Randomisierte Algorithmen SS 2017 – ¨Ubung 1

Rev. 1, 25.04.2017
TU Ilmenau, Fakultät für Informatik und Automatisierung
FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen
Univ.-Prof. Dr. M. Dietzfelbinger, M.Sc. P. Schlag
http://www.tu-ilmenau.de/iti/lehre/lehre-ss-2017/ra/
Randomisierte Algorithmen SS 2017 – Übung 1
Besprechung: Dienstag, 2. Mai 2017
Hinweis: Für das erfolgreiche Vorrechnen einer mit *“ gekennzeichneten Aufgabe wird ein Bo”
nuspunkt vergeben, es gibt maximal zwei Bonuspunkte pro Studierendem im Semester.
Aufgabe 1 (Glücksspiel) *
Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben und geben Sie zusätzlich jeweils einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, p) an.
(a) Wir betrachten eine vereinfachte Version des Spiels Lotto k aus n“. Ein Spieler tippt k verschie”
dene Zahlen aus {1, 2, . . . , n}, anschließend werden k Zahlen aus {1, 2, . . . , n}, ohne Zurücklegen,
gezogen. Zieht man eine Zahl, sind alle wählbaren Zahlen gleichwahrscheinlich.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau r Zahlen richtig getippt zu haben, für 0 ≤ r ≤ k?
(b) In einem fiktiven Glücksspiel wird eine Münze geworfen, bis das Ereignis Kopf“ (mit Wahrschein”
lichkeit 0,5) eintritt oder die Münze maximal n mal geworfen wurde. Ergibt der k-te Münzwurf
k
Kopf“, wird der Gewinn in Höhe von 2k ausgezahlt. Tritt das Ereignis Kopf“ nie ein, wird kein
”
”
Gewinn ausgezahlt.
Wie hoch sollte man die Teilnahmegebühr wählen, damit der erwartete Gewinn 0 ist?
(c) Wir betrachten eine Roulette-Spielstrategie. Der Spieler setzt auf rot oder schwarz, beide Ereignisse
sind gleichwahrscheinlich. Fällt die Roulette-Kugel auf die gewählte Farbe, erhält er den doppelten
Einsatz, ansonsten bekommt er kein Geld. Der Spieler verfährt wie folgt: Nach k − 1 in Folge verlorenen Runden setzt er 2k−1 Euro in der k-ten Runde, k ≥ 1. Der Spieler hört auf zu spielen, wenn
er das erste mal gewinnt.
(i) Wie groß ist der erwartete Gewinn?
(ii) Ist diese Strategie sinnvoll?
(Hinweis: Betrachten Sie den mittleren Einsatz vor dem ersten Gewinn.)
(iii) Wie groß ist der erwartete Gewinn, wenn das Spiel nach einer endlichen Anzahl von Runden
abgebrochen wird?
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Randomisierte Algorithmen SS 2017 – Übung 1
Aufgabe 2 (Reservoir Sampling) *
Aus einer Folge (a1 , a2 , . . . , an ) soll eine Stichprobe vom Umfang m ≤ n extrahiert werden, n ist im Vor
aus unbekannt. Jede der mn möglichen Instanzen der Stichprobe soll gleichwahrscheinlich sein. Die Objekte ak werden dem Beobachter eines nach dem anderen enthüllt; sind keine weiteren Objekte verfügbar,
wird das Sequenzende signalisiert. Vom Beobachter werden zunächst die ersten m Objekte als Stichprobe
gespeichert. In den Schritten k > m verdrängt das gerade enthüllte k-te Objekt mit der Wahrscheinlichkeit pk ein zufällig gewähltes Objekt aus der Stichprobe (jedes Objekt hat gleiche Wahrscheinlichkeit
verdrängt zu werden).
Wir stellen die Stichprobe (ar1 , ar2 , . . . , arm ) als Indexmenge R := {r1 , r2 , . . . , rm } dar. Nach dem k-ten
Schritt sollte die gewählte Stichprobe Rk also ein uniform zufällig aus Ik := {I | I ⊆ {1, 2, . . . , k}, |I| = m}
gewähltes Element sein.
(a) Wie ist die Wahrscheinlichkeit pm+1 im (m + 1)-ten Schritt zu wählen, um eine Stichprobe zu erhalten?
(b) Verallgemeinern Sie die Wahl von pk aus (a) für ein beliebiges k > m. Zeigen Sie, dass damit
Pr(Rk = R) = 1/ mk für jedes m ≤ k ≤ n und jedes R ∈ Ik gilt.
Hinweis: Induktion über k.