GETE - A1.net

GETE
Schuljahr 2002/2003
3. ABN / 4. ABN
GETE
Hr. Houska
Testtermine: 22.10.2002 und 17.01.02
2. Teststoff:
2. Theoriefragen (Spulen, Magnetischer Kreis, Flussdichte, Wechselstromkreis)
Zeigerdiagramm (Wechselstrom, Effektivwert, Uss)
Rechenbeispiele
ELEKTRISCHES FELD:
Elektrisch geladene Körper üben aufeinander Kräfte aus. Gleichnamige geladene Körper stießen
sich ab, ungleiche Körper ziehen sich an. Im Raum um eine elektrische Ladung herum wirken
also Kräfte auf andere elektrische Ladungen. Einen solchen Raum nennt man elektrisches Feld.
r
Elektrische Feldstärke: E
F
m
Fg
r
m
Q1-
1 Q1
E=
.
4.π .ε 0 r ²
Q2-
1 Q1.Q 2
.
U F 4.π .ε 0 r ²
1 Q1
=
E= = =
.
L Q
Q2
4.π .ε 0 r ²
Die elektrische Feldstärke E gibt dabei an, welche Kraft F auch die Leitung Q ausgeübt wird.
Wie auch die Kraft hat auch die Feldstärke einen Betrag und eine Richtung. Für ein elektrisches
Feld in dem ein Betrag und eine Richtung nicht überall gleich ist, man nennt ein solches Feld
inhomogenes Feld, muss die elektrische Feldstärke als Vektor betrachtet werden. Die Richtung
der Feldstärke E kann man graphisch durch die so genannten Feldlinien dargestellt. Die Pfeile
geben die Richtung der Kraft an, die zum Beispiel auf eine Probeladung ausgeübt wird.
In homogenen Feldern sind die elektrische Feldstärke E und die Spannung U zwischen den
beiden geladen Platten über den Abstand L mit einander verknüpft.
W F .L
U F
∆U = ϕ 2 − ϕ 1 = =
E= =
Q
Q
L Q
Andreas Hofer
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DER KONDENSATOR:
Ein wichtiges Bauteil der Elektrotechnik ist der Kondensator. Im Prinzip besteht der Kondensator
aus zwei Metallplatten, die sich, gegeneinander isoliert, gegenüberstehen. Das Isoliermaterial
heißt hier Dielektrikum. Wenn an die Kondensatorplatten eine Spannung angelegt wird, stehen
sich die positive und negative Ladung dicht gegenüber und üben Kräfte aufeinander aus. Es
entsteht ein elektrisches Feld. Bei der Ladung eines Kondensators werden auf der negativen
Platte die Elektronen durch die Anziehungskräfte der positiven Platte zusammen gedrängt,
kondensiert. Mann kann eine gewisse Elektrizität speichern. Die Elektrizitätsmenge Q (As) in
Coulomb ist abhängig von der angelegten Spannung U und dem Speichervermögen C (Kapazität)
des Kondensators. Das Speichervermögen bezeichnet man als Kapazität eines Kondensators. Sie
wird im Farad gemessen.
A
Q = C ⋅U
C = ⋅E
L
Ein Kondensator mit der Kapazität von 1 Farad speichert bei einer Spannung von 1V eine
Landung von 1 AS.
Die Kapazität eines Kondensators ist abhängig von der Platenfläche A, vom Abstand der Platten
L und von der Art des Isolationsmaterials. Є ist die Elektrizitätszahl des Dielektrikum. Es setzt
sich zusammen aus der elektrischen Feldkonstante Є 0 und der relativen Dielektrizität des
verwendeten Materials. Є 0 ist wie die Lichtgeschwindigkeit eine Naturkonstante: 8,854 . 10-12
F
/M
16.09.02
ELEKTRISCHES POTENTIAL
U
l
U 1, 2 = E ⋅ ∆l
U 1, 2 = E ⋅ a
E=
U 1, 2 =
U
⋅a
l
Verbindet man nun im Feld alle Punkte mit dem gleichen Potential, so erhält man die so
genannten Äquipotentiallienien. Sie verlaufen im Normalfall im Winkel zu 90° zu den Feldlinien.
Der Elektrische Fluss Ψ = PSI, wie eingangs festgelegt wurde, wird das elektrische Feld von
elektrischen Ladungsmengen verursacht. Ψ = Q Die Einheit des elektrischen Flusses ist A/S
Coulomb. Der Elektrische Fluss entspricht einer elektrischen Ladungsmenge und damit ist seine
Einheit = einem Coulomb. Die elektrische Flussdichte ist der, auf die normal zu den Feldlinien
liegenden Querschnitt bezogene Elektrische Fluss.
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D=
Q2
ψ
A
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=
Q
A
Q
AKugel
Q1
D=
4 ⋅π ⋅ r²
D=
A = 4 ⋅π ⋅ r ²
Q1
Q2
Q1
F=
1 Q1 ⋅ Q 2
.
4.π .ε 0 r ²
F=
1 Q1
F
=
.
Q 2 4.π .ε 0 r ²
Q U
= ⋅ ε 0 ⋅ εr
A L
D = E ⋅ ε 0 ⋅ εr
Die Flussdichte ist umso größer je kleiner die Fläche ist. Sie ist abhängig von der Fläche und der
Ladung.
Schaltungen von Kondensatoren:
Bei paralller Schaltung von mehreren Kondensatoren addieren sich ihre Plattenoberfläche und
damit ihre Kapazitäten. Die gesamt Kapazität ist gleich die Summe der Einzelkapazitäten.
Bei der reihen Schaltung ist die Gesamtkapazität kleiner als die gesamte Einzelkapazität, da bei
Reihenschaltung mehrere Kondensatoren eine Vergrößerung des Plattenabstandes entspricht.
Die Berechnungsformel entspricht im Aufbau der Formel für parallel geschalte Widerstände.
Strom durch einen Kondensator:
Ein Strom IC fließt durch die Spannungsquelle von einer Platte zu der Anderen und bewirkt damit
einen Spannungsunterschied UC zwischen den beiden Platten. Zu jeder Zeit befindet sich jeweils
die Ladung Q(t) = C . Uc(t) auf der Kondensatorplatte.
I
I
Ladung
Entladung
Verbindet man die Platten eines geladenen Kondensators mit einem Stromkreis, so findet ein
Ladungsausgleich statt. Die Kondensatorspannung UC sinkt dadurch. Er entlädt sich. Erreicht die
Kondensatorspannung 0 so kommt der Entladestrom zum erliegen. Das heißt: Grundsätzlich
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fließt nur Strom solange die Spannung sich ändert. Je schneller die Spannung sich ändert, desto
größer ist der Strom.
dQ
du
du
Q = C ⋅U
=C⋅
ic = C ⋅
dt
dt
dt
Zum Laden eines Kondensators muss Arbeit aufgebracht werden. Die im Kondensator
gespeicherte Energie ist gleich der Elektrischen Energie die beim Ladevorgang zugeführt wird.
Der Energiegehalt eines geladenen Kondensators ist gleich
W
Æ W = P ⋅T = U ⋅ I ⋅ t
T
dq
dq = C ⋅ du i =
Æ dq = i ⋅ dq
dt
dw = u ⋅ i ⋅ dt = u ⋅ dq
P=
U
U
0
0
W = ∫ dw = ∫ u ⋅ dq
Q = C ⋅U
Q = I ⋅t
dq = C ⋅ du
dq = i ⋅ dt
C ⋅ du = i ⋅ dt
W
→W = P ⋅t = U ⋅ I ⋅t
t
dw = u ⋅ i ⋅ dt
dw = u ⋅ c
P=
U
W = ∫ dw = ∫ u ⋅ du ⋅ C = C ∫ U ⋅ du
0
W=
C ⋅U ²
2
C
mit C-Erweitern
C
Energie, die man zum Laden des Kondensators benötigt:
W=
C ² ⋅U ² Q² Q ⋅ Q Q ⋅ C ⋅U Q ⋅U
=
=
=
=
2⋅C
2⋅C 2⋅C
2⋅C
2
Q = C ⋅U
t 0 = KS
t = LL
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dq
du
=C⋅
dt
dt
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UR + Uc − U 0 = 0
UR = ic ⋅ R
Uc = U 0 − UR = U 0 − icR = U 0 = R ⋅ X ⋅
du
dt
du
dt
du
UC − U 0 = − R ⋅ C ⋅
dt
du
U 0 − UC = R ⋅ C ⋅
dt
du
dVc
1
1
dt =
dt =
⇒
RC
U 0 − UC
RC
U 0 − UC
UC = U 0 − R ⋅ C ⋅
dUc
0 − Uc
1
dUc
dt = ∫
∫
RC
U 0 − Uc
1
t + k = − ln(U 0 − Uc)
RC
1
−
t + k = ln(U 0 − Uc)
RC
1
∫ RC dt =∫ U
−
e
t
RC
k = U 0 − Uc
−
Uc = U 0 − K ⋅ e
t
RC
−
Uc = U 0 − U 0 ⋅ e
Uc = 0
−
0 =U0− K e
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0
RC
t
RC
⇒ K =U0
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laden:
−
Uc(1ms ) = U 0 − U 0 ⋅ e
−
Uc(1ms ) = 10 − 10 e
−
Uc(1ms) = 10 − 10 e
t
RC
1⋅10 − §
0 ,1⋅10 − 6 ⋅10³
1⋅10 − §
0 ,1⋅10 − 6
in ca. 5-7 Tau ist der Kondensator umgeladen.
τ =R ⋅ C = R1 || R 2 ⋅ C
10³Ω ⋅ 0,1 ⋅10 −6 F = 0,1 ⋅10 −3 s
entladen:
−
Uc(1ms) = U 0 − (U 0 − U e
t
RC
)
t
−
RC
Uc(1ms) = U 0 − U 0 + U e
−
Uc(1ms) = U e
t
RC
lm (ex) = x
MAGNETISCHES FELD
1. Der Magnetismus
Die Kompassnadel ist das bekannteste Anwendungsbeispiel des Magnetismus. Die Richtkraft, die
magnetisierte Stahlnadel steht’s nach Norden zeigen lässt, wird durch den Erdmagnetismus
bewirkt. Die Tatsache, dass Eisen von einem Magneten angezogen wird, ist schon seit langer zeit
bekannt, da es natürlich Vorkommen von magnetischen Eisen gibt. Man nennt dieses Phänomen
Ferromagnetismus. Dass die Kompassnadel und die Anziehungskraft eines Magneten auf dem
gleichen Effekt beruhen, zeigt die Ablenkung Kompassnadel in der Nähe eines Magneten. Den
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Wirkungsbereich eines Magneten, in den man die Kraft nachweißen kann, nennt man
Magnetisches Feld. Die Richtungslinien heißen Feldlinien oder Kraftlinien oder Wirkungslinien.
Der Verlauf der Feldlinien ist zum Beispiel durch aufgestreutes Eisenpulver nachweisbar. Die
Punkte eines Magneten, an denen die Wirkung am stärksten auftritt, nennt man Magnetpole. Man
bezeichnet sie als Nord- und Südpol.
N
S
Halbiert man einen Stabmagneten, dann findet man, dass beide Hälften wieder vollständige
Magneten sind. Die Teilung kann beliebig weit geführt werden und ergibt steht selbständige
Magneten. Dies hat zur Theorie der Molekular Magneten geführt. Dies besagt, dass schon die
Molekühle Anziehungskräfte ausüben und Magnete darstellen. Falls die Molekular Magnete
ungeordnet liegen, hebt sich Ihre Wirkung gegenseitig vollkommen auf. Bei vollständiger
Ordnung tritt die Magnetwirkung an den Enden, also an den Polen, in Erscheinung. Eisen ist
einer der wenigen Stoffen, bei denen eine vollständige Ordnung der Molekular Magnete möglich
ist. Bei weiteren Untersuchen der Magnetischen Effekte stellte man das Grundgesetz fest, dass
ungleichnamige Pole sich anziehen und gleichnamige Pole sich abstoßen.
S N
S N
Bei zwei gegenüberstehenden ungleichnamigen Polen, ist der Feldlinienverlauf zwischen den
Polen gleichmäßig und glatt. Stehen sich gleichnamige Pole gegenüber, dann erkennt man, am
Feldlinienverlauf, die abstoßende Wirkung.
S
N
S
N
Liegt ein Stück Eisen zwischen den ungleichnamigen Polen, zweier Magnete, dann verlaufen die
Feldlinien zum weitaus größten Teil innerhalb dieses Eisenstückes. Sie also offensichtlich den
Weg im Eisen. Zur Berechnung und genaueren Definition hat man Vereinbarungen über die
Begriffe getroffen. So ist zum Beispiel vereinbart worden, dass als Richtungsregel gelten soll:
Die Feldlinien treten am Nordpol aus und treten am Südpol ein.
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Weiterhin kann man eine Feldlinie als eine Bestimmte Einheit auffassen. Die Summe aller
Feldlinien eines Magneten, die an eine Pol ein oder austreten, heißt Magnetischer Fluss (Φ).
Bezogen auf einen bestimmten Querschnitt spricht man von der Flussdichte pro cm² B.
Feldlinien sind steht in sich geschlossen. Dass heißt, sie verlaufen von einem Pol durch die Luft
zum anderen Pol und innerhalb des Eisens wieder zurück zum Ursprung.
2. ELEKTROMAGNETISMUS
Der Dänische Physiker Oersted entdeckte, dass eine Stromdurchflossener Leiter magnetische
Wirkungen ausübt. Jeder Stromdurchflossene Leiter ist von einem magnetischen Feld umgeben.
Der Nachweiß kann zum Beispiel mit Eisenpulver geführt werden, der sich bei Einschalten des
Stromes ringförmig um den Leiter ordnet. Dass heißt die Magnetischen Feldlinien umgeben also
an jeder Stelle den Leiter.
Zur genauen Untersuchung hat man wieder Feststellungen über die
Richtung getroffen:
Man stellt sich den Strom als Pfeil vor, in der Richtung von Plus nach
Minus fließend. Tritt der Strom von oben her in die Ebene ein, dann wir ein
Kreuz gezeichnet. Tritt er von unten her in die die Ebene, dann zeichnet
man einen Punkt für die Pfeilspitze. Blickt man in Richtung des
Stromflusses, dann verlaufen die Feldlinien im Uhrzeigersinn, also
rechtsherum.
Wenn Stormdurchflossene Leiter von einem Magnetfeld umgeben sind, dann müssen
verschiedene Felder, mehrerer Leiter Kräfte aufeinander ausüben. Parallel laufende Leiter, die
von Strömen Entgegengesetzter Richtung durchflossen werden, stoßen sich ab. Bei Darstellung
mit Eisenpulver kann man zeigen, dass sich die beiden Felder gegenseitig verdrängen. Verläuft
dagegen der Strom in die gleiche Richtung dann ziehen sich die Leiter an. Die Beiden
Magnetfelder vereinigen Ihre Feldlinien weitgehend. Gekreuzte Leiter mit gleich sinnig
verlaufenden Strömen, versuchen sich unter Einfluss der herrschenden Magnetfelder, parallel
einzustellen.
Diese Grundtatsachen sind wichtig für die Praktische Anwendung in Elektrischen Maschinen.
Die Kraftwirkung der Stromdurchflossenen Leitern ist die tretende Mechanische Kraft bei einem
Elektromotor, ihre Richtung und Größe lässt sich vorausberechnen. Die gegenseitige
Beeinflussung benachbarter Magnetfelder von Stromdurchflossenen Leitern wird besonders
deutlich, wenn der gleiche Leiter spiralartig zu einer Spule aufgewickelt wird. Die Magnetfelder
der einzelnen Windungen vereinigen sich zu einem Gesamtfeld der Spule, dass einem
Stabmagneten ähnlich ist. Denkt man sich die Spule durchgeschnitten, kann man die
Zusammenwirkung der Felder erkennen. Die Gesamtrichtung des Feldes wird durch den
Windungssinn der Spule und durch die Stromrichtung bestimmt. Änderung der Stromrichtung
bewirkt, eine Umpolung des Gesamtfeldes.
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Bei der Grundform der Spule spricht man von der einlagigen Zylinderspule. Spulen können aber
auch mehrlagig gewickelt werden.
Werden die Windungen einer Spule von einem Elektrischen Strom durchflossen entsteht ein
Magnetisches Feld. Das Magnetfeld wird durch Feldlinien um die Windung herum
wiedergegeben.
+
Dabei kann man sich bildlich vorstellen, dass die Feldlinien von einem elektrischen Strom
durchflossen werden oder man sagt auch durchflutet werden. Bei mehreren Windungen werden
die Feldlinien vom gleichen Strom mehrmals durchflutet. Die Durchflutung D ist deshalb das
Produkt der Stromstärke I in Ampere und der Windungszahl N aufzufassen. Als Einheit hat man
die Amperewindungszahl gewählt
Durchflutung D = I ⋅ N
Die Abmessungen der Spule sind ebenfalls vom Einfluss. Die Magnetische Feldstärke ist umso
größer je kürzer und gedrungener (dichter) die Spule gewickelt ist. Für Zylinderspulen ist die
Magnetische Feldstärke H, dass Verhältnis der Durchflutung zur Länge l der Spule. Die Einheit
ist Ampere pro Meter, da die Windungszahl eine reine Zahl ist und auch bei der Durchflutung die
Dimension Ampere ist. Lediglich vervielfältigt mit der Windungszahl.
Magnetische Feldstärke H =
I ⋅N
l
Bei Spulen mit gleichen Abmessungen ergibt sich daraus, dass man die gleiche Feldstärke
entweder mit vielen Windungen bei geringem Strom oder mit wenigen Windungen bei hohem
Strom erreichen kann.
Wie bereits erwähnt besitzen einige Materialien wie zum Beispiel Eisen, die Eigenschaft, die
Kraft bzw. Feldlinien eines Magnetfeldes zu bündeln. So nimmt die Kraftwirkung einer Spule
erheblich zu, wenn man sie mit einem Eisenkern versieht. Dieses Phänomen wird durch die
Magnetische Flussdichte B beschrieben.
Anschaulich kann man sie sich als Felddichte innerhalb des Magnetischen Feldes an der
entsprechenden Stelle vorstellen. Die Einheit der Flussdichte Tesla.
Vs
Vs
A
] ⋅[ ]
(bei Luft)
µ0 = 4 π . 10-7 [Wb/Am]
B= µ0 . H [ ] = [
m²
A⋅ m m
Bei Spulen ohne Eisenkern, den so genannten Luftspulen, ergibt sich die magnetische Flussdichte
aus der Feldstärke:
Φ
Magnetische Flussdichte B =
A
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µ0 ist die so genannte Permeabilität des Vakuums oder magnetische
Feldkonstante. Das Produkt aus magnetischer Flussdichte und Austrittsfläche
der Feldlinie (also Anschaulich die Gesamtheit der Feldlinien) wird als
Magnetischer Fluss bezeichnet. Einheit: 1 Weber [WB] oder 1 Voltsekunde
[Vs]
Enthält eine Spule einen Eisenkern, so werden die Feldlinien konzentriert. Bei Eisenkernspulen
ist die Magnetische Flussdichte größer als bei Luftspulen. Um wie viel sie größer ist, hängt vom
Material und dem Magnetisierungszustand ab. Der zusätzliche Faktor wird als relative
Permeabilität bezeichnet
Vs
Vs
A
] ⋅[ ]
(ohne Luft)
µ0 = 4 π . 10-7
B= µ0 . µr . H [ ] = [
m²
A⋅ m m
HYSTERESE
Der Eisenkern in einer Spule verhält sich bei
Stromfluss genau wie ein Stabmagnet. Die
Magnetische Feldstärke, bei feststehender
Windungszahl und Spulenform nur vom Strom
abhängig, bestimmt den Magnetisierungszustand.
Als Wirkung kann man die Feldliniendichte im
Eisenbestimmen und aus H und B ein Diagramm
zeichnen. Man sieht, dass die magnetische
Flussdichte nicht linear mit der magnetischen
Flussdichte zunimmt. Bei zunehmender Feldstärke
wächst die magnetische Flussdichte nach einer
Kurvenfunktion. Sie nimmt bei stärkeren Strömen
nur noch wenig zu. Dass heißt, die Kurve verläuft
schwach. Die Flussdichte nähert sich einen Endwert an. Dieser entspricht dem Zustand, dass alle
Molekularmagnete im Eisen geordnet sind. Man bezeichnet diesen Zustand als Sättigung. Der
Verlauf kann mathematisch dadurch beschrieben werden, dass die relativer Permeabilität µr kein
konstanter Wert ist. µr ändert sich mit dem Magnetisierungszustand.
Das Verhalten eines Eisenstückes, beim magnetisieren hängt sehr stark von seinem Gefüge und
der Legierung ab. Weicheisen verliert seinen Magnetismus bis auf einen geringen Rest, den
Restmagnetismus (Remanenz). Wenn die Feldstärke des äußeren Feldes wieder auf Null
zurückgeht, ist eine Restfeldstärke zu messen. Man kann das Kurven mäßig darstellen, indem
man bei Erhöhung und Verringerung von H die jeweiligen Werte von B aufträgt. Der ansteigende
Kurvenzug ergibt sich also bei Erhöhung der äußeren Feldstärke, der abfallende Kurvenzug bei
nachfolgender Verringerung der äußeren Feldstärke.
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Um den Verbleibenden Restmagnetismus vollständig zu beseitigen, muss man die Stromrichtung
in der Spule also auch die Richtung des Magnetfeldes umkehren. Mit einem Verhältnismäßig
geringen Strom kann das Eisen ganz entmagnetisiert werden. Die Feldstärke, die zur Beseitigung
des Restmagnetismus notwendig ist, bezeichnet man als Koerzitivkraft oder als
entmagnetisierende Kraft. Steigert man das Magnetfeld über die Koerzitivkraft hinaus, wird das
Eisen in umgekehrter Richtung magnetisiert und erreicht auch hier eine Sättigung. Ebenso bleibt
beim Ausschalten des äußeren Magnetfeldes ein Restmagnetismus zurück, der durch eine
entgegengesetzt wirkende Koerzitivkraft wieder beseitigt werden kann. Trägt man dies in einem
B-H Diagram auf, erhält man die so genante Hysteresis Schleife oder Hystere Kurfe.
Bei magnetisch hartem Material ist die Remanenz sehr hoch, fast so hoch wie die Sättigung. Das
bedeutet, das Material behält seinen Magnetismus, auch nach Wegfall des erregenden Stromes.
Dass nennt man Dauermagnet.
Magnetisch weiches Material besitzt dagegen einen sehr geringen Restmagnetismus. Auch dieser
geringe Rest ist mit geringer Koerzitivkraft leicht zu beseitigen. Diese Eigenschaft ergibt eine
schlanke Kurvenform.
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INDUKTION
Durch fließenden Elektrischen Stromes wird ein Magnetisches Feld hervorgerufen. Umgekehrt
wird auch durch Bewegung eines elektrischen Leiters in einem Magnetfeld eine Spannung
hervorgerufen. Man bezeichnet diesen Effekt als Induktion.
Die Vorraussetzung zum Nachweiß sind:
1. Das Vorhandensein eines magnetischen Feldes mit der Flussdichte B
2. Das Vorhandensein eines elektrischen Leiters der Länge L
3. Die Bewegung des Leiters innerhalb des Magnetfeldes mit der Geschwindigkeit V
U = v ⋅ B ⋅l
Wird der Leiter durch einen äußeren Stromkreis zu einer geschlossen Schleife ergänzt, so kann
ein elektrischer Strom fließen. Die Stromrichtung hängt dabei von der Richtung der Bewegung
und auch von der Bewegung des Magnetfeldes ab.
Bewegt man den Leiter in einer Richtung und danach in die andere Richtung, dann fließt der
Strom in beiden Fällen auch in einer und in die entgegen gesetzte Richtung. Als Richtungsregel
gilt hier die rechte Handregel.
Bei der Induktion einer Spannung durch Bewegung muss nicht unbedingt der Leiter im ruhenden
Magnetfeld bewegt werden. Es kommt nur auf die Relativbewegung an. Das bedeutet, dass auch
ein Leiter oder eine Spule in Ruhe bleiben kann, wenn ein Magnet in der Nähe sich bewegt. Auch
in diesem Fall, wird eine Spannung induziert. Bei einer Spule tritt die Spannung verstärkt auf, da
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die Windungen hintereinander geschalten sind und sich die Spannung mit der Anzahl der Leiter
vervielfacht.
U =N⋅
dΦ
dt
Induktionsgesetz
Allgemein gilt für eine oder mehren Leiterschleifen bestehende Spule, dass dann eine Spannung
in der Spule induziert wird, wenn der magnetische Fluss durch die Windungen der Spule sich
ändert. Dabei ist die Spannung der Windungszahl und der Geschwindigkeit der Fluss Änderung
proportional.
Induktionsspannungen können auch von zwei Spulen hervorgerufen werden, da der Stromfluss in
einer Spule ein Magnetfeld hervorruft. Die erste von einem Fremdstrom durchflossene Spule
verhält sich dabei wie ein entsprechender Magnet und induziert in einer zweiten Spule eine
Spannung.
U = −N ⋅
dΦ
dt
B = µ0 ⋅ H
Φ = B ⋅ A = µ 0 ⋅ H ⋅ A =µ 0 ⋅
H=
I ⋅N
⋅A
l
i⋅N
⋅A
l
i⋅N
µ0
⋅A
N ² ⋅ µ 0 ⋅ A di
l
U = −N
=
⋅
dt
l
dt
D I ⋅N
=
l
l
dΦ = µ 0 ⋅
U = −L ⋅
di
dt
v r v v
Bxv =| B | ⋅ | v | sin(α )
v v
Fmag = Q ⋅ Bxv
v
v Fel
v
v
Æ Fel = E ⋅ Q
E=
Q
v
v
Fel + Fmag = 0
v v v
v v v
Q ⋅ Bxv = E ⋅ Q
Bxv = E
v v Uind
Q ⋅ Bxv =
l
B ⋅ v ⋅ l = Uind
Φ
Æ Φ = B ⋅ A( x)
B=
A(x)
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A( x) = ( x0 − x) ⋅ l = −dx ⋅ l
Φ = B(−dx) ⋅ l
dΦ
dx
= B ⋅ l (− ) = −v ⋅ l ⋅ B = Uind
dt
dt
dΦ
dΦ
Uind = N
Uind = −
dt
dt
Einschaltvorgang an einer Spule
Elektrische Induktion tritt nicht nur zwischen zwei getrennten Spulen auf. Auch innerhalb der
gleichen Spule findet eine Beeinflussung von Windung zu Windung statt. Man nennt dies die
Selbstinduktion. Im Augenblick des Einschaltens bewirkt die Selbstinduzierte Spannung ein
verzögertes Ansteigen des Stromes, da erst nach einer gewissen Zeit, die Gegenwirkung
überwunden ist. Nach dieser Anfangszeit, fließt ein Strom, der sich aus der angelegten Spannung
und dem Drahtwiderstand der Spule nach dem Ohmschen Gesetz berechnen lässt.
Beim Ausschalten einer Spule versucht die Selbstinduzierte Spannung den Stromfluss aufrecht zu
erhalten. Da der Vorgang der Selbstinduktion innerhalb der Spulenwindungen auftritt, ist die
Stärke der Selbstinduktion von der Windungszahl abhängig. Ist die Spule sehr locker und weit
gewickelt, dann können sich die einzelnen Windungen nicht sehr stark beeinflussen. Bei enger
Wicklung ist dagegen die Selbstinduktion sehr hoch. Da im Eisen die Feldlinien stark gebündelt
und konzentriert werden, bewirkt ein Eisenkern bei sonst gleichen Daten, eine Erhöhung der
Selbstinduktion. Das Maß für die gegenseitige Beeinflussung, ist der Selbstkoeffizienten
(Induktivität). Formelzeichen L wird in der Einheit H (Henry) gemessen.
Über eine Spule mit der Induktivität von einem Henry entsteht bei einer Änderung mit der
Geschwindigkeit von einem Ampre per Sekunde eine Spannung von einem Volt.
A
V=
sek
1
1 1 1 1
Parallelschaltung:
Serienschaltung: Lges = L1 + L2 + L3 + Ln
= + + +
Lges L1 L 2 L 3 Ln
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Φ = B ⋅ A⋅ µ0 ⋅ H ⋅ A = µ0 ⋅
I ⋅ Nm
⋅A
l
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B = µ0 ⋅ H
N
⋅ A ⋅ di
l
dΦ
N
di
= µ0 ⋅ ⋅ A⋅
dt
l
dt
dΦ
N
di
Uind = − N ⋅
Uind = − N ⋅ µ 0 ⋅ ⋅ A ⋅
dt
l
dt
[V] = [H] +[A/S]
H=
I ⋅N
l
dΦ = µ 0 ⋅
Uind = − L ⋅
− U 0 + UR + UL = 0
di
dΦ
N ² ⋅ A di
= −N
= −µ 0 ⋅
⋅
dt
dt
l
dt
UR = iR ⋅ R
UL = −Uind = L
dic
dt
di
=0
dt
U0 beim Einschalten: I 0 ⋅ RL
diL
− I 0 ⋅ RL + iL ⋅ RL + L
=0
dt
diL
− R L ⋅ ( I 0 − iL ) = − L
dt
− U 0 + iR ⋅ R + L
L diL
⋅
R dt
L
( I 0 − iL ) ⋅ dt = ⋅ diL
R
RLdt
diL
=
L
(i 0 − iR )
RL
diL
∫ L ⋅ dt = ∫ (i 0 − iR)
RL
K + ⋅ t = − ln( I 0 − iL )
L
RL
− ⋅ t − K 3 = ln( I 0 − iL )
L
I 0 − iL =
e
−
RL
⋅t
L
⋅ K 4 = I 0 − iL
Anfangsbedingung: e
e
−
RL
⋅t
L
−
RL
⋅0
L
⋅K4 = I0 −0
K4 = I0
⋅ I 0 = I 0 − IL
− iL = − Io + Io ⋅ e
Andreas Hofer
−
RL
⋅t
L
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iL = Io − Io ⋅ e
−
RL
⋅t
L
iL = Io + ⋅(1 − e
iL =
3. ABN / 4. ABN
U0
⋅ (1 − e
RL
−
RL
⋅t
L
)
RL
− ⋅t
L
iL ⋅ RL = U 0 ⋅ (1 − e
UR = U 0 ⋅ (1 − e
)
−
RL
− ⋅t
L
RL
⋅t
L
)
)
− U 0 + UR − UL = 0
−U 0 +U 0 −U 0 ⋅ e
−U 0 ⋅ e
RL
− ⋅t
L
UL = U 0 ⋅ e
−
RL
⋅t
L
+ UL = 0
= −UL
RL
− ⋅t
L
SPULE BEIM LADEN
UR + UL – U0 = 0
UR = iL . R
IL . R + uL – U0 = 0
DiL
UL = - Uind = L
dt
di
iL ⋅ R + L − U 0 = 0
dt
diL
iL ⋅ R = U 0 − L
dt
U 0 L diL
− ⋅
iL =
R R dt
−
t
−
t
iL = I 0 − I 0 ⋅ e τ ' = I 0 ⋅ (1 − e τ )
UL = U 0 − UR = U 0 − ir ⋅ R
−
t
UL = U 0 − ( I 0 ⋅ R − I 0 ⋅ R ⋅ e ) = U 0 − U 0 + U 0 ⋅ e
Andreas Hofer
τ
−
t
τ
=U 0⋅e
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−
t
τ
= UL
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3. ABN / 4. ABN
SPULE BEIM ENTLADEN:
− UL − UR = 0
UL = −UR
−
t
iL = I 0 − ( I 0 − I 0 ⋅ e )
iL = I 0 − I 0 + I 0 ⋅ e
iL = I 0 ⋅ e
−
−
τ
t
τ
t
τ
UL = −UR = −iL ⋅ R = − I 0 ⋅ R ⋅ e
UL = U 0 ⋅ e
−
−
t
τ
t
τ
WECHSELSTROMKREIS
ω=
2 ⋅π
= 2 ⋅π ⋅ f
T
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f =
1
T
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3. ABN / 4. ABN
Der Effektivwert
In der Elektrotechnik wird die Größe einer Sinunsförmigen Spannung meist nicht durch ihre
Ampliute sonder durch ihren Effektivwert angegeben. Dies ist der Wert, einer Gleichspannung,
die an einem Ohmschen Verbraucher die gleiche Elektrische Leistung beziehungsweise in einer
Schwingungsperiode die gleiche Elektrische Energie umsetzen würde, wie die betrachtete
Wechselspannung.
Im Kondensator eilt der Strom vor. In Induktivitäten wird er sich verspäten.
u (t ) = Uˆ ⋅ sin(ω ⋅ t )
u (t ) = R ⋅ i (t ) Æ i (t ) =
P (t ) = u (t ) ⋅ i (t ) =
dW = P(t ) ⋅ dt
u (t )
R
u ²(t )
R
u ²(t )
Uˆ ²
1
⋅ dt = ∫ Uˆ ² ⋅ sin ²( wt ) ⋅ dt =
sin ²( wt )dt
R
R0
R ∫0
0
0
0
Beim Integrieren macht’s immer eine Summe.
cos(α − β ) = cosα ⋅ cos β − sin α ⋅ cos β
cos(α + β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ cos β
cos(α − β ) − cos(α + β ) = 2 ⋅ sin α ⋅ cos β
α =β
cos(α − α ) − cos(α + α ) = 2 ⋅ sin α ⋅ sin α
1
1 − cos(2 ⋅ α ) = 2 ⋅ sin ²α
Æ sin ²α = [1 − cos(2α )]
2
1
1
sin ²α = [1 − cos(2α )] Æ sin ²(ϖ ⋅ t ) = [1 − cos(ϖ ⋅ t )]
2
2
T
Uˆ ²
Uˆ ² 1
Uˆ ²
sin ²( wt ) ⋅ dt =
[1 − cos(ϖ ⋅ t )] ⋅ dt =
[1 − cos(ϖ ⋅ t )] ⋅ dt
∫
∫
R 0
R 2
2⋅ R ∫
T
T
T
W = ∫ dw = ∫ P (t ) ⋅ dt = ∫
T
T
T
T
T
Uˆ ²
Uˆ ²
Uˆ ²
Uˆ ² T Uˆ ²
Uˆ ²
−
ϖ
⋅
=
=
⋅T = W
dt
t
dt
dt
T|=
[T − 0] =
cos(
2
)
∫
∫
∫
2⋅ R
2⋅ R 0 2⋅ R
2⋅ R 0
2⋅ R 0
2⋅ R 0
Andreas Hofer
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W=
Uˆeff ⋅ T Uˆ ² ⋅ T
=
R
2⋅ R
Æ
Uˆ ²
Uˆeff ² =
2
Æ
3. ABN / 4. ABN
Uˆ
Uˆeff =
2
u (t ) u ²(t )
=
R
R
T
T
1
1
U ²(t )
⋅ dt = ∫ u ²(t ) ⋅ dt = ⋅ 2,5V ² ⋅ T
W =∫
R
R0
R
0
P(t ) = u (t ) ⋅ i (t ) = u (t ) ⋅
Ueff ² ⋅ T
1
= W = ⋅ 2,5V ² ⋅ T
R
R
ˆ
Ueff ² = 2,5V ²
Uˆeff = 1,58V
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3. ABN / 4. ABN
ÜBERLAGERUNG VON SINUSFÖRMIGEN SCHWINGUNGEN:
Beispiel:
Zwei gleiche Sinusförmige Wechselspannungen sind zu addieren. U1 eilt der Spannung U2 um
75° vor. Der Scheitelwert U1 = 325V und ist doppelt so groß wie der von U2.
Berechnen Sie: a.) Scheitelwert von Uges
b.) Effektivwert der Einzelspannungen und der gesamt Spannung
GK
Hyp
GK = sin75° . Hyp
GK = sin75° . 325V = 84,12V
sin 75° =
AK
Hyp
AK = cos75° . Hyp
AK = cos75° . 325V = 84,12V
cos 75° =
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3. ABN / 4. ABN
Uˆ 1
Ugesx = Uˆ 2 + Uˆ 1 cos 75° =
+ U 1 cos 75
2
Ugesy = 0 + Uˆ 1 sin 75°
Uˆ 1
Uˆges = Ugesx ² + Ugesy ² = ( + U 1 cos 75°) + (U 1 sin 75°)
2
Uˆges = 60819,54 + 98549,46 = 399,21V
Ueff 1=
U1
325V
=
= 229,81V
2
2
Ueff 2=
U2
162,5V
=
= 114,9V
2
2
Uges
399,21V
Uges=
=
= 282,28V
2
2
EINZELNE VERBRAUCHER IM WECHSELSTROMKREIS
Wird ein Ohmscher Verbraucher in einem Wechselstromkreis, so schwankt die elektrische
Stromstärke gleichzeitig mit der elektrischen Spannung.
u (t ) = Uˆ sin(ωt )
Uˆ
i (t ) = sin(ωt )
R
Ueff = Ieff ⋅ R
Zeichnet man die elektrische Spannung und die elektrische Stromstärke beide in ein
Zeigerdiagram ein, so ergeben sich zwei übereinander liegende aber unterschiedlich lange Pfeile.
Das Verhältnis der Pfeile der Länge der Pfeile ergibt sich aus der Größe des Widerstandes.
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3. ABN / 4. ABN
Damit ist auch die im Ohmschen Verbraucher umgesetzte Leistung nicht konstant. Sie ergibt sich
aus der Multiplikation der Augenblickswerte von Strom und Spannung.
P (t ) = u (t ) ⋅ i (t ) =
u ²(t ) Uˆ ² ⋅ sin ²(ϖt ) Uˆ ²
Uˆ ²
=
=
=
⋅ [1 − cos(2 ⋅ϖt )
R
R
2⋅ R 2⋅ R
P(t)
u(t)
Die Elektrische Leistung schwingt also Sinusförmig aber mit der doppelten Frequenz der
Spannung zwischen null und Pmax hin und her, ist aber immer Positiv. Das heißt es wird immer
elektrische Leistung aufgenommen und in Wärme um gesetzt. Man nennt diese Leistung daher
Wirkleistung.
Spule bzw. Induktivitäten im Wechselstromkreis
Wird eine Spule in einem Wechselstromkreis so macht sich auch hier eine Selbstinduktion der
Spule bemerkbar. Jede Änderung der elektrischen Stromstärke des durch die Spule fließenden
Stromes, erzeugt eine Gegenspannung zwischen den beiden Anschlüssen der Spule. Diese ist
umso größer je größer die Geschwindigkeit der Änderung der Stromstärke ist. Ändert sich die
Strömstärke Sinusförmig, ist die Änderungsgeschwindigkeit in den Nulldurchgängen am größten,
hier erreicht also die Spannung UL ihr positives Maximum, wenn sich der Storm in positiver
Richtung ändert. Und die Moral von der Geschicht, die Spannung ist der Stromstärke um eine
viertel Schwingung (90°) voraus.
π
sin(ϖt )
diL
= L ⋅ iˆL ⋅
= ϖ ⋅ L ⋅ iˆL ⋅ cos(ϖt ) = ϖ ⋅ L ⋅ iˆL ⋅ sin(ϖt + )
dt
2
dt
cos(ϖt ) = sin(ϖt + 90°)
UL = L ⋅
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3. ABN / 4. ABN
Die Amplituden bzw. die Effektivwerte von Strom und Spannung stehen folgendermaßen in
Beziehung.
uL = ϖ ⋅ L ⋅ iˆL ⋅ cos(ϖt )
uˆL = ϖ ⋅ L ⋅ iˆL
ULsff = ϖ ⋅ L ⋅ ILeff
ULsff
=ϖ ⋅ L
ILeff
XL = ω ⋅ L
Die Größe ϖL wird Induktiver Blindwiderstand XL genannt. Er ist offensichtlich von der
Frequenz der Wechselspannung abhängig, für Gleichstrom ist der Induktive Blindwiderstand
einer idealen Spule Null. Je höher die Frequenz, desto größer wird der Induktive
Blindwiderstand.
1
P(t ) = u (t ) ⋅ i (t ) = uˆ ⋅ cos(ϖt ) ⋅ iˆ ⋅ sin(ϖt ) = uˆ ⋅ iˆ ⋅ ⋅ sin(2 ⋅ϖt )
2
Der Augenblickswert der Elektrischen Leistung schwingt mit der Doppelten Frequenz des
Stromes um den Nullwert hin und her. Dabei sind die Positiven Anteile in denen Energie in den
Stromkreis aufgenommen wird, genauso groß wie die Negativen Anteile, in denen Energie an den
Stromkreis abgegeben wird. Die Energie wird jeweils im Magnetfeld der Spule zwischen
gespeichert. Da sich die Anteile im Mittel aufheben, wird nicht wirklich Energie umgesetzt. Man
spricht daher von der Induktiven Blindleistung.
20.01.03
Kondensator im Wechselstromkreis
Wird ein Kondensator in einen Wechselstromkreis geschalten, so werden ständig die
Kondensatorplatten mit wechselnder Polarität umgeladen. Ist der Kondensator maximal
aufgeladen, erreicht auch die Kondensatorspannung ihr Maximum. Der Kondensator Strom
kommt zum erliegen und fließt anschließend in umgekehrter Richtung. Ändert sich die
Stromstärke sinusförmig, erreicht die Spannung ihr positives bzw. negatives Maximum jeweils
um 90° später als die Stromstärke.
ic = C
du
dt
ic = C ⋅ uˆ
sin(ωt )
dt
= C ⋅ uˆ ⋅ ω ⋅ cos(ωt )
π
ic = C ⋅ uˆ ⋅ ω ⋅ cos(ωt + )
2
Andreas Hofer
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3. ABN / 4. ABN
ic
1
Iceff
ic ⋅ 2
Ueff =
Xc =
uˆ ⋅ 2 =
ωC
ωC
ωC
ωC
Die Elektrische Stromstärke hat dann einen kosinusförmigen Verlauf. Da der Kosinus um 90°
dem nach vorne versetzten Sinus entspricht (um 90°), eilt also der Strom der Spannung um diesen
1
Wickel voraus. Die Größe
wird kapazitiver Blindwiderstand XC des Kondensators benannt.
ωC
Er ist offensichtlich von der Frequenz der Wechselspannung abhängig. Für Gleichstrom ω = 0
ist der Ideale Widerstand eines Kondensator unendlich hoch. Je höher die Frequenz desto öfter
wird der Kondensator umgeladen, und die transportierte Ladungsmenge steigt, und dadurch singt
der kapazitive Blindwiderstand.
uˆ =
21.01.03
P(t ) = u (t ) ⋅ i (t )
u (t ) = uˆ ⋅ sin(ω ⋅ t )
i (t ) = iˆ ⋅ cos(ω ⋅ t )
P̂
uˆ ⋅ iˆ
P (t ) = uˆ ⋅ iˆ ⋅ sin(ω ⋅ t ) ⋅ cos(ω ⋅ t ) =
⋅ sin(2 ⋅ ω ⋅ t )
2
1
sin(ω ⋅ t ) ⋅ cos(ω ⋅ t ) = ⋅ sin(2 ⋅ ω ⋅ t )
2
Der Augenblickswert der im Kondensator umgesetzten elektrischen Leistung ergibt sich aus der
Multiplikation der Augenblickswerte vom Strom und Spannung. Der Augenblickswert der
elektrischen Leistung schwingt mit der doppelten Frequenz der Spannung. Dabei sind die
positiven Anteile, in denen Energie aus dem Stromkreis aufgenommen wird, genauso groß, wie
die negativen Anteile, in denen Energie an den Stromkreis abgegeben wird. Die Energie wird
jeweils im Elektrischen Feld des Kondensators zwischen gespeichert. Da sich die Anteile im
Mittel aufheben, wird nicht wirklich Energie umgesetzt. Man spricht daher von der kapazitiven
Blindleistung.
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3. ABN / 4. ABN
RLC KOMBINATIONEN - NETZWERKE
Große Bedeutung in der Elektrotechnik haben Kombinationen von Ohmschen Verbrauchern,
Spulen und Kondensatoren. Häufig haben komplexe Elektrotechnische Systeme sowohl Ohmsche
wie auch Induktive und Kapazitive Eigenschaften. Sie haben untereinander Wechselwirkungen,
Die bei der Untersuchung solcher Systeme, für Wechselstrom zu berücksichtigen sind.
Im folgendem werden die wichtigsten Kombinationen von R L und C untersucht und Verfahren
und Kenngrößen zu deren Beschreibung erläutert.
Besonders zu beachten ist, dass auch für die Wechselstromnetzwerke die Kirchhoff’schen Regeln
gelten. Allerdings werden sie hier nicht auf die Beträge, sondern auf die Zeiger der betrachteten
Größen angewendet.
Kontenregel: ∑ I zu =∑ I ab
∑ i(t ) zu =∑ i(t )ab
Maschenregel:
∑ U =0
∑ u (t ) =0
- bedeutet Wechsel
REIHENSCHALTUNG VON R UND L
UR +UL −U = 0
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3. ABN / 4. ABN
Die Gesamtspannung U ergibt sich aus der Überlagerung der einzelnen Spannung. Im
Zeigerdiagramm werden die Zeiger geometrisch addiert. Die Länge des Zeigers gibt die Länge
der Amplitude der Gesamtspannung wieder. Sein Winkel zum Strompfeil ergibt die
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung.
Uˆ ² = UˆR ² + UˆL ²
Uˆ ² = UˆR ² + UˆL ² = iˆ ⋅ R ² + iˆ ⋅ XL ² = iˆ ⋅ R ² + iˆ ⋅ (ω ⋅ L)² = iˆ² ⋅ ( R ² + (ω ⋅ L)²) = iˆ² R ² + ω ² ⋅ L ² = Uˆ
Uˆ
R ² + ω ² ⋅ L² = Z
Iˆ
Das Verhältnis von Gesamtspannung und Strom wird Scheinwiderstand Z genannt.
27.01.03
REIHENSCHALTUNG VON R UND C
− Uˆ + UˆR + UˆC = 0
Uˆ = UˆR + UˆC
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3. ABN / 4. ABN
Uˆ = UˆR ² + UˆC ²
U R = UˆR ⋅ sin(ϖt )
U C = UˆC ⋅ sin(ϖt + α )
U = U R + U C = UˆR ⋅ sin(ϖt ) + UˆC ⋅ sin(ϖt + α )
Uˆ = UˆR ² + UˆC ² = (iˆc ⋅ R)² + (iˆc ⋅ Xc)²
1
= (iˆc ⋅ R)² + (iˆc ⋅
)² =
ϖC
= iˆc ² ⋅ ( R ² +
1
)=
ϖ ²C ²
= iˆc ² ⋅ R ² +
1
=
ϖ ²C ²
= iˆ c ⋅ R ² +
Andreas Hofer
1
= uˆ
ϖ ²C ²
Æ
uˆ
1
= R² +
=Z
(ϖC )²
iˆc
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3. ABN / 4. ABN
PARALLELSCHALTUNG VON R UND L
I
II
A
−U +UR = 0
UL −UR = 0
I − IR − IL = 0
I = IR + IL
R || XL
iˆ = iˆR ² + iˆL ²
UˆR ² UˆL ²
=
+
R ² XL ²
UˆR ² UˆL ² ˆ
=
+
=i
R ² XL ²
Andreas Hofer
Æ
iˆ
=
uˆ
1
1
1
+
=Y =
R ² (ϖL)²
Z
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Schuljahr 2002/2003
3. ABN / 4. ABN
PARALLELSCHALTUNG VON R UND C
I
II
A
iˆ = iˆR ² + iˆC ²
Uˆ ² Uˆ ²
=
+
R ² XC ²
Uˆ ² ˆ
=
+ U ² ⋅ (ϖC )² = iˆ
R²
1
=
Z
Æ
iˆ
=
uˆ
−U +UR = 0
UC −U R = 0
I − I R − IC = 0
I = I R + IC
1
1
+ (ϖC )² =
R²
Z
1
+ (ϖC )²
R²
uˆ
1
IˆC XC XC
R
=
=
= R ⋅ϖ ⋅ C
tan ϕ = =
uˆ
1
XC
iˆR
R
R
Andreas Hofer
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Schuljahr 2002/2003
3. ABN / 4. ABN
NETZWERKE VON R UND C UND L SCHALTUNGEN
28.01.03
U −U R −UC = 0
U = U R + UC
II U L − U C = 0 = U L = U C
A I = I L + IC
I
Uˆ = UˆC ² + UˆR = (iˆ ⋅ XC )² + (iˆ ⋅ R )²
1
L
L
⋅ϖC
XL ⋅ XC
ϖL
jϖC
C
C
Z = R+
= R+
= R+
= R+
= R+
=
1
1
XL + XC
j
(
²
LC
1
)
j
(
²
LC
1
)
ϖ
ϖ
⋅
−
⋅
−
j ϖL +
j ⋅ (ϖL −
)
j ϖC
ϖC
ϖL
= R− j⋅
ϖ ² LC − 1
ϖL
| Z |= R ² + (−
)²
ϖ ² LC − 1
jϖL ⋅
Resonanzfrequenz:
Im(YLC ) = 0
ωC −
Andreas Hofer
1
1
1
= 0 Æ ωC =
Æ ω² =
Æ ω=
ωL
ωL
L ⋅C
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1
=
L ⋅C
1
L ⋅C
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Schuljahr 2002/2003
3. ABN / 4. ABN
10.02.2003
Brückengleichrichter: (außer Konkurrenz)
u ( x) = uˆ ⋅ sin( x)
Uarith =
1
π
π
⋅ ∫ uˆ ⋅ sin( x) ⋅ dx =
0
1
π
π
⋅ uˆ ⋅ ∫ sin( x) ⋅ dx =
0
1
π
π
⋅ uˆ ⋅ cos( x) ⋅ ∫ =
0
1
π
⋅ uˆ ⋅ [cos(0) − cos(π )] =
2 ⋅ uˆ
π
SCHWINGKREIS UND RESONANZ
Eine Besondere Rolle in der Elektrotechnik spielen Kombinationen von R, L, und C welche in
Reihe oder Parallel geschalten sind. Solche Schaltungen nennt man Schwingkreise. Der Name
kommt daher, dass eine solche Schaltung in der Lage ist, elektrische Schwingungen auszuführen.
0
E = max
H=0
+
A
E↓
H↑
+
E=0
0
H = max
E↑
H↓
B
0
E = -max
-
H=0
C
E↓
H↑
Andreas Hofer
Seite 31 von 47
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Schuljahr 2002/2003
3. ABN / 4. ABN
E=0
0
H = -max
D
zu A: Zu Beginn der Überlegung ist der Kondensator auf Umax geladen. Es fliest zunächst kein
Strom. Wird der Stromkreis geschlossen, kann die Stromstärke nur langsam anwachsen,
da durch die Änderung der Stromstärke in der Spule eine Entgegengerichtete Spannung
induziert wird. Dabei nimmt die Spule elektrische Energie auf und baut ein Magnetfeld
auf. Der Kondensator wird durch den fließenden Storm entladen, die Spannung sinkt
daher. Mit zunehmender Entladung, des Kondensators wird auch die Zunahme der
Stromstärke geringer.
zu B: Ist der Kondensator vollständig entladen, kann die Stromstärke nicht weiter wachsen. Der
Strom errecht seinen Maximalwert, wenn die Spannung null wird. In der Folge, sinkt die
Stromstärke. Durch die Änderung der Stromstärke, wird in der Spule wieder, aber eine
Entgegengesetzte Spannung induziert. Der Stromfluss bleibt erhalten und die Spule baut
das Magnetfeld wieder ab und gibt die gespeicherte Energie wieder an den Stromkreis ab.
Da die Stormrichtung gleich bleibt, wird hierbei der Kondensator entgegen der
Ausgangspolarität aufgeladen. Die Kondensatorspannung errecht ihnen negativen
Maximalwert, wenn der Stromfluss zum Erliegen kommt. Dies entspricht dem
Ausgangszustand mit umgekehrter Polarität.
RESONANZ
Ein Schwingkreis ist in der Lage, selbständig zu Schwingen. Von besondern Interesse ist aber
auch sein Verhalten, wenn er in einem Wechselstromkreis mit einer fremden Wechselspannung
geschalten ist.
Andreas Hofer
Seite 32 von 47
aktualisiert am 25.03.2003
GETE
Schuljahr 2002/2003
3. ABN / 4. ABN
Serienschwingkreis:
u = uR + uL + UC
Beim Serienschwingkreis wird deutlich, dass die Blindwiderstände vom Kondensator und Spule
entgegengerichtet sind. Sind beide gleich groß, heben sie sich in Ihrer Wirkung gegenseitig auf.
Man sagt dazu, der Schwingkreis ist in Resonanz.
z = R + XL + XC = R + jϖL +
1
1
1
= R + j ϖL − j
= R + j (ϖL −
)
ϖC
ϖC
j ϖC
| z |= Re( z )² + Im( z )² = R ² + (ϖL −
1
)²
ϖC
Im Resonanz | z |= R ² = R
Ist eine feste Kreisfrequenz vorhanden, kann ein Schwingkreis durch geeignete Wahl von L und
C in Resonanz gebracht werden. Aber auch für einen beliebigen Schwingkreis gibt es eine
Frequenz, bei der der Schwingkreis in Resonanz ist. Diese Frequenz nennt man
Resonanzfrequenz (f0). Sie entspricht der Frequenz, mit der der Schwingkreis selbständig
schwingen würde. Bei einem Wechselspannungserzeuger mit einem Frequenzgemisch (z.B.:
Antenne) erzeugt ein Reihenschwingkreis bei Resonanzfrequenz einen Kurzschluss. Man
bezeichnet den Reihenschwingkreis in einem solchen Fall als Saugkreis. Im Gegensatz dazu
verwendet man einen Parallelschwingkreis um aus einem Frequenzgemisch eine bestimmte
Frequenz, die Resonanzfrequenz, herauszusieben. Daher wird der Parallelschwingkreis als
Sperrkreis bezeichnet.
UL = UC Æ XL = XC
Im Resonanzfall Im(z) = 0
1
1
Im( z ) = ω 0 L −
= 0 Æ ω0L =
ω 0C
ω 0C
ω 0² LC = 1
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1
LC
1
ω0 =
=
LC
3. ABN / 4. ABN
ω 0² =
1
=
LC
1
ω0
=
f0=
2π 2π LC
1
LC
Da im Resonanzfall der Betrag von Z sehr klein ist, wird der Strom nur durch den Ohmschen
Widerstand begrenzt. Dieser Strom erzeugt an XL und XC die Spannungsabfälle UL und UC. Da
im Resonanzfall wegen XL = XC auch UL = UC wird, spricht man von einer Spannungsresonanz.
An Spule und Kondensator tritt Spannungsüberhöhung auf. Das Verhältnis einer Teilspannung
UL oder UC zur Gesamtspannung U nennt man im Resonanzfall die Güte des
Reihenschwingkreises.
Q=
U L U C I ⋅ XC XC XL
=
=
=
=
U
U
I ⋅R
R
R
Parallelschwingkreis:
i = iR + iC + iL
Im Resonanzfall: | IL |=| IC | Æ | I |=| IR |
Ähnlich wie beim Serienschwingkreis beobachtet man das Resonanzverhalten bei einem
Parallelschwingkreis.
Y=
1 1
1
+
+
R XL XC
Andreas Hofer
=
1
1
+
+ jωC
R jωL
=
1
1
−j
+ jωC
R
ωL
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=
1
1
+ j (ωC −
)
R
ωL
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Im Resonanzfall Im (Y) = 0
1
1
ωC −
= 0 Æ ω 0C =
ω0L
ωC
1
ω 0² =
L ⋅C
f0=
Æ ω0 =
1
=
L ⋅C
1
ω0
=
2 ⋅π 2 ⋅π ⋅ L ⋅ C
3. ABN / 4. ABN
1
L ⋅C
| Z |= R
Ein Parallelschwingkreis hat bei Resonanz seinen größten Widerstand. Die Teilströme durch
Spule und Kondensator sind gleich groß, aber in Gegenphase. Sie heben sich daher auf. Man
spricht daher von Stromresonanz. In der Spule und im Kondensator tritt Stromüberhöhung auf.
Das Verhältnis eines Teilstromes zum Gesamtstrom, aber auch das Verhältnis des ohmschen
Widerstandes zum Blindstrom nennt man im Resonanzfall die Güte des Parallelschwingkreises.
U
R
I L XL R
Q= =
=
=
U
XL XC
I
R
Reeller Parallelschwingkreis:
1
1
1
+
+
XL + RL RC XC
1
1
=
+
+ j ωC
jωL + RL RC
1
1⋅ ( jωL − RL )
=
+ jωC +
RC
( jωL + RL ) ⋅ ( jωL − RL )
1
jωL − RL
=
+ j ωC +
RC
− ω ² L ² − jωLRL + jωLRL − RL ²
1
jωL − RL
=
+ jωC −
RC
ω ² L ² + RL ²
1
j ωL
RL
=
+ jωC −
−
RC
ω ² L ² + RL ² ω ² L ² + RL ²
Y=
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Y=
3. ABN / 4. ABN
RL
1
ωL
−
+ j (ωC −
)
RC ω ² L ² + RL ²
ω ² L ² + RL ²
Im Resonanzfall Im(Y) = 0
ωDL
0 = ωDC −
ωD ² L ² + RL ²
ωDL
ωDC =
ωD ² L ² + RL ²
L
C=
ω D ² L ² + RL ²
L
ωD ² L ² + RL ² =
C
L
ω D ² L ² = − RL ²
C
L
1 RL ²
)
− RL ² L( −
C
C
L
=
ωD ² =
L²
L²
1 RL ²
−
RL ²
1
ωD = C L =
−
=
L
LC L ²
ωD = ω 0 ⋅ 1 −
RL ² C
1
(1 −
)=
LC
L
RL ²C
1
⋅ 1−
=
LC
L
RL ²C
L
Beispiel:
L=?
Q=?
Bandbreite = ?
f0 = ?
f0=
1
2π LC
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1
LC
1
L ⋅C =
f 0 ⋅ 2 ⋅π
1
L ⋅C =
( f 0 ⋅ 2 ⋅ π )²
Æ f 0 ⋅ 2π =
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L=
Q=
1
( f 0 ⋅ 2 ⋅ π )² ⋅ C
3. ABN / 4. ABN
L = 120 mH
| UL | | i | ⋅ | XL | XL ω 0 ⋅ L
=
=
=
=6
|U |
|i⋅R|
R
R
Bandbreite: (wird unten noch genauer erklärt)
100
R
bw = =
= 833,33Hz
L 120 ⋅10 −3
bw 833,33
b( f ) =
=
= 133Hz
2 ⋅π
2 ⋅π
8.0V
6.0V
4.0V
2.0V
0V
100Hz
V(R1:1,R1:2)
300Hz
V(R1:2,L1:2)
1.0KHz
3.0KHz
10KHz
V(L1:2,0)
Frequency
Grenzfrequenz eines Reihenschwingkreises:
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1.2V
0.8V
0.4V
0V
100KHz
V(R1:1,R1:2)
300KHz
V(R1:2,L1:2)
1.0MHz
3.0MHz
10MHz
V(L1:2,0)
Frequency
L1
R1
1Vac
0Vdc
V1
V+
100
V-
V+
120mH
C1
V-
V+
330n
V-
0
Für die Teilspannungen UL und UC an Spule und Kondensator erhält man:
|U |
|U |
|U |
1
⋅ | XC |=
⋅ | XC |=
=
|Z |
|Z |
| Z | ωC
|U |
|U |
|U |
| UL |=| I | ⋅ | XL |=
⋅ | XL |=
⋅ | XL |=
= ωL
|Z |
|Z |
|Z |
| UC |=| I | ⋅ | XC |=
Die Maximalwerte für die Spannung UL und UC, bei konstanter Spannung U befinden sich bei
unterschiedlichen Frequenzen, welche Grenzfrequenzen genannt werden.
Wollen wir das Verhalten des Schwingkreises bei konstanter Spannung untersuchen, empfiehlt
sich die Bestimmung der Ortskurfe, der Admittanz, da wegen I=Y . U der Strom dem Verlauf von
Y folgt.
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3. ABN / 4. ABN
Damit ist ersichtlich, dass der Strom (beim Betrieb mit konstanter Spannung) bei ω 0 am größten
ist und dann von rechts nach links abnimmt. Es ist auch ersichtlich, dass der Im(y) Anteil bei +45° am größten ist, d. h. der Spannungsabfall bei 45° von der Kapazität Ihren Maximalwert
annimmt, und der der Spule bei – 45° annimmt. Frequenzen, die von außen gesehen eine
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung von +- 45° verursachen, nennt man
Grenzfrequenzen. Dies spielt in der Elektrotechnik eine besondere Rolle, da sie für die Definition
der Bandbreite gebraucht werden.
Es ist ersichtlich, dass bei den Grenzfrequenzen der Imaginiert Teil von Z gleich dem Real Teil
von Z.
Bei Grenzfrequenz ist Im(z) = Re(z).
z = R + j ωL −
1
1
= R + j (ωL −
)
jωC
ωC
Bei Grenzfrequenz ist Im(z) = Re(z):
1
R = ωL −
ωC
ωRC = ω ² LC − 1
ω ² LC − ωRC − 1 = 0
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RC 1
−
=0
LC LC
R 1
ω² − ω −
=0
L LC
ω² − ω
45°:
-45°
Re(z) = Im (z)
1
R = ωL −
ωC
ωRC = ω ² LC − 1
ω ² LC − ωRC − 1 = 0
RC 1
ω² − ω
−
=0
LC LC
R 1
ω² − ω −
=0
L LC
ω² = ?
x =ω
R
p=−
L
1
q=−
LC
x ² + px − q = 0
p
p
x ² + px + q + ( )² − ( )² = 0
2
2
p
p
x ² + px + ( )² = −q + ( )²
2
2
p
p
p
x ² + 2 x + ( )² = −q + ( )²
2
2
2
A² + 2 AB + B ² = ( A + B)²
x=−
Re(z) = -Im(z)
1
R = −ωL +
ωC
ωRC = −ω ² LC + 1
ω ² LC + ωRC − 1 = 0
1
RC
ω² + ω
−
=0
LC LC
R 1
ω² + ω −
=0
L LC
x =ω
R
p=
L
q=−
1
LC
p
p
+ − q + ( )²
2
2
ω (45°) =
1
R
R
+
+ ( )²
2L
LC 2 L
bw = ω (45°) − ω (−45°) =
ω (45°) = −
1
R
R
+
+ ( )²
2L
LC 2 L
R
R 2R R
1
1
R
R
R
R
+
+ ( )² +
−
+ ( )² =
+
=
=
2L 2L 2L L
2L
2L
LC 2 L
LC 2 L
Für die Anwendung ist es wichtig, wie breit der Bereich zwischen ω ( 45°) und ω (−45°) ist.
Daher wird der Begriff Bandbreite folgendermaßen definiert.
bw = ω (45°) − ω (−45°)
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3. ABN / 4. ABN
R
. Weiters ist die Bandbreite
L
bezogen auf die Resonanzfrequenz eine wichtige Größe zur Charaktisierung des Schwingkreises.
Man nennt sie die Dämpfung.
R
R
bw
R
R
1
d=
= L = ⋅ LC = L =
=
1
ω0
L
ω0 ω0L Q
LC
| XL |
Q=
|Z |
| XL | ω 0 L
=
Q=
R
R
1
d = im Resonanzfall
Q
Beim Serienschwingkreis ergibt sich die Bandbreite zu: bw =
Der Kehrwert der Dämpfung entspricht daher der Güte des Schwingkreises. Je größer die Güte
desto schmalbandiger und steiler die Resonanzkurfe.
Ein Serienschwingkreis bei einer Güte von 1000 wird bei 1V Betreibspannung betrieben. Wie
groß ist UL und UC?
UL UC
=
Æ UL = Q ⋅ U Æ UL = 1000V
Q=
U U
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3. ABN / 4. ABN
DIGITALTECHNIK
DIODE
Ideale Diode:
Reale Diode:
U = UD + IRD Æ I =
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U − UD
RD
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3. ABN / 4. ABN
Ganzreale Diode:
U
I = IS ⋅ (e Us − 1)
Temperaturspezifisch: UT =
kT
e
Bolzmannkennzahl: k = 1,38 ⋅10 −23
Ws
Kelvin
Ur(200k) = 26mV
Typische Zehnerdioden Schaltung:
Schaltverhalten von Halbleiterdioden
Jede Diode benötigt für den Übergang vom niederohmigen Zustand in den hochohmigen Zustand
und umgehrt Zeit. Im niederohmigen Zustand ist der pn Übergang mit Ladungsträger
überschwemmt. Die Diode ist erst wieder hochohmig, wenn die Sperrschicht aufgebaut ist und
wenn die in der Sperrschicht befindlichen Ladungsträger ausgeräumt sind.
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GETE
3. ABN / 4. ABN
Die Zeit tfR wird vorwärts erholt sein, Einschaltträgheit oder Einschaltzeit genannt. Es ist jene
Zeit, die zum Abbau der Sperrschicht benötigt wird.
Die Zeit tRR wird Rückwärtserholzeit, Sperrverzüg, Sperrtätigkeit oder Ausschaltzeit genannt. Sie
ist jene Zeit, in der die Sperrschicht wieder aufgebaut wird.
TfR und tRR sind von IF und IR abhängig bzw. von den Spannungen U1 und U2 und den
Widerständen R1 und R2.
Temperaturverhalten
Die Intensität der Wärmeschwingungen wird mit steigender Temperatur größer. Damit erhöht
sich auch die Anzahl der pro Zeiteinheit aufbrechenden Kristallbindungen. Die Eigenleitfähigkeit
des Kristalls nimmt zu. Die auftretenden Sperrströme sind von der Eigenleitfähigkeit stark
abhängig. Je größer die Eigenleitfähigkeit, desto größer der Sperrstrom.
Bei erhöhter Temperatur ergeben sich größere Ladungsträgerbeweglichkeiten. Das Kristall wird
dadurch leitfähiger. Und dadurch wird die Schwellspannung oder Difusionsspannung etwas
heruntergesetzt. Durch Temperaturerhöhung wird vor allem das Sperrverhalten der Diode
geändert. Das Durchlassverhalten ändert sich nur geringfügig.
Die Schaltung ist auf Grund des nichtlinearen Verlaufes der Diodenkennlinie rechnerisch
schwierig zu lösen. Es gibt aber einen einfachen graphischen Weg.
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3. ABN / 4. ABN
1. Leerlaufspannung und Kurzschlussstrom in Bezug auf die Diodenkennlinie berechnen.
ULL = U 0
U0
IK =
R
2. Die Werte auf der Strom und Spannungsachse auftragen. Gerade zwischen beide Punkte
ziehen. Schnittpunkt mit Diodenkennlinie ist der Arbeitspunkt.
Spannung im Arbeitspunkt = UF
Strom im Arbeitspunkt = IF
3. Im Arbeitspunkt eine Tangente an die Diodenkennlinie legen. Schnittpunkt der Tangente
mit der Spannungsachse ergibt die Knickspannung UK.
4. Differenziellen Widerstand einer Diode im Arbeitspunkt ermitteln.
UF − UK
rD =
IF
Die Tangente im Arbeitspunkt ist die Widerstandsgerade für den Differenziellen
Widerstand.
GLEICHRICHTER
Die wichtigste Eigenschaft der Diode ist die Gleichrichtung. Das heißt, es wird bei anliegender
Wechselspannung der Strom nur in eine Richtung durchgelassen.
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GETE
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3. ABN / 4. ABN
20V
10V
0V
-10V
-20V
0s
2ms
4ms
V(D2:2,0)
V(D2:1,V2:-)
6ms
8ms
10ms
12ms
14ms
16ms
18ms
20ms
Time
5.0V
0V
-5.0V
9.0ms
9.2ms
9.4ms
V(D2:2,0)
V(D2:1,V2:-)
9.6ms
9.8ms
10.0ms
10.2ms
10.4ms
10.6ms
10.8ms
11.0ms
Time
Andreas Hofer
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GETE
Schuljahr 2002/2003
3. ABN / 4. ABN
Am Ausgang ist nur die Positive Halbwelle vorhanden, welche von der Flussspannung abgezogen
wird. Eine solche Schaltung nennt man Einweggleichrichter. Um die negative Halbwelle auch
nutzen zu können, benötigt man die Grätz’sche Brückenschaltung.
20V
10V
0V
-10V
-20V
0s
V(D1:2)
2ms
4ms
V(V2:+)- V(V2:-)
6ms
8ms
10ms
12ms
14ms
16ms
18ms
10.4ms
10.6ms
10.8ms
20ms
Time
5.0V
0V
-5.0V
9.0ms
9.2ms
9.4ms
V(D1:2)
V(V2:+)- V(V2:-)
9.6ms
9.8ms
10.0ms
10.2ms
11.0ms
Time
Da jeder Strompfad zwei Dioden passieren muss, werden zwei Flussspannungen abgezogen.
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