1. Mechanik - ILIAS Stuttgart

1. Mechanik
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
1. Mechanik
1.1 Kraft
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Einführung: Kraft
zentraler und grundlegender Begriff aus der Physik
physikalische Größe unter deren Einwirkung ein Körper
1. verformt werden kann
2. seinen Bewegungszustand ändern kann
wird mathematisch beschrieben als Vektor (gerichtete Größe, die
durch einen Pfeil dargestellt werden kann)
wirkt auf genau einen Punkt
Einheit: 1 Newton, [Kraft] = 1 N = 1 kg
häufige Formelbuchstaben: F , K, G, N , R,. . .
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O. Sternal, V. Hankele
m
s2
Eigenschaften: Wovon hängt die Wirkung einer Kraft ab?
Kraft 1
Kraft 2
Kraft 1: Beschleunigung
Kraft 2: Beschleunigung
nach rechts
=⇒ Richtung der Kraft
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O. Sternal, V. Hankele
nach links
Eigenschaften: Wovon hängt die Wirkung einer Kraft ab?
Hammer
Hammer
Hammer
Kraft 1
Kraft 2
Kraft 3
Nagel 1
Nagel 2
Nagel 3
Kraft 1 < Kraft 2 < Kraft 3
=⇒ Größe der Kraft =⇒ Betrag
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Eigenschaften: Wovon hängt die Wirkung einer Kraft ab?
Schwerer Kühlschrank
Kraft 1
Kraft 2
Kraft 1 ⇒ Umkippen
Kraft 2 ⇒ Verschieben
=⇒ Ort, an dem die Kraft wirkt =⇒ Angriffspunkt
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Eigenschaften einer Kraft






1. Richtung
2. Betrag
3. Angriffspunkt





ff
gri
An
F~
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sp
mathematisches Modell:
gebundener Vektor
(Pfeil mit Richtung und Länge,
der auf einen festen Punkt zeigt)
k
un
t
Schwerer Kühlschrank
Wirkungslinie
Mathematische Beschreibung einer Kraft
~ ist im Allgemeinen an ihren Angriffspunkt gebunden.
Die Kraft F
Daher wird sie mathematisch als gebundener Vektor beschrieben.
Betrachtet man ausschließlich starre Körper, dann darf man den
Kraftvektor entlang seiner Wirkungslinie verschieben.
~ , F = |F~ |.
Wir bezeichnen F als den Betrag der Kraft F
Die Gerade, die durch den Angriffspunkt der Kraft und die Kraft als
Richtungsvektor beschrieben wird, nennen wir die Wirkungslinie der
Kraft F~ .
m
Die Einheit der Kraft ist 1 Newton, [Kraft] = 1 N = 1 kg 2 .
s
ff
gri
An
F~
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n
s pu
kt
Schwerer Kühlschrank
Wirkungslinie
Einschub:
Grundlagen der Vektorrechnung
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Rechenregeln am rechtwinkligen Dreieck
Bezeichnungen:
c
α
a
b
a: Ankathete zum Winkel α
b: Gegenkathete zum Winkel α
c: Hypotenuse des Dreiecks α
Satz von Pythagoras:
Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der
Summer der Quadrate der Katheten.
a2 + b2 = c2
Seitenverhältnisse:
sin (α) =
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b
Gegenk.
= ,
Hyp.
c
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cos (α) =
Ank.
a
= ,
Hyp.
c
tan (α) =
Gegenk.
b
=
Ank.
a
Addition von Pfeilen
Vektoren können als Pfeile dargestellt werden. Für Pfeile gilt die
Additionsregel:
~a
+
~b
=
~a
~b
~c = ~a + ~b
Es gibt eine entsprechende Subtraktionsregel und man kann Pfeile mit
einer Zahl multiplizieren!
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Spaltenvektoren in einem Koordinatensystem
y
Komponentenzerlegung:
~ay
~a
α
~ax
a cos (α)
0
0
a sin (α)
~ay =
x
Spaltenvektor ~a:
mit a = |~a|: Länge (Betrag) des Vektors ~a
~a = ~ax + ~ay =
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~ax =
O. Sternal, V. Hankele
a cos (α)
a sin (α)
=
ax
ay
Länge und Richtung eines Vektors (Betrag und Winkel α)
y
Betrag eines Vektors:
~ay
a = |~a| =
~a
q
√
√
a2x + a2y = ~a2 = ~a · ~a
mit a = |~a|: Länge (Betrag) des Vektors ~a
α
~ax
x
Winkel α:
ay
ax
ay
α = arctan
ax
tan (α) =
⇒
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Addition von Spaltenvektoren
ax
ay
ax
ay
~a =
~a + ~b =
~a
+
+
~b =
bx
by
~b
bx
by
=
=
ax + bx
ay + by
~a
~b
~c = ~a + ~b
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Multiplikation von Spaltenvektoren
Multiplikation mit einer Zahl:
c∈R
~a =
ax
ay
c ~a = c
ax
ay
c ax
c ay
bx
by
=
Skalarprodukt zweier Vektoren:
~a =
~a · ~b =
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ax
ay
ax
ay
~b =
·
bx
by
= ax bx + ay by
Kraft als Spaltenvektor
y
α
Angriffspunkt
~F
Fy
α
Fx
x
Zeichne zwei rechtwinklige Dreiecke mit
F~ als Hypotenuse.
Die Katheten müssen parallel zu den
Koordinatenachsen sein.
Interpretiere Seitenlängen als Beträge
von Kräften.
Länge der Hypotenuse: F = |F~ |.
Interpretiere die Katheten als Anteile
der Kraft F~ (Komponenten) in
Richtung der Koordinatenachsen.
Kraft als Spaltenvektor:
=⇒
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F~ =
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F cos (α)
F sin (α)
= F
cos (α)
sin (α)
Aufgaben
Aufgabe 1
Gegeben sei eine Kraft mit dem Betrag |F~ | = 10 N. Sie wirkt auf einen
Angriffspunkt P mit den Koordinaten (x = 2 m, y = 1 m) in einem Winkel
von α = 30◦ zur x-Achse. Bestimmen Sie die x- und y-Komponente der
Kraft und schreiben Sie diese als Spaltenvektor.
Aufgabe 2
Eine Kraft F~ = 4 N ~ex + 3 N ~ey wirke auf einen Angriffspunkt
P = (1 m, 1 m). Skizzieren Sie ihre Lage, ihre Richtung und ihren Betrag
in einem passenden kartesischen Koordinatensystem.
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Starrer Körper
Physikalisches Modell eines nicht verformbaren Körpers.
Idealisierung eines realen Körpers.
Mechanik starrer Körper: Untersuchung der Bewegung starrer Körper
Bewegungsmöglichkeiten:
1. Translation
2. Rotation
Definition Translation
y
∆~r
Beliebiger starrer Körper
in einem Koordinatensystem
x
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O. Sternal, V. Hankele
Alle Punkte eines starren Körpers
erfahren dieselbe Verschiebung
∆~r: Verschiebungsvektor
Einfachste Form: geradlinige
Verschiebung
Beispiel: Auto auf der Autobahn
Starrer Körper
Physikalisches Modell eines nicht verformbaren Körpers.
Idealisierung eines realen Körpers.
Mechanik starrer Körper: Untersuchung der Bewegung starrer Körper
Bewegungsmöglichkeiten:
1. Translation
2. Rotation
Definition Rotation
Beliebiger starrer Körper
Drehachse
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Alle Punkte eines starren Körpers
führen eine Kreisbewegung um dieselbe
Drehachse aus.
Beispiele: Drehung eines Kreisels,
Erdrotation
Starre Körper
Translation
Rotation
y
Beliebiger starrer Körper
∆~r
Beliebiger starrer Körper
in einem Koordinatensystem
Drehachse
x
Bewegung starrer Körper:
Im Allgemeinen sind bei der Bewegung starrer Körper beide
Bewegungszustände überlagert!
Beispiele:
• Rad eines fahrenden Fahrrades
• Rotation der Erde und gleichzeitige Bewegung der
Erde um die Sonne
• Ballistik (Lehre der geworfenen Körper)
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Gravitationskraft
Die Gravitationskraft ist die Anziehungskraft zwischen Massen.
Die Gravitation ist eine der vier fundamentalen Naturkräfte.
m1
r
m2
mit r: Abstand der Massenmittelpunkte
(Schwerpunkte) von m1 und m2
zueinander.
Befinden sich zwei Massen m1 und m2 im
Abstand r zueinander, dann wirkt zwischen
den beiden Massen eine anziehende Kraft
mit dem Betrag
m1 m2
.
FG = F~G = γ
r2
Dabei ist γ die Gravitationskonstante mit
γ = 6, 674 · 10−11
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m3
.
kg s2
Gewichtskraft
Die Gewichtskraft Fg
ist eine Näherung der Gravitationskraft für Körper, die sich in der Nähe der
Erdoberfläche befinden.
m
Ein Mensch der Masse m steht auf dem Erdboden.
Er wird von der Kraft Fg seines Gewichts in
Richtung Erdboden gezogen.
F~g
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Gewichtskraft
Schauen wir uns das „ganze Bild“ an. . .
. . . dann wird der Mensch von der
m
Erde mit der Gravitationskraft
FG = γ
mE = 5, 87 · 1024 kg
rE = 6, 367 · 106 m
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mE m
rE2
in Richtung Erdmittelpunkt gezogen.
Dabei sind:
mE : Masse der Erde
rE
: Erdradius
m
: Masse des Körpers auf
der Erdoberfläche
Gewichtskraft
m
Wir beschreiben die Gewichtskraft, die an der
Erdoberfläche auf einen Körper der Masse m wirkt
durch die vereinfachte Formel
F~g
Fg = m g
mit der Fallbeschleunigung g = 9, 81
Aufgabe
Bestimmen Sie die Fallbeschleunigung g.
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O. Sternal, V. Hankele
m
s2 .
Das Reaktionsprinzip (3. Newtonsches Axiom)
3. Axiom: Reaktionsprinzip
Übt ein Körper 1 eine Kraft F~12 auf einen anderen Körper 2
aus, dann übt der Körper 2 die Kraft F~21 auf den Körper 1
aus und es gilt:
F~12
Actio
= −F~21
= − Reactio
FDraht
FVogel
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FKorken
FFlasche
Beispiel
Stahlkugel
Fg = mg
Hand
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O. Sternal, V. Hankele
Mache die Kraft zwischen Hand und
Stahlkugel „sichtbar“.
„Freischneiden“, Freikörperbild
Ersetze die Hand durch die Kraft, die
die Hand auf die Stahlkugel ausübt.
Ersetze die Stahlkugel durch die Kraft,
die die Stahlkugel auf die Hand ausübt.
F~Hand, Stahlkugel und F~Stahlkugel, Hand
bilden ein Kräftepaar.
Beispiel
Stahlkugel
Fg = mg
FHand, Stahlkugel
FStahlkugel, Hand
Hand
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O. Sternal, V. Hankele
Mache die Kraft zwischen Hand und
Stahlkugel „sichtbar“.
„Freischneiden“, Freikörperbild
Ersetze die Hand durch die Kraft, die
die Hand auf die Stahlkugel ausübt.
Ersetze die Stahlkugel durch die Kraft,
die die Stahlkugel auf die Hand ausübt.
F~Hand, Stahlkugel und F~Stahlkugel, Hand
bilden ein Kräftepaar.
Aufgabe
Ein Apfel hängt am Ast eines Baums fest. Fertigen Sie eine Skizze an, in
der alle auf den Apfel wirkenden Kräfte angezeigt werden. Welche dieser
Kräfte bilden „Actio = −Reactio“-Paare?
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Definition Zentrale Kräftegruppe
F~N
F~i
Gruppe aus N Kräften F~i ,
i = 1, . . . , N
Wirkungslinien aller N Kräfte schneiden
sich in genau einem Punkt
Resultierende Kraft
b
Wir nennen
F~1
F~2
F~3
~ =
R
N
X
i=1
F~i = F~1 + F~2 + · · · + F~N
die resultierende Kraft der aus N wirkenden
Kräften F~i bestehenden Kräftegruppe.
Achtung!
Die resultierende Kraft ist keine reale Kraft, sondern ein Modell für die
Wirkung realer Kräfte!
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Definition Kräftegleichgewicht
Ein Körper, auf den eine zentrale
Kräftegruppe wirkt, ist im Gleichgewicht,
F~N
wenn die Wirkungen aller auf ihn wirkenden
F~i
Kräfte sich gegenseitig aufheben.
b
Oder in einer Formel:
F~1
F~2
F~3
Gleichgewichtsbedingung
~ =
R
N
X
i=1
F~i = F~1 + F~2 + · · · + F~N = ~0
Befindet ein Körper sich unter der Wirkung einer Kräftegruppe im
Gleichgewicht, so gibt es keine Änderung seines Bewegungszustandes!
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Definition Kräftegleichgewicht
Ein Körper, auf den eine zentrale
Kräftegruppe wirkt, ist im Gleichgewicht,
F~N
wenn die Wirkungen aller auf ihn wirkenden
F~i
Kräfte sich gegenseitig aufheben.
b
F~1
In der Rechenpraxis wird die
Gleichgewichtsbedingung meist
komponentenweise ausgewertet:
F~3
F~2
Rx =
N
X
i=1
Ry =
Fi,x = F1,x + F2,x + · · · + FN,x = 0
N
X
i=1
Rz =
N
X
i=1
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Fi,y = F1,y + F2,y + · · · + FN,y = 0
Fi,z = F1,z + F2,z + · · · + FN,z = 0
O. Sternal, V. Hankele
Aufgabe
Auf einen Massenpunkt wirken die Kräfte
2N
0
~
~
F1 =
, F2 =
2N
−3 N
und F~3 =
5N
.
0
1. Berechnen Sie die resultierende Kraft auf den Massenpunkt.
2. Bestimmen Sie eine vierte Kraft F~4 , so dass der Massenpunkt im
Kräftegleichgewicht ist. Welchen Winkel schließt diese Kraft mit der
positiven x-Achse ein?
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O. Sternal, V. Hankele
Beispiel für Kontaktkräfte
Wand
Kugel
mg
F
Kugel der Masse m, Fg = mg > 0
liegt auf dem Boden und ist an eine
Wand gelehnt
wird mit einer horizontalen Kraft
F > 0 belastet
Boden
Würden nur F~ und die Gewichtskraft F~g wirken, wäre die Kugel nicht im
Gleichgewicht!
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Beispiel für Kontaktkräfte
Wende das Reaktionsprinzip an (Freischneiden):
Wand
Kugel
W
W
mg
F
B
Boden
B
Die Kräfte von Boden und Wand bezeichnen wir als Kontaktkräfte oder
Normalkräfte.
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Berechnung von Kontaktkräften
Freikörperbild der Kugel:
Kugel
W
mg
F
B
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O. Sternal, V. Hankele
~ und B
~ bilden eine zentrale
F~ , F~g , W
Kräftegruppe!
Verwende die Gleichgewichtsbedingung zur
Berechnung der Kontaktkräfte!
Aufgabe
Auf einer schiefen Ebene mit dem Anstellwinkel α ist eine Kiste der Masse
m gelagert. Auf die Kiste wirkt eine zur schiefen Ebene parallele Kraft F~ .
1. Wie groß ist die Normalkraft zwischen Kiste und Boden?
2. Wie groß muss der Betrag |F~ | sein, damit die Kiste im Gleichgewicht
bleibt?
(Bekannte Größen: m, α)
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
1. Mechanik
1.2 Reibung
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O. Sternal, V. Hankele
Reibungskraft
FR
FZug
Reibungskraft
= µR · FN
µR : Reibungszahl (materialabhängig)
O. Sternal, V. Hankele
Für die (maximale) Stärke der
Reibung ist die Normalkraft
verantwortlich.
FR
Die Reibungskraft zeigt immer
entgegengesetzt zur
„Bewegungsrichtung“!
18.-22.09.17
Reibung entsteht z.B. durch
mikroskopische Unebenheiten zweier
gegeneinander gleitender Flächen.
Man unterscheidet zwischen Haft(HR) und Gleitreibung (GR).
Haftreibungskraft im Freikörperbild
mg
mg
F
F
FHR
N
Maximale Haftreibungskraft
FHR, max
= µHR · N
µHR : Haftreibungszahl (materialabhängig)
18.-22.09.17
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Haftreibungskraft im Freikörperbild
mg
mg
F
F
FHR
N
Haftreibungskraft
FHR
≤
µHR · N
µHR : Haftreibungszahl (materialabhängig)
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O. Sternal, V. Hankele
Reibungszahl
Material
Holz auf Holz
Holz auf Stein
Stahl auf Stahl
Stahl auf Eis
Gummi auf trockenem Asphalt
blockierter Reifen auf nassem Stein
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O. Sternal, V. Hankele
µHR
0,54
0,7
0,15
0,027
0,9 - 1,3
µGR
0,34
0,3
0,12
0,014
0,8
0,2
Haftreibungskraft im Freikörperbild (Beispiel 1)
mg
α
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Haftreibungskraft im Freikörperbild (Beispiel 2)
mg
α
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
F
Aufgabe
Sie legen einen Holzklotz (Haftreibungskoeffizient µHR = 0,54) auf eine
schiefe Ebene (ebenfalls aus Holz). Wie groß darf der Anstellwinkel der
schiefen Ebene sein, damit der Holzklotz noch nicht zu rutschen beginnt?
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
1. Mechanik
1.3 Beschreibung von Bewegungen:
Translation
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Definition Massenpunkt
Modell eines realen, ausgedehnten Körpers
Vorstellung: gesamte Masse des realen Körpers ist auf genau einen
Punkt konzentriert
Form und Ausdehnung des realen Körpers spielen keine Rolle
Wähle den Schwerpunkt des realen Körpers als Modell für den
Massenpunkt aus
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Ortsvektor
Beschreibung von Bewegungen ausgedehnter Körper
Ziel: Genaue Angabe des Ortes im 3D Raum, an dem man einen
Körper zu eine bestimmten Zeit t finden kann
Ordne jedem Körper im Raum einen Vektor ~r zu, der dessen Ort
angibt (Ortsvektor)
Ortsvektor gibt den Ort des Schwerpunkts des Körpers an
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Bahnkurve
z
~r(t1 )
~r(t2 )
y
Massenpunkt zum Zeitpunkt t3
Ortsvektor ~r(t3 ) zum Zeitpunkt t3
x
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Bahnkurve in 3D
Ortsvektor mit drei zeitabhängigen Koordinaten:
z


x (t)
~r (t) =  y (t) 
z (t)
~r(t1 )
~r(t2 )
y
~r(t3 )
x
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Bahnkurve in 2D
Ortsvektor mit zwei zeitabhängigen Koordinaten:
y
~r (t) =
~r(t1 )
~r(t2 )
~r(t3 )
x
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
x (t)
y (t)
Bahnkurve in 1D
Ortsvektor mit einer zeitabhängigen Koordinate:
~r(t2 )
~r(t1 ) ~r(t3 )
~r (t) = x (t)
Im eindimensionalen Fall lässt man die Vektor-Pfeile über den Variablen
oft weg. (Richtungen werden dann durch + oder − beschrieben.)
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Bewegungszustand
~ =
Resultierende Kraft R
6 ~0 ⇒ Änderung des Bewegungszustandes
Beschreibung eines Bewegungszustandes eines Körpers durch seine
Masse und seine Geschwindigkeit: Impuls
Impuls = Masse mal Geschwindigkeit
m = 1000 kg
v = 50 km/h
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Bewegungszustand
~ =
Resultierende Kraft R
6 ~0 ⇒ Änderung des Bewegungszustandes
Beschreibung eines Bewegungszustandes eines Körpers durch seine
Masse und seine Geschwindigkeit: Impuls
Impuls = Masse mal Geschwindigkeit
Definition Impuls
Der Impuls wird definiert als:
p~ = m~v
(Impuls und Geschwindigkeit sind vektorielle Größen!)
Einheit des Impulses
[p] = 1 N · 1 s = 1
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
kg m
m
· 1 s = 1 kg ·
2
s
s
Bewegungszustand
~ =
Resultierende Kraft R
6 ~0 ⇒ Änderung des Bewegungszustandes
Beschreibung eines Bewegungszustandes eines Körpers durch seine
Masse und seine Geschwindigkeit: Impuls
Impuls = Masse mal Geschwindigkeit
1. Newtonsches Axiom (Trägheitsprinzip)
Wenn auf einen Körper (bzw. Massenpunkt) keine resultierende Kraft
~ = ~0), dann bleibt sein Impuls konstant.
wirkt (d.h. R
~ = ~0
R
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
⇔
p~ = m~v = const.
Änderung eines Bewegungszustandes
2. Newtonsches Axiom (Aktionsprinzip)
~ 6= ~0 auf einen Körper (bzw.
Wirkt eine resultierende Kraft F~ = R
Massenpunkt) der Masse m, so bewirkt die Kraft eine von der Zeit t
abhängige Änderung des Impulses p~ des Körpers und es gilt
d~
p
F~ =
.
dt
Die Kraft ist die Änderungsrate des Impulses (Ableitung des Impulses nach
der Zeit).
Dabei können Kraft und Impuls zeitabhängige Funktionen sein:
F~ = F~ (t) ,
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
p~ = p~ (t)
Änderung eines Bewegungszustandes
2. Newtonsches Axiom (Aktionsprinzip)
~ 6= ~0 auf einen Körper (bzw.
Wirkt eine resultierende Kraft F~ = R
Massenpunkt) der Masse m, so bewirkt die Kraft eine von der Zeit t
abhängige Änderung des Impulses p~ des Körpers und es gilt
d~
p
F~ =
.
dt
Die Kraft ist die Änderungsrate des Impulses (Ableitung des Impulses nach
der Zeit).
Änderungen des Impulses:
1. Betrag des Impulses
2. Richtung des Impulses
3. Beides
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Berechnung des Gesamtimpulses eines Systems aus N Körpern
Betrachte ein System aus N Körpern:
p~4
p~1
p~5
p~3
p~2
Jeder Körper Ki besitzt einen Impuls p~i
Berechnung des Gesamtimpulses durch Summation der Einzelimpulse:
p~ges = p~1 + p~2 + p~3 + . . . + p~i + . . . + p~N =
N
X
i=1
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
p~i
Impulserhaltung
In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls zeitlich konstant.
d~
pges
= ~0
dt
Der Austausch von Impuls zwischen Teilen des abgeschlossenen Systems
(z.B. zwischen zwei Körpern) ist möglich.
Zeitliche
Entwicklung
Abgeschlossenes System aus N
Körpern zum Zeitpunkt t1
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Abgeschlossenes System aus N
Körpern zum Zeitpunkt t2 > t1
Impulserhaltung
In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls zeitlich konstant.
Zeitliche
Entwicklung
Abgeschlossenes System aus N
Körpern zum Zeitpunkt t1
Abgeschlossenes System aus N
Körpern zum Zeitpunkt t2 > t1
Es gilt:
p~ges (t1 ) = p~ges (t2 )
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Aufgabe
Ein Holzklotz der Masse mH = 2 kg ruht auf einem reibungsfreien
Untergrund. Er wird von einem Geschoss der Masse mG = 3 g getroffen,
das mit einer Geschwindigkeit von vG = 300 m/s auf den Holzklotz trifft
und in ihm stecken bleibt. Die gesamte Bewegung verläuft eindimensional.
Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich das System, nachdem das
Geschoss den Holzklotz getroffen hat?
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Aufgabe
Beim Alpha-Zerfall eines ruhenden Radium-Atomkerns entstehen ein
Radon-Atomkern und ein Helium-Atomkern. Sie messen, dass der
Helium-Atomkern sich nach dem Zerfall mit einer Geschwindigkeit
vα = 1, 52 · 107 m/s bewegt.
Mit welcher Geschwindigkeit vRn bewegt sich das Radon-Atom nach dem
Zerfall?
Gegeben: Masse des Helium-Atomkerns mα = 6, 6447 · 10−27 kg, Masse
des Radon-Atomkerns mRn = 3, 6867 · 10−25 kg,
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
2. Newtonsches Axiom und Beschleunigung
Definition der Beschleunigung
Die Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit:
~a (t) =
d~v
dt
Zweites Newtonsches Axiom (Aktionsprinzip)
Für Körper mit zeitlich konstanter Masse ( dm
dt = 0) kann man das zweite
Newtonsche Axiom vereinfachen zu:
F~ = m ~a
Einheit der Beschleunigung
[a] =
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
[F ]
1N
m
=
= 1 2
[m]
1 kg
s
Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Geschwindigkeit
Formulieren Sie einen formalen Zusammenhang zwischen der
Beschleunigung ~a (t) und der Geschwindigkeit ~v (t) für den Fall, dass ~a (t)
eine gegebene Funktion ist und die Geschwindigkeit ~v (t0 ) zum Zeitpunkt
t0 bekannt ist.
Verwenden Sie den Zusammenhang
~a (t) =
d~v
dt
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:
Zt
~v (t) = ~v (t0 ) +
t0
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
~a (t0 ) dt0
Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Geschwindigkeit
Formulieren Sie einen formalen Zusammenhang zwischen der
Beschleunigung und Geschwindigkeit für den Fall einer konstanten
Beschleunigung ~a (t) = ~a.
Verwenden Sie den Zusammenhang
Zt
~v (t) = ~v (t0 ) +
~a (t0 ) dt0
t0
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz für eine konstante Beschleunigung:
~v (t) = ~v (t0 ) + ~a (t − t0 )
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Geschwindigkeit und Beschleunigung
Bei bekannter Geschwindigkeit kann man die Beschleunigung aus der
Geschwindigkeit berechnen:
Momentanbeschleunigung
~a (t) =
d~v
dt
Durchschnittsbeschleunigung
h~ai =
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
~v (t1 ) − ~v (t0 )
t1 − t0
Aufgabe
Ein Motorboot der Masse m = 800 kg wird von einem Motor angetrieben,
der das Boot mit einer Kraft F = 400 N beschleunigt. Der Fahrer schaltet
den Motor bei einer Geschwindigkeit v (0 s) = 1 m/s ein und beschleunigt
für ∆t = 10 s.
Wie schnell ist das Boot nach der Beschleunigungsphase?
Stellen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung grafisch dar.
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Aufgabe
Zwei Kisten der Massen m1 = 10 kg und m2 = 20 kg werden mit der
Kraft F = 15 N angeschoben (eindimensionale Bewegung). Berechnen Sie
die Kraft, die zwischen den Kisten wirkt.
F
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
m1
m2
Berechnung des Ortsvektors zur Beschreibung einer Bewegung
z
~r(t1 )
~r(t2 )
y
~r(t3 )
x
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Beziehung zwischen Ort und Geschwindigkeit
Definition Geschwindigkeit
Die Geschwindigkeit ~v (t) ist die Änderungsrate des Ortes ~r (t):
~v (t) =
d~r
dt
Aufgabe
Formulieren Sie einen formalen Zusammenhang zwischen der
Geschwindigkeit ~v (t) und dem Ort ~r (t) für den Fall, dass ~v (t) eine
gegebene Funktion ist und der Ort ~r (t0 ) zum Zeitpunkt t0 bekannt ist.
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Beziehung zwischen Ort und Geschwindigkeit
Definition Geschwindigkeit
Die Geschwindigkeit ~v (t) ist die Änderungsrate des Ortes ~r (t):
~v (t) =
d~r
dt
Orts-Zeit-Gesetz
Zt
~r (t)
= ~r (t0 ) +
~v (t0 ) dt0
t0
Zt
bzw. in 1D: x (t)
=
x (t0 ) +
t0
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
v (t0 ) dt0
Beziehung zwischen Ort und Geschwindigkeit
Definition Geschwindigkeit
Die Geschwindigkeit ~v (t) ist die Änderungsrate des Ortes ~r (t):
~v (t) =
d~r
dt
Orts-Zeit-Gesetz für eine konstante Beschleunigung
~r (t) = ~r (t0 ) + ~v (t − t0 ) +
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
1
2
~a (t − t0 )
2
Ort und Geschwindigkeit
Bei bekanntem Ort kann man die Geschwindigkeit aus dem Ort berechnen:
Momentangeschwindigkeit
~v (t) =
d~r
dt
Durchschnittsgeschwindigkeit
h~v i =
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
~r (t1 ) − ~r (t0 )
t1 − t0
Aufgabe
Ein Mann bringt seine Kinder im 10 km entfernten Nachbarort zur Schule.
Die erste Hälfte des Weges fährt er mit einer Geschwindigkeit von
50 km/h, die zweite Hälfte legt er mit einer Geschwindigkeit von
100 km/h zurück. Berechnen Sie zunächst die Zeit (in Minuten), die er für
die beiden Teilstrecken benötigt. Zeichnen Sie dann das zugehörige
Weg-Zeit-Diagramm. Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit (in
km/h)?
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Aufgabe
Ein Körper bewegt sich mit der konstanten Beschleunigung a = −5 sm2 .
Zum Zeitpunkt t0 = 0 s befindet er sich am Ort x0 = 23 m und bewegt
sich mit der Geschwindigkeit v0 = 20 ms .
Berechnen Sie Ort und Geschwindigkeit des Körpers zu den Zeiten
t1 = 2 s, t2 = 4 s, t3 = 6 s, t4 = 8 s, t5 = 10 s.
Skizzieren Sie Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort in geeigneten
Grafen.
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Aufgabe
Eine Frau fährt auf der Autobahn mit einer Geschwindigkeit von
v = 144 km
h . Als sie ein Reh auf der Fahrbahn sieht, bremst sie das Auto
mit einer konstanten Bremsverzögerung von a = −8 sm2 vollständig ab.
In welcher Entfernung vom Reh muss sie mit dem Bemsvorgang
beginnen?
Wie verändert sich der Bremsweg, wenn sie mit blockierten Reifen auf
trockener bzw. regennasser Straße bremst? (Blockierter Reifen auf
trockenem Asphalt: µGR = 0, 8, blockierter Reifen auf nassem
Asphalt: µGR = 0, 2).
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
1. Mechanik
1.4 Translation: Spezielle Bewegungen
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Aufgabe: Freier Fall
Ein Besucher des Hamburger Michel (Hauptkirche St. Michaelis) ist mit
seiner Kamera auf der Turmplattform in einer Höhe von h = 83 m sehr
unvorsichtig. Bei einem gewagten Foto fällt ihm die Kamera aus der Hand
und fällt an der Seite des Turms senkrecht zum Erdboden.
Nach welcher Zeit trifft die Kamera auf den Boden?
Wie groß ist die Geschwindigkeit der Kamera kurz vor dem Aufprall?
Hinweis: Nehmen Sie an, dass der Fall zum Zeitpunkt t0 = 0 s beginnt
und die Kamera aus der Ruhe zu fallen beginnt.
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Aufgabe: Schiefer Wurf
Ein Stuntman fährt mit seinem Motorrad über eine Rampe (Anstellwinkel
α = 45◦ ) und springt über eine brennende Grube der Breite d = 25 m.
Mit welcher Geschwindigkeit muss er abspringen, um sicher auf der anderen
Seite zu landen?
Wo liegt der höchste Punkt der Bahn? Wie hoch liegt dieser über dem
Absprungpunkt?
Hinweis: Nähern Sie das Motorrad als punktförmigen Körper an.
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
1. Mechanik
1.5 Kreisbewegung
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Ebene Kreisbewegung
Charakteristische Größen
v: Bahngeschwindigkeit
r: Radius der Kreisbahn
ϕ: Winkel zur x-Achse (Bogenmaß)
T : Umlaufdauer, Zeit für eine Umdrehung
f : Frequenz, Umdrehungen pro Sekunde,
f = T1
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Bahngeschwindigkeit und Bahnbeschleunigung
Zurückgelegter Weg entlang des
Kreises
s = rϕ
Bahngeschwindigkeit
v
r:
ϕ:
v:
Radius der Kreisbahn
Winkel zur x-Achse
Bahngeschwindigkeit
=
ωr
mit ω: Winkelgeschwindigkeit
Bahnbeschleunigung
a =
αr
mit α: Winkelbeschleunigung
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Analogien: Geradlinige Bewegung und Kreisbewegung
Geradlinige Bewegung
a
Kreisbewegung
=
konstant
α
v(t) =
a · t + v0
ω(t)
= α · t + ω0
s(t) =
1
· a · t2 + v0 · t + s0
2
ϕ(t)
=
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
= konstant
1
· α · t2 + ω0 · t + ϕ0
2
Aufgabe
Der Rotor eines Hubschraubers hat einen Durchmesser d = 15 m und wird
in einem Zeitraum von ∆t = 90 s aus der Ruhe auf eine Frequenz von
f = 5 Hz beschleunigt.
a) Berechnen Sie die der Frequenz entsprechende Winkelgeschwindigkeit.
b) Wie groß ist die in dem Zeitraum ∆t wirkende durchschnittliche
Winkelbeschleunigung?
c) Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit der Spitzen der Rotorblätter
nach dem Beschleunigungsvorgang?
d) Wie viele Umdrehungen führt der Rotor während der
Beschleunigungsphase unter Annahme einer konstanten
Winkelbeschleunigung durch?
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Zentripetalbeschleunigung
Zentripetalbeschleunigung
Bei der Kreisbewegung ändert sich ständig
die Richtung der Bahngeschwindigkeit!
⇒ Eine Kreisbewegung ist eine
beschleunigte Bewegung.
Berechne die zweiten Zeitableitungen der
Ortskoordinaten x (t) und y (t)
ax
ay
= −rω 2 cos (ωt)
= −rω 2 sin (ωt)
~a zeigt zum Kreismittelpunkt!
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Zentripetalkraft
Zentripetalkraft
F~ZP
= −
mv 2
~er ,
r
FZP = −
mv 2
r
Die Zentripetalkraft hält einen Körper auf
einer Kreisbahn.
Zentrifugalkraft
F~ZF
= −F~ZP
Die Zentrifugalkraft ist eine Scheinkraft. Sie
wird nur in einem rotierenden Bezugssystem
wahrgenommen.
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Aufgabe
Ein Satellit soll über dem Äquator der Erde in einen geostationären Orbit
gebracht werden. In welchem Abstand zur Erdoberfläche fliegt der Satellit?
(Radius der Erde am Äquator: rE = 6378 km, Masse der Erde:
3
mE = 5, 9722 · 1024 kg, Gravitationskonstante G = 6, 674 · 10−11 kgms2 )
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
1. Mechanik
1.6 Arbeit und Energie
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Der Begriff der Arbeit
Arbeit = Kraft mal Weg
Gerader Weg und Kraft unabhängig vom
Ort:
W
= F~ · ~s
= |F | · |s| · cos α
Die Einheit der Arbeit
[W ]
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
=
[F ] · [s] = 1Nm = 1
=
1J (Joule)
kg · m2
s2
Verrichtete Arbeit
(a)
F~
a)
α = 0◦ , Kraft und Weg parallel
W = F · s · cos α = F · s · 1
b)
α = 0◦ , Kraft und Weg parallel
W = F · s · cos α = F · s · 1
~s
c)
α = 90◦ , Kraft und Weg senkrecht
W = F · s · cos α = F · s · 0 = 0
~s
d)
α = 30◦
W = F · s · cos α = F · s · 0, 87
~s
(b)
F~
(c)
F~
(d)
F~
~s
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Verrichtete Arbeit
⇒ Im physikalischen Sinne wird hier keine Arbeit verrichtet!
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Der Begriff der Arbeit
Arbeit = Integral über Kraft mal Weg
Gekrümmter Weg und/oder Kraft abhängig
vom Ort:
~
• Arbeit auf dem kleinen Wegstück ds:
~
= F~ · ds
dW
• Arbeit auf dem gesamten Weg:
Z2
W
=
dW =
1
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Z2
1
~
F~ · ds
Definition Energie
Energie =
Fähigkeit eines Körpers, aufgrund seiner Lage (potentielle Energie) oder
seiner Bewegung (kinetische Energie) Arbeit zu verrichten.
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Potentielle Energie
Eine Masse, die gegen die Gewichtskraft um die
Höhe h angehoben wird, erhält
m
Lageenergie
Epot
h
18.-22.09.17
= m·g·h
Die Lageenergie (Arbeit gegen die
Gewichtskraft) ist unabhängig vom gewählten
Weg!
O. Sternal, V. Hankele
Aufgabe
Die Internationale Raumstation befindet sich in einer Höhe h = 400 km
über dem Erdboden. Welche Arbeit muss gegen die Gravitationskraft
verrichtet werden, um einen Astronauten der Masse m = 70 kg vom
Erdboden zur Raumstation zu bringen?
(Masse der Erde: mE = 5, 94 · 1024 kg, Radius der Erde: rE = 6367 km,
3
Gravitationskonstante γ = 6, 674 · 10−11 kgms2 )
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Kinetische Energie (Bewegungsenergie)
F =m·a
Eine Masse wird mit der Kraft F = m · a
beschleunigt. Dabei wird
„Beschleunigungsarbeit“ verrichtet. Die
bewegte Masse erhält so
Bewegungsenergie bzw. kinetische
Energie
Ekin
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
=
1
m · v2
2
Energieerhaltung
In einem abgeschlossenen physikalischen System bleibt die Gesamtenergie
erhalten!
Energieerhaltungssatz
X
Ei
=
const.
i
Merke:
Energie kann weder ins Nichts verschwinden noch aus dem Nichts
entstehen, sie kann lediglich von einer Energieform in eine andere
umgewandelt werden.
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Aufgabe
Ein Besucher des Hamburger Michel (Hauptkirche St. Michaelis) ist mit
seiner Kamera auf der Turmplattform in einer Höhe von h = 83 m sehr
unvorsichtig. Bei einem gewagten Foto fällt ihm die Kamera aus der Hand
und fällt an der Seite des Turms senkrecht zum Erdboden.
Wie groß ist die Geschwindigkeit der Kamera kurz vor dem Aufprall?
Nach welcher Zeit trifft die Kamera auf den Boden?
Hinweis: Nehmen Sie an, dass der Fall zum Zeitpunkt t0 = 0 s beginnt
und die Kamera aus der Ruhe zu fallen beginnt.
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Aufgabe
Ein Besucher des Hamburger Michel (Hauptkirche St. Michaelis) ist mit
seiner Kamera auf der Turmplattform in einer Höhe von h = 83 m sehr
unvorsichtig. Bei einem gewagten Foto fällt ihm die Kamera aus der Hand
und fällt an der Seite des Turms senkrecht zum Erdboden.
Wie groß ist die Geschwindigkeit der Kamera kurz vor dem Aufprall?
Nach welcher Zeit trifft die Kamera auf den Boden?
Hinweis: Nehmen Sie an, dass der Fall zum Zeitpunkt t0 = 0 s beginnt
und die Kamera aus der Ruhe zu fallen beginnt.
Die zeitabhängige Entwicklung eines Systems kann mit den Mitteln der
Energieerhaltung nicht direkt beantwortet werden!
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Aufgabe
Sie konstruieren eine Achterbahn. Dazu gehören auch spektakuläre
Loopings. Wie schnell muss die Bahn durch einen Looping mit dem
Durchmesser d = 5 m fahren, damit die Fahrgäste nicht aus den Sitzen
fallen, wenn sie am höchsten Punkt kopfüber stehen?
Um die Bahn auf die entsprechende Geschwindigkeit zu bringen,
verwenden Sie eine schnelle Talfahrt vor dem Looping. Wie hoch über dem
tiefsten Punkt des Loopings muss die Bahn gestartet werden, um im
höchsten Punkt des Loopings schnell genug zu sein?
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
Zentraler elastischer Stoß
Impulserhaltung
p1 + p2
=
p01 + p02
m1 v1 + m2 v2
=
m1 v10 + m2 v20
=
E10 + E20
1
1
m1 v102 + m2 v202
2
2
Energieerhaltung
E1 + E2
1
1
m1 v12 + m2 v22
2
2
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
=
Zentraler elastischer Stoß
Geschwindigkeiten nach dem Stoß
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
v10
=
v20
=
(m1 − m2 ) v1 + 2m2 v2
m1 + m2
(m2 − m1 ) v2 + 2m1 v1
m1 + m2
Zentraler elastischer Stoß
Spezialfall des zentralen elastischen Stoßes:
m1 = m2 und v1 = −v2
m1
v1
v2
(m1 − m2 ) v1 + 2m2 v2
= v2
m1 + m2
(m2 − m1 ) v2 + 2m1 v1
v20 =
= v1
m1 + m2
v10 =
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele
m2
Aufgabe
Ein LKW der Masse m1 = 12 T fährt mit einer Geschwindigkeit
v1 = 80 km/h ungebremst auf ein Stauende und trifft dort auf einen
stehenden Kleinwagen der Masse m2 = 750 kg. Mit welcher
Geschwindigkeit bewegen sich die Fahrzeuge nach dem (als elastisch
anzunehmenden) Stoß?
18.-22.09.17
O. Sternal, V. Hankele