1 K-Rahmen und K-Modelle

Seminar: Einführung in die Modallogik (WS 15/16)
Lehrender: Daniel Milne-Plückebaum, M.A.
E-Mail: [email protected]
Handout: K-Rahmen, K-Modelle & K-Wahrheitsbedingungen
Im Folgenden werden wir uns sogenannte K-Rahmen und K-Modelle ansehen, die für
die Interpretation von Formeln in der einfachsten Modallogik, der Logik K (nach Saul
Kripke),1 benötigt werden. Anschließend betrachten wir die K-Wahrheitsbedingungen.
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K-Rahmen und K-Modelle
Beginnen wir gleich mit der Definition von K-Rahmen:
Ein K-Rahmen ist ein Paar ⟨W, R⟩, wobei
1. W eine nicht-leere Menge und
2. R eine zweistellige Relation auf W ist (R ⊆ W × W ).
Die Elemente w0 , w1 , w2 , ... ∈ W nennen wir Welten. W ist dann eine Weltenmenge.
Eine Relation R ⊆ W × W nennen wir eine Zugänglichkeitsrelation auf der Weltenmenge. Falls ⟨wi , wj ⟩ ∈ R, so sagen wir, wj ist zugänglich von wi .
Hier sind einige Beispiele für K-Rahmen:
• F1 ∶= ⟨{w0 , w1 }, {⟨w0 , w1 ⟩, ⟨w1 , w1 ⟩}⟩
• F2 ∶= ⟨{w0 , w5 , w32 }, {⟨w0 , w0 ⟩, ⟨w5 , w5 ⟩, ⟨w32 , w32 ⟩}⟩
• F3 ∶= ⟨{w0 }, ∅⟩
• F4 ∶= ⟨{w5 , w6 , w7 }, {w5 , w6 , w7 } × {w5 , w6 , w7 }⟩
Um K-Formeln interpretieren zu können, benötigen wir immer einen konkreten K-Rahmen.
Insbesondere sind basale K-Interpretationsfunktionen, die wir wie in der Aussagenlogik
als Grundlage für die Interpretation aller K-Formeln benötigen, immer auf konkreten
K-Rahmen definiert:
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ML-Formeln werden im Folgenden K-Formeln genannt.
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Eine basale K-Interpretationsfunktion auf einem K-Rahmen ⟨W, R⟩ (geschrieben: IW,R ) ist eine Funktion, die jedem Atom relativ zu jeder Welt aus W genau
einen Wahrheitswert zuordnet (IW,R ∶ {p ∶ p ist ein Atom} × W Ð→ {t, f}).
Falls ⟨⟨p, w⟩, x⟩ ∈ IW,R , so schreiben wir: IW,R (p, w) = x.
Es gibt also einen wesentlichen Unterschied zwischen basalen AL- und basalen K-Interpretationsfunktionen. Eine basale AL-Interpretationsfunktion ordnet jedem Atom genau
einen Wahrheitswert zu (I ∶ {p ∶ p ist ein Atom} Ð→ {t, f}). Damit ist jedes Atom entweder wahr simpliciter oder falsch simpliciter. Hingegen ist eine basale K-Interpretationsfunktion auf einem K-Rahmen ⟨W, R⟩ keine einstellige, sondern eine zweistellige Funktion.
Der Wertebereich {t, f} ist zwar derselbe wie bei basalen AL-Interpretationsfunktionen;
jedoch ordnet eine basale K-Interpretationsfunktion auf ⟨W, R⟩ nicht einfach allen Atomen Wahrheitswerte zu, sondern allen Paaren bestehend aus einem Atom und einer
Welt aus W . Jedes Atom ist damit nur noch Welten-relativ wahr oder falsch. Genauer: Jedes Atom besitzt relativ zu jeder Welt des K-Rahmens, auf dem die basale KInterpretationsfunktion definiert ist, genau einen Wahrheitswert.
Wenn wir einen K-Rahmen ⟨W, R⟩ nun um eine basale K-Interpretationsfunktion auf
⟨W, R⟩ erweitern, erhalten wir ein basales K-Modell:
Ein basales K-Modell ist ein Tripel ⟨W, R, IW,R ⟩, wobei
1. ⟨W, R⟩ ein K-Rahmen und
2. IW,R eine basale K-Interpretationsfunktion auf ⟨W, R⟩ ist.
Im Folgenden nennen wir basale K-Modelle einfach K-Modelle. Einige Beispiele:
• Gegeben sei der K-Rahmen ⟨W1 , R1 ⟩ mit W1 ∶= {w0 , w1 , w2 } und R1 ∶= ∅. Wenn wir
⟨W1 , R1 ⟩ um eine basale K-Interpretationsfunktion IW1 ,R1 auf ⟨W1 , R1 ⟩ (IW1 ,R1 ∶ {p ∶
p ist ein Atom}×{w0 , w1 , w2 } Ð→ {t, f}) erweitern, erhalten wir ein K-Modell M1 ∶=
⟨W1 , R1 , IW1 ,R1 ⟩. IW1 ,R1 ordnet jedem relevanten Atom-Welt-Paar einen Wahrheitswert zu, z.B. so:
IW1 ,R1 (p0 , w0 ) ∶= t
IW1 ,R1 (p1 , w0 ) ∶= t
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IW1 ,R1 (p2 , w0 ) ∶= f
IW1 ,R1 (pi , w0 ) ∶= t für alle i ≥ 3
IW1 ,R1 (p0 , w1 ) ∶= f
IW1 ,R1 (p1 , w1 ) ∶= t
IW1 ,R1 (pi , w1 ) ∶= f für alle i ≥ 2
IW1 ,R1 (pi , w2 ) ∶= f für alle i
IW1 ,R1 sagt uns z.B., dass das Atom p0 in w0 wahr und in w1 und w2 falsch ist.
• M2 ∶= ⟨W2 , R2 , IW2 ,R2 ⟩ mit W2 ∶= {w5 , w6 , w7 , w8 , w9 }, R2 ∶= {⟨wi , wj ⟩ ∶ j ≥ i} und:
IW2 ,R2 (pi , wj ) ∶= t für alle i und alle ungeraden j
IW1 ,R1 (pi , wj ) ∶= f für alle i und alle geraden j
Wir haben erst dann eine basale K-Interpretationsfunktion auf einem K-Rahmen definiert,
wenn wirklich jedem relevanten Atom-Welt-Paar genau ein Wahrheitswert zugewiesen
wird. Wir können uns wieder damit behelfen, für alle Atome, die uns im gegebenen Fall
nicht interessieren, ein allgemeines Rezept für die Wahrheitswert-Zuordnung aufzuschreiben, diesmal allerdings einmal relativ zu jeder Welt des zugrundeliegenden K-Rahmens.
Zum Abschluss noch einmal: In der Logik K ist kein Atom einfach wahr simpliciter oder
falsch simpliciter. Stattdessen gilt für jedes Atom p und jede Welt w des jeweiligen KRahmens: p ist wahr in w oder falsch in w. Dasselbe gilt natürlich auch für alle komplexen
K-Formeln, wie wir nun sehen werden.
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K-Wahrheitsbedingungen
Eine basale K-Interpretationsfunktion IW,R auf einem K-Rahmen ⟨W, R⟩ kann zu einer
vollständigen K-Interpretationsfunktion I W,R auf ⟨W, R⟩ erweitert werden, die nicht nur
die Atome Welten-relativ interpretiert, sondern jede K-Formel, also auch jede komplexe:2
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Aufbauend auf der folgenden Definition können wir auch ein vollständiges K-Modell definieren:
Ein vollständiges K-Modell ist ein Tripel ⟨W, R, I W,R ⟩, wobei
1. ⟨W, R⟩ ein K-Rahmen und
2. I W,R eine vollständige K-Interpretationsfunktion auf ⟨W, R⟩ ist.
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Eine vollständige K-Interpretationsfunktion auf einem K-Rahmen ⟨W, R⟩
(geschrieben: I W,R ) ist eine Funktion, die jeder K-Formel relativ zu jeder Welt aus W
genau einen Wahrheitswert zuordnet (I W,R ∶ {A ∶ A ist eine K-Formel}×W Ð→ {t, f}).
Angenommen, wir haben einen K-Rahmen ⟨W, R⟩ und eine basale K-Interpretationsfunktion IW,R auf ⟨W, R⟩ vorgegeben; wie lautet dann die vollständige K-Interpretationsfunktion I W,R auf ⟨W, R⟩? Grundsätzlich lässt sich diese Frage immer gleich beantworten
– egal, wie ⟨W, R⟩ und IW,R konkret beschaffen sind. Denn es gibt eine Reihe von Regeln,
die uns für jede basale K-Interpretationsfunktion IW,R auf ⟨W, R⟩ genau sagt, wie ihre
Erweiterung I W,R auf ⟨W, R⟩ lautet. Mit anderen Worten: Egal, welche Wahrheitswerte
IW,R den Atomen relativ zu jeder Welt aus W zuordnet, diese Regeln sagen uns für jede
(also auch für jede komplexe) K-Formel, welchen Wahrheitswert I W,R ihr relativ zu jeder
Welt aus W zuordnet. Diese Regeln nennt man auch K-Wahrheitsbedingungen.
Auch komplexe K-Formeln haben ihre jeweiligen Wahrheitswerte nur Welten-relativ.
Dementsprechend sind auch die K-Wahrheitsbedingungen formuliert. Sie geben an, was
erfüllt werden muss, damit eine K-Formel A relativ zu einer Welt w wahr ist. Dabei gibt
es zwei Typen von K-Wahrheitsbedingungen für komplexe K-Formeln:
1. In den K-Wahrheitsbedingungen für Negationen, Konjunktionen, Disjunktionen,
materiale Implikationen und materiale Biimplikationen wird die Welt w, relativ zu
der die Formel interpretiert werden soll, fix gehalten; und relativ zu w unterscheiden sich die K-Wahrheitsbedingungen dieser Formeln nicht von den AL-Wahrheitsbedingungen.3
2. In den K-Wahrheitsbedingungen für Box- und Diamant-Formeln müssen auch andere Welten als die, relativ zu denen diese K-Formeln interpretiert werden, hinzugezogen werden.
Hier sind nun die K-Wahrheitsbedingungen:
Sei ⟨W, R, IW,R ⟩ ein K-Modell. Die K-Interpretationsfunktion I W,R auf ⟨W, R⟩ ergibt
sich aus der basalen K-Interpretationsfunktion IW,R auf ⟨W, R⟩ durch folgende KWahrheitsbedingungen: Für alle w ∈ W :
Für alle Atome p:
3
Tatsächlich können die AL-Wahrheitsbedingungen als Spezialfall der K-Wahrheitsbedingungen aufgefasst werden, nämlich als die K-Wahrheitsbedingungen für die aktuale oder tatsächliche Welt.
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1. I W,R (p, w) = t gdw. IW,R (p, w) = t.
Für alle Formeln A und B:
2. I W,R (¬A, w) = t gdw. I W,R (A, w) = f.
3. I W,R (A ∧ B, w) = t gdw. I W,R (A, w) = t und I W,R (B, w) = t.
4. I W,R (A ∨ B, w) = t gdw. I W,R (A, w) = t oder I W,R (B, w) = t.
5. I W,R (A → B, w) = t gdw. I W,R (A, w) = f oder I W,R (B, w) = t.
6. I W,R (A ↔ B, w) = t gdw. I W,R (A, w) = I W,R (B, w).
7. I W,R (◻A, w) = t gdw. für alle w′ ∈ W mit ⟨w, w′ ⟩ ∈ R gilt: I W,R (A, w′ ) = t.
8. I W,R (◇A, w) = t gdw. es mindestens ein w′ ∈ W gibt mit ⟨w, w′ ⟩ ∈ R und
I W,R (A, w′ ) = t.
Welche Welten des K-Rahmens für die Interpretation einer Box- oder Diamant-Formel
relevant sind, hängt davon ab, welche Welten von der Welt, relativ zu der die Formel interpretiert wird, zugänglich sind. K-Wahrheitsbedingung 7 besagt: Eine Box-Formel ◻A
ist in einer Welt w genau dann wahr, wenn A in jeder Welt w′ , die von w aus zugänglich
ist, wahr ist. Und K-Wahrheitsbedingung 8 besagt: Eine Diamant-Formel ◇A ist in einer
Welt w genau dann wahr, wenn es mindestens eine Welt w′ gibt, die von w aus zugänglich
ist und in der A wahr ist.
Betrachten wir anhand einiger Beispiele, wie die Wahrheitswerte komplexer K-Formeln
ermittelt werden können. Dafür sei folgendes K-Modell gegeben:
M1 ∶= ⟨W1 , R1 , IW1 ,R1 ⟩ mit
W1 ∶= {w1 , w2 , w3 }
R1 ∶= {⟨w1 , w2 ⟩, ⟨w2 , w3 ⟩, ⟨w2 , w2 ⟩, ⟨w3 , w1 ⟩}
IW1 ,R1 (pi , w1 ) ∶= t für alle i
IW1 ,R1 (pi , w2 ) ∶= f für alle i
IW1 ,R1 (p0 , w3 ) ∶= t
IW1 ,R1 (pi , w3 ) ∶= f für alle i ≥ 1
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Steht im Folgenden hinter der letzten Zeile ein ✓, so erfüllt das K-Modell M1 die K-Wahrheitsbedingung. Steht hinter der letzten Zeile ein ×, so erfüllt M1 die K-Wahrheitsbedingung nicht.
Beispiel 1: I W1 ,R1 (p7 , w2 ) = t
gdw. IW1 ,R1 (p7 , w2 ) = t (×)
Beispiel 2: I W1 ,R1 (p0 ∧ ¬p1 , w2 ) = t
gdw. I W1 ,R1 (p0 , w2 ) = t und I W1 ,R1 (¬p1 , w2 ) = t
gdw. I W1 ,R1 (p0 , w2 ) = t und I W1 ,R1 (p1 , w2 ) = f
gdw. IW1 ,R1 (p0 , w2 ) = t und IW1 ,R1 (p1 , w2 ) = f (×)
Beispiel 3: I W1 ,R1 ((p5 ∨ ¬p9 ) → ¬(p3 ∧ p5 ), w3 ) = t
gdw. I W1 ,R1 (p5 ∨ ¬p9 , w3 ) = f oder I W1 ,R1 (¬(p3 ∧ p5 ), w3 ) = t
gdw. [I W1 ,R1 (p5 , w3 ) = f und I W1 ,R1 (¬p9 , w3 ) = f] oder I W1 ,R1 (p3 ∧ p5 , w3 ) = f
gdw. [I W1 ,R1 (p5 , w3 ) = f und I W1 ,R1 (p9 , w3 ) = t] oder [I W1 ,R1 (p3 , w3 ) = f oder
I W1 ,R1 (p5 , w3 ) = f]
gdw. [IW1 ,R1 (p5 , w3 ) = f und IW1 ,R1 (p9 , w3 ) = t] oder [IW1 ,R1 (p3 , w3 ) = f oder
IW1 ,R1 (p5 , w3 ) = f] (✓)
Beispiel 4: I W1 ,R1 (◻(p0 ∨ ¬p2 ), w2 ) = t
gdw. für alle w ∈ W1 mit ⟨w2 , w⟩ ∈ R1 ∶ I W1 ,R1 (p0 ∨ ¬p2 , w2 ) = t
gdw. für alle w ∈ W1 mit ⟨w2 , w⟩ ∈ R1 ∶ I W1 ,R1 (p0 , w) = t oder I W1 ,R1 (¬p2 , w) = t
gdw. für alle w ∈ W1 mit ⟨w2 , w⟩ ∈ R1 ∶ I W1 ,R1 (p0 , w) = t oder I W1 ,R1 (p2 , w) = f
gdw. für alle w ∈ W1 mit ⟨w2 , w⟩ ∈ R1 ∶ IW1 ,R1 (p0 , w) = t oder IW1 ,R1 (p2 , w) = f (✓)
Wie kann man überprüfen, ob M1 diese K-Wahrheitsbedingung erfüllt? Betrachten wir
die letzte Zeile. Dort steht: gdw. für alle w ∈ W1 mit ⟨w2 , w⟩ ∈ R1 ∶ IW1 ,R1 (p0 , w) = t oder
IW1 ,R1 (p2 , w) = f. Explizit haben wir also: gdw. für alle w ∈ {w1 , w2 , w3 } mit ⟨w2 , w⟩ ∈
{⟨w1 , w2 ⟩, ⟨w2 , w3 ⟩, ⟨w2 , w2 ⟩, ⟨w3 , w1 ⟩} ∶ IW1 ,R1 (p0 , w) = t oder IW1 ,R1 (p2 , w) = f. Damit die
Ausgangsformel also in w2 wahr ist, muss für jede von w2 aus zugängliche Welt aus
{w1 , w2 , w3 } gelten, dass p0 in ihr wahr oder p2 in ihr falsch ist.
Alle von w2 aus zugänglichen Welten sind w2 und w3 . In w2 ist p0 wahr. Und in w3 ist
p0 ebenfalls wahr (und p2 falsch). Also ist die K-Wahrheitsbedingung der Disjunktion
für alle von w2 aus zugänglichen Welten erfüllt. Also ist die K-Wahrheitsbedingung der
Box-Formel für w2 erfüllt, d.h. I W1 ,R1 (◻(p0 ∨ ¬p2 ), w2 ) = t.
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Beispiel 5: I W1 ,R1 (p7 ∧ ◇(p3 ↔ ¬p5 ), w1 ) = t
gdw. I W1 ,R1 (p7 , w1 ) = t und I W1 ,R1 (◇(p3 ↔ ¬p5 ), w1 ) = t
gdw. IW1 ,R1 (p7 , w1 ) = t und es gibt mindestens ein w ∈ W1 mit ⟨w1 , w⟩ ∈ R1 und
I W1 ,R1 (p3 ↔ ¬p5 , w) = t
gdw. IW1 ,R1 (p7 , w1 ) = t und es gibt mindestens ein w ∈ W1 mit ⟨w1 , w⟩ ∈ R1 und
I W1 ,R1 (p3 , w) = I W1 ,R1 (¬p5 , w)
gdw. IW1 ,R1 (p7 , w1 ) = t und es gibt mindestens ein w ∈ W1 mit ⟨w1 , w⟩ ∈ R1 und
IW1 ,R1 (p3 , w) ≠ I W1 ,R1 (p5 , w)
gdw. IW1 ,R1 (p7 , w1 ) = t und es gibt mindestens ein w ∈ W1 mit ⟨w1 , w⟩ ∈ R1 und
IW1 ,R1 (p3 , w) ≠ IW1 ,R1 (p5 , w) (×)
p7 ist wahr in w1 . Damit der zweite Teil der K-Wahrheitsbedingung der Ausgangsformel
für w1 erfüllt ist, muss es eine Welt aus {w1 , w2 , w3 } geben, die von w1 aus zugänglich ist
und in der p3 und p5 verschiedene Wahrheitswerte haben. Die einzige Welt, die von w1
aus zugänglich ist, ist w2 . In w2 sind aber alle Atome falsch. Also ist der zweite Teil der KWahrheitsbedingung der Ausgangsformel für w1 nicht erfüllt. Also ist die Ausgangsformel
falsch in w1 , d.h. I W1 ,R1 (p7 ∧ ◇(p3 ↔ ¬p5 ), w1 ) = f.
Beispiel 6: I W1 ,R1 (◻¬(¬p4 → ◇p2 ), w1 ) = t
gdw. für alle w ∈ W1 mit ⟨w1 , w⟩ ∈ R1 ∶ I W1 ,R1 (¬(¬p4 → ◇p2 ), w) = t
gdw. für alle w ∈ W1 mit ⟨w1 , w⟩ ∈ R1 ∶ I W1 ,R1 (¬p4 → ◇p2 , w) = f
gdw. für alle w ∈ W1 mit ⟨w1 , w⟩ ∈ R1 ∶ I W1 ,R1 (¬p4 , w) = t und I W1 ,R1 (◇p2 , w) = f
gdw. für alle w ∈ W1 mit ⟨w1 , w⟩ ∈ R1 ∶ I W1 ,R1 (p4 , w) = f und für alle w′ ∈ W1 mit
⟨w, w′ ⟩ ∈ R1 : I W1 ,R1 (p2 , w′ ) = f
gdw. für alle w ∈ W1 mit ⟨w1 , w⟩ ∈ R1 ∶ IW1 ,R1 (p4 , w) = f und für alle w′ ∈ W1 mit
⟨w, w′ ⟩ ∈ R1 : IW1 ,R1 (p2 , w′ ) = f
Die einzige von w1 aus zugängliche Welt ist w2 . p4 ist falsch in w2 , wie gefordert. Weiterhin
muss p2 in allen von w2 aus zugänglichen Welten falsch sein. w2 selbst und w3 sind von
w2 aus zugänglich. Und in beiden Welten ist p2 falsch. Also ist die K-Wahrheitsbedingung der Ausgangsformel für w1 erfüllt. Also ist die Ausgangsformel wahr in w1 , d.h.
I W,R (◻¬(¬p4 → ◇p2 ), w1 ) = t.
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