Ubungen (11) zur Vorlesung ” Analysis II“

Prof. Dr. H.–J. Reinhardt
Dipl.–Math. J. Frohne
FB Mathematik
Univ. Siegen
Übungen (11)
zur Vorlesung Analysis II“
”
im
Wintersemester 2008/2009
(Abgabetermin: Mittwoch, 21.01.09, 15 Uhr)
33. (Partielle Ableitungen, Stetigkeit)
Die Funktion f : R2 → R sei definiert durch
( 2
)
x y
,
(x,
y)
=
6
(0,
0)
2
2
x +y
f (x, y) :=
.
0,
(x, y) = (0, 0)
a) Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt stetig ist.
b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von f für alle (x, y) ∈ R2 und überprüfen Sie die partiellen Ableitungen auf Stetigkeit in (x, y) = (0, 0).
34. (Totale Differenzierbarkeit)
Die Funktion f : R2 → R sei definiert durch


µ
¶

 2
1
2
(x + y ) sin √ 2 2 , (x, y) 6= (0, 0)
x +y
.
f (x, y) :=


0,
(x, y) = (0, 0)
a) Zeigen Sie, daß f im Nullpunkt total differenzierbar ist.
b) Zeigen Sie, daß f 6∈ C 1 (R2 ) ist.
Hinweise:
a) Zeigen Sie die Unstetigkeit einer der partiellen Ableitungen im Nullpunkt.
b) Diese Funktion ist somit ein Beispiel für eine total differenzierbare Funktion, die keine C 1 −Funktion ist.
35. (Gradient,
Divergenz)

 Rotation,
x
Sei ~r :=  y  , und r := k~rk mit der Euklidschen Norm k · k. Seien ~a, ~b ∈ R3 . Das
z
skalare Feld ϕ und das Vektorfeld A seien definiert durch

 

−y 2 x
A1 (~r)
ϕ : R3 → R, ϕ(~r) = x3 y 2 z; A : R3 → R3 , A(~r) =  A2 (~r)  =  x3 z 2  .
−zy 2
A3 (~r)
- bitte wenden -
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:
a) ∇(~a · ~r), ∇r, ∇((~r × ~a) · ~b);
b) ∇ · ~r, ∇ · (r~a), ∇ · (r∇ r13 ) für r 6= 0;
c) ∇ × ~r, ∇ × (~b × ~r);
d) ∇ϕ(~r), ∇ · A(~r), ∇ × A(~r), A(~r) · (∇ϕ(~r)).
Hinweise:
a) · bezeichnet hier das Skalarprodukt.
b) Durch



 
a2 b3 − a3 b2
b1
a1
~a × ~b =  a2  ×  b2  :=  a3 b1 − a1 b3  = ~c
a1 b2 − a2 b1
b3
a3

wird das sog. Kreuzprodukt bzw. Vektorprodukt für die Vektoren ~a, ~b ∈ R3
definiert. Für den Vektor ~c gilt immer: ~a · ~c = ~b · ~c = 0.
c) Betrachten Sie bei dieser Aufgabe den Operator ∇ als Vektor: ∇ :=
 ∂ 

∂x
∂
∂y
∂
∂z
 , d.h.

grad ϕ(~r) := ∇ϕ(~r) = 
∂
r)
∂x ϕ(~
∂
ϕ(~
r
)
∂y
∂
r)
∂z ϕ(~

,
∂
∂
∂
A1 (~r) +
A2 (~r) +
A3 (~r),
∂x
∂y
∂z


∂
∂
A
(~
r
)
−
A
(~
r
)
3
2
∂z
 ∂y

∂
∂
rot A(~r) := ∇ × A(~r) =  ∂z
A1 (~r) − ∂x
A3 (~r)  .
∂
∂
r) − ∂y
A1 (~r)
∂x A2 (~
div A(~r) := ∇ · A(~r) =
rot liefert die sog. Rotation einer Funktion f : R3 → R3 , während div die
sog. Divergenz einer Funktion g : R3 → R3 liefert. Die Divergenz läßt sich
entsprechend auch für Funktionen g : Rn → Rn definieren.