Oberflächenintegrale (Teil 1)

Oberflächenintegrale
Vektorfluß durch eine Fläche
- betrachtet wird ein homogenes
r
Vektorfeld v (z.B. Lichtbündel)
- das Licht falle auf einen Spalt
∆A = ∆x ⋅∆y
Definition:
Unter dem vektoriellen Flächenelement einer ebnen Fläche A versteht man einen Vektor
senkrecht auf der Fläche steht und dessen Betrag gleich A ist.
r
A=A
r
A der
Das Vorzeichen wird per Konvention festgelegt; in unserem Falle ist es günstig, das Vorzeichen so festzulegen, daß
r
A in die Richtung zeigt, in welcher der Strom aus der Fläche austritt.
Beispiele:
Frage: Wirkt sich eine Neigung des Spaltes auf die hindurchtretende Lichtmenge aus ?
r
r
r
r
∆A = ∆x e x ⋅∆y e y = ∆x ⋅∆y ⋅e z
Flächenvektor steht senkrecht
auf der Fläche!
hindurchtretende Lichtmenge:
r r
J = v ⋅∆A =Vz ⋅∆x ⋅∆y
(Vz – z-Komponente von J)
Durch die beliebig in den Lichtstrom gelegte Fläche tritt genausoviel Licht,
wie durch die Projektion Aj.
Definition:
Gegeben sei eine ebene Fläche A und ein homogenes Vektorfeld
r
v.
r
r
Das skalare Produkt von v mit dem vektoriellen Flächenelement A wird dann bezeichnet als Fluß
r
des Vektorfeldes v durch die Fläche A.
Oberflächenintegral
Bisher galten bei Betrachtung des Flusses 2 Einschränkungen:
• das Vektorfeld sollte homogen sein,
• die Fläche sollte eben sein.
Diese Einschränkungen lassen wir fallen.
Dr. Hempel / Mathematisch Grundlagen - Oberflächenintegrale - Seite 1
r
Frage: Wie berechnet sich bei einem beliebigen Vektorfeld F und
r
einer gekrümmten Fläche A der Fluß von F durch A?
Näherung:
• Zerlegung von A in Teilflächen ∆Ai.
• Sind die Flächenelemente klein genug, kann man sie als eben
auffassen und jedem ∆Ai ein vektorielles Flächenelement
r
zuordnen mit ∆Ai = ∆Ai .
r
∆Ai
r
• Im Bereich der Teilflächen ∆Ai nehmen wir F als homogen an.
r
Der Fluß F durch ∆Ai ist dann
Näherungsweise gegeben durch
r
r
F ( xi , y i , z i ) ⋅∆Ai
r
Ein Näherungsausdruck für den gesamten Fluß F durch die Fläche
A erhält man durch Addition der Teilflüsse durch die Flächen ∆Ai :
r
Fluß F durch A
n r
r
≈∑ F ( xi , y i , z i ) ⋅∆Ai
i =1
• Verfeinerung der Teilflächen ∆Ai
• Grenzwert n → ∞ ergibt den genauen Wert
Diesen Grenzwert nennt man Oberflächenintegral
r
Fluß F durch A
r
r
= ∫F ( x, y, z ) ⋅dA
A
Definition:
r
r
F ( x, y , z ) über die Fläche A oder Fluß von F durch A:
n r
r
r
r
F
(
x
,
y
,
z
)
⋅
d
A
=
lim ∑ F ( xi , yi , zi ) ⋅∆Ai
∫
Oberflächenintegral von
A
n→ ∞
i =1
• häufige Anwendung:
Oberflächenintegral über eine geschlossene Fläche.
Definition:
Eine geschlossene Fläche zerlegt den Raum derart in zwei Teilräume, daß man die Fläche
durchstoßen muß, um von einem Teilraum in den anderen zu gelangen.
• Oberflächenintegral über geschlossene Flächen wird symbolisch mit einem Kreis durch das Integralzeichen dargestellt
• Das Vorzeichen des vektoriellen Flächenelements wird so festgelegt, daß
Dr. Hempel / Mathematisch Grundlagen - Oberflächenintegrale - Seite 2
r
dA nach außen zeigt.
Berechnung des Oberflächenintegrals für Spezialfälle
Fluß eines homogenes Feldes durch einen Quader
r
F = ( F x , F y , Fz )
• homogenes Vektorfeld
• zur Berechnung Zerlegung in
6 Teilintegrale (entsprechend der
Quaderflächen)
r
A1 = ab (0,0,1)
r
A3 = ac (0,1,0)
r
A5 = bc (1,0,0)
r
A2 = ab (0,0,− 1)
r
A4 = ac (0,− 1,0)
r
A6 = bc (− 1,0,0)
r
Das Oberflächenintegral eines homogenen Vektorfeldes F durch eine ebne Fläche
r r
F ⋅ A . Daraus ergeben sich die 6 Teilflüsse:
r r
r r
r r
F ⋅A1 = ab ⋅Fz
F ⋅A2 = − ab ⋅Fz
F ⋅A3 = ac ⋅Fy
r r
r r
r r
F ⋅A4 = − ac ⋅Fy
F ⋅A5 = bc ⋅Fx
F ⋅A6 = − bc ⋅Fx
r
A ist gegeben durch
das Skalarprodukt
Damit ergibt sich der Gesamtfluß durch die Fläche:
6 r r
= ∑ F ⋅A = 0
i =1
r
Der Fluß eines homogenen Feldes F durch eine beliebige geschlossene Fläche verschwindet.
Fluß eines radialsymmetrischen Feldes durch eine Kugeloberfläche
r
r r
r r
• radialsymmetrisches Feld: F = e r ⋅ f (r ) mit er = r
r
• der Kugelmittelpunkt sei gleichzeitig Koordinatenursprung
Das Flächenelement
ist also parallel zu
r
dA steht senkrecht auf der Kugeloberfläche,
r
r.
r r
r r
F
⋅
d
A
=
f
(
r
)
⋅
e
r ⋅dA = ∫f ( r ) ⋅dA
∫
∫
⇒
A
A
A
Integration erfolgt für r = R
∫f (r ) ⋅dA = ∫f ( R) ⋅dA = f ( R) ⋅∫dA
⇒
A
mit
∫dA = 4π ⋅R
A
2
A
folgt:
A
Der Fluß eines radialsymmetrischen Feldes
dius R ist:
r
r
F = f ( r ) ⋅er durch eine Kugeloberfläche mit dem Ra-
r r
2
F
∫ ⋅dA = 4π ⋅R ⋅ f ( R)
A
Dr. Hempel / Mathematisch Grundlagen - Oberflächenintegrale - Seite 3
Beispiel: Feld einer punktförmigen Ladung Q im Koordinatenursprung
r
r
Q ⋅er
( x, y , z )
E ( x, y , z ) =
=Q
2
4πε 0 r
4πε 0 r 3
r r
Q
E
⋅dA = 4π ⋅ f ( R ) ⋅R 2 =
∫
ε0
A
⇒
mit
r = x2 + y2 + z2
Gaußsches Gesetz
Fluß des el. Feldes unabhängig von R! (Gilt für alle geschlossenen Flächen)
Berechnung des Oberflächenintegrals im allgemeinen Fall
Gegeben sei Oberflächenintegral
r
r
∫F ( x, y, z ) ⋅dA
A
[
= ∫Fx dAx + Fy dAy + Fz dAz
]
A
2 Fragen :
1.
Wie sehen die Komponenten dAx, dAy, dAz des „differentiellen“
Flächenvektors
2.
r
dA aus?
Wie berücksichtigt man den durch die Fläche A vorgegebenen
Integrationsbereich?
Komponenten dAx, dAy, dAz des „differentiellen“ Flächenvektors
-
r
dA
Einheitsvektoren in Richtung der Flächenelemente:
r
A sind die entsprechenden Projektionen der Fläche.
r
Für die Komponenten dAx, dAy, dAz des differentiellen Flächenelements dA erhält man: dAx= dy dz,
Die Komponenten Ax, Ay, Az eines Flächenvektors
dAy= dx dz, dAz= dx dy
Dr. Hempel / Mathematisch Grundlagen - Oberflächenintegrale - Seite 4
Die Flächen, auf denen die Vektoren senkrecht stehen sind
keine Quadrate (mit Flächeninhalt 1) mehr, sondern differentielle Flächen dydz, dxdz, dxdy.
r
dA = (dydz , dxdz , dxdy ) .
⇒
Integrationsbereich, der durch die Fläche A vorgegeben wird:
Das betrachtete Oberflächenintegral war:
r
r
∫F ( x, y, z) ⋅dA = ∫[F dA
x
A
x
A
]
+ Fy dAy + Fz dAz = ∫Fx dAx +
A
∫F dA + ∫F dA
y
y
A
z
z
A
betrachten wir den 3. Summanden:
∫F dA = ∫F dxdy
z
z
A
z
A
Welche Werte haben x und y zu durchlaufen?
Es ist genau die Fläche, die sich aus der Projektion von A auf die x-yEbene ergibt.
Analoges ergibt sich für die beiden anderen Projektionen:
daraus ergibt sich letztendlich:
r
r
F
(
x
,
y
,
z
)
⋅
d
A
= ∫Fx dAx +
∫
A
Ayz
∫F dA + ∫F dA
y
Axz
y
z
Beispiel:
Gegeben ist das nichthomogene Vektorfeld
Gesucht ist der Fluß des Vektors
aufgespannt wird.
r r
F
∫ ⋅dA =
z
Axy
r
F = (0,0, y ) .
r
F durch ein Rechteck, welches durch die Vektoren (a,0,0) und (0,b,0)
a ⋅b 2
∫ ∫y ⋅dxdy = 2
x =0 y = 0
a
b
Bei Vergrößerung der Fläche in y-Richtung steigt der Fluß quadratisch; bei
Vergrößerung der Fläche in Richtung x steigt er linear.
Dr. Hempel / Mathematisch Grundlagen - Oberflächenintegrale - Seite 5