0 Bildungsstandards und EXPEDITION Mathematik

0 Bildungsstandards und EXPEDITION Mathematik
0
1
Bildungsstandards und EXPEDITION Mathematik
Der Aufzug fährt in den 10. Stock. Dafür braucht er 20 Sekunden, d. h. er legt pro 2 Sekunden ein Stockwerk zurück.
Er bleibt für 10 Sekunden in diesem Stockwerk und fährt dann in den 13. Stock. Nach 24 Sekunden fährt er in den
zweiten Stock, um 8 Sekunden später in das 20. Stockwerk zu fahren und dort zu bleiben.
2
3
Sehr gut eignen sich ein Kreisdiagramm oder ein Säulendiagramm.
%
60
20
10
Alfred
30
Waltraud
Maria
40
Sebastian
50
0
4
A = a · (a − 7) oder A = (b + 7) · b
5
__
__
Sylvia: 1 __
20 m = 1,35 m; Agata: 1 25 m = 1,08 m; Thomas: 1 5 m = 1,20 m
2
7
1
6
46
200 Fahrzeuge. Daher: Lkw: ___
200 = 0,23 = 23 %; Lieferwagen: 13,5 %; Pkw: 61 %; Motoräder: 2,5 %
7
Arithmetischer Mittelwert: 18,0 m
8
a) 25,5 dm2
9
−3: Frau Krutzler nimmt pro Tag 3 Tabletten, das sind nach x Tagen 3 x Tabletten. Damit nimmt die Anzahl pro Tag
um 3 und nach x Tagen um 3 x ab. 60: Anzahl der Tabletten, die sie anfangs hat.
10
Wie groß ist die Anzahl der Nächtigungen von Ausländern in Bregenz? Ca. 200 000
Um wie viel % gibt es mehr Nächtigungen von Ausländern als von Inländern in Salzburg? Ca. 190 %
Wie viel % mehr Nächtigungen von Ausländern gibt es in Wien verglichen mit Bregenz? Um ca. 3700 % mehr.
Druckfehler im Schüler/innenbuch (1. Auflage) orange = inländische Gäste, blau = ausländische Gäste
11
Die beiden Antworten setzen die Kenntnis der Flächenformel fürs Parallelogramm voraus.
a) Zwei kongruente Dreiecke kann man auf dreierlei Arten zu einem Parallelogramm
b) 72 cm2
c) 99 m2
1
zusammenfügen. Es gilt: AP = c · hc ⇒ AD = _2_ · c · hc.
1
1
Analog gilt dies auch für ADreieck = _2_ · b · hb = _2_ · a · ha
c
b
hc
b
c
b) Zwei kongruente Trapeze kann man (immer) zu einem Parallelogramm mit der
Seitenlänge (a + c) zusammenlegen. Es gilt: AParallelogramm = (a + c) · h ⇒ ATrapez
1
= _2_ · (a + c) · h
a
c
a
h
a
c
12
Beliebiges Beispiel: a = 4, b = 2, c = 1; 4 : (2 − 1) = 4 : 1 = 4 aber 4 : 2 − 4 : 1 = 2 − 4 = − 2
13
Kreisdiagramme eignen sich gut zur Darstellung relativer Häufigkeiten. Da die absoluten Zahlenwerte verloren
gehen, ist der Vergleich zwischen den Städten nur schwer möglich.
3
1 Reelle Zahlen
1
Reelle Zahlen
1.1
Wurzelbehandlung – Quadratwurzeln
1
a) 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; 121; 144; 169; 196; 225; 256; 289; 324; 361; 400; 441; 484; 529; 576; 625
b) Es ist 33 lang und 32 breit.
2
a) 4
g) 12
b) 0
h) 15
c) 6
i) 10
d) 80
j) 100
3
a) 7
e) 0,2
b) 13
f) 1,5
c) 1000
g) 700
d) 50
h) 0,001
4
a) 11 cm2
b) √ 15 cm
c) 0,1 cm
5
a) 4 _
cm
g) √ 3 cm
b) 13_dm
h) √ x dm
c) 20_cm
i) √ y m
6
a) (1)
_
_
a
√a
_
_ √ a +2
9
3
4
d) 3,5 cm
j) z m
(2)
e) 9
k) 12
f) 8
l) 5
e) 1,1 m
f) 18 mm
_
a
a2
√ a2
9
9
81
9
2
4
4
16
4
2,25
1,5
2,25
2,25
5,0625
2,25
_1_
4
_1_
2
_1_
4
_1_
4
1
__
16
_1_
4
0
0
0
0
0
0
_
_
b) Für a ≥ 0 gilt: a = _ √ a +2 = √ a2 .
7
8
3
d) _2_
1
f) __
10
i) 0,2 b
x
j) _5_
3
e) _5_
b) 22
c) 6
d) 3
e) 60
f) 3
h) 1
i) 4
j) y
k) 3 x
1
a) _2_
b) 0,3
1
c) _2_
g) y
h) 3 a
a) 16
g) 3
_
_
_
_
_
_
_
_
a
l) __
12
z
k) ___
100
_
_
3
_
g
l) __
5
_
_
a) √ 36 − √ 9 = 3 = √ 9; √ 25_
+ √ 25 _
= 10 = √ 81 + √ 1; √ 25 ∙ √ 25 = 25 = 3 ∙ √ 9 + 42; √ 49 + 1 = 8 = √ 100 − √ 4
_
_
_
_
_
_
_ _
36; 2 = √ √ 16; √ 42 = 2 ∙ 2; √ 64 + √ 36 = 2 √ 16 + √ 6 ∙ √ 6
b) 16 = √ 100 + √_
9
1
1 2
__
c) ___
100 = _ 10 + ;
√
_
_
__
10
1
1
___
__
= 0,1 = ___
100 = √ 0,01 = 10 = √ 100 : √ 10 000
102
10
α = β = 72°, γ = 36°
11
Da eine Wurzel stets nichtnegativ ist, hat nur das linke Mädchen richtig gerechnet.
12
2000 km
13
120 m Zaun
14
a) 160 m
4
b) 12 m
1 Reelle Zahlen
15
1.2
a) Wenn die Längen des Rechtecks im Verhältnis 2 : 5 verkleinert werden, wird die Fläche im Verhältnis 4 : 25
verkleinert. Damit ist der Flächeninhalt des neuen Rechtecks 16 % des Flächeninhalts des Ausgangsrechtecks.
b) Der Rauminhalt wird um 1462,5 % größer.
Irrationale Zahlen
1.2.1 Näherungsweises Berechnen von Quadratwurzeln – Intervallverschachtelung
16
a) (1) Das Quadrat mit A = 25 cm2 hat eine Seitenlänge von genau 5 cm.
(2) Das Quadrat mit A = 16 cm2 hat eine Seitenlänge von genau 4 cm.
Bei beiden Quadraten lässt sich durch Wurzelziehen die Seitenlänge leicht ermitteln.
b) Siehe Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch
17
Kreisdiagramm (1)
18
2
2
< 4, wegen 32 = 9 und 42 = 16; 3,1 < √ 10 < 3,2 wegen 3,1
a) 3 < √ 10 _
_ = 9,61 und 3,2 = 10,24;
2
2
3,16
_ < √ 10 < 3,17, wegen 3,16
_= 9,9856 und 3,17 = 10,0489.
_ √ 10 = 3,16…
b) √_
20 = 4,47…
c) √_
60 = 7,74…
d) √ 140 = 11,83…
f) √ 390 = 19,74…
e) √ 200 = 14,14…
19
a) z. B. 4,8; 5,1
d) z. B. 8,89; 8,94
20
Die Seitenlänge liegt zwischen 14 und 15, weil 142 = 196, 152 = 225.
_
_
b) z. B. 7; 7,1
e) z. B. 8,37; 8,48
c) z. B. 3,2; 3,6
1.2.2 Quadratwurzeln und die Menge der irrationalen Zahlen
21
1 2 25
1
_5_ 2
2
a) 25 = 52; _9_ = _ _3_ + ; __
4 = _ 2 + ; 144 = 12
b) Multipliziert man die beiden Dezimalzahlen, dann ist die letzte Stelle des Produkts 4. Dort müsste aber sicher 0
stehen.
22
240 Bergretter/innen
23
24
_
a) √ 20 lässt sich nicht ziehen; irrational.
c) 3 − 10 = − 7; rational
_
_
_
e) _ √ 7 +2 = √ 7 ∙ √ 7 = 7; rational
__
g) √ 0,000 049 = 0,007; rational
25
__
b) √ 0,0144 = 0,12; rational
7
7
d) 4 + _9_ = 4 _9_; rational
f) Das Quadrat
_ einer
_ rationalen Zahl
_ ist wieder rational.
_
Aber _ √ 10 + √ 6 +2 = 10 + 2 · √ 60_
+ 6 =_
16 + 2 · √ 60
ist irrational. Somit muss auch √ 10 + √ 6 irrational sein.
h) 1,8; rational
Siehe Nusslösungen im Schüler/innenbuch
5
1 Reelle Zahlen
1.3 Rechenregeln für Wurzeln
26
_
_
_
_
b
√a ∙ b
√a ∙ √b
9
16
12
12
_3_
4
a
√_
___
√b
_3_
4
81
9
27
27
3
3
1
4
2
2
100
50
_1_
2
5
__
10
_1_
2
5
__
10
25
_
27
_
a
_
50
_
_
√
_a_
b
2 ∙ 8 = √ 16 = 4
a) √_
c) √ 900 = 30
b) √_
27 ∙ 3 = √_
81 = 9 __
d) √ 49 ∙ 2 ∙ √ 16 ∙ 2 = √ 49 ∙ 4 ∙ 16 = 7 ∙ 2 ∙ 4 = 56
144 = 12
e) √_
g) √_
144 = 12
i) √ 100 = 10
f) √_
100 = 10
h) √ 16 = 4
_
_
28
a) 5 ∙ 3 = 15
b) 12 ∙ 13 = 156 c) 6 ∙ 4 = 24
d) 3 ∙ 4 ∙ 7 = 84
e) 8 ∙ 15 = 120
f) 5 ∙ 9 ∙ 4 = 180
29
a) 2
g) 9
b) 5
h) 10
c) 6
i) 4
d) 7
e) 2
f) 10
30
a) 3 a
g) 5g
b) 6 m
h) 4a2b
c) a c
d) 4 a
e) 7 m n
f) 5 x
31
Das Gehalt müsste um 100 % erhöht werden.
32
a) Martin hat recht. Die Terme unter einer Wurzel stehen innerhalb unsichtbarer Klammern. Helene hat die
Vorrangregeln
beachtet. _ _
__nicht_
b) z. B. √ 36 + 64 = √ 100 = 10 ≠ √ 36 + √ 64 = 6 + 8
__
_
_
_
√ 25 − 9 = √ 16 = 4 ≠ √ 25 − √ 9 = 5 − 3
_
_
_
_
_
33
a) √ 8 = √ 4 ∙ 2 = √ 4 ∙ √ 2 = 2 ∙ √ 2
b) Das große Quadrat mit Flächeninhalt 24 lässt_
sich in 4 gleich große Quadrate mit
Die
_ Flächeninhalt 6 zerlegen.
_
_
Seitenlänge des großen Quadrates beträgt √ 24, die eines kleinen Quadrates √ 6. Damit gilt aber √ 24 = 2 ∙ √ 6.
34
a) 2 ∙ √ 2
_
_
_
b) 5 _∙ √ 2
_
_
c) 2 ∙ √ 3
d) 10 ∙ √ 2
2
i) _3_ √ 2
j) b ∙ √ 3
_
_
_
e) 4 ∙ √ 3
_
f) 4 ∙ √ 6
g) 10 ∙ √ 10
√3
h) ___
2
35
a) 3 ∙ √ 2
b) 5 ∙ √ 3
c) 4 ∙ √ 5
d) 2 ∙ √ 15
e) 2 a ∙ √ 2 b
36
a) √ 18
b) √ 48
c) √ 500
d) √ 4 a
e) √ 5 a2
37
Siehe Nusslösungen im Schüler/innenbuch
38
Daniel aß ein Viertel, Lukas drei Achtel aller Knödel. Ursprünglich waren 16 Knödel in der Schüssel.
_
_
6
_
_
_
_
_
_
_
_
_
f) √ 28 a2
1 Reelle Zahlen
1.4 Die Kubikwurzel
39
Siehe Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch
40
a) (1)
__
__
a
√a
_√3 a +3
8
2
27
3
3
___
a
a3
√ a3
8
5
125
5
3
27
6
216
6
512
8
512
30
27 000
30
1
1
1
1,2
1,728
1,2
0,064
0,4
0,064
1
1
1
27
__
8
_3_
2
27
__
8
_3_
5
27
___
125
_3_
5
(2)
b) Die Kubikwurzel ist die Umkehroperation der dritten Potenz und umgekehrt.
41
a) 5
g) x
b) 2,3
h) a
c) 10
i) 2 x
d) 6
j) 5 b2
e) 0,1
f) 20
42
a) 3
g) 0,04
b) 5
h) 0,8
c) 0,2
d) 4
e) 100
f) 4
43
Die Kantenlänge liegt zwischen 5 und 6, weil 53 = 125 und 63 = 216.
44
a) 2,080
e) 0,05
f) 4,309
45
Linkes Bild: 25 ist das Quadrat von 5; 5 ist die Wurzel von 25.
Rechtes Bild: 125 ist die 3. Potenz von 5; 5 ist die 3. Wurzel von 125.
46
3,48 m3
b) 7,368
c) 0,9
d) 3,135
Im Blickpunkt Das Heronverfahren − Berechnen von Wurzeln
47
30
5+6
60
5,5 + 5,4545…
241
__ __
___________ ___
= 44 = 5,477 272 7…;
a) a0 = 5, b0 = 6, a1 = ____
2 = 5,5; b1 = a = 11 = 5,4545…, a2 =
2
30
a2 + b2
1
_____
b2 = __
a = 5,477 178 423…, a3 = 2 = 5,477 225 575…
2
b) analog zu a) a3 = 3,872 983 346
c) analog zu b) a3 = 6,480 740 698
48
Folge den Anweisungen im Schüler/innenbuch
7
2 Algebra
2
Algebra
2.1
Wiederholung – Termumformungen
49
a) 5 x
50
a) – _2_
35 r
g) ___
8
a
5
a) _3_ s2 t
51
x
a) _2_
52
r2
a) __9
53
8
y
g) __
81
b) − 3 y
c) − 12 s
d) − 4,2 c
e) 6,9 x
f) 0
b) b
c) 3 a
x
d) _3_
8
e) __
15 y
f) − _8_ c
12 2
b) __
5 df
c) c2 g3
5
d) − __
12 x y
b) 2 h
c) − __
12 d
x6
f) − __
27
g
h) __2 − 4
5
1
t3
b) ___
216
1
d) − __
16 r
z5
c) __
32
v2
d) __
16
i) − __
81
j) − ___
32
a4
h) − 16
a15
a) (c ∙ c ∙ c) ∙ (c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c) = c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c = c8
54
3
y
a ∙y
a ∙y
a ∙a∙a∙a∙a∙a
= a5
c) _______________
y
a ∙y
a ∙y
a
g9
e) − __
8
y
w∙y
w∙y
w∙y
w∙y
w∙y
w∙w∙w∙w∙w
b) ____________________
= w4
y
w∙y
w∙y
w∙y
w∙y
w∙y
w
d) (a ∙ b2) ∙ (a ∙ b2) = a ∙ b ∙ b ∙ a ∙ b ∙ b = a2 b4
55
a) (1) − 1
(2) 1
(3) 1
(4) − 1
n
n
b) (− 1) = 1 für n gerade; (− 1) = − 1 für n ungerade.
56
a) 12 x2
b) 22 f 3
c) 8 h2
d) – 73 b3
57
a) 6 x 4
g) − g12 h9
b) 10 a2 b3
h) 12 z3 u4
c) x3 y4
i) 225 f 6 h6
d) 16 x4 y4
j) − 16 j4 k5
e) 64 s4 t 4
k) − 48 c7 v5
f) 100 f 4
l) − 288 x12 y17
58
a) d f
b) 2 s2 z
c) 3 x
h
d) ___
2g
s2
e) __
2
1
f) __
4t
59
a) 5 t + 5 g
g) 3 s + 3 t
b) 16 x + 4 s
h) 6 x2 − 4 x
c) − 5 f − __
2 h
60
a) d f + f 2
b) 2 a2 + 2 a b
e) − a4 − a3 b
f) − x2 + x y2
3
4
2
i) 0,1 k − 0,5 k + 0,1 k − 0,8 k
c) − g2 − 2 g h
g) 6 x + 3 y − 4 z
d) g h2 + h3
h) − 1,6 d3 + d2 − 0,4 d
61
a) 3 (x y − z)
e) 2 a (x + z)
b) 9 (f + a)
f) f (9 t + 11 g)
c) 3 x (4 x − 3 a)
g) 5 x (y − 1)
d) 10 d (d − 1)
h) 4 b2 (2 a − 1)
62
a) (4 g − h) (4 e − f)
e) (a − b) (a − 3)
b) 3 (x + 5 y) (g − 2)
f) (2 x − y) (4 x + y)
c) (y + 4 z) (3 x − 1)
d) 8 f (2 v − 3 x)
63
a) − 2 x − 6
e) 8 x − 4 y
b) 6 v + 3
f) − 6 b
c) − x − 6 y
d) 11 y − 3 x
64
a) 7 x + y
b) − 8 a − 3 b
65
a) 23 a − 8
d) – 2 s4 + s3 − 4 s2 + 14 s
g) 24 f 4 − 17 f 3 + 52 f 2
b) − a3 – 3 a2 + 8 a
e) 6 x 4 − 2 x3 − 2 x
h) 24 x 4 − 56 x2
8
15
g h
d) __6 + _5_
(5) − 1
10
10
__
e) __
3 v+ 3 b
5
5
f) _2_ j + _2_ o
c) − a3 + 3 a2
f) 6 y5 − 5 y4 − 2 y3 + 2 y2 − 4 y + 3
2 Algebra
66
(1) 1 m breit und 10 m lang; (2) 2 m breit und 8 m lang; (3) 1,5 m breit und 9 m lang usw.
67
Clemens setzt anstelle von (c + d) s und wendet ein erstes Mal das Distributivgesetz an. Danach setzt er s anstelle
von (c + d) und wendet weitere zwei Mal das Distributivgesetz an und erhält so die Multiplikationsregel.
68
a) 15 i v + 3 i w + 20 j v + 4 j w
d) 5 i v + 30 i w + 3 j v + 18 j v
69
a)
70
a) 2 a3 − a2 b + 4 a b − 2 b2
b) x3 + 3 x2 y − x y − 3 y2
d) 20 j5 − 10 j4 − 8 j3 + 4 j2
e) − 4 f 5 − 6 f 4 + 2 f 3 + 3 f 2
f) − _3_ g6 + 2 g5 − _9_ g4 + _3_ g3
71
a) − 6 a3 + a2 b + 6 a b2 − b3
d) 12 u4 + 32 u3 v2 − 6 u v − 16 v3
b) 2 x2 + 2 x y − x y2 − y3
e) 8 u3 + v3
c) 10 i3 − 45 i2 j + 12 i j − 54 j2
f) a3 − b3
72
a) − 6 p2 − 15 p + 6
73
a) 13 x2 − 17 x y − 7 y2; nicht gleichwertig
c) − 14 a3 − 60 a2 b + 4 a b2 + 28 b3
74
a) Die Grafik ist selbsterklärend.
a
b)
b
ab
b
b) 32 a d − 56 a e + 12 b d − 21 b e
e) 16 a d − 10 a e + 24 b d − 15 b e
b)
b) 3 k2 + 28 k m − 27 m2
b
a-b
a-b
b
1
2
d) 53 x y − 7 y2
a -ab-(ab-b )=
2
a2-ab-ab+b2= ab - b
2
a
2
2
a - 2ab + b
a-b
b
a) 36 x2 − 60 x y + 25 y2
b) 25 u2 − 130 u v + 169 v2
e) 16 u4 − 48 u2 v2 + 36 v 4
f) 9 a2 + 12 a b2 + 4 b4
g) 25 a4 + 2 a2 c2 + __
25
h) a4 d2 − a2 d2 f + ____
4
a) 9 y2 + 16 z2 + 24 y z
b) 4 i2 − 25 j2
c) 9 t2 − 3 s t + _4_ s2
d) 25 x2 − 60 x y + 36 y2
a2
_4_ 2 3
6
i) __
9 + 3 x y + 4y
a) 4 a2 + 2 a b + __
4
b) 9 a2 + 2 a b + __
9
x4
b2
b2
e) 4 a2 − 2 a b2 + __
4
c) 100 a2 + 180 a b + 81 b2 d) 4 u2 − 28 u v2 + 49 v 4
c4
1
b2
__
f) __
4 − 9
b2
j) a2 − a b + __
4
e) − 16 a2 + 9 b2
77
c) − 4 y2 − 6 y + 33
ab
a
76
(a - b)
1
b) 62 x3 − 40 x2 y − 26 x y2 + 42 y3
2
2
ab - b
2
c) − 50 i2 + 30 i j2 − 60 i j + 36 j3
a
b
a-b
75
c) 27 a x + 63 a z − 6 b x − 14 b z
f) 14 a x + 6 a z − 7 b x − 3 b z
g) 25 x2 − 60 x y2 + 36 y4
2
b2
c4
f) 4 a2 + 2 a c2 + __
4
1
k) z2 − _3_ z + _9_
b2
c) 9 a2 − 3 a b + __
4
x2 y z
x2 z2
____
g) x2 y2 − ____
2 + 16
d 2 f2
h) a4 + 2 a3 + a2
2
x y __
y
x2 __
l) __
9 + 3 + 4
b2
d) x2 y2 − b x y + __
4
c2 ____
2 a3 c
6
h) __
9 − 3 +a
9
2 Algebra
78
a) 9 x2 + 24 x y + 16 y2
b) a2 + 14 a b + 49 b2
79
a) (r − s) (r + s)
b) (9 x − 4 z) (9 x + 4 z)
e) (6 − u) (6 − u)
i) (3 b − 2 a3) (3 b + 2 a3)
f) (b + 15) (b + 15)
j) (2 a3 − 3 b)(2 a3 − 3 b)
d e d e
c) _ _4_ − _3_ +_ _4_ + _3_ +
g) (2 a − 3 b) (2 a + 3 b)
d) (a − 10) (a + 10)
h) (2 a − 3 b2) (2 a − 3 b2)
80
a) y2
81
a) x2 − 4 x y + 4 y2 = (x − 2 y)2
b) 36 x2 + 84 x y + 49 y2 = (6 x + 7 y)2
s
s2
c) r2 − r s + __
= _ r − _2_ +2
4
y
x y __
x2 __
_x_ __y 2
d) __
4 + 3 + 9 = _2 + 3+
e) 144 a2 − 72 a b + 9 b2 = (12 a − 3 b)2
x y __
y
x2 __
_x_ __y 2
f) __
16 + 4 + 4 = _ 4 + 2 +
82
b) 2 u v
_
c) 2 u v
d) 12 i j
e) 90 j u
f) 1
2
_
2
_
y2
_
y 2
__
(2) 2 x2 + √ 2 x y + __
4 = _√2 x + 2 +
(1) 2 x2 − y2 = _ √ 2 x − y + _ √ 2 x + y +;
(4) (x − 2 y)2 = x2 − 4 x y + 4 y2
(5) 4 x2 − y2 = (2 x − y) (2 x + y)
y2
y 2
__
(3) x2 + x y + __
4 = _x + 2 +
a) 54 x2 + 33 x + 7
b) 6 a − 2 a2
c) 5 x2 + 32 x + 12
d) 50 u2 + 8 v2
84
a) 39 x2 + 53 x + 19
b) − 2 a4 + 8 a2
c) 15 x2 − 54 x + 27
d) − 60 u v
85
Siehe Nusslösungen im Schüler/innenbuch
86
a)
d+e+f
83
f
af
bf
cf
e
ae
be
ce
d
ad
a
bd
b
cd
c
a+b+c
(a + b + c) (d + e + f) = a d + b d + c d + a e + b e + c e + a f + b f + c f
b) (1) 8 a2 − 4 b2 − 6 c2 + 14 a b − 2 a c + 14 b c
(2) − 8 x2 + 5 y2 − 2 z2 + 6 x y + 8 x z − 3 y z
2.2 Wiederholung − Lösen von Gleichungen
87
a) L = {6}
b) L = {− 8}
c) L = {− 11}
d) L = {− 1}
e) L = {− 7}
f) L = {1}
88
a) L = {12}
b) L = {7,5}
c) L = {42}
d) L = {− 6}
e) L = {5}
f) L = {34}
89
a) L = {− 9}
b) L = {25}
c) L = {2}
d) L = {− 7,5}
90
Fehler 1: In zweiter Zeile „−“ vor dem Klammernausdruck nicht beachtet.
Fehler 2: In vierter Zeile Vorzeichenfehler. Es müsste heißen − 2 x = 10
Richtigstellung: x2 − x2 + 3 x − x + 3 = 7
2x + 3 = 7
2x = 4
x=2
10
2 Algebra
91
a) L = {20}
b) L = {7}
c) L = {7}
d) L = {1}
92
a) L = G
g) L = { }
b) L = { }
h) L = {0}
c) L = G
i) L = { }
d) L = G
j) L = {2}
93
x − x = 0; die Division durch 0 ist verboten! Mehmet hat durch „0“ dividiert!
2.3
e) L = {0}
f) L = { }
Modellieren − Anwenden von Gleichungen
2.3.1 Zahlen und Altersrätsel
1
b) 2 _2_
94
a) 4
95
Diese Eigenschaft gilt für jede Zahl.
96
16
32
__
a) __
3 und 3
97
23, 25, 27
98
32
a) __
3
b) 12
99
a) 11
b) 12
100
Gilt für alle Zahlen, deren Ziffern diese Eigenschaft besitzen. Das sind: 30, 41, 52, 63, 74, 85, 96.
101
18
102
63
103
Ansatz: x + 2 x + (2 x + 5) = 25. Die Brüder sind 4 Jahre, 8 Jahre und 13 Jahre alt.
104
Ansatz: s sei das Alter der Schwester. (2 s − 4) = (s − 4) ∙ 4. Der Junge ist 12 Jahre, seine Schwester 6 Jahre alt.
105
a) In 11 Jahren.
106
Mary ist 16 Jahre, Sally 8 Jahre alt.
107
Ansatz: (x ∙ 7 − 1) : 4 = 5. Die Hausnummer ist 3.
c) 2
b) 6,5 und 9,5
28
c) 14 __
97
b) Vor 4 Jahren
2.3.2 Aufgaben aus der Geometrie
108
Die Seiten sind 13 cm, 9 cm und 22 cm lang.
109
α + α + 2 α + _2_ = 360. Die Winkel 80°, 80°, 160° und 40°.
110
60 cm2
111
a) 8 cm
112
Ansatz: (x + 3) ∙ (2 x + 2 − 5) = x ∙ (2 x + 2); Der Umfang beträgt 58 cm.
113
Das neue Grundstück ist 28 m × 28 m = 784 m2 groß.
114
Das ursprüngliche Grundstück hatte eine Größe von 729 m2.
α
b) 17 cm
c) 9 cm
11
2 Algebra
2.3.3 Aufgaben aus der Wirtschaft
115
a)
b)
c)
d)
116
Ansatz: 20 x + 50 ∙ (61 − x) = 2330
Im Sparschwein befinden sich 24 20-Cent-Münzen und 37 50-Cent-Münzen.
117
Ansatz: 150 + 1 ∙ x = 200 + 0,5 ∙ x. Bei 100 gefahrenen Kilometern sind beide Busunternehmen gleich günstig.
Bei mehr als 100 Kilometern ist „Reiselust“ günstiger, bei weniger als 100 Kilometern „Fliegender Pfeil“.
118
Ansatz: 4 ∙ x + 3 ∙ (x − 3) = 96. Es wurden 15 Sweater verkauft.
119
Er hat 36 000 € geerbt.
120
Siehe Nusslösungen im Schüler/innenbuch
Miguel bekommt 8 €, Pablo 13 € Taschengeld.
Maria bekommt 14 €, Giovanna 7 € Taschengeld.
Carola bekommt 7 €, Berta 10 € und Anna 20 € Taschengeld.
Ahmet bekommt 40 €, Kamil 20 € und Mustafa 10 €.
2.3.4 Allerlei Gemischtes
121
15 Bienen
122
8 Schafe; Ansatz: x − _ _2_ + 3 + ∙ 8 = x − _ _2_ + 3 + + 7
123
a) 94 Quadrate b) 30 Quadrate c) 52 Quadrate
124
In der ersten Schachtel befanden sich am Anfang 67 Münzen.
125
Siehe Nusslösungen im Schüler/innenbuch
126
7 richtige Antworten
127
m sei die Anzahl der Bücher im mittleren Regal vor dem Umräumen. Nach dem Umräumen gilt:
2 ∙ (m − 8 − 10) + (m − 8 − 10) + [(m − 8 − 10) + 24] = 92; m = 35
Nach dem Umräumen stehen im mittleren Regal 17 Bücher, im oberen Regal 34 Bücher, im unteren Regal
41 Bücher.
Vor dem Umräumen stehen im mittleren Regal 35 Bücher, im oberen Regal 26 Bücher im unteren Regal 31 Bücher.
128
x 1
x 1
Ansatz: _2_ + _2_ + x − _ _2_ + _2_ +
f
g
x
_
f
g
x
+ ∙ _12_ + _12_ + 11 = x
47 Hefte
2.3.5 Mischungsaufgaben
129
a) 18 kg der 20 %igen Weizen-Hirse-Mischung, 12 kg der 70 % Weizen-Hirse-Mischung.
b) Ansatz: x · 0,8 + (30 – x) · 0,3 = 30 · 0,6
130
___
___
Ansatz: x ∙ ___
100 + (4 − x) ∙ 100 = 4 ∙ 100
131
____
____
Ansatz: 40 ∙ ____
1000 + 110 ∙ 1000 = 150 ∙ 1000 Die Mischung hat einen Feingehalt von 638,8.
132
10,50 €/kg
12
80
333
30
750
40
Man benötigt 0,8 Liter 80 %ige und 3,2 Liter 30 %ige Salzsäure.
x
2 Algebra
133
a) Das entstehende Messing hat 13 % Kupfergehalt.
134
210°
5
2
b) Man muss 1 _7_ kg 15 %iges Messing mit 1 _7_ kg 8 %igem Messing verschmelzen.
2.3.6 Bewegungsaufgaben
135
a) Siehe Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch
b) Auto 1 legt in der Zeit t eine Strecke s = 50 ∙ t zurück, Auto 2 in der Zeit (t − 0,5) eine Strecke von
s = 60 ∙ (t − 0,5). Bis zum Einholen legen beide Autos eine gleich lange Strecke zurück.
Daher gilt: 50 t = 60 ∙ (t − 0,5); t = 3 h. Auto 2 holt Auto 1 in 150 km Entfernung von Innsbruck ein.
136
a) 30 Minuten
137
Ansatz: 21 ∙ t = 28 ∙ (t − 36); t = 144 h.
Der Schnelldampfer holt den Frachter nach a) 108 h, das sind 4,5 Tage b) 5600 km von New York entfernt ein.
138
__
a) Ansatz: 480 ∙ t + 320 ∙ _ t − __
60 + = 240; t = 30 h. Die Flugzeuge begegnen sich um 10.22 Uhr.
b) Flugzeug A hat 176 km zurückgelegt, Flugzeug B 64 km.
139
a) Der Sonderzug überholt den Güterzug um ca. 9.16 Uhr.
b) ca. 111 km von Salzburg entfernt.
140
a) Das zweite Auto fuhr mit einer mittleren Geschwindigkeit von 45 km/h.
b) Sie treffen einander ca. 320 km von Graz bzw. 180 km von Nürnberg entfernt.
141
Der Radfahrer aus Melk benötigt 15 Minuten bis zum Treffpunkt. Daher der Ansatz für den Radfahrer aus Spitz:
15
18 ∙ _ __
60 + t + = 15. Der Radfahrer ist um 9.25 Uhr in Spitz abgefahren.
142
Ansatz: (x + 10) ∙ 3 + x ∙ 4 = 660. Der Bus fährt mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h.
b) 8 km von Bruck und 7 km von Leoben entfernt
10
2.4
11
Aus dem Gleichgewicht − Ungleichungen
2.4.1 Angabe von Mengen
143
a)
b)
]− ∞; − 1[
–5
0
[
3,5
5
]− ∞; 3,5]
c)
[− 2; ∞[
d)
]1,5; ∞[
e)
[− 5; − 2]
f)
]− 2; 1,5[
g)
[− 7; − 5[
h)
]4; 5]
i)
]− 5; 5[
13
2 Algebra
144
a)
c)
e)
g)
L = {x P R | x < 4} = ]− ∞; 4[
L = {x P R |x ≤ 1} = ]− ∞; 1]
L = {x P R | x > 1} = ]1; ∞[
L = {x P R | − 3 < x < 4} = ]− 3; 4[
b)
d)
f)
h)
L = {x P R | x ≤ − 3} = ]− ∞; − 3]
L = {x P R | − 7 ≤ x ≤ − 1} = [− 7; − 1]
L = {x P R | x ≥ − 7} = [− 7; ∞[
L = {x P R | − 3 < x ≤ 1} = ]− 11; 1]
2.4.2 Lösen von Ungleichungen
145
Siehe Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch
146
a) L = ]− ∞; − 3[
e) L = ]− 6; ∞[
b) L = [8; ∞[
f) L = [− 4; ∞[
c) L = [3; ∞[
g) L = ]− ∞; − 3[
d) L = ]− ∞; 0[
h) L = [3; ∞[
147
a) + 9,5; 10,7
b) : 50; − 0,2
c) : 0,3; 0
3
d) ∙ _2_; − 1,5
148
a) L = {x P R | x < 4}
b) L = {x P R | x ≤ − 5}
c) L = {x P R | x > 6,5}
h
1
__
d) L = x P R | x < − 2
j
e) L = {x P R | x ≥ 4}
f) L = {x P R | x ≥ − 8}
g) L = {x P R | x ≥ − 0,4}
h) L = {x P R | x ≥ − 2}
i) L = {x P R | x > 0}
j) L = {x P R | x ≥ 0}
149
a) L = {x P R | x < 7}
d) L = {x P R | x ≥ − 58}
g) L = {x P R | x > − 3}
b) L = {x P R | x > 0,4}
e) L = {x P R | x ≤ 45}
h) L = {x P R | x ≥ − 1}
c) L = {x P R | x < 5}
f) L = {x P R | x < − 0,25}
i) L = {x P R | x > 0,01}
150
a) L ={x P Z | x < 4}
d) L = {x P Z | x ≥ 1}
g) L = {− 3, − 2, − 1, 0}
b) L = {x P Z | x ≥ 8}
e) L = {x P Z | x ≥ − 44}
h) L = {− 2, − 1, 0, 1, 2, 3}
c) L = Ν
f) L = {x P Z | x ≤ − 1}
i) L = {1, 2, 3,…,9, 10, 11}
151
Einige mögliche äquivalente Ungleichungen:
a) 2 x < 2; x + 3 < 4; 0 < 1 − x; 3 x − 5 < 2 x − 4
b) 2 x ≥ 2; x + 3 ≥ 4; x − 1 ≥ 0; 1 + 2 x ≤ 3 x
c) 2 x > 2; x + 3 > 4; 0 > 1 − x; 3 x − 5 > 2 x − 4
d) 4 y ≤ 6; 2 y + 1 ≤ 4; y ≤ 1,5; 5 y − 4 ≤ y + 2
e) 3 a < 2 a; a < 0; 6 a + 5 < 4 a + 5; 2 a − 3,8 < 2 ∙ (0,5 a − 1,9)
14
2 Algebra
152
a) L = {x P R | x < 17}
h
7
e) L = x P R | x ≥ − _5_
j
b) L = {x P R | x ≥ 1}
h
3
f) L = a P R | a < − _2_
j
c) L = {x P R | x > − 4}
d) L = {x P R | x > 1}
g) L = {a P R | a > − 4}
h) L = {y P R | y < − 9}
c) L = {z P R | z < − 1}
d) L = f P R | f > _3_
h
1
j
153
a) L = {x P R | x ≥ 1}
154
Stefan isoliert die Variable x auf der linken Seite. Im vorletzten Schritt multipliziert er mit (− 1) und muss daher das
Ungleichheitszeichen umdrehen.
Peter bringt die Variable x auf die rechte Seite der Ungleichung und isoliert sie dann. Er erspart sich damit die
Multiplikation mit (− 1).
Bastian arbeitet sehr umständlich. Der erste Schritt wäre eigentlich nicht notwendig. Sein weiterer Weg ähnelt dann
dem Weg von Peter.
155
Folgende Ungleichungen wären z. B. möglich:
a) 2 x ≥ − 4; x + 5 ≥ 1; 6 − x ≤ 8; 3 x − 5 ≥ 2 x − 7
c) 2 x < − 4; x + 5 < 1; 6 − x > 8; 3 x − 5 < 2 x − 7
156
Petra: Wenn man zu 5 eine beliebige Zahl addiert, erhält man mit Sicherheit eine kleinere Zahl, als wenn man zu 8
dieselbe Zahl addiert. Damit lösen alle Zahlen diese Ungleichung.
Hanna: Wenn man von 5 eine Zahl subtrahiert, ist diese Differenz größer, als wenn man dieselbe Zahl
von 1 subtrahiert. Damit kann diese Ungleichung von keiner Zahl erfüllt werden, da dort genau das Gegenteil
behauptet wird.
157
a) <
b) Keines davon c) >
158
a) R
b) { }
b) L = {xP R | x ≤ − 8}
c) Nein. R+0
b) 2 x > − 4; x + 5 > 1; 6 − x < 8; 3 x − 5 > 2 x − 7
d) >
e) Keines davon
d) R
e) R
2.4.3 Textungleichungen
159
a) x > 0
160
a)
b)
c)
d)
b) x = 0
(x − 11) ∙ 7 < 42 Alle Zahlen, die kleiner als 17 sind.
90 + x ≥ 80 Alle Zahlen, die größer oder gleich − 10 sind.
2 x ≥ 3 x + 8 Alle Zahlen, die kleiner oder gleich − 8 sind.
_x_
2 > x + 1 Alle Zahlen, die kleiner als − 2 sind.
x
x
e) _2_ − 1 < _3_ + 1 Alle Zahlen, die kleiner als 12 sind.
f) 8 x − (x − 15) > 10 x Alle Zahlen, die kleiner als 5 sind.
161
Jeder Motor darf höchstens 67 kg wiegen (unter der Annahme, dass alle gleich schwer sind).
162
Jeder Block muss mehr als € 2 _3_, also mindestens € 2,34 kosten.
163
Jeder Würfel ist ein gerades Prisma mit quadratischer Grundfläche. Da G = a2 und die Höhe des Würfels gleich
der Basiskantenlänge ist, gilt: V = a2 ∙ a = a3.
164
Bei mehr als 300 Besuchern ist die zweite Band billiger, bei weniger als 300 die erste und bei genau 300 Besuchern
sind beide Bands gleich günstig.
165
Ansatz: Man kauft x Stück Erdbeertorte und (10 − x) Stück Obsttorte. Daher x ∙ 2 + (10 − x) ∙ 2,30 ≤ 21; x ≥ 6 _3_.
Es können höchstens 3 Stück Obsttorte gekauft werden. Es bleiben dann 0,40 € über.
1
2
15
2 Algebra
166
Das City-Bike hat ursprünglich höchstens € 333,33 gekostet.
167
Ab 1000 km ist das erste Angebot günstiger.
168
Siehe Nusslösungen im Schüler/innenbuch
169
a) Die Aussage ist richtig, wenn x positiv ist, sonst ist sie falsch.
b) Die Aussage ist richtig, wenn x positiv ist, sonst ist sie falsch.
170
a) Negative Zahlen
b) Das ist nie möglich
c) Diese Eigenschaft haben alle negativen Zahlen aber auch alle Zahlen, die größer als 1 sind.
2.5
Bruchterme
2.5.1 Definitionsmenge von Bruchtermen
3
171
x ≠ 0; a ≠ − 2; y ≠ − 3, y ≠ 1; b ≠ _2_
172
a) Nenner x = 0
173
T1: y = 0; T2: x = 1; T3: a = − 2, a = − 1; T4: b = 3, b = − 5; T5: b = 5
174
a) D = R \ {3}
e) D = R \ {0, − 1}
175
x+3
1 , ______
x , ____
1 3 , ____
x+1
a) _x_ , ___
b) ____
x
x − 5 3 x − 15 5 − x
2x
x−3
5
x2 − 2 x + 7
d) __________ , ____________ , _________
3 , _____
3x − 7
x , _____
c) _____
2
2
2
176
a) x ≠ y
d) x ≠ − y
b) x ≠ y, x ≠ − y
e) x ≠ y
c) y ≠ 0, y ≠ x
177
a) 2 x ≠ y
d) x ≠ − 2 y
b) x ≠ y
e) a ≠ b, a ≠ 0
c) x ≠ − 2 y
f) p ≠ − q
(x − 8) (x + 3)
b) Nenner (x + 10) = 0
b) D = R \ {0, 1}
f) D = R \ {− 1, 1}
(2 x − 16) (x + 3)
c) Nenner a (a − 2) = 0
hj
h
2
c) D = R \ _5_
g) D = R
x +1
x +4
d) Nenner x2 − x = 0.
1
j
d) D = R \ 0, − _2_
h) D = R \ {0, 1, − 1}
x +3
x2 − 5 x − 24
2.5.2 Kürzen und Erweitern von Bruchtermen
178
2y
a) ___
3 für x ≠ 0
e) a für b ≠ c
179
a (b + c) für a ≠ 0
2a − 3b
c) ______
2a + 3b
1
e) _5_ für x ≠ − y
y
b) ___
5 x für x ≠ 0
6k
f) ______
5 (v − w) für v ≠ w und k ≠ 0
a+b
b) ____
a − b für a ≠ b und a ≠ 0
d) (3 y − 2 x) für x, y ≠ 0
y+z
f) ____
y − z für x ≠ 0 und y ≠ z
3z − 4y
g) ______
2 y − 2 z für x ≠ 0 und y ≠ z
180
16
2ab
c) ____
5 für a, b, c ≠ 0
a) x − y (für x ≠ y)
b) a + 5 (für a ≠ − 5)
2x − 3y
_3_
d) ______
2 x + 3 y _ für x ≠ − 2 y +
3a + 5b
_5_
e) ______
3 a − 5 b _ für a ≠ 3 b +
a−b
c) ____
a + b (für a ≠ − b)
2a − 3y
_3_
f) _______
2 a + 3 y _ für a ≠ ± 2 y +
d) x + y für a ≠ 0
1
g) ______
2 (a + 1) für a ≠ ± 1
2 Algebra
181
a) 3 a
d) x + y
b) x − y
e) a. Druckfehler im
Schüler/innenbuch
(1. Auflage): rechter
Nenner: a2 – 2
c) 2 x y
f) 2 ∙ (z − 2)
182
a) unkürzbar
x
b) _a_ (für x ≠ − a, a ≠ 0)
a+1
c) ____
b + a (für x ≠ 0)
e) unkürzbar
f) unkürzbar
i) 1 (für x ≠ − 1)
p − 2q
j) ______
3q − 4p
2
g) _3_ (für a ≠ − 1)
183
a) 4; x
e) x; x + y
b) 2; 3
f) 2 y; 3 (x − y)
c) 4; 3 x
g) p; p2 − q2
184
Entscheidend ist die schwarze Farbe. Es lassen sich maximal 41 Plakate herstellen. Es bleiben 16 g schwarze und
jeweils 836 g rote und grüne Farbe über.
x−a
d) _______
y ∙ (1 − a) (für x ≠ 0)
h) − 1 (für a ≠ 0, a ≠ b)
d) a; b
h) (− 1); 1
2.5.3 Multiplikation und Division von Bruchtermen
185
2 2
28 x y
a) ______
3 (für a ≠ 0)
d)
g)
j)
m)
186
a)
63 p q
b) _____
40 (für p, q ≠ 0)
15 a
b3
______
(für a ≠ 0, a ≠ − b)
e)
a2 − a b
3ac
____
h)
32 b (für a, b ≠ 0)
8
y
___
k)
5 (für x ≠ 0)
_3_
− 2 (für a, b ≠ 0)
n)
1
______
(für a ≠ 0, a ≠ b, a ≠ − b)
a2 + a b
28 a2 y
_____
(für b ≠ 0)
27 b3
2y
___
5 x (für x, y ≠ 0)
64 a2 b
_____
(für b ≠ 0)
3
188
189
190
3ax
a) ____
4b
ruv
a) ___
3 (für r, u, v ≠ 0)
y
5
___
f)
(für x, y ≠ 0)
2 y2
i) 3 a (für b ≠ 0)
2
4x + 4xy
(für y ≠ 0)
l) ________
7y
4 r s + 4 s2 (für r ≠ 0)
b) 1 (für a ≠ b, a ≠ − b)
a−b
(für x ≠ y, x ≠ − y)
d) ____
x+y
c) a2 − b2 (für a ≠ b, a ≠ − b)
187
x+y
c) ____
2 (für x, y ≠ 0)
49
b) ____
uvw
ac + bc
c) ______
4
b) 12 y (für x, y ≠ 0)
ax
c) ___
b (für a, b, c, x, y, z ≠ 0)
32 x2 z
c) _____ (für a, x, y, z ≠ 0)
1
a) ___
3 b (für a, b ≠ 0)
2
b) ___
5 x (für x, y ≠ 0)
4xz
d) ____
3 y (für x, y, z ≠ 0)
3x
e) ____
4 y z (für x, y, z ≠ 0)
7y
3z
____
f) 10 a x (für a, x, y, z ≠ 0)
a3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
(für a ≠ b, a ≠ − b)
g) ________________
a−b
h) x − y (für x ≠ y, x ≠ − y)
@
@
(a − b) (a + b)
(x + y) __________
a) _____
=a+b
@
@
(a − b) ∙
(x + y)
@
(a − b) (a + b) ______
3@
(x − y) ___________
5@
5 (a + b)
c) _______
= 8
(a − b) ∙ y
(x − y)
6@
4@
@
@
(a − b) @
(a + b) _____
(a + b)
b) __________
@
(a + b) @
(a + b) ∙ @
(a − b) = 1
2
@
@
(x − y) @
(x − y)
(x + y)
_____
d) _______________
@
(x − y) @
(x + y) ∙ @
(x + y) ∙ @
(x − y) = 1
191
3b
d) ___
2 (für a, c ≠ 0)
2xy
2 x __y ____
a) ___
3 ∙ 7 = 21
a b + b2
c) ______
a
b) richtig
1
1
1
d) ______2 ∙ _____
= ______
(c + d) (c + d) (c + d)3
2.5.4 Addition und Subtraktion von Bruchtermen
192
−2u + 9v
a) _______
2
2a
4 a2 − 2 b + 2 c
__________
d)
9b
− 3 a2 + 3 b − 5 c
b) ____________
8p
a2 − 2 b2 − 2 a − 5 c
e) ______________
2
2ab
5a − 3b
c) ______
2a − 3b
2x + y
f) _____
2
2
x −v
17
2 Algebra
193
5ax − by
a) _______
(für x, y ≠ 0)
4xy
d)
g)
j)
l)
194
a)
c)
e)
5bx + 7ay
b) ________
(für a, b ≠ 0)
35 a b
3a b
20 y + 21 x2
3 a c − 2 b2
5 t v − 4 s u2
________
________
________
(für b, c ≠ 0)
e)
(für x, y ≠ 0)
f)
(für u, v ≠ 0)
12 b c
48 x2 y
20 u2 v
b−a
ab − 2b
3x + 6
____
(für a, b ≠ 0)
h) ______
(für a ≠ 0)
i) _____
(für x ≠ 0)
a2 b2
4 a2
2 x2
2 z2 − 5 z y − 2 x y
3 a2 b + 12 a b − 4 a − 12 b + 48 b c
____________
(für x, y, z ≠ 0) k) ________________________
für (a, b ≠ 0)
2
2
x yz
12 a2 b
− 6 a y + 10 a z − 67 y + 14 z
___________________
(für x, y, z ≠ 0)
60 x y z
2 a b + b2
−4ab
_____
(für a ≠ b, a ≠ − b)
b) _______
a (a + b) (für a ≠ 0, a ≠ − b)
a2 − b 2
9______________
axy − 5bx + 5by
y−1
(für x, y ≠ 0, x ≠ y)
d) _________
x y (x − y)
(x − y) (x + y) (für x ≠ y, x ≠ − y)
− 7 x + 14 y
36 a − 55
_____________
f) _________
2 (2 a − 3) (2 a − 3) (für a ≠ 1,5)
(x − y) (x + y) (für x ≠ y, x ≠ − y)
17 z2 + 18 z + 19
(für z ≠ 1, z ≠ − 1)
g) ____________
2
2a + 8b
(für a ≠ b)
h) ______
3
a) Die Hälfte
c) Die Hälfte
20 (z − 1)
2 + 2 y2
x______
(für x ≠ 2 y, x ≠ − 2 y)
i) 2
x − 4 y2
195
4 b2 c + 3 a 2 d
c) __________
(für a, b ≠ 0)
2 2
b) Die Hälfte
2.5.5 Verbindung der Grundrechnungsarten
196
197
2
2
9 x z − 10 x y
(für y, z ≠ 0)
a) __________
2
3y z
2 + 3uv
u
d) _______
(für v ≠ 0)
6 v2
– 4 y _3_
g) ____
+ x (für x, y ≠ 0)
x2
18 b2 d − 8 c
(für b, c, d ≠ 0)
a) _________
9bcd
2
2
2
10 b c
e) 16 a b2 − 12 a2 b (für a, b ≠ 0)
a2 b2 __
b3
h) ____
+
2 (für a ≠ 0)
2
8y
2 − a2
b_____
f)
(für a, b ≠ 0)
a2 b2
i) 2 x2 – x y2 (für x, y ≠ 0)
2
a)
3
b)
18
_1_
a
a
____
a−1
3 a3 + a2
______
3
1
_____
a2 − 1
a4 − a 2 + 3
________
3 (a2 − 1)
a3 + 3
_____
3a
a3 − a2 + 3 a
_________
3 (a − 1)
a+1
____
a2
a5 + a + 1
_______
a2
a3 + 2 a 2 − a + 1
____________
a2 (a2 − 1)
2a + 1
_____
a2
a3 + a2 − 1
________
a2 (a − 1)
a2 − 1
a 3 + a2 − 1
a4 − 2 a 2 + 2
_________
(a2 − 1)
a3 − a + 1
_______
a
a3 − a2 + 1
________
a−1
a−1
____
a+1
a4 + a 3 + a − 1
___________
a+1
a2 − 2 a + 2
________
a2 − 1
a2 + 1
______
(a + 1)a
2 a2 − a + 1
________
a2 − 1
−
a3
_1_
a
a
____
a−1
a2
__
3
3 a3 − a2
______
3
1
_____
a2 − 1
− a4 + a 2 + 3
_________
3 (a2 − 1)
− a3 + 3
______
3a
− a3 + a2 + 3 a
__________
3 (a − 1)
a+1
____
a2
a5 − a − 1
_______
a2
− a3 + a + 1
________
a2 (a2 − 1)
−1
___
a2
a3 − a2 + 1
________
a2 (a − 1)
a2 − 1
a 3 − a2 + 1
− a4 + 2 a 2
________
(a2 − 1)
− a3 + a + 1
________
a
− a3 + a2 + 2 a − 1
_____________
a−1
a−1
____
a+1
a4 + a3 − a + 1
___________
a+1
− a2 + 2 a
_______
a2 − 1
− a2 + 2 a + 1
__________
(a + 1) a
3a − 1
_____
a2 − 1
+
a3
a2
__
3
2
14 q v − 15 p u
c) ___________
(für p, q, u, v ≠ 0)
14 p q v
b) 0 (für a ≠ b, a ≠ − b)
−4p q + 2pq – 2q
d) _______________
(für p ≠ q, p ≠ − q)
p−q
198
2
8x + 3y
c) _______
(für x, y ≠ 0)
2
15 a2 c − 8 a2 b
b) __________
(für b, c ≠ 0)
2
2 Algebra
c)
d)
199
2.6
1
_____
a2 − 1
a2
_______
3(a2 − 1)
_1_
a
a
____
a−1
_a_
3
a3
______
3 (a − 1)
a2 + a
1
_______
a2 (a − 1)
a+1
____
a3
a+1
______
a (a − 1)
a2 − 1
a5 − a3
1
a2 − 1
_____
a
a2 + a
a−1
____
a+1
a4 − a 3
_____
a+1
1
______
(a + 1)2
a−1
______
(a + 1)a
a
____
a+1
:
a3
_1_
a
a
____
a−1
a2
__
3
3a
1
_____
a2 − 1
3
________
(a2 − 1) a2
3
__
a3
3
______
(a − 1) a
a+1
____
a2
a5
____
a+1
a2
__________
(a2 − 1)(a + 1)
a
____
a+1
a3
______
(a2 − 1)
a2 − 1
a3
______
(a2 − 1)
1
______
(a2 − 1)2
1
_______
(a2 − 1) a
a
__________
(a2 − 1)(a − 1)
a−1
____
a+1
a4 + a 3
_____
a−1
1
______
(a − 1)2
a+1
______
(a − 1) a
a2 + a
______
(a − 1)2
·
a3
a2
__
3
a5
__
3
a+1
____
a2
a) (1) 45,45 %
(2) 77,27 %
b)
4
Bruchgleichungen
5
1
2
3
2.6.1 Lösen von Bruchgleichungen
200
Siehe Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch
201
1
a) L = _3_ , D = R \ {0}
1
b) L = _5_ , D = R \ {0}
1
c) L = _2_ , D = R \ {0}
d) L = {− 1} , D = R \ {0}
e)
f) L = {0} , D = R \ {− 1}
g)
h) L = {4} , D = R \ {5}
hj
3
L = h _2_ j , D = R \ {2}
hj
202
a) L = {− 9}, D = R \ {0, − 3}
d) L = {− 7}, D = R \ {0, − 1}
g) L = {2}, D = R \ {4, 9}
203
2 8
a) L = {− 20}, D = R \ _5_ , _3_
d) L = {4}, D = R \ {0, − 2}
b) L = {− 4}, D = R \ {0, 3}
e) L = {− 7}, D = R \ {3, − 3}
h) L = {3}; D = R \ {5, 10}
h j
h
7 2
g) L = {− 1}, D = R \ − _4_ , _3_
hj
9
L = h __
10 j , D = R \ {1}
j
h
4 4
b) L = {− 12}, D = R \ _3_ , − _3_
1
e) L = {1}, D = R \ _2_ , − 1
h
j
c) L = {3}, D = R \ {0, 5}
f) L = {− 5}, D = R \ {− 6, − 12}
j
h
5
c) L = {5}, D = R \ _2_ , − 5
j
f) L = {− 6}, D = R \ {3, − 3}
h) L = {− 4}, D = R \ {0, 1}
204
a) L = {− 3},
D = R \ {1}
205
1
x2 + 1 und 2 ∙ (x2 + 1) können nie Null sein, da x2 ≥ 0 für alle x aus den reellen Zahlen ist. L = _2_
206
a) Siehe Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch
b) (1) L = R \ {4}
(2) L = R \ {0}
(3) L = R \ {1}
(4) L = R \ {2}
207
a) x = 1, daher L = { } wegen D = R \ {− 1, 1}
b) L = R \ {− 1, 1}
c) L = {0}
b) L = {6},
D = R \ {− 1}
c) L = {0},
D = R \ {− 1}
d) L = {1},
e) L = {5},
f) L = {− 2},
D = R \ {− 2, 2}
D = R \ {− 2, 2}
D = R \ {− 4}
hj
19
2 Algebra
208
a) L = { }, D = R \ {− 3, 3}
d) L = { }; D = R \ {0, 2}
209
Max erhält 15 €, Sebastian 24 €.
b) L = {1}, D = R \ {− 4, 4}
e) L = {− 6}, D = {− 1, − 2}
c) L = {− 2}, D = R \ {− 1, 0}
f) L = {− 4}, D = R \ {3}
2.6.2 Textgleichungen mit Bruchtermen
210
a) (1) 40,8 cm
b) (1) 60 cm
(2) 30 cm
(2) 26,4 cm
(3) − 8,57 cm
(3) − 6 cm
(4) ∞
211
a) 6
b) 5
c) 2
d) 3
212
x−2
a) _____
2 x + 2 = 0,4 oder (x − 2) : (x + 4) = 0,4 : 0,6; 28 Schüler/innen.
x+3
b) _____
3 x + 3 = 0,4; 30 Burschen und Mädchen.
213
360 000; 140 000 000; 370; 245 370; 170 000 000; 21 700 000; 30
214
3
__
_1_ _1_ _1_
6 + 7 = x ; es dauert 3 13 Tage, das sind ungefähr 3 Tage und 5,5 Stunden.
1 _1_ __
1
a) Ansatz: ___
2 x + x = 18 (x ist die Anzahl der Stunden, die zum Füllen des Beckens benötigt wird, d.h. durch
215
Schlauch 1 dauert das Füllen x Stunden, durch Schlauch 2 dauert es 2 x Stunden). Mit Schlauch 1 dauert das
Füllen 27 Stunden, mit Schlauch 2 dauert es 54 Stunden.
2
b) Da durch Schlauch 1 doppelt so viel Wasser fließt wie durch Schlauch 2, fließt durch Schlauch 1 _3_ des gesamt_3_
_3_
en Wassers, d. h. Schlauch 1 benötigt 2 · 18 h = 27 h, Schlauch 2 benötigt 1 · 18 h = 54 h.
5
1
216
Die beiden Einbrecher schaffen pro Stunde _6_ des Tresors. Daher benötigen sie zusammen 1 Stunde und _5_ Stunde
d. h. 1 h 12 min.
217
a) Zusammen benötigen sie 15 Minuten.
b) Die schnellere Maschine druckt 15 000, die zweite 9000 Stück der Zeitung.
218
Siehe Nusslösungen im Schüler/innenbuch
2.7
Umformen von Formeln
219
F 2 ∙ s2
F1 ∙ s1
R1 ∙ U2
R2 ∙ U1
U1 ∙ R2
R1 ∙ U2
_____
_____
_____
(3) U1 = _____
R2 ; U2 = R1 ; R1 = U2 ; R2 = U1 ;
F
(4) A = _p_ ; F = A∙ p
1
Q
Q
Q
ρ∙I
A∙ R
A∙ R
____
____
(7) A = ___
R ; ρ= I ; I= ρ
W
V
R ∙ R2
R1 ∙ R2
V
W
R ∙ R1
_____
_____
(8) R = ______
R1 + R2 ; R1 = R2 − R ; R2 = R1 − R
V
___
___
a) (1) V = a b c; a = ___
bc ; b = ac ; c = ab
O − 2ac
O − 2bc
V
V
W
___
___
(6) U = __
I ∙ t; I = U ∙ t; t = I ∙ U
O − 2ab
_______
_______
(2) O = 2 ∙ (a b + a c + b c); a = _______
2 (b + c) ; b = 2 (a + c) ; c = 2 (a + b)
V
____
____
b) (1) V = 30 x y z; x = ____
30 y z ; y = 30 x z ; z = 30 x y
O − 20 y z
O − 30 x z
O − 12 x y
________
_________
(2) O = 2 ∙ (6 x y + 15 x z + 10 y z); x = ________
6 (2 b + 5 c) ; y = 4 (3 x + 5 z) ; z = 10 (3 x + 2 y)
20
F2 ∙ s 2
_____
_____
_____
(2) F1 = _____
s1 ; F2 = s2 ; s1 = F ; s2 = F
___
____
(5) m = ___
c∙t ; c = m∙t ; t = c∙m
220
F1 ∙ s1
(1) I1 = I − I2; I1 = I − I2
2
2 Algebra
2V
1
2V
2V
___
___
c) (1) V = _2_ a b h; a = ___
bh ; b = ah ; h = ab
O − bh − ch
O − ah − ch
O − ab − ah − bh
O − ab
; b = _________
; c = _____________
; h = _______
(2) O = a b + a h + b h + c h; a = _________
b+h
a+h
h
a+b+c
V
V
V
___
___
d) (1) V = 6 s t l; s = ___
;
t
=
;
l
=
6tl
6ls
6st
O − 4tl − 6rl
O − 6 s l − 6 rl
O − 6st
O − 6st − 6sl − 4tl
__________
______________
(2) O = 6 s t + 6 s l + 4 t l + 6 r l; s = __________
; l = ___________
6l
6 (t + l) ; t = 2 (3 s + 2 l) ; r =
2 (3 s + 2 t + 3 r)
221
3A
3A
4ab
___
___
b) A = ____
3 ; a = 4b ; b = 4a
2A
1
2A
___
a) A = _2_ a b; a = ___
b ; b= a
_
5 a2
12A
____
c) A = ___
5
12 ; a =
√
2.8. Vermischte Übungen
222
a) (a − b) (i − j)
d) (5 t − 2 b) (2 r + 3 s)
b) (5 d − 9 z) (u + 1)
e) (q − r) (p − s)
c) (x − 3 b) (2 r − 7 v)
f) (x − y) (x + y) (e − f)
223
a) 3 x (2 x2 − x + 3)
d) (7 a + 3 y) (7 a + 3 y)
b) 4 m n ∙ (− 6 m + 9 n + 7)
e) 2 (x + 1) (x + 1)
c) (2 v − 3) (2 v − 3)
f) 3 (w − 2) (w − 2)
224
a) (x + y) (3 m + 2)
d) (x + y) (m + 2) ∙ 2
b) (m + 3) (9 x − 2)
e) (a − b) (1 + c + d)
c) (t − 4) (4 m n − 1)
f) (a + c) (b + d)
225
a) L = {− 2}
b) L = {1}
c) L = {9}
226
a) L = {x P R | x ≤ 3}
h
4
b) L = x P R | x > − _5_
h 1j
d) L = − _2_
j
227
(n + 1)2 − n2 = n2 + 2 n + 1 − n2 = 2 n + 1;
Die Differenz der Quadrate zweier aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist gleich dem um 1 vermehrten
Doppelten der kleineren Zahl.
Diese Differenz ist immer ungerade!
228
Siehe Nusslösungen im Schüler/innenbuch
229
_m_
n muss zwischen 2 und 10 liegen.
230
Frederik ist 12 Jahre alt, Antonia ist 18 Jahre alt.
231
Beide Kinder erhalten je 7 300 €, Großmutter erhält 17 900 €.
232
1
1
1
Ansatz: _2_ x + _3_ x + _8_ x + 9 = x. Auf dem Bauernhof leben 216 Tiere.
233
Ansatz: 50 ∙ 8 + 80 ∙ 9,50 + x ∙ 14 = (50 + 80 + x) ∙ 11. Es müssen noch 90 kg der dritten Sorte hinzugefügt werden.
234
____
____
Ansatz: x ∙ ____
1000 + (105 − x) ∙ 1000 = 105 ∙ 1000
Er muss 42,5 g 375-Gold mit 62,5 g 585-Gold mischen.
235
a) Falsch! Das Doppelte von Null ist gleich der Hälfte von 0.
b) Falsch! Ist die zweite Zahl negativ, dann ist die neue Zahl kleiner als die ursprüngliche.
236
a) D = R \ {− 4}
b) D = R \ {4}
c) D = R
d) D = R \ {− 3, 7} e) D = R \ {− 3, 1}
237
a) x − y
b) a + 5
a−b
c) ____
a+b
v+w
d) ____
v−w
375
585
500
2a − 3b
e) ______
2a + 3b
21
2 Algebra
238
2 2
28 x y
a) ______
3
81 p q
b) _____
32
f)
3b
g) ___
2
239
a)
240
a)
241
a)
242
15 a
ruv
___
3
3_____
u−v
a2
49 x + 3 y3
________
21 y2
b+a+2
_______
2 a2 b2
x+y
c) ____
2
5 a2 − 2 b
b) _______
9b
y
(a + b)2
______
h) 2 2
c −d
1
____
c) x + y
2r
b) ___3
c) richtig
2y
d) ___
5x
1
e) _a_
32 a2 b
i) _____
3
2 x2
j) ___2
2ay + 3ax
d) ________
xy
a) L = {4}
9s
a3 − 15 a2 − 28 a + 32
_______________
b)
a3 − 16 a
3
c) L = {1}
b) L = − _2_
d) L = {2}
243
a) L = { }
b) L = R
d) L = {2}
244
a) Die Zahl lautet 8.
245
61 = 60 + 1; 59 = 60 − 1.
Daher gilt 61 ∙ 59 = (60 + 1) (60 − 1) = 3600 − 1 = 3599.
h j
c) L = {− 4}
3y
a
e) − ___
8x
4ax + 3y
f) _______
3
6a
c) 0
1
b) Die Zahl lautet − _2_.
Im Blickpunkt: Pascal’sches Dreick − Potenzieren von Summen
246
a) (a + b)3 = (a + b)2 ∙ (a + b) = (a2 + 2 a b + b2) (a + b) = a3 + 2 a2 b + a b2 + a2 b + 2 a b2 + b3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3.
b) (a − b)3 = a3 − 3 a2 b + 3 a b2 − b3
c) (1) p3 + 3 p2 q + 3 p q2 + q3
(2) a3 + 6 a2 + 12 a + 8
3
2
2
3
(3) u + 6 u v + 12 u v + 8 v
(4) 8 m3 + 36 m2 n + 54 m n2 + 27 n3
6
4
2
2
3
(5) 27 x + 135 x z + 225 x z + 125 z
(6) a3 − 3 a2 b + 3 a b2 − b3
3
2
(7) u − 9 u + 27 u − 27
(8) 8 a3 − 48 a2 + 96 a − 64
247
a) 1 4 6 4 1
248
a) a6 + 6 a5 b + 15 a4 b2 + 20 a3 b3 + 15 a2 b4 + 6 a b5 + b6
x7 + 7 x6 y + 21 x5 y2 + 35 x 4 y3 + 35 x3 y4 + 21 x2 y5 + 7 x y6 + y7
p9 + 9 p8 q + 36 p7 q2 + 84 p6 q3 + 126 p5 q4 + 126 p4 q5 + 84 p3 q6 + 36 p2 q7 + 9 p q8 + q9
b) a5 − 5 a4 b + 10 a3 b2 − 10 a2 b3 + 5 a b4 − b5
x6 − 6 x5 y + 15 x4 y2 − 20 x3 y3 + 15 x 2 y4 − 6 x y5 + y6
p9 − 9 p8 q + 36 p7 q2 − 84 p6 q3 + 126 p5 q4 − 126 p4 q5 + 84 p3 q6 − 36 p2 q7 + 9 p q8 − q9
c) 27 a3 + 27 a2 + 9 a + 1
64 x3 + 96 x2 + 48 x + 8
32 c5 + 240 c4 d + 720 c3 d2 + 1080 c2 d3 + 810 c d4 + 243 d5
d) x 4 − 12 x3 y + 54 x2 y2 − 108 x y3 + 81 y4
1024 z5 − 1280 z4 w + 640 z3 w2 − 160 z2 w3 + 20 z w 4 − w5
64 x6 − 576 x5 y + 2160 x 4 y2 − 4320 x3 y3 + 4860 x2 y4 − 2916 x y5 + 729 y6
e) a3 + 3 a2 b2 + 3 a b4 + b6
a8 − 4 a6 b2 + 6 a4 b4 − 4 a2 b6 + b8
32 p5 − 240 p4 q2 + 720 p3 q4 − 1080 p2 q6 + 810 p q8 − 243 q10
249
Offene Aufgabenstellung
22
b) 1 5 10 10 5 1; 1 6 15 20 15 6 1; 1 7 21 35 35 21 7 1
2 Algebra
Thema: Heuristische Strategien − Tipps und Tricks zum Problemlösen
250
Die Kinder seien K1 und K2, die Frau F und der Mann M. Folgendes ist möglich:
Fahrt 1: Beide Kinder fahren auf die Insel, und K1 rudert allein wieder zurück.
Fahrt 2: Der Mann fährt alleine auf die Insel und K2 rudert wieder zurück.
Fahrt 3: Beide Kinder fahren auf die Insel und K1 rudert alleine zurück.
Fahrt 4: Die Frau fährt alleine auf die Insel und K2 rudert alleine zurück.
Fahrt 5: K2 und K1 fahren auf die Insel.
251
Siehe Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch
252
110° + γ = 180°, daher γ = 70°. α = 110°, daher ist, wegen α + β = 180°, β = 70°
253
Zwei Schüler arbeiten so viel wie ein Vater. Daher kann man die 12 Arbeitseinheiten des Nachmittags durch 4 teilen,
als ob 4 Väter arbeiten würden.
Väter und Schüler müssen also am Nachmittag noch 3 Stunden arbeiten.
254
Aussage 1: Amy heißt Wagenhuber oder Fröhlich.
Aussage 3: Amy muss Wagenhuber heißen, weil Fröhlich heißen entweder Michaela oder Carina.
Aussage 2: Carina heißt Mayer, weil Amy Wagenhuber heißt, und damit heißt Michaela Fröhlich (Aussage 3).
Daher bleibt für Julia nur mehr Huber übrig.
255
Vor Tor 7 hatte der Geselle noch 4 Äpfel, weil ein Apfel ist um 1 weniger als die Hälfte. Daher (1 + 1) ∙ 2 = 4
Vor Tor 6 hatte er 10 Äpfel, weil 4 Äpfel ist um 1 weniger als die Hälfte also 5 Äpfel. (4 + 1) ∙ 2 = 10
Vor Tor 5 daher (10 + 1) ∙ 2 = 22, vor Tor 4 (22 + 1) ∙ 2 = 46 vor Tor 3 47 ∙ 2 = 94 vor Tor 2 190 Äpfel vor Tor 1 382
Äpfel.
Am Anfang hatte der Geselle 382 Äpfel.
256
1 m × 36 m, 2 m × 18 m, 3 m × 12 m, 4 m × 9 m, 6 m × 6 m.
257
V = 27 cm3 + 125 cm3 = 152 cm3. Da eine Kantenlänge des Quaders 4 cm beträgt, bleiben noch 38 cm2 für die
„Grundfläche“ über. Da sind nur die Aufteilungen 1 cm × 38 cm und 2 cm × 19 cm möglich. Daher:
Der neue Quader hat entweder die Abmessungen 1 cm × 38 cm × 4 cm oder 2 cm × 19 cm × 4 cm.
258
Siehe Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch
259
Ansatz: 24 t = 48 ∙ _ t − _2_ + . t = 1.
Vater holt die Kinder um 17 Uhr ein.
260
Chris erledigt in einer Stunde die Hälfte der Arbeit, Sabine ein Drittel der Arbeit.
1
1 1 5
Zusammen erledigen sie in einer Stunde also _2_ + _3_ = _6_ der Arbeit. In 12 Minuten erledigen sie _5_ der Arbeit und
somit brauchen sie zusammen 1 h 12 min.
261
Treffpunkt: Zeit für Lena: t Stunden. Zeit für Petra t − 0,5 Stunden.
Ansatz: 6 t = 8 ∙ (t − 0,5); t = 2.
Petra holt Lena und ihre Freundinnen um 11 Uhr ein. Sie sind zu diesem Zeitpunkt 12 km vom Ausgangspunkt
entfernt.
262
In jedem Karton der Transportfirma passen 8 Bücherpakete.
100 : 8 = 12,5. Es werden 13 Kartons benötigt.
1
23
2 Algebra
263
Man muss die durchschnittliche Geschwindigkeit der Radfahrer und des Autofahrers kennen. Dann berechnet man
die Fahrtzeit beider und erhält daraus den Zeitpunkt, an dem Pauls Vater von zu Hause losfahren muss.
264
Eine Tabelle eignet sich sehr gut.
Richter
Müller
Schneider
Musol
Anne
Anne
Anne
Anne
Paul
Lena
Paul
Tim
Tim
Tim
Paul
Da es 4 mal Anne gibt, kannst du in die erste Zeile zu jedem Familiennamen einmal Anne eintragen.
Es gibt 4 mal Müller aber auch nur 4 verschiedene Vornamen. Damit trage in Spalte Müller alle Vornamen ein.
In der Spalte Musol fehlt nun noch Tim und damit stehen alle Musols fest.
Die fehlenden zwei Pauls verteilen sich somit auf Richter und Schneider.
Da drei Spieler/innen den Namen Richter tragen, kann der verbliebene Tim nur mehr den Familiennamen Richter
haben.
265
__
Höhe nach einer Sekunde: 2 cm + 2 cm ∙ ___
100 = 2 cm ∙ (1 + 0,5) = 2 cm ∙ 2 .
3
50
3
3 2
3
Höhe nach zwei Sekunden: _ 2 cm ∙ _2_ + ∙ _2_ = 2 cm ∙ _ _2_ + , usw.
3 4
1
Nach vier Sekunden: h = 2 cm ∙ _ _2_ + = 10 _8_ cm
Nach 5 Sekunden ist das Hindernis wieder 2 cm hoch, dann wieder nach 10 Sekunden, 15 Sekunden usw.
Nach 40 Sekunden ist das Hindernis genau 2 cm hoch.
266
24
Die 5000 Goldmünzen des Sohnes entsprechen einem Drittel des Restes, somit bekommt die jüngste Tochter
_ _23_ des Restes + 10 000 Goldmünzen. Diese beiden erhalten zusammen so viel wie die mittlere Tochter, nämlich
15 000 Goldmünzen. Zusammen bekommen die drei 30 000 Goldmünzen, das entspricht zwei Dritteln der Erbschaft. Die älteste Tochter erhält also ebenfalls 15 000 Goldmünzen. Das Gesamtvermögen des Vaters betrug
45 000 Goldmünzen.
3 Die Satzgruppe von Pythagoras
3
Die Satzgruppe von Pythagoras
3.1
Der Satz von Pythagoras und seine Umkehrung
267
Siehe Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch
268
a) 6,5 cm
269
a) c = 3,7 km; u = 8,4 km; A = 2,1 km2
c) c = 8 cm; u = 40 cm; A = 60 cm2
e) b = 85 mm; u = 204 mm; A = 1734 mm2
270
1300 m
271
ca. 3,27 m
272
a) ohne Lösung
b) Die Fläche des großen Quadrates ist so groß, wie die Summe
der Flächen der beiden zweitgrößten Quadrate. Dasselbe gilt
auch für die Fläche der zweitgrößten Quadrate, die so groß
ist, wie die Fläche von zwei drittgrößten Quadraten. Damit ist
die Fläche des größten Quadrates gleich der Fläche von vier
drittgrößten Quadraten usw.
Die Summe der Flächen aller Quadrate
ist daher:
_
16 cm2 ∙ 4 = 64 cm2. u = 28 + 32 ∙ √ 2 ≈ 73,25 ∙ cm.
273
a) ja; Hypotenuse 2;
c) ja; Hypotenuse 10_
e) ja; Hypotenuse √ 8
274
a) (1) √ 74
(2) √_
116 = 2 ∙ √_
29
(3) √_
116 = 2 ∙ √_29
(4) √ 50 = 5 ∙ √ 2
(5) 5 __
(6) √ 40 = 2 ∙ √ 10
(7) √ 50 = 5 ∙ √ 2
(8) 10
b) dp = √ x2 + y2 . Gilt auch für negative Koordinaten, da Quadratzahlen immer positiv sind.
275
a) 17
276
a) √_
29 + √_
34 + √_
13 ≈ 14,82
_ cm
c) √ 68 + √ 5 + √ 26 + √ 13 ≈ 19,19 cm
277
a) u ≈ 19,25
278
18 m
279
a) s ∙ (t + u)
b) a ∙ (b + 1)
280
a) ca. 26 mm
b) 38,4 %
281
____
___
c = 10,4 cm. Wegen A = ___
2 = 2 erhält man hc = c ; hc ≈ 3,69 cm.
282
ca. 19,0 m
283
ca. 433 m
b) 19,3 cm
_
d) 8,9 cm
b) c = 6 cm; u = 24 cm; A = 24 cm2
d) c = 20 m; u = 70 m; A = 210 m2
f) a = 187 cm; u = 476 cm; A = 7854 cm2
b) ja; Hypotenuse 4;
d) ja; Hypotenuse 29_
f) ja; Hypotenuse √ 42
_
_
_
c) 11,7 cm
_
_
b) 10
_
___
c) 25
_
___
_
_
_
_
_
d) 29
b) √_
85 + √_
41 + √_
74 ≈ 24,22
_ cm
d) √ 20 + √ 18 + √ 5 + √ 37 ≈ 17,03 cm
_
___
_
_
b) AB2 + BC2 = AC2 wegen _ √ 45 +2 + _ √ 20 +2 = _ √ 65 +2
a∙b
c ∙ hc
c) 3 ∙ (x + 1)
d) 7 a
a∙b
25
3 Die Satzgruppe von Pythagoras
284
Siehe Nusslösungen im Schüler/innenbuch
285
2 cm
286
Distributivgesetz: a ∙ b + a ∙ c = a ∙ (b + c)
3.2
Kathetensatz und Höhensatz
287
a) Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch
b) Ansatz: b : c = q : b ⇒ b2 = c ∙ q
c) Ansatz: q : h = h : p ⇒ h2 = p ∙ q
288
a)
c)
e)
g)
h)
289
a) x ≈ 3,8 cm
b) x ≈ 2,6 cm
c) x ≈ 14,9 cm
290
(1) h2 = x ∙ y
(2) h2 = s ∙ r
(3) h2 = q ∙ p; u2 = x ∙ y; v2 = z ∙ w
291
Das genaue Ergebnis ist 4,33 m. Das Schild wird wahrscheinlich 4,10 m anzeigen.
292
a) c = 8 cm, a ≈ 4,9 cm, b ≈ 6,3 cm
b) Zeichne q und p und erhalte damit c. Errichte über c einen Halbkreis („Thaleskreis“). C erhältst du, wenn du im
gemeinsamen Punkt von p und q die Höhe errichtest.
c) a ≈ 15,49 cm2
293
≈ 22 mm
294
Fenja: a2 = c ∙ q
295
Es wird 3,70 m Material benötigt.
3.3
c = 9 cm, q = 5 cm, b ≈ 6,7 cm, A ≈ 20,12 cm2
b) c = 12,8 cm, p = 7,8 cm, a ≈ 10 cm, A ≈ 39,97 cm2
2
a ≈ 6,9 m, q = 8 m, b ≈ 9,8 m, A ≈ 33,94 m
d) c = 10 dm, a = b ≈ 7,1 dm, A = 25 cm2
2
p = 3 mm, b ≈ 8,4 mm, a ≈ 5,5 mm, A ≈ 22,91 mm
f) c = 22 cm, a ≈ 16,9 cm, b ≈ 14,1 cm, A ≈ 118,98 cm2
c = 14,8 cm, q = 9,8 cm, a ≈ 8,6 cm,_ b ≈ 12,0 cm, A ≈ 51,80 cm2
p = 12 cm, c = 24 cm, a = b = 12 ∙ √ 2 cm ≈ 17,0 cm, A = 144 cm2
Gunnar: richtig
d) x ≈ 42,1 cm
_
Hanna: √ s r = h
Beweise zum Satz von Pythagoras
26
b
a b
a b
Aus den gegeben Dreiecken und Quadraten lassen sich jeweils
a
a
b
zwei kongruente Quadrate mit den Seitenlängen s = a + b legen.
b
b
b
c
In beiden Quadraten decken die vier kongruenten rechtwinkligen
c a
b
Dreiecke einen gleich großen Flächenanteil ab. Damit muss
auch der Flächeninhalt des nicht durch die Dreiecke abgea
a c
a
c
deckten Teils eines jeden Quadrates gleich sein.
b
a
b
a
b
Im linken Quadrat sind das zwei Quadrate mit den Flächeninhalten a2 und b2 und im rechten ein Quadrat mit dem Flächeninhalt c2.
Es gilt daher a2 + b2 = c2. a und b sind aber die Katheten und c ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.
a
297
b
Diese Art Nachweis funktioniert nur für ganzzahlige Maßzahlen, die außerdem nicht zu groß sein sollten.
a
296
3 Die Satzgruppe von Pythagoras
298
Aus der Figur sieht man, dass man die Fläche des Quadrates mit der Seitenlänge c auf zwei Arten berechnen kann:
1) A = c ∙ c = c2
2) Die Fläche des Quadrates setzt sich aus 4 rechtwinkligen Dreiecken mit den Kathetenlängen a und b und einem
4a∙b
2
kleinen Quadrat mit der Seitenlänge (b − a) zusammen. Es gilt also A = ____
2 + (b − a) .
Durch Auflösen der Klammern und Vereinfachung ergibt sich:
A = 2 a b + b 2 − 2 a b + a 2 = b2 + a2
Damit gilt: A = c2 = a2 + b2. a, b sind dabei Katheten und c die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.
299
(1)
(2)
(4)
300
siehe Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch
301
(1) Die Außenseitenlänge beträgt (a + b).
(2) Das Viereck hat vier gleich lange Seiten mit der Länge c. Die Winkel müssen rechte Winkel sein, da in jeder
Ecke die Winkel α und β zusammenkommen (α + β = 90°) und damit muss der ergänzende Winkel des Vierecks ebenfalls 90° groß sein.
ab
2
2
2
2
(3) A = (a + b)2 − 4 ∙ ___
2 = a + 2ab + b − 2ab = a + b .
2
Andererseits gilt auch: A = c . Damit gilt die Beziehung a2 + b2 = c2.
302
(1) Die Winkel in der gemeinsamen Ecke der beiden Dreiecke sind α und β. Wegen α + β = 90° muss δ ebenfalls
90° messen.
Da
___
α___
+ β = 90°, gilt / BAQ = 90°.
CA + AP = b + a.
Das rote Quadrat bildet mit dem aufgesetzten rechtwinkligen Dreieck eine Figur mit der Höhe a + b. Desgleichen
bildet das blaue Quadrat mit dem aufgesetzten rechtwinkligen Dreieck eine Figur der Höhe b + a.
Die beiden Figuren sind gleich hoch und bilden daher die gemeinsame Ecke G.
Da die Dreiecke ABC und APQ zur Gänze Teile der aus dem roten und blauen Quadrat gebildeten Figur waren,
ist die durch Drehung der Dreiecke entstandene neue Figur flächengleich. Die neue Figur hat die gleichen
Außenlängen c und in den Ecken ergänzen sich α und β jeweils zu rechten Winkeln. Die neue Figur ist ein
Quadrat mit der Seitenlänge c, das flächengleich ist zu der Ausgangsfigur gebildet aus den Quadraten mit den
Seitenlängen a und b.
(a + b) ∙ (a + b)
a2 + 2 a b + b 2
c2
c2 + 2 a b
= __________
(2) A = ___________
2
2
ab
ab
___ ___ _______
(3) A = __
2 + 2 + 2 =
2
a2 + 2 a b + b 2
c2 + 2 a b __________
=
gelten muss, ist sofort zu sehen, dass die beiden Formeln nur dann äquivalent sein
(4) Da _______
2
2
können, wenn c2 = a2 + b2.
3.4
Pythagoras und die irrationalen Zahlen – Die Quadratwurzel auf dem
Zahlenstrahl
303
Nach dem Satz von Pythagoras hat die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks eine Länge von √ 2. Durch Abschlagen dieser Länge
_ mithilfe eines Zirkels ausgehend vom Nullpunkt des Zahlenstrahls erhält man am Zahlenstrahl die Stelle für √ 2.
304
Mit der gleichen Erklärung wie zu Aufgabe 303 befindet sich an der Stelle x die Zahl √ 8.
305
(Lösungen nicht maßstabsgetreu)
a)
b)
_
_
32
4
4
c)
18
3
3
50
5
5
27
3 Die Satzgruppe von Pythagoras
306
___
_ ___
_ ___
___
_ ___
_ ___
_ ___
_
MB = √ 2; MC = √ 3; MD = 2; ME = √ 5; MF = √ 6; MG = √ 7; MH = √ 8;
1
E
D
1
C
307
1
Kathi: 24 = + +
Sie verwendet zwei rechtwinklige Dreiecke wobei sie
1
B
3
2
F
nur mithilfe von Katheten die Konstruktion durchführt.
5
2
1
1
Marco: 24 = 72 − 52. Er verwendet nur ein Dreieck. Von diesem kennt er eine
6
Kathete und die Hypotenuse. Er beginnt mit einer Kathete 5 und dem rechten
A
G
M 1
7
Winkel des Dreiecks. Dann findet er die zweite Kathete durch Abschlagen der
1
8
Hypotenusenlänge 7. Die Lösung ist die Länge der zweiten Kathete.
H
Michi: 24 = 72 − 52. Sie zeichnet zuerst die Hypotenuse 7 und errichtet darüber
einen „Thaleskreis“. Dann schlägt sie auf dem Halbkreis die Länge 5 ab und erhält somit den dritten Eckpunkt des
Dreiecks.
308
Lösung mit Höhensatz (linke Zeichnung): Zerlege zunächst 24 in ein Produkt z. B. 24 = 4 ∙ 6 oder 24 = 3 ∙ 8 usw.
Damit kennst du die Werte für p und q. Trag sie auf einer Geraden auf und errichte
über der _
Gesamtstrecke (10 cm
_
bzw. 11 cm usw.) einen Halbkreis. Dann errichte die Höhe, die laut Höhensatz √ 4 ∙ 6 cm = √ 24 cm lang ist.
Lösung mit Kathetensatz (rechte Zeichnung): Zerlege 24 in ein Produkt z. B. 24 = 4 ∙ 6 oder 24 = 3 ∙ 8. Nimm den
größeren Wert als Hypotenuselänge c und den kleineren Wert als Hypotenusenabschnittslänge p an. Zeichne nun
c = 6 cm (oder c = 8 cm usw.) und trage den Wert p = 4 cm auf (siehe Skizze im Buch).
über c einen
_Zeichne_
Halbkreis und errichte die Höhe. Die Kathete über p hat die gewünschte Länge von √ 4 ∙ 6 cm = √ 24 cm.
309
Die folgenden Lösungen stellen jeweils nur eine der möglichen Konstruktionsmöglichkeiten dar. (Lösungen in halber
Größe!)
b) 53 = 72 + 22
c) 46 = 62 + 32 + 12
a) 28 = 82 − 62
1
53
2
46
3
7
8
28
6
42
22
22.
6
d) 72 =
62
+
62
e) 13 = 32 + 22
1
13
72
f) 30 = 52 + 22 + 12
2
30
6
2
3
g) 40 =
62
+
6
22
h) 17 =
42
+
5
12
17
40
6
28
2
4
1
3 Die Satzgruppe von Pythagoras
i) 27 = 32 + 32 + 32
j) 63 = 32 + 32 + 32 + 62
6
3
3
27
3
63
3
3
3
310
3.5
a) a = 3
b) b = 5
c) c = − 3
d) d = − 2
Anwendungen des Satzes von Pythagoras in ebenen Figuren
3.5.1 Dreiecke
311
a) Siehe Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch für h.
_
C
_
a2
a
1
A = _2_ ∙ a ∙ _2_ ∙ √ 3 = __
4 ∙ √3
c
c
b) Nach dem Satz von Pythagoras gilt: _ _2_ +2 + h2c = a2. Daraus erhält man h2c = a2 − _ _2_ +2
c2
bzw. h2c = a2 − __
4 . Damit erhält man die Formel hc =
__
√
__
√
c2
c2
_1_
2 __
a2 − __
4 . A = 2 ∙c∙ a – 4
b=a
c) Man unterteilt nichtrechtwinklige Dreiecke meist durch Einzeichnen der Höhen in rechtwinklige Teildreiecke.
A
hc
c
2
a
B
c
312
a) h ≈ 2,6 cm [5,0 cm]; A ≈ 3,90 cm2 [14,57 cm2]
313
a) h ≈ 5,66 cm; A ≈ 11,32 cm2; u = 16 cm
c) a ≈ 32,90 mm; A = 540 mm2; u ≈ 110,80 mm
e) c ≈ 4,76 km; A ≈ 6,43 km2; u ≈ 11,96 km
314
h = 283 mm
315
Die Dachbalken müssen 7,15 m lang sein.
316
a) 7,5 cm
317
Anton hat zuerst 19 minus 11 gerechnet und nicht darauf geachtet, dass vor 19 auch ein Minus steht.
318
a) 1,75 m
b) Die lotrechten Stäbe sind 58 cm und 117 cm lang. Damit ergibt sich für die schrägen Stäbe 208 cm und 232 cm.
319
Am einfachsten
___
___ ___ gelingt der Beweis mit dem Höhensatz, der in einem rechtwinkligen Dreieck gelten müsste:
AD ∙ DB = CD2
15 ∙ 9,6 = 144 = 122, damit ist das gegebene Dreieck rechtwinklig!
Eine weitere Möglichkeit wäre, die Längen der Seiten AC und BC zu berechnen und zu zeigen, dass der Satz von
Pythagoras im Dreieck ABC gilt!
2h
3
√_
4A
_ ; a ≈ 9,0 cm [1,1 m]; h ≈ 7,8 cm [0,9 m]; u ≈ 27,0 cm [3,2 m]
c) a = ___
√3
_ ; a ≈ 6,2 m [4,3 cm]; A ≈ 16,84 m2 [7,90 cm2]; u ≈ 18,7 cm [12,8 cm]
b) a = ___
√
b) a ≈ 3,91 dm; A = 7,5 dm2; u ≈ 12,82 dm
d) h ≈ 7,59 m; A ≈ 25,44 m2; u = 23,3 m
f) a ≈ 4,75 cm; A = 11,16 cm2; u ≈ 15,70 cm
b) 16,3 cm
29
3 Die Satzgruppe von Pythagoras
___
___
320
Wegen CB = 16 ist CD = 20
321
Siehe Nusslösungen im Schüler/innenbuch
322
a) 4,3 cm [0,6 m]
323
Term (3)
324
Siehe Nusslösungen im Schüler/innenbuch
b) 7,3 cm
c) 5 cm
3.5.2 Vierecke und Vielecke
325
Siehe Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch
326
Nein! Die erste Bedingung besagt, dass es mehr rote als blaue T-Shirts gibt, die zweite besagt, dass es weniger
rote als blaue gibt. Das ist ein Widerspruch!
327
a) (1) 9,90 cm;
b) (1) a ≈ 8,49 cm; A = 72 cm2;
328
a) a2 + a2 = d2 ⇔ 2 a2 = d2. Daraus erhält man d = √ 2 a2 = a ∙ √ 2.
d
√2
d d
√2 √2
(2) 1,13 m
(2) a ≈ 1,41 m; A = 2 m2
_
_
d2
_ ; Daher gilt A = ___
_ ∙ ___
_ = __.
b) a = ___
2
e∙f
Man kann dieselbe Formel natürlich auch mit der bereits bekannten Formel für die Raute A = ___
2 herleiten. Auch
Zerteilen des Quadrats längs der Diagonalen und Zusammensetzen der Stücke zu einem Rechteck führen auf die
Formel.
__
__
__
329
d = √ a2 + b2 , a = √ d2 − b2 , b = √ d2 − a2
a) d ≈ 14,2 cm
b) b ≈ 70,7 cm
330
Der Balken hat einen quadratischen Querschnitt mit einer Kantenlänge von ca. 21,2 cm.
331
Siehe Nusslösungen im Schüler/innenbuch
332
a)
b)
c)
d)
e)
f)
333
Es gilt: e2 = (a + x)2 + h2 und f 2 = (a − x)2 + h2. Wegen h2 = b2 − x2 ergeben
sich folgende Beziehungen:
e2 = (a + x)2 + b2 − x2 = a2 + 2 a x + x2 + b2 − x2 und
f 2 = (a − x)2 + b2 − x2 = a2 − 2 a x + x2 + b2 − x2.
Wenn man beide Gleichungen addiert, erhält man die gesuchte Beziehung:
e2 + f 2 = 2 a2 + 2 b2 ⇔ e2 + f 2 = 2 ∙ (a2 + b2)
334
30
c) a ≈ 7,1 m
f = 100 mm, e = 156 mm, hb ≈ 98,8 mm, A = 6720 mm2, u = 360mm
e = 75 mm, f = 117 mm, hb ≈ 74, 1 mm, A = 3780 mm2, u = 270mm
b = 85 mm, e = 125 mm, hb ≈ 123,5 mm, A = 10 500 mm2, u = 450mm
b = 34 mm, e ≈ 124,0 mm, hb ≈ 43,8 mm, A = 1488 mm2, u = 254mm
a = 56 mm, e = 78 mm, hb ≈ 49,4 mm, A = 1680 mm2, u = 180mm
a = 15,6 cm, f ≈ 11,5 cm, hb ≈ 11,3 cm, A = 98,28 cm2, u = 43,8cm
a) a = 3,7 cm, u = 14,8 cm, A = 8,4 cm2
c) e = 6 km, u = 13,6 km, A = 9,6 km2
e) f = 9 cm, a = 5,3 cm, u = 21,2 cm
f
h
a
e
ax
ax
b) f ≈ 7,94 mm, u = 24 mm, A ≈ 35,72 mm2
d) a ≈ 2,87 m, u ≈ 11,49 m, A = 7,755 m2
f) e = 30 mm, a = 39 mm, u = 156 mm
h
b
x
3 Die Satzgruppe von Pythagoras
335
a
60°
336
a
60°
60°
h
f=a
60°
a
Die Raute lässt sich in zwei gleichseitige Dreiecke zerlegen.
Damit ist a = f und die Höhe des gleichseitigen Dreiecks lässt sich leicht
berechnen.
_
u = 4 ∙ 50 mm = 200 mm; h = 25 ∙ √ 3 mm, A ≈ 1082,5 mm2
B’
60°
a
60°
Die Diagonale f unterteilt das Parallelogramm in zwei halbe gleichseitige Dreiecke ABD und BCD. Daher ist die Seitenlänge a = 2 f.
Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist gleich dem Flächeninhalt
des gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a. A = 2771,28 mm2.
___
___
___
___
_
D
A
30°
a
AD = AB = 5 cm; BC = CD = √ 52 cm ≈ 7,21 cm
338
a = 40 mm, u = 230 mm.
Der Flächeninhalt des Deltoids lässt sich leicht berechnen, da es aus zwei rechtwinkligen
Dreiecken besteht. Mithilfe der Flächenformel des Deltoids erhält man dann die Länge von f.
f ≈ 70,6 mm
c
2
a) a = 38 cm; A = 360 cm
b) c = 21 mm; A = 1110 mm2
b
b
h
h
c) Eine Skizze hilft weiter. 2 ∙ x = (a − c) ⇒ x = 20 mm
2
h = 48 mm; A = 2400 mm
x
x
a
a) x = 11 cm; b = d = 61 cm; u = 270 cm
b) c = 13 cm; x = 12 cm; b = d = 13 cm; u = 76 cm
c) x = 2,7 cm; h = 3,6 cm; e = 6,0 cm
340
341
h = 36 cm; A = 2088 cm2; e ≈ 68,26 cm
342
Die Dachsparren sind 4,70 m lang.
343
a) s ≈ 4,95 m
b) 25 660,80 €
a) u ≈ 272,5 m
b) u ≈ 135,0 m
344
___
60°
B
a
337
339
C
f
e
b
c) 307,5 m
345
CA = 20; es gilt 202 + 152 = 252. Damit sind CA und AD Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks.
346
Siehe Nusslösungen im Schüler/innenbuch
347
a) Die Fläche eines regelmäßigen 6-Ecks besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge a.
a2
_
3 a2
_
___
Daher A6-eck = 6 ∙ __
4 ∙ √3 = 2 ∙ √3
b) (1) A ≈ 41,57 cm2
f
(2) 23,38 cm2
c) u = 35,3 cm
31
3 Die Satzgruppe von Pythagoras
3.6
Anwendungen des Satzes von Pythagoras bei Körpern
3.6.1 Prismen
348
Siehe Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch
349
Wie lange dauert die Fahrt insgesamt? 2,5 Stunden
Wie lange ist die Gesamtstrecke? 200 km
Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? 80 km/h
Wie lange braucht man noch bis zum Ziel? 1 Stunde
350
a) d1 = 2 ∙ √ 2 cm ≈ 2,8 cm; d = 2 ∙ √ 3 cm ≈ 3,5 cm
b) d1 ≈ 4,2 cm, d ≈ 4,7 cm
c) d1 ≈ 3,6 cm, d ≈ 3,7 cm
351
a)
b)
c)
d)
352
195 cm
353
a)
b)
c)
d)
354
ca. 46 m
355
a)
b)
c)
d)
356
a = √ V; O = 6 ∙√ V2 ; d = √ V ∙ √ 3
357
a ≈ 2,10 cm
358
h ≈ 21,9 cm; V ≈ 26 291 cm3; m ≈ 60,5 kg
359
a) 207 cm
360
a) V≈ 19,843 cm3; O ≈ 56,17 cm2
b) V ≈ 40,643 cm2; O ≈ 86,61 cm2
c) h = 250 : G, daher h ≈ 4,0 cm
361
a) (1)
(3)
b) (1)
(3)
32
_
_
a = 5 cm, d1 ≈ 7,1 cm, d2 = d3 = 13 cm, d ≈ 13,9 cm
a = 8 mm, d1 ≈ 11,3 mm, d2 = d3 ≈ 36,9 mm, d ≈ 37,7 mm
a = 4,3 dm, d1 ≈ 6,1 dm, d2 = d3 ≈ 6,3 dm, d ≈ 4,6 dm
a = 165 mm, d1 ≈ 233,3 mm, d2 = d3 ≈ 229,8 mm, d ≈ 282,9 mm
(1)
(1)
(1)
(1)
1728 cm3,
39,304 m3,
75,151 dm3,
0,439 km3,
(2)
(2)
(2)
(2)
864 cm2,
69,36 m2,
106,85 dm2,
3,466 km2,
(3)
(3)
(3)
(3)
16,97 cm,
4,81 m,
5,97 dm,
1,07 km,
(4)
(4)
(4)
(4)
20,78 cm
5,89 m
7,31 dm
1,32 km
a ≈ 9,65 cm, d1 ≈ 13,65 cm, d ≈ 16,72 cm
a = 30 mm, d1 ≈ 42,43 mm, d ≈ 51,96 mm
a ≈ 1,44 dm, d1 ≈ 2,04 dm, d ≈ 2,50 dm
a ≈ 4,31 m, d1 ≈ 6,09 m, d ≈ 7,46 m
3
__
3
V = 6 a3,
3a,
V = 5 a3,
3 a,
___
3
_
__
b) 2,07 m2
(2)
(4)
(2)
(4)
c) 13,80 m2
d) 18,84 m2 (ohne Boden)
_
_
O = 20 a2 + 2 ∙ √ 2 a2 = 2 a2 ∙ _ 10 + √ 2 +,
V = 1296 cm3, O_≈ 821,82 cm3
_
O = 17 a2 + 6 ∙ √ 2 a2 = a2 ∙ _ 17 + 6 √ 2 +,
V = 1080 cm3, O ≈ 917,47 cm2
e) 378 cm
3 Die Satzgruppe von Pythagoras
362
a) Das Becken fasst ca. 135 ℓ Wasser (134,89 dm3).
b) Ca. 12 503 cm2 werden mit Kunststoff überzogen.
363
Term 2 und Term 4
3.6.2 Pyramiden
364
a) ha = 7,5 cm; s ≈ 8,75 cm; O = 216 cm2
b) siehe Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch
365
a) Mindestens 4860 Ziegel b) Mindestens 140 Firstziegel
366
a)
b)
c)
d)
e)
f)
367
d 2
a2
a2
2 __
(1) i)
= − _2_ . Wegen d2 = 2 ∙ a2 gilt: h2 = s2 − __
2 und daher h = s − 2
__
a2
a2
_a_ 2
_a_ 2
_a_ 2 _a_ 2
__
2
2
2
2
2
2
2
ii) h = ha − _ 2 + . Wegen ha = s − _ 2 + gilt: h = s − _ 2 + − _ 2 + = s − 2 und daher h = s2 − __
2 .
__
a
a
(2) h2a = s2 − _ _2_ +2 und damit ha = s2 − _ _2_ +2
__
a
(3) O = a2 + 2 ∙ a ∙ ha. Durch Einsetzen erhält man: O = a2 + 2 ∙ a ∙ s2 − _ _2_ +2
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
s ≈ 64,03 cm;
s ≈ 6,69 m;
s ≈ 97,17 mm;
h ≈ 16,96 cm;
h ≈ 3,10 dm;
h ≈ 16,65 m;
h2
s2
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
ha = 50 cm;
ha = 6,5 m;
ha = 89 mm;
ha = 18,54 cm;
ha = 7,2 dm;
ha = 17,6 m;
(3)
(3)
(3)
(3)
(3)
(3)
O = 14 400 cm2;
O = 51,84 m2;
O = 19 968 mm2;
O = 781,2 cm2
O = 356,2 dm2
O = 531,24 cm2
__
√
_ +
√
(4)
(4)
(4)
(4)
(4)
(4)
V = 64 000 cm3
V = 21,504 m3
V = 162 240 mm3
V ≈ 1271,7 cm3
V ≈ 175 dm3
V ≈ 721 m3
√
√
368
M = 2340 mm2, O = 3240 mm2
369
a) 5,43 ha
370
a)
a
a
b) h = _2_ ∙ √ 2; V = __
6 ∙ √2
371
_ bzw. a = h ∙ √ 2. Durch Einsetzen in die in 370 d) gefundene Volumenformel
Aus Lösung zu 370 d) folgt: a = ___
b) ca. 2,64 Mio m3 Steine
_
3
3
V = 36 ∙ √
_2 cm ≈3 50,91
_ cm ;
2
c) ca. 290 000 m3
O ≈ 56,78 cm2
_
2h
√2
erhält man: V = _3_ h3. V = 144 cm3
372
a) ha = 100 mm, hb = 104 mm; (1) 143 360 mm3; (2) 18 304 mm2; (3) s ≈ 107,7 mm
b) ha = 10,6 dm, hb = 10,2 dm; (1) 322,56 dm3; (2) 323,52 dm2; (3) s ≈ 11,6 dm
c) ha = 5,3 cm, hb = 10 cm; (1) 161,28 cm3; (2) 364,56 cm2; (3) s ≈ 11,0 cm
373
a)
b)
c)
d)
374
a) (1) 196 415 mm3;
b) (1) 2281,319 dm3;
c) (1) 1425,970 m3;
375
201,4 m3
(1)
(1)
(1)
(1)
h = 2,4 dm, V = 31,104 dm3;
h = 30 cm, V = 2059,2 cm3;
h = 96 mm, V = 98 304 mm3;
h = 0,6 m, V = 0,013 44 m3;
(2)
(2)
(2)
(2)
ha ≈ 4,33 dm, hb ≈ 3,61 dm, O ≈ 88,3 dm2
ha ≈ 30,32 cm, hb ≈ 32,20 cm, O ≈ 1198,8 cm2
ha ≈ 98,95 mm, hb ≈ 101,19 mm, O ≈ 14 262,3 mm2
ha ≈ 0,616 m, hb ≈ 0,646 m, O ≈ 0,4534 m2
(2) 24 051,9 mm2;
(2) 1103,07 dm2;
(2) 814,78 m2;
(3) 81,66 mm;
(3) 23,13 dm;
(3) 18,86 dm;
(4) 87 mm
(4) 23,8 dm
(4) 19,5 m
33
3 Die Satzgruppe von Pythagoras
_
376
a) Die Oberfläche besteht aus 8 gleichseitigen Dreiecken. Deshalb: O = 2 ∙ a2 ∙ √ 3
O ≈ 55,4 cm2
_
b) Alle Raumdiagonalen sind gleich lang. d = a ∙ √ 2.
c) Siehe Lösung zu 370 b). Dort wird das Volumen eines halben regelmäßigen Oktaeders ermittelt.
377
a)
b)
c)
d)
378
a) Die Oberfläche
eines regelmäßigen
Tetraeders besteht aus 4 gleichseitigen Dreiecken. _Daher: O = a2 ∙ √ 3
___
___
a
2
_
_
b) h2 = a2 − AM2; wegen AM ___
= 3 ha (siehe
Hinweis im Schüler/innenbuch) und ha = _2_ ∙ √ 3 (Höhe eines gleich_
a
seitigen Dreiecks) gilt auch AM = _3_ ∙ √ 3. _
a2 ___
a
2 a2
2
Man erhält folgende Beziehung: h = a2 − _ _3_ ∙ √ 3 +2 = a2 − __
3 = 3 .
(1)
(1)
(1)
(1)
_
6 ∙ √ 2 cm ≈ 8,49 cm;
48,08 mm;
3,54 m;
31,11 dm;
_
(2)
(2)
(2)
(2)
_
_
72 ∙ √ 2 cm3 ≈ 101,823 cm3;
18 528,083 mm3;
7,366 m3;
5019,515 dm3;
_
_
_
(3)
(3)
(3)
(3)
_
72 ∙ √ 3 cm2 ≈ 124,71 cm2
4004,50 mm2
21,65 m2
1676,63 dm2
_
√ 2_∙ √_3
2
√ 6 _a_ _
√_
2 a2
_2_
___
______
___
=
a
∙
=
a
∙
Daher ist h = ___
=
a
∙
=
a
∙
3
3
3 = 3 ∙ √ 6.
√3
√3 √3
_
a2
1
∙
3 (gleichseitiges Dreieck).
Die Volumenformel für eine Pyramide ist V = _3_ ∙ G ∙ h. G = __
√
4
√
√
Setzt man nun
ein,_erhält man:
_
_
_
_
a2
a3
a3
a3
_1_ __
_a_
___
__
y
3
∙
V = 3 ∙ 4 ∙ √ 3 ∙ 3 ∙ √ 6 = __
18
=
2
=
∙
∙
∙
√
√
√
y
36
12 2
36
375 cm3.
____
√ √2
12_V
a = ____
≈ 14,7 cm.
3
379
V=
380
√ √3
c) a ≈ 6,89 mm; V ≈ 38,6 mm
_
O_
a) a = ___
; a ≈ 13,68 cm; V = 301,7 cm3
b) a ≈ 4,18 dm; O ≈ 30,2 dm2
2
d) a ≈ 1,85 dm; O ≈ 5,9 dm2
45
√6
381
_ cm. V ≈ 730,7 cm3
a = ___
382
a) V = 1152 cm3
1
2
b) V = _3_ ∙ a2 ∙ 2 a = _3_ a3.
a
a2
17 a2
a
_
____
__
h2a = (2 a)2 + _ _2_ +2 = 4 a2 + __
4 = 4 ; ha = 2 ∙ √ 17
a2
_
Damit ist A = __
4 ∙ √ 17
3.7
Vermischte Übungen
383
29,15 m
384
a) (1) 10,9 cm; (2) 8,9 m; Formel: d = √ a2 _+ b2
b) (1) 8,2 cm; (2) 5,4 m; Formel: d = a ∙ √ 2
385
a) 323,1 m
b) 3 m
386
a) 15,59 cm2
b) 315,67 dm2
387
T1 und T2 seien die Berührpunkte der Tangenten mit dem Kreis. PT1 = 64 mm; T1 T2 = 76,8 mm
34
__
____
____
_
388
Ansatz: (x − 0,5)2 + 2,52 = x2; x = 6,5 m
389
106 cm
390
Das Rechteck hat eine Breite von 33 cm (großer Viertelkreis). Damit hat der mittlere Viertelkreis einen Radius von 23 cm. Die Länge des Rechtecks ist somit 23 + 33 = 56 cm. Der
Satz von Pythagoras ergibt für die Diagonale:
332 + 562 = d2. d ist 65 cm lang.
Damit ist x = 65 − 10 − 33 = 22 cm (Siehe Skizze im Schüler/innenbuch.)
x  0,5 m
3 Die Satzgruppe von Pythagoras
2,50 m
391
w = 1254 m
392
a) (u2 − v2)2 + (2 u v)2 = (u2 + v2)2
u4 − 2 u2 v2 + v 4 + 4 u2 v2 = u4 + 2 u2 v2 + v 4
u4 + 2 u2 v2 + v 4 = u4 + 2 u2 v2 + v 4, was zu zeigen war!
b) u = 2, v = 1 : a = 3, b = 4, c = 5;
u = 3, v = 2 : a = 5, b = 12, c = 13
u = 3, v = 1 : a = 8, b = 6, c = 10; u = 4, v = 1 : a = 15, b = 8, c = 17
393
Siehe Nusslösungen im Schüler/innenbuch
394
Ja. Die Raumdiagonale der Kiste ist ca. 2,06 m lang.
395
d1 ≈ 33,5 cm, d2 ≈ 18,0 cm, d3 ≈ 31,6 cm; d = 35 cm
396
4320 cm3
397
ca. 494 m2
398
5,18 m
399
a) V ≈ 54 138 mm3, O ≈ 10 588 mm2
c) V ≈ 75 025 mm3, O ≈ 11 664 mm2
400
a) a = 25; b = 20; c ≈ 32,0
401
V = 22,176 m3, O = 60,4920 m2
402
a) ha = 3,7 cm
403
a)
b)
c)
d)
e)
f)
404
Für jede Kante k des Körpers gilt: k2 = _ _2_ +2 + _ _2_ +2 = __
2 . Mit a = 12 beträgt die Kantenlänge √ 72 cm.
1
Volumen V = _3_ ∙ 72 ∙ 12 = 288 cm2
405
a) (1) Ungefähr 1,8 Liter Flüssigkeit. (2) Ungefähr 6,4 dm2 Blech.
b) (1) Ungefähr 40,6 Liter Flüssigkeit. (2) Ungefähr 50,0 dm_2 Blech.
10 3
c) (1) V = __
(2) O = 6 x2 + 2 x2 ∙ √ 3
3 x
b) s ≈ 4,8 cm
x
b) V ≈ 38 722 mm3, O ≈ 8726 mm2
d) V ≈ 71 525 mm3, O ≈ 11 450 mm2
b) x ≈ 10,8; y ≈ 8,9; z ≈ 7,2
c) y = 5, x = 13
c) V ≈ 26 cm3
h ≈ 4,53 cm; ha ≈ 4,77; V ≈ 13,6 cm3; O ≈ 37,6 cm2
h ≈ 4,03; s ≈ 4,92 cm; V ≈ 21,5 cm3; O = 52 cm2
a ≈ 6,32 cm; h ≈ 3,20 cm; V ≈ 42,6 cm3; O ≈ 96,8 cm2
ha ≈ 5,28 cm; s ≈ 5,72 cm; V ≈ 31,0 cm3; O ≈ 65,8 cm2
a ≈ 5,61 cm; ha ≈ 5,30 cm; V ≈ 47,2 cm3; O ≈ 90,9 cm2
a ≈ 8,49 cm; s ≈ 5,87 cm; V ≈ 84,1 cm3; O ≈ 165,5 cm2
a
a
a2
_
35
3 Die Satzgruppe von Pythagoras
406
V ≈ 36,4 dm3; m ≈ 80 kg
Druckfehler im Schüler/innenbuch (1. Auflage): ρ = 2,2 kg/dm3
407
m ≈ 11,8 g
408
a) 15 m2 Zeltstoff
409
2
2
2 _
+
a) (1) V = 72 cm3, O = 122,9 cm2; (2) V = __
3 , O = 2 a + a √2 = a ∙ 2 + √2
b) ca. 292 cm lang
b) (1) V = 36 cm3, O = 86,9 cm2;
410
a3
_
_
a3
_
_
2
2
2 _
+
(2) V = __
6 , O = a + a ∙ √2 = a ∙ 1 + √2
Die Kanten des Körpers sind alle Flächendiagonalen des Würfels. Damit bilden sich vier gleichseitige Dreiecke, der
entstandene Körper ist ein regelmäßiger Tetraeder.
a3
a3
_
__
2
V = a3 − 4 ∙ __
6 = 3 ; O = 2 a ∙ √3
Im Blickpunkt: Rund um den Pythagoras
411
offene Aufgabenstellung
412
offene Aufgabenstellung
413
a) Das Quadrat hat den Flächeninhalt 1. Aus je zwei gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecken in der Figur kann
1
man ein Quadrat mit dem Flächeninhalt _2_ bilden. Die Seitenlänge des Ausgangsquadrats entspricht der Hypotenusenlänge, die Seitenlänge eines kleinen Quadrats der Kathetenlänge des gleichschenklig rechtwinkligen
Dreiecks. Die Summe der Flächeninhalte der kleinen Quadrate ist gleich dem Flächeninhalt des Ausgangsquadrates. Damit ist der Satz von Pythagoras erfüllt. _
b) Ansatz: 302 + 302 = d2; d2 = 2 ∙ 302 ⇒ d = 30 ∙ √ 2
414
Nimm einen Wollfaden beliebiger Länge doppelt und markiere die Länge dieser Strecke, indem du z. B. Stäbe in
den Boden steckst. Nun viertle eine Hälfte des Wollfadens und markiere dieses Viertel (von der Mitte ausgehend)
5 3
auf dem Faden. Diese Markierung teilt den Wollfaden im Verhältnis _4_ : _4_ = 5 : 3, die Länge zwischen den Stäben
4
entspricht _4_ des halben Wollfadens. Befestige nun den Faden an den beiden Stäben und spanne ihn, indem du
ihn an der Markierung festhältst. Der Wollfaden bildet nun mit der Strecke zwischen den Stäben ein rechtwinkliges
Dreieck. Die Seiten des Dreiecks stehen im Verhältnis 3 : 4 : 5.
36