bild erklärt den Namen Sägezahnverfahren. Die Stellen der Zähne auf der
x-Achse laufen auf eine Nullstelle von f zu, die man nun mit 0,254101688365 …
angeben kann.
Diese Stellen ergeben eine Folge. Die Folgenglieder lassen sich rekursiv berechnen durch
⫽s
x1
f(xn )
xn ⴙ 1 ⫽ xn ⫺
m
mit dem Startwert s und der Steigung m.
Die Abbildungen wurden mit dem GTR und dem nachstehenden Programm erzeugt.
Input "STEIGUNG", M
Input "STARTWERT", X
Lbl 1
Line (X,0,X,Y1(X))
X-Y1 (X)/M씮Z
Line (X,Y1(X),Z,0)
Z씮X
Goto 1
Marke 1
Zeichnen der senkrechten Strecke
Berechnen der neuen Näherungslösung
Zeichnen der Strecke mit Steigung M
Vorbereitung für nächsten Schleifendurchlauf
Sprung zur Marke 1
Wählen wir statt der Steigung ⫺10 nun ⫺2,
so sehen wir bei der Sägezahndarstellung, wie
sich eine Spirale langsam um den Punkt
(0,254101688365…/0) zuzieht.
In diesen beiden Fällen sagen wir, die Folge konvergiert 1 gegen die Nullstelle von f. Diese Nullstelle ist Grenzwert der Folge.
1 Konvergieren, von lat. convergere, zusammenlaufen. Dieses Wort trifft den Fall der sich zusammenziehenden Spirale sehr gut.
8
1
Grenzwerte
Wählen wir dagegen bei gleichem Startwert die
Steigung m ⫽ ⫺1,5, so sehen wir in der Sägezahndarstellung, dass sich die Spirale nicht zuzieht, sondern mit geringen Abweichungen immer wieder das gleiche Parallelogramm durchläuft. Diese Folge konvergiert nicht.
Wählen wir schließlich m ⫽ ⫺1,2 und den Startwert 0,4, so sehen wir, dass die Spirale zunächst
größer wird, bevor die Sägezähne rechts aus dem
Bildschirm verschwinden. Die Berechnung der
Folgenglieder mit der Vorschrift
⫽s
x1
f(xn)
xn ⫹ 1 ⫽ xn ⫺
m
zeigt, dass sie beliebig groß werden.
In den beiden letzten Fällen sagen wir, dass die
Folge nicht konvergiert, dass sie divergiert 1. Sie
hat keinen Grenzwert.
Präzisierung des Grenzwertbegriffs von Folgen
Für theoretische Überlegungen eignet sich das Intervallhalbierungs- oder Bisektionsverfahren besser als das Sägezahnverfahren.
Nehmen wir an, wir möchten eine Näherung für die Zahl 2 berechnen. Die
Funktion mit f(x) ⫽ x2 ⫺ 2 hat im Intervall [1; 2] die Nullstelle 2. Wir berechnen
jetzt den Funktionswert in der Intervallmitte. Wegen f(1,5) ⬎ 0 und f(1) ⬍ 0 liegt
2 in der linken Intervallhälfte zwischen 1 und 1,5. Wieder bestimmen wir den
Funktionswert in der Mitte dieses kleineren Intervalls. Wegen f(1,25) ⬍ 0 liegt die
gesuchte Näherung für 2 nun in der rechten Intervallhälfte zwischen 1,25 und
1,5 usw. Nach zehn Schritten liegt die gesuchte Näherung für 2 im Intervall
1 10
1
[1,4140625; 1,4150390625]. Die Intervalllänge ist ( 2) ⫽ 1024 , denn bei jedem
Schritt wird das Intervall halbiert.
Die Näherungen 2 1,4140625 oder 2 1,4150390625 haben also einen Fehler von weniger als einem Tausendstel. Nach 20 Schritten erhalten wir Näherungen, deren Fehler kleiner als ein Millionstel ist.
Aufgabe
Nach wie vielen Schritten ist der Fehler kleiner als ein Milliardstel, kleiner als
10⫺24 ?
1 Divergiert von lat. divergere, auseinander gehen. Vgl. auch konvergentes und divergentes Licht,
Fachausdrücke in der Optik
1
Grenzwerte
9
Auf den französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy
(1789–1857) geht folgende Präzisierung des Grenzwertbegriffs zurück, die in unseren Ohren sehr modern klingt:
Man will mit einem bestimmten Verfahren (Sägezahn-, Intervallhalbierungsverfahren oder andere) einen Wert mit einer bestimmten
Genauigkeit berechnen. Dazu gibt man eine der gewünschten Genauigkeit entsprechende Fehlerschranke (etwa wie oben ein Tausendstel oder Millionstel oder Milliardstel oder …) vor. Erhält man
mit dem Verfahren Folgenwerte, bei denen der Fehler ab einem
bestimmten Verfahrensschritt kleiner wird als die vorgegebene Fehlerschranke und gilt das für jede noch so kleine positive Fehlerschranke, dann sagt man, dass der gesuchte Wert der Grenzwert
der mit dem Verfahren berechneten Werte ist. Oder: Die Folge
konvergiert gegen diesen Grenzwert.
Beispiel
Wählen wir z. B. für die 2-Näherung die Fehlerschranke 0,001, dann genügt es,
die ersten zehn Intervalle zu berechnen. Beide Intervallränder erfüllen die Bedingung. Bei der Fehlerschranke 0,000000001 müsste man 30 Intervalle ausrechnen,
damit der Fehler die Fehlerschranke unterbietet.
Man sieht, dass jede vorgegebene Fehlerschranke unterboten werden kann. Damit
ist die Cauchy-Bedingung erfüllt. Sowohl die Folge der rechten Intervallränder
als auch die Folge der linken Intervallränder hat also den Grenzwert 2.
Definition 1.1
Die Folge (xn) hat den Grenzwert g, wenn es zu jeder (noch so klein) vorgegebenen positiven Fehlerschranke s einen Folgenschritt gibt, so dass für alle weiteren
Folgenschritte der Fehler kleiner ist als die Schranke, d. h. wenn es also ein N gibt,
so dass für alle n ⱖ N gilt
|xn ⫺ g| ⬍ s.
Grenzwert für h gegen null
Bisher wurde der Grenzwert von Folgen behandelt oder – wie man auch sagt –
„Grenzwert von (xn ) für n gegen unendlich“. Folgen kann man als Funktionen
auffassen, die auf den natürlichen Zahlen definiert sind. Bei auf allen reellen Zahlen
oder mindestens auf einem Intervall definierten Funktionen interessiert besonders
der „Grenzwert von Funktionen für h gegen null“, wie er bei Änderungsraten
auftritt. Diese haben wir schon in der Eingangsklasse berechnet. Die Änderungsrate wird das Thema dieses Buches und dieser Klasse sein.
sin (h)
und
Wir betrachten allerdings zunächst die Funktionen f und g mit f(h) ⫽
h
cos (h)
.
g(h) ⫽
h
10
1
Grenzwerte
Aufgabe
Lassen Sie den GTR den Graphen der beiden Funktionen im Intervall [⫺3; 3]
zeichnen. Beschreiben Sie das Verhalten in der Nähe der Stelle 0.
Berechnen Sie auch Funktionswerte in der Nähe von null.
Hinweis: Unbedingt den Rechner auf das Bogenmaß (Radian) stellen.
Beide Funktionen sind an der Stelle 0 nicht definiert, obwohl man dies beim
Zeichnen mit dem GTR nicht unbedingt sieht. Sie verhalten sich aber in der Nähe
der Stelle 0 völlig unterschiedlich.
Bei der Funktion g zeigt das Schaubild, dass die Funktion in der Nähe von null
beliebig große und beliebig kleine Werte annimmt. Der Wert der Kosinusfunktion
an der Stelle 0 ist gleich 1. Für kleine Werte von h, etwa h mit ⫺0,1 ⬍ h ⬍ 0,1,
schwankt cos (h) zwischen cos (0,1) 0,995 und cos (0) ⫽ 1. Damit wird
0,995
⫽ 9,95
0,1
g(0,01) ⱖ 0,995 ⫽ 99,5
0,01
g(0,001) ⱖ 0,995 ⫽ 995
0,001
g(0,000 001) ⱖ 0,995 ⫽
0,000 001
g(⫺0,1) ⱕ ⫺0,995 ⫽ ⫺9,95
g(0,1) ⱖ
0,1
g(⫺0,01) ⱕ ⫺0,995 ⫽ ⫺99,5
0,01
g(⫺0,001) ⱕ ⫺0,995 ⫽ ⫺995
0,001
995 000
g(⫺0,000 001) ⱕ ⫺
0,995
0,000 001
⫽ ⫺995 000
usw.
Weil die Funktion g beliebig nahe an null beliebig große und beliebig kleine Werte
annimmt, kann sie an der Stelle null keinen Grenzwert haben.
Obwohl auch bei der Funktion f in der Nähe von
null durch immer kleinere Werte dividiert wird,
lässt das Schaubild erstaunlicherweise vermuten,
dass sich die Funktionswerte der 1 nähern. Das liegt
daran, dass sich auch der Zähler der Null nähert,
und zwar in gleichem Maße, sodass das Verhältnis
von Zähler und Nenner auf den Wert 1 zuläuft.
Das zeigt die Darstellung am Einheitskreis. Bei p3
(entspricht 60°) beträgt der direkte Weg vom Punkt
P zur x-Achse (also sin(p3 )) nur rund 83 % des Wegs
auf dem Bogen (also p3 ). Das Verhältnis sin(p3 ) zu p3
ist also rund 0,83.
Bei p6 vergrößert sich das Verhältnis auf rund 0,95,
der „Umweg“ auf dem Bogen fällt nicht mehr so
ins Gewicht. Wählen wir den Winkel noch kleiner,
so wird der Unterschied zwischen dem direkten
Weg (also sin(h)) und dem Weg auf dem Bogen (also
nähert sich der 1.
h) immer geringer, sin (h)
h
Aus Symmetriegründen gilt das Gleiche für negatives h.
y
1
P
π–
3
1
π
sin –3
60°
1
x
y
1
P
1
30°
π–
6
π
sin 6–
1
x
1
11
Grenzwerte
Die Funktion f hat offensichtlich einen Grenzwert für h gegen null oder ⫺ wie
man auch sagt ⫺ an der Stelle null. Dabei können wir in Anlehnung an den Grenzwert von Folgen wie folgt vorgehen:
1. Wir vermuten, dass g der Grenzwert ist.
2. Wir geben eine Fehlerschranke s vor.
3. Wir versuchen eine positive Zahl m zu finden, sodass für alle h mit kleinerem
Betrag der Fehler kleiner als s ist, d. h. dass | f(h) ⫺ g| ⱕ s für solche h gilt.
4. Finden wir für jede (noch so kleine) Fehlerschranke s ein m entsprechend 3.,
dann hat die Funktion f an der Stelle null den Grenzwert g.
Definition 1.2
Die Funktion f hat an der Stelle null den Grenzwert g, wenn es zu jeder (noch so
klein) vorgegebenen positiven Fehlerschranke s eine positive Zahl m gibt, so dass
für h mit |h| ⬍ m gilt
|f(h) ⫺ g| ⬍ s.
Bemerkung
Den Grenzwert von f an irgendeiner anderen Stelle als null, etwa bei 5, erhalten
wir durch einen Trick: Wir definieren eine Funktion g durch g(x) ⫽ f(x ⫹ 5). Das
Schaubild von g entsteht durch horizontale Verschiebung um fünf Einheiten nach
links aus dem Schaubild von f. Der Grenzwert von f an der Stelle 5 entspricht dem
Grenzwert von g an der Stelle 0.
Aufgaben
01
02
03
04
a) Geben Sie eine Funktion an, die die Nullstelle 3 (17) hat.
b) Berechnen Sie mit dem Intervallhalbierungsverfahren eine dezimale Näherung für
3 (17). Führen Sie fünf Schritte durch.
c) Wie erhöht sich die Genauigkeit, wenn Sie statt der Intervallenden die Intervallmitten betrachten?
Untersuchen Sie, ob die Funktion f mit f(h) ⫽
null hat.
tan (h)
einen Grenzwert für h gegen
h
2h
keinen Grenzwert für h gegen null
Warum kann die Funktion f mit f(h) ⫽
h
haben?
cos (h2)
keinen Grenzwert für h gegen
Warum kann die Funktion f mit f(h) ⫽
h2
null haben?
Hinweis: Einige GTR oder CAS-Rechner geben den Grenzwert mit „⬁“ an. Da
unendlich keine Zahl ist, kann unendlich auch kein Grenzwert sein. Der Rechner
drückt damit nur aus, dass die Funktionswerte nahe null beliebig groß werden.
Weitere Grenzwerte werden immer wieder in den folgenden Kapiteln berechnet.
2
2.1
Ableitungs- und Stammfunktionen
Differenzen- und Differenzialquotient
Am Ende des vergangenen Schuljahres wurden der Differenzenquotient und der
Differenzialquotient behandelt.
Wiederholung
Führt die Änderung Dx ⫽ x1 ⫺ xo der x-Werte zu einer Änderung
Dy ⫽ y1 ⫺ yo ⫽ f(x1) ⫺ f(xo) der Funktionswerte einer Funktion f, so heißt das
Dy
f(x1) ⫺ f(xo)
y1 ⫺ yo
Verhältnis
⫽
der beiden Änderungen Differenzenquo⫽
Dx
x1 ⫺ xo
x1 ⫺ xo
tient.
Dy
Hat der Differenzenquotient
für Dx gegen 0 einen Grenzwert, so wird dieser
Dx
als Differenzialquotient an der Stelle xo bezeichnet. Aus historischen Gründen
dy
verwendet man für ihn auch das Symbol
(gelesen: dy nach dx).
dx
Diese beiden Werte können als Änderungsrate oder als Steigung interpretiert
werden, der Differenzenquotient als durchschnittliche (auch mittlere) Änderungsrate oder als Steigung einer Sekante der Kurve, der Differenzialquotient als momentane Änderungsrate oder als Steigung der Tangente in einem Punkt.
2.1.1
Interpretation als Änderungsrate
Eva Schwarz heizt den Backofen vor, um ihre Pizza zu backen, und liest jede halbe
Minute die Temperatur ab:
Heizdauer x in min
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Temperatur y in °C
22
26
28
32
38
45
53
63
71
80
90
Der Ofen heizt offenbar nicht gleichmäßig auf. Eva versucht herauszubekommen,
um wie viel sich die Temperatur in einem bestimmten Zeitpunkt, nämlich 2,5 Minuten nach dem Einschalten, ändert.
Dazu betrachtet sie zuerst einmal die Temperaturänderung in verschiedenen Zeitintervallen. In dem 2,5 min langen Zeitintervall Dx zwischen 2,5 min und 5,0 min
ändert sich die Temperatur um Dy ⫽ 90 °C ⫺ 45 °C ⫽ 45 Grad 1, die durchschnittliche Änderungsrate in diesem Zeitintervall beträgt also
Dy
45 Grad
Grad
⫽
⫽ 18,0
.
Dx
2,5 min
min
1 Physikalisch korrekt müsste es Kelvin heißen, wir verwenden die Bezeichnung der Umgangssprache.
2
13
Differenzen- und Differenzialquotient
In dem ebenfalls 2,5 min langen Zeitintervall unmittelbar nach dem Einschalten
berechnet sich die durchschnittliche Änderungsrate entsprechend:
y1 ⫺ y0
⫺ 23 Grad
Grad
22 °C ⫺ 45 °C
Dy
⫽
⫽
⫽ 9,2
.
⫽
Dx
x1 ⫺ x0
0 min ⫺ 2,5 min
⫺ 2,5 min
min
Dy
in Zeitintervallen
Die Tabelle enthält weitere durchschnittliche Änderungsraten
Dx
unterschiedlicher Länge:
Zeitintervall
0,5 bis
2,5 min
1,0 bis
2,5 min
1,5 bis
2,5 min
2,0 bis
2,5 min
2,5 bis
3,0 min
2,5 bis
3,5 min
2,5 bis
4,0 min
2,5 bis
4,5 min
Dy Grad
in
Dx
min
9,5
11,3
13
14
16
18
17,3
17,5
Je kürzer die Zeitintervalle werden, desto besser nähert sich die durchschnittliche
Änderungsrate der momentanen Änderungsrate an. Die momentane ÄnderungsGrad
rate 2,5 Minuten nach dem Einschalten liegt wohl zwischen 14
und
min
Grad
.
16
min
Auch wenn Eva die Temperatur alle 15 Sekunden oder gar jede Sekunde gemessen
hätte, könnte sie immer nur durchschnittliche Änderungsraten berechnen. Falls sie
aber die Funktionsgleichung einer Funktion kennen würde, die den Zusammenhang zwischen Heizdauer x und Temperatur y beschreibt, könnte sie beliebig
kleine Intervalle annehmen und käme der Lösung des Problems näher.
Eva tippt die Tabelle der Messwerte in ihren
GTR ein und lässt sich ein Schaubild ausgeben.
Aufgrund der Lage der Punkte vermutet Eva,
dass sie auf dem Graphen einer ganzrationalen
Funktion dritten Grades liegen und lässt sich
von ihrem GTR die Vorschrift der kubischen Regressionskurve bestimmen.
Diese ganzrationale Funktion beschreibt den Zusammenhang zwischen der Heizdauer x und der
Temperatur y in dem gemessenen Bereich offenbar recht gut, die Abweichung des Schaubildes
von den Messpunkten ist gering.
14
2
Ableitungs- und Stammfunktionen
Mithilfe der Vorschrift
f(x) ⫽ ⫺0,23776223776291 x3 ⫹ 3,5454545454592 x2 ⫹ 1,6433566433494 x ⫹ 22,860139860141
der Regressionsfunktion kann Eva jetzt die durchschnittliche Änderungsrate für
beliebig kleine Zeitintervalle berechnen (Werte jeweils auf sechs Nachkommastellen gerundet).
So ist z. B. die durchschnittliche Änderungsrate im Intervall zwischen 2,5 min
und 2,6 min:
Dy
f(2,6) ⫺ f(2,5) 46,921231 ⫺ 45,412587
1,508643
⫽
⫽
⫽
⫽ 15,086433
Dx
2,6 ⫺ 2,5
2,6 ⫺ 2,5
0,1
Die weiteren Differenzquotienten lassen wir vom GTR berechnen.
Marke 1
Eingabe des x-Wertes des zweiten Intervallendpunktes
Berechnung des Zählers Z des Differenzenquotienten
Berechnung des Nenners N des Differenzenquotienten
Ausgabe von Zähler, Nenner und Differenzenquotient
Die Pause wird durch Drücken der Enter-Taste beendet.
Das Programm wird nach Marke 1 fortgesetzt.
Lbl 1
Input X
Y1(X)-Y1(2.5) 씮 Z
X-2.5 씮 N
Disp Z,N,Z/N
Pause
Goto 1
Ein einfaches Programm mit einer Endlosschleife, das nur durch das Ausschalten
des GTR beendet werden kann, berechnet Zähler und Nenner des Differenzenquotienten sowie die durchschnittliche Änderungsrate.
Intervall
in min
2,4 bis
2,5
2,49 bis
2,5
2,499 bis
2,5
2,4999 bis
2,5
2,5 bis
2,5001
2,5 bis
2,501
2,5 bis
2,51
Dx in min
⫺0,1
⫺0,01
⫺0,001
⫺0,0001
0,0001
0,001
0,01
Dy in Grad
⫺1,473399
⫺0,148949
⫺0,014911
⫺0,001491
0,001491
0,014914
0,149301
Dy Grad
in
Dx
min
14,733986
14,894941
14,910825
14,912411
14,912763
14,914349
14,930186
Obwohl sich die Differenzen Dx und Dy immer weniger von 0 unterscheiden,
kann sich das Verhältnis einer Zahl (z. B. 1,10003 oder ⫺ 1, aber auch 0) annähern.
Diese Zahl nennt man momentane Änderungsrate. Obiger Tabelle entnehmen
wir, dass die momentane Änderungsrate 2,5 Minuten nach dem Einschalten des
Grad
beträgt. Würde der Ofen weiter so aufheizen
Ofens in guter Näherung 14,91
min
wie in diesem Moment, wäre die Temperatur 1 Minute später 14,91 Grad höher.
2
15
Differenzen- und Differenzialquotient
Aufgaben
01
Die zeitliche Änderungsrate des Weges nennt man Geschwindigkeit. Versuchen
Sie, für die weiteren Änderungsraten entsprechende Namen einzusetzen.
Argument
Funktionswert
Zeit
Zeit
Zeit
Zeit
Zeit
Zeit
Zeit
Zeit
Weg
Weg
Temperatur
Einkommen
Produktion
Produktion
Produktion
02
Änderungsrate
Weg
Geschwindigkeit
Winkel
Flüssigkeitsmenge
Ladung
chem. Konzentration
Energie
Geldwert
Federkraft
Arbeit
Länge
Steuer
Kosten
Erlöse
Wert
Geschwindigkeit
Fritz hat eine schwere Grippe. Der herbeigerufene homöopathische Arzt verordnet Bettruhe und Wadenwickel. Tagsüber soll alle zwei Stunden das Fieber gemessen werden.
Zeit
7.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00 6.00 10.00
Temperatur in °C
38,2
38,9
39,6
39,9
40,0
39,8
39,8
38,9
38,6
a) Bestimmen Sie die durchschnittliche Temperaturänderung von Messung zu MesGrad
sung
.
h
b) Bestimmen Sie die Vorschrift einer Regressionskurve. Wie groß sind die Abweichungen von den Messwerten?
c) Bestimmen Sie die momentane Temperaturänderung um 18.00 Uhr.
冢
03
冣
Der Kunstverein von Buxtehausen ist dafür bekannt, dass er Kunst in die Provinz
holt. Das letzte große Ereignis war die Ausstellung mit Werken des grönländischen
Surrealisten E.S. Kimo. Sie war täglich von 10.00 bis 20.00 Uhr geöffnet. In der
ersten Woche wurde jedes Mal bei Kassenschluss die Zahl der bis dahin verkauften
Eintrittskarten festgehalten:
Tag
1
Besucherzahl in Tsd. 4,317
2
8,128
3
4
5
6
7
10,891 13,203 14,887 16,960 19,779
a) Berechnen Sie die Zahl der Besucher pro Tag. Wie viele Eintrittskarten werden im
Durchschnitt an jedem Tag, pro Stunde, pro Minute verkauft?