Spezielle Kapitel der Mathematik – Teil II (Mathematik III/2)

Spezielle Kapitel der Mathematik – Teil II
(Mathematik III/2)
für Maschinenwesen
Sommersemester 2015
Diese Folien enthalten nicht alle Teile des behandelten Stoffes.
Beamerfolien zu Spezielle Kapitel der Mathematik – Teil II (Mathematik III/2) für Maschinenwesen
Andreas Fischer
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Version vom 19. 5. 2015
Partielle Differentialgleichungen
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Version vom 19. 5. 2015
Begriff einer partiellen Differentialgleichung
Seien D ⊆ Rn nichtleer, offen und zusammenhängend (Gebiet) und
2
m
n
n
n
F : D × R × R × R × ··· × R
→ R eine Abbildung.
Eine Gleichung der Art
F (x, u,
∂u
∂x1
, · · ·,
∂u
∂xn
,
∂ 2u
∂x21
, · · ·,
∂ 2u
∂x2n
, ···
∂ mu
∂ mu
, · · ·,
)=0
m
m
∂x1
∂xn
heißt partielle Differentialgleichung (PDGL) m-ter Ordnung für
eine Funktion u : D → R. Durch “· · · ” wird dargestellt, dass F
auch von weiteren insbesondere gemischten partiellen Ableitungen
der Funktion u jeweils bis zur Ordnung m abhängen kann.
Eine Funktion u : D → R, die die PDGL für alle x ∈ D erfüllt,
heißt Lösung der PDGL.
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Lineare partielle Differentialgleichung 1. Ordnung
Gegeben seien Funktionen a0, a1. . . . , an, r : D → R. Dann heißt
a0u +
n
X
i=1
ai
∂u
∂xi
=r
lineare PDGL 1. Ordnung (Spezialfall einer PDGL).
In anderer Notation schreibt man dafür auch
n
X
a0u +
aiuxi = r
i=1
oder (mit a := (a1, . . . , an)>)
a0u + a>∇u = r.
Lösung durch Rückführung auf einfachere Fälle
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Nur eine partielle Ableitung tritt auf
Beispiel: Seien a0, a ∈ R mit a 6= 0 und x = (x, y).
a0u + aux = r
∂
a0 a0x/a
a
x/a
0
e
u =
e
u + ea0x/aux
∂x
a
a
∂
∂x
ea0x/au
= ea0x/aa0u + ea0x/aaux = ea0x/ar
ea0x/au =
u(x, y) =
·a
1
Z
a
Z x
−a
x/a
0
e
a
ea0x/ar(x, y) ds
ea0x/ar(x, y) ds + C(y)
x0
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Rumpfdifferentialgleichung
Gegeben seien Funktionen a0, r : Rn → R und a : Rn → Rn.
Dann heißt
a>∇u = 0.
Rumpfdifferentialgleichung zu a0u + a>∇u = r.
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Lösungsweg für Rumpfdifferentialgleichungen
Zuerst sucht man (charakteristische) Raumkurven t 7→ x(t) ∈ Rn,
entlang der jede Lösung der Rumpfdifferentialgleichung konstant
ist, d.h.
d
u(x(t)) = 0
dt
gilt für jede Lösung u der Rumpfdifferentialgleichung.
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Charakteristischer Raumkurven
Sei u eine Lösung der Rumpfdifferentialgleichung. Also gilt
a(x)>∇u(x) = 0.
Da u(x(t)) konstant bei Variation von t sein soll, erhält man durch
Differenzieren
d
0 = u(x(t)) = ẋ(t)>∇u(x(t)).
dt
Falls also die Abbildung t → x(t) der Bedingung
ẋ(t) = a(x(t))
genügt, so ist u(x(t)) konstant bei Variation von t.
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Charakteristiken
Jede Lösung des charakteristischen DGL-Systems
ẋ = a(x)
wird als Charakteristik zur PDGL a0u + a>∇u = r bezeichnet.
Offenbar sind die Charakteristiken bereits durch die der PDGL zugeordneten Rumpfdifferentialgleichung a>∇u = 0 bestimmt.
Eine Charakteristik ist eine Raumkurve im Rn, entlang der jede
Lösung der Rumpfdifferentialgleichung konstant ist.
Ist umgekehrt eine Funktion u entlang aller Charakteristiken konstant, dann löst u die Rumpfdifferentialgleichung.
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Methode zur Bestimmung der Charakteristiken
Sei an(x) 6= 0 für x ∈ D. Aus den sogenannten Phasen-DGLn
ẋi
ẋn
=
ai(x)
an(x)
i = 1, . . . , n − 1
bestimmt man (sofern auffindbar) implizite Bedingungen
fj (x) = cj ,
j = 1, . . . , n − 1,
(∗)
für die gesuchten Charakteristiken, so dass (∇f1, · · · , ∇fn−1)
Vollrang besitzt. Dadurch definiert
{x ∈ Rn | fj (x) = cj , j = 1, . . . , n − 1}
für jeden Vektor (c1, . . . , cn−1)> eine Charakteristik.
– Ggf. ist n in der Phasen-DGL durch einen anderen Index zu ersetzen.
– Ggf. kann (∗) direkt aus dem charakteristische DGL-System ermittelt werden.
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Lösung der Rumpfdifferentialgleichung
Sei v : Rn−1 → R eine beliebige stetig differenzierbare Funktion.
Dann ist u : D → R mit
u(x) := v(f1(x), . . . , fn−1(x))
konstant entlang aller Charakteristiken und löst daher die Rumpfdifferentialgleichung a>∇u = 0.
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Beispiel eines Anfangswertproblems
Transportgleichung mit Anfangsbedingung
uτ − κux = 0,
u(x, 0) = g(x) für x ∈ R
u beschreibt Massendichte in Abhängigkeit von Ort x und Zeit τ .
Praktisch werden nicht allgemeine Lösungen sondern Lösungen
gesucht, die bestimmten Nebenbedingungen genügen.
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Lösungsweg für lineare PDGLn 1. Ordnung
• Sei a0u + a>∇u = r gegeben.
• Charakteristiken in der Form fj (x) = cj , j = 1, . . . , n − 1
• Koordinatentransformation ( ξ = ξ(x), x = x(ξ) )
ξj = fj (x)
liefert
ã0(ξ) := a0(x(ξ)),
j = 1, . . . , n − 1,
ã(ξ) := a(x(ξ)),
ξn = xn
r̃(ξ) := r(x(ξ))
und die stark vereinfachte lineare PDGL 1. Ordnung
ã0ũ + ãnũξn = r̃
• Lösung dieser PDGL
ũ(ξ) = f (ξn, g(ξ1, . . . , ξn−1))
• Lösung der Ausgangsgleichung durch Rücktransformation
u = f (xn, g(f1(x), . . . , fn−1(x))
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Lösungsweg ohne explizite Koordinatentransformation
• Sei a0u + a>∇u = r gegeben.
• Mit U (t) := u(x(t)), R(t) := r(x(t)), A0(t) := a0(x(t))
folgt
U̇ = ẋ>∇u(x) = R − A0 U.
• Allgemeine Lösung von U̇ = R − A0 U sei UC
(C Konstante aus Integration).
• Rücksubstitution (U → u) und Ersetzen von C durch Lösung
v(f1, . . . , fn−1) der Rumpfdifferentialgleichung.
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Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
Gegeben seien Funktionen aij , bi, c, r : D → R. Dann heißt
n
X
i,j
aij uxixj +
n
X
biuxi + cu = r
()
i=1
lineare Differentialgleichung 2. Ordnung für die gesuchte
Funktion u : D → R.
Erweiterungen
• Falls in () die Funktionen aij auch von u und ∇u abhängen
können, spricht man von einer quasilinearen PDGL 2. Ordnung.
• Falls in () die Funktion r auch von u und ∇u abhängen kann,
spricht man von einer semilinearen PDGL 2. Ordnung.
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Klassifikation von linearen PDGLn 2. Ordnung
Für aij aus der PDGL () gelte aij = aji für i, j = 1, . . . , n.
Weiter sei
A(x) := (aij (x)) für x ∈ D.
Dann heißt die PDGL () im Punkt x ∈ D
elliptisch , wenn A(x) nur positive oder nur negative EWe hat,
parabolisch , wenn genau ein EW von A(x) gleich 0 ist und die
anderen EWe entweder alle positiv oder alle negativ sind,
hyperbolisch , wenn alle EWe von A(x) ungleich 0 sind und A(x)
genau einen positiven oder genau einen negativen EW hat.
Gilt eine der drei Eigenschaften für alle x ∈ D, dann bezeichnet
man die PDGL entsprechend als elliptisch, parabolisch bzw. hyperbolisch.
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Der Laplace-Operator (Wiederholung)
Der Laplace-Operator ∆ : C 2(D, R) → C(D, R) ordnet durch
∆u := ux1x1 + · · · + uxnxn
jedem zweimal stetig differenzierbaren Skalatfeld u : D → R das
Skalarfeld ∆u : D → R zu.
Wenn u von (t, x) abhängt, schreibt man
∆xu := ux1x1 + · · · + uxnxn .
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Beispiel zur Klassifikation
Für die Tricomi-Gleichung
uyy + yuxx = 0
ist
A(x, y) =
y 0
.
0 1
Sie ist
• elliptisch, falls y > 0,
• (parabolisch, falls y = 0),
• hyperbolisch, falls y < 0.
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Grundformen der drei Klassen
• elliptisch
−∆u + · · · = r
z.B. Poisson-Gleichung −∆u = r
• parabolisch
−∆xu + ut + · · · = r
z.B. Diffusionsgleichung −∆xu + ut = 0
• hyperbolisch
utt − ∆x + · · · = r
z.B. Wellengleichung utt − ∆xu = 0
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Transformation auf Normalform im Fall n = 2
Seien a, b, c, r : D ⊆ R2 → R zweimal stetig differenzierbare
Funktionen. Die PDGL
auxx + 2buxy + cuyy = r
soll durch eine Koordinatentransformation (x, y) ↔ (ξ, η) auf
elliptische Normalform
Uξξ + Uηη = D(ξ, η, U, Uξ , Uη )
bzw. parabolische Normalform
Uηη = D(ξ, η, U, Uξ , Uη )
bzw. hyperbolische Normalform
Uξη = D(ξ, η, U, Uξ , Uη )
gebracht werden.
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Prinzipielles Vorgehen
Der Ansatz ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) führt für geeignete Funktionen ξ, η mit
U (ξ, η) := u(x(ξ, η), y(ξ, η)),
U (ξ(x, y), η(x, y)) = u(x, y)
mit der Kettenregel auf
ux = Uξ ξx + Uη ηx,
2 +U η ξ +U ξ
2 +U η ,
uxx = Uξξ ξx
+
U
ξ
η
+
U
η
ηη x
η xx
ξη x x
ξ xx
ηξ x x
usw. Daraus erhält man
AUξξ + 2BUξη + CUηη = D(ξ, η, U, Uξ , Uη )
mit
2 + 2bξ ξ + cξ 2 ,
A = aξx
x y
y
und
2 + 2bη η + cη 2
C = aηx
x y
y
B = aξxηx + b(ξxηy + ηxξy ) + cξy ηy .
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Damit A bzw. C zur Nullfunktion wird, bietet es sich an, für ξ bzw.
η unabhängige Lösungen der charakteristischen PDGL
2 + 2bz z + cz 2 = 0
azx
x y
y
zu verwenden. O.B.d.A. sei a(x, y) 6= 0 für alle (x, y)> ∈ D.
Dann folgt aus dem Ansatz
2 + 2 b z z + c z 2 = (z − v z )(z − v z )
zx
x
x
1 y
2 y
a x y
a y
2 − (v + v )z z + v v z 2
= zx
1
2 x y
1 2 y
für die Funktionen v1, v2 durch Koeffizientenvergleich
b
1p 2
v1/2 = − ±
b − ac .
a
a
Um (zx − v1zy )(zx − v2zy ) = 0 zu lösen, betrachtet man nun
zx − v1zy = 0
bzw.
zx − v2zy = 0.
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Fallunterscheidung zur Lösung der Rumpfdifferentialgleichungen
• ac − b2 = 0 (parabolischer Fall)
zx + ab zy = 0 liefert Charakteristiken in der Form c1 = f1(x, y).
Koordinatentransformation: ξ = f1(x, y) und η = y.
• ac − b2 < 0p
(hyperbolischer
Fall)
azx + b + b2 − ac zy = 0 liefert c1 = f1(x, y)
p
azx + b − b2 − ac zy = 0 liefert c2 = f2(x, y)
Koordinatentransformation: ξ = f1(x, y) und η = f2(x, y)
• ac − b2 > 0 (elliptischer
Fall)
p
azx + b + i ac − b2 zy = 0 liefert
c1 + ic2 = f1(x, y) + if2(x, y)
Koordinatentransformation: ξ = f1(x, y) und η = f2(x, y)
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Beispiele für typische Nebenbedingungen
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Anfangsbedingungen bei der Wellengleichung
Seien κ 6= 0 und h1, h2 : R → R zweimal stetig differenzierbar.
utt = κ2uxx,
u(x, 0) = h1(x),
ut(x, 0) = h2(x)
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Lösung der Wellengleichung
Die Koordinatentransformation (x, t) ↔ (ξ, η) mit
ξ = x + κt,
η = x − κt
und
U (ξ, η) = u(x(ξ, η), t(ξ, η))
liefert die transformierte Wellengleichung (in Normalform)
Uξη = 0.
Deren allgemeine Lösung lautet
U (ξ, η) = f (ξ) + g(η)
mit beliebigen zweimal stetig differenzierbaren f, g : R → R.
Rücktransformation ergibt allgemeine Lösung der Wellengleichung
u(x, t) = f (x + κt) + g(x − κt).
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Einbeziehung der Anfangsbedingungen
Einsetzen der Anfangsbedingungen
u(x, 0) = h1(x),
ut(x, 0) = h2(x)
in die allgemeine Lösung liefert
h1 = f + g
und h2 = κ(f − g)0.
Damit folgt
f −g =
1
κ
Z
h2(x) dx
sowie
f =
h1
2
+
1
Z
2κ
h2(x) dx,
g=
h1
2
−
1
2κ
und schließlich die
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Z
h2(x) dx
Lösungsformel von D’Alembert
u(x, t) =
h1(x + κt) + h1(x − κt)
2
+
x+κt
Z
1
h2(ζ) dζ
2κ
x−κt
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Randwertaufgaben für die Poisson-Gleichung
Ω ⊂ Rn beschränktes Gebiet mit Rand ∂Ω,
r : Ω → R, g, α, β : ∂Ω → R,
n : ∂Ω → Rn Einheitsnormale nach außen
Dirichlet-Problem
∆u = r
in Ω,
u=g
auf ∂Ω
Neumann-Problem
∆u = r
in Ω,
∂u
∂n
=g
auf ∂Ω
Robin-Problem
∆u = r
in Ω,
α
∂u
∂n
+ βu = g
auf ∂Ω
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Separationsansatz
für lineare PDGL 2. Ordnung mit n = 2
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Prinzipielles Vorgehen beim Separationsansatz
Die gesuchte Funktion u mit (x, y) 7→ u(x, y) wird als Produkt
von Funktionen X, Y mit x 7→ X(x) und y 7→ Y (y) angesetzt,
d.h.
u(x, y) = X(x)Y (y).
Einsetzen dieses Ansatzes in die homogene PDGL (mit einer homogenen Randbedingung) liefert unter gewissen Voraussetzungen je
eine gewöhnliche DGL für X und für Y sowie homogene Randbedingungen für eine dieser beiden gesuchten Funktionen (→ Eigenwertproblem).
Einbeziehung von Inhomogenitäten durch Superposition.
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Beispiel: Wärmeleitproblem in einem homogenen Stab der Länge l
a > 0 sei eine Materialkonstante,
r(x, t) beschreibt äußere Temperatureinflüsse,
u0(x) ist Anfangstemperatur zum Zeitpunkt t = 0,
g(t) bzw. h(t) beschreibt Temperaturverlauf an Enden des Stabes
auxx − ut = r
(x, t) ∈ (0, l) × (0, ∞)
AB
u(x, 0) = u0(x)
x ∈ (0, l)
RB
u(0, t) = g(t), u(l, t) = h(t)
t ∈ (0, ∞)
PDGL
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Spezialfall 1: homogene PDGL (r = 0), homogene RB (g = h = 0)
Der Separationsansatz u(x, t) = X(x)T (t) liefert
uxx = X 00T,
ut = XT 0
Einsetzen in die PDGL ergibt
aX 00T = XT 0
Trennung der Variablen ergibt (falls X(x)T (t) 6= 0)
X 00
=
T0
X
aT
Da die linke Seite nur von x, die rechte Seite nur von t abhängt, folgt
als einzige Möglichkeit
X 00
X
=
T0
aT
=λ
für ein festes λ.
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Dies ist äquivalent zu
X 00 − λX = 0,
T 0 − λaT = 0
Die homogenen RB können mit dem Separationsansatz geschrieben
werden als
X(0)T (t) = 0,
X(l)T (t) = 0
t ∈ (0, ∞).
Da wir an nichttrivialen Lösungen interessiert sind, liefert dies
X(0) = X(l) = 0.
Somit ergibt sich zur Bestimmung von X das Eigenwertproblem
X 00 − λX = 0,
X(0) = X(l) = 0.
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Die allgemeine Lösung des Eigenwertproblems
• Sei λ ≥ 0.
Dann folgt aus den RB, dass X = 0 und u = 0 (triviale Lösung).
Dieser Fall ist also nicht weiter zu betrachten.
• Sei λ < 0.
Dann ist die allgemeine Lösung der DGL X 00 − λX = 0 durch
p
p
X(x) = C1 sin( −λ x) + C2 cos( −λ x)
√
gegeben. Die RB liefern C2 = 0 und C1 sin( −λ `) = 0.
Somit folgt (wieder unter Beachtung von X 6= 0) die allgemeine
Lösung des Eigenwertproblems
p
X(x) = C1 sin( −λk x)
mit λk = −
k2π 2
l2
mit einer beliebiegen Konstanten C1.
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für k = 1, 2, 3 . . .
Die allgemeine Lösung der DGL T 0 − λaT = 0 für λ = λk
Tk (t) = Ak eaλk t
k = 1, 2, 3, . . .
mit einer beliebigen Konstanten Ak
Eigenlösungen der homogenen PDGL mit homogenen RB
Die Aufgabe
auxx − ut = 0
u(0, t) = u(l, t) = 0
(x, t) ∈ (0, l) × (0, ∞)
t ∈ (0, ∞)
besitzt die Eigenlösungen uk (k = 1, 2, 3, . . .) mit
p
aλ
t
uk (x, t) = ck e k sin( −λk x),
wobei λk = −
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k2π 2
l2
.
Einarbeitung der AB durch Superposition
Im Superpositionsansatz
u(x, t) =
∞
X
ck eaλk t sin(
p
−λk x)
k=1
wird nun versucht, die Koeffizienten c1, c2, c3, . . . so zu bestimmen, dass u auch die AB u(x, 0) = u0(x) für x ∈ (0, l) erfüllt.
Das erfolgt meist über eine Fourier-Entwicklung der Funktion u0.
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Fourier-Entwicklung im Beispiel
Aus dem Ansatz für die Fourier-Reihe mit der Periode 2l
∞
X
a0
π
π
Fu0 (x) =
+
(ak cos( kx) + bk sin( kx))
2
l
l
k=1
folgt unter Beachtung des Superpositionsansatzes, dass für ck die
Fourier-Koeffizienten bk der Sinus-Glieder zu verwenden sind, d.h.
Z l
2
π
f (x) sin( kx)dx.
ck = b k =
l 0
l
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Bestimmung der Koeffizienten ck
Ausnutzung der Anfangsbedingungen
Aus der AB folgt u(x, 0) = u0(x), also der Ansatz
∞
X
kπ
x = u0(x)
ck sin
l
k=1
für alle x ∈ (0, l). Betrachtet man daher u0 als auf [−l, l] fortgesetzte ungerade Funktion, so folgt (für j = 1, 2, 3, . . .)
Zl X
∞
−l k=1
ck sin
kπ
l
x sin
jπ
l
Zl
x dx =
sin
jπ
l
x u0(x)dx
−l
und (da die Integranden nun gerade Funktionen sind)
Z lX
Z l
∞
jπ
jπ
kπ
x sin
x dx =
sin
x u0(x)dx.
ck sin
l
l
l
0
0
k=1
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Version vom 19. 5. 2015
Ausnutzung von Beziehungen im trigonometrischen Funktionensystem
Zl
sin
kπ
l
x sin
jπ
l
x dx = 0
k 6= j, k, j = 1, 2, 3, . . .
0
Zl
sin2
kπ
l
x dx =
l
2
k = 1, 2, 3, . . .
0
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Zl
ck
sin2
kπ
l
Zl
x dx =
0
sin
kπ
l
x u0(x) dx
0
ck =
2
Zl
sin
l
kπ
l
x u0(x) dx
0
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Spezialfall 2: inhomogene PDGL, homogene AB, homogene RB
auxx − ut = r,
u(x, 0) = 0,
u(0, t) = u(l, t) = 0
Ansatz
Die Funktion u : [0, l] × [0, ∞) mit
u(x, t) :=
∞
X
vk (t) sin
kπ
l
k=1
x
erfüllt die homogenen RB für beliebige Funktionen vk : [0, ∞) → R.
Einsetzen in die inhomogene PDGL
−
∞
X
k=1
a
π 2k2
l2
!
vk (t) + v̇k (t) sin
kπ
l
x
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= r(x, t)
Bestimmung der Funktionen vk
−
Zl X
∞
0 k=1
a
π 2k2
l2
!
vk (t) + v̇k (t) sin
Zl
r(x, t) sin
=
jπ
l
kπ
l
x sin
jπ
l
x dx
x dx
0
Mit Beziehungen im trigonometrischen Funktionensystem (vgl.
Spezialfall 1) folgt eine gewöhnliche DGL zur Bestimmung von vk
!
Zl
2
2
π k
−2
kπ
a 2 vk (t) + v̇k (t) =
r(x, t) sin
x dx
l
l
l
0
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Aus den homogenen Anfangsbedingungen hat man
∞
X
kπ
0 = u(x, 0) =
vk (0) sin
x
für alle x ∈ (0, l)
l
k=1
und damit die Anfangsbedingung für vk
vk (0) = 0.
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Wärmeleitproblem: der allgemeine Fall
a > 0 sei eine Materialkonstante,
r(x, t) beschreibt äußere Temperatureinflüsse,
u0(x) ist Anfangstemperatur zum Zeitpunkt t = 0,
g(t) bzw. h(t) beschreibt Temperaturverlauf an Enden des Stabes
auxx − ut = r
(x, t) ∈ (0, l) × (0, ∞)
AB
u(x, 0) = u0(x)
x ∈ (0, l)
RB
u(0, t) = g(t), u(l, t) = h(t)
t ∈ (0, ∞)
PDGL
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Ansatz für die Lösung
u(x, t) = u1(x, t) + u2(x, t) + w(x, t)
mit unbekannten Funktionen u1, u2, w : [0, l] × [0, ∞) → R
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Bestimmung der Funktionen u1, u2, w
• w(x, t) := g(t) + xl (h(t) − g(t)) für (x, t) ∈ [0, l] × [0, ∞)
• u1 wird nach Spezialfall 1 bestimmt, wobei u0 durch U0 mit
x
U0(x) := u0(x) − g(0) + (h(0) − g(0))
l
ersetzt ist, d.h. u1 löst
auxx − ut = 0,
u(x, 0) = U0(x),
u(0, t) = u(l, t) = 0
• u2 wird nach Spezialfall 2 bestimmt, wobei r durch R mit
R := r − (awxx − wt) = r + wt
ersetzt ist, d.h. u2 löst
auxx − ut = r + wt,
u(x, 0) = 0,
u(0, t) = u(l, t) = 0
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Zur numerischen Lösung von PDGL
Ein sehr kurzer Einblick
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• Explizite Lösung ist nur in seltenen Fällen möglich.
• Eine numerische Lösung liefert Näherungen für die gesuchte
Lösung (Funktion) oder für einzelne Funktionswerte der Lösung.
• Numerische Lösungsmethoden basieren auf geeignetem Diskretisierungskonzept (Finite Differenzen, Finite Elemente).
• Finite Differenzen approximieren Ableitungen (Differentialquotien) der Lösung in vorgegebenen Gitterpunkten durch Differenzenquotienten. Diese enthalten Funktionswerte an den Gitterpunkten. Einsetzen in die PDGL liefert Gleichungen zur näherungsweisen Bestimmung dieser Funktionswerte.
• Finite Elemente Methoden (FEM) versuchen, eine Näherungslösung durch Linearkombination einer endlichen Zahl geeigneter Ansatzfunktionen zu ermitteln.
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Ein sehr einfaches Beispiel
für die Realisierung einer Finite Elemente Methode
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1D-Poisson-Problem mit homogenen RB
Sei r : [0, 1] → R eine gegebene stetige Funktion.
Gesucht ist eine Funktion u : [0, 1] → R mit
−u00 = r
in (0, 1),
u(0) = u(1) = 0.
Der Funktionenraum C10[0, 1]
Es bezeichne C10[0, 1] den Vektorraum der stetig differenzierbaren
Funktionen v : [0, 1] → R, für die v(0) = v(1) = 0 gilt.
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Herleitung einer schwachen Formulierung
Sei u : [0, 1] → R zweimal stetig differenzierbar.
Falls u die DGL −u00 = r löst, folgt
Z1
−
0
u00(x)v(x)dx =
Z1
r(x)v(x)dx
für alle v ∈ C10[0, 1].
0
Partielle Integration liefert
Z1
0
0 1
00
u (x)v(x)dx = u v 0 −
Z1
u0(x)v 0(x)dx = −
0
für jede “Testfunktion” v ∈ C10[0, 1].
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Z1
0
u0(x)v 0(x)dx.
Schwache Formulierung (Variationsformulierung)
Sei u : [0, 1] → R zweimal stetig differenzierbar.
Falls u die DGL −u00 = r löst, dann genügt u auch der schwachen
Formulierung (oder Variationsformulierung)
Z1
0
u0(x)v 0(x)dx =
Z1
r(x)v(x)dx
für alle v ∈ C10[0, 1].
0
Unter den genannten Glattheitsvoraussetzungen gilt auch die Umkehrung.
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Schwache Lösung
Eine Lösung der schwachen Formulierung, die den Randbedingungen genügt, heißt schwache Lösung des 1D-Poisson-Problems, wobei Glattheitsvoraussetzungen abgeschwächt sein können. Die Herleitung einer schwachen Formulierung ist für Raumdimensionen
n > 1 und inhomogene Randbedingungen möglich.
Der Begriff der schwachen Lösung ist eine sinnvolle Erweiterung
des Lösungsbegriffs für PDGLn und bildet eine Grundlage für die
Finite Elemente Methode.
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Eine Realisierung der Finite Elemente Methode (FEM)
am Beispiel der 1D-Poissongleichung
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Endlichdimensionale Ansatzfunktionen für Näherungslösung
Für h := 1/(N + 1) seien die Ansatzfunktionen ϕ1, . . . ϕN :
[0, 1] → R definiert durch


|x − jh|
falls x ∈ [(j − 1)h, (j + 1)h],
1−
h
ϕj (x) :=
0
andernfalls.
Die Ansatzfunktionen bilden eine Basis des Ansatzraumes


N


X
Vh := v =
αj ϕj α1, . . . αN ∈ R .


j=1
Offenbar gilt v(0) = v(1) = 0 für alle v ∈ Vh und

−1 falls x ∈ ((j − 1)h, jh),

 h
ϕ0j (x) = −h−1 falls x ∈ (jh, (j + 1)h),


0 falls x ∈ (0, (j − 1)h) ∪ ((j + 1)h, 1).
für j = 1, . . . , N .
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Diskretisierung der schwachen Formulierung
Anstelle der schwachen Formulierung wollen wir nun deren
Diskretisierung
Z1
0
u0(x)v 0(x)dx =
Z1
r(x)v(x)dx
für alle v ∈ Vh
0
im Raum Vh lösen (d.h. die gesuchte Funktion u gehöre zum Raum
Vh). Jede Funktion v ∈ Vh genügt (auf Grund der Konstruktion von
Vh) den homogenen Randbedingungen des gegeben 1D-PoissonProblems.
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Bestimmung einer Lösung der diskreten schwachen Formulierung
Um eine Lösung der Diskretisierung der schwachen Formulierung
zu finden, genügt es
uh =
N
X
αj ϕj ∈ Vh
j=1
so zu bestimmen, dass
Z1
0
u0h(x)ϕ0i(x)dx =
Z1
r(x)ϕi(x)dx
für alle i = 1, . . . , N.
0
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Formulierung als lineares Gleichungssystem
Dies liefert für i = 1, . . . , N
N
X
Z1
αj
j=1
0
Mit A := (aij ),
Z1
aij :=
ϕ0j (x)ϕ0i(x)dx =
Z1
r(x)ϕi(x)dx.
0
b := (b1, . . . , bN )> und
ϕ0j (x)ϕ0i(x)dx
Z1
sowie bi :=
0
r(x)ϕi(x)dx
0
ergibt sich das lineare Gleichungssystem
Aα = b.
für den gesuchten Vektor α = (α1, . . . , αN )>.
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Lösung des linearen Gleichungssystems
Offenbar sind nur sehr wenige der Integrale
Z1
aij =
ϕ0j (x)ϕ0i(x)dx
0
von Null verschieden. Dadurch ist die Matrix A schwach besetzt (sparse). Zur (näherungsweisen) Lösung des (insbesondere für
Raumdimensionen n > 1) sehr großen linearen Gleichungssystems
sind spezielle Verfahren anzuwenden, die die schwache Besetztheit
effizient ausnutzen.
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Die mit einer Lösung α∗ von Aα = b erhaltene Lösung
uh :=
N
X
α∗j ϕj
j=1
der diskretiserten schwachen Formulierung ist nur eine (ggf. sehr
schlechte) Näherungslösung der schwachen Formulierung bzw. der
1D-Poissongleichung.
Um die Güte der Näherungslösung zu verbesseren, bietet sich eine
Verkleinerung des Diskretisierungsparameters h, eine andere Zerlegung des Gebietes (hier [0, 1]) sowie die Verwendung anderer Ansatzfunktionen an.
Die erreichbare Güte hängt insbesondere von h, Glattheitseigenschaften von r und der Form des Gebietes ab.
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Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
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Grundaufgaben der Kombinatorik
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Bezeichnungen
Sei n ∈ N mit n ≥ 1. Dann setzt man
n! := 1 · 2 · 3 · · · · · (n − 1) · n
sowie 0! := 1.
Seien n, k ∈ N mit n ≥ k. Dann setzt man
n!
n
:=
.
k
k!(n − k)!
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Version vom 19. 5. 2015
Aus den Zahlen {1, . . . , n} werden k Zahlen ausgewählt. Die Anzahl der Möglichkeiten für die Auswahl
•
ohneBeachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung beträgt
n
(Kombinationen ohne Wiederholung),
k
•
ohne Beachtung
der Reihenfolge und mit Wiederholung beträgt
n+k−1
(Kombinationen mit Wiederholung),
k
•
mit Beachtung
der Reihenfolge und ohne Wiederholung beträgt
n
· k!
(Variationen ohne Wiederholung),
k
• mit Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung beträgt
nk
(Variationen mit Wiederholung).
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Version vom 19. 5. 2015
Grundaufgaben der Kombinatorik (Fortsetzung)
Anzahl der Permutationen
Wieviel Möglichkeiten der Anordnung der Zahlen {1, . . . , n} in einem n-Tupel gibt es, wenn jede der Zahlen dort genau einmal vorkommen muss?
n!
Anzahl Permutationen mit Wiederholung
Wieviel Möglichkeiten der Anordnung der Zahlen {1, . . . , k} in einem n-Tupel gibt es, wenn die Zahl i ∈ {1, . . . , k} dort genau
li-mal vorkommen soll und l1 + · · · + lk = n gilt?
n!
l 1 ! · · · lk !
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Version vom 19. 5. 2015
Ergebnisraum und Elementarereignisse
Der Ergebnisraum ist eine nichtleere Menge, dessen Elemente
Elementarereignisse genannt werden.
Elementarereignisse kann man sich als mögliche Ergebnisse eines
Zufallsexperiments vorstellen.
Beispiele:
• Würfeln
Ergebnisraum Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Gleichzeitiges Werfen von zwei unterscheidbaren Münzen
Ω = {wZ,wW,zZ,zW}
• Befüllen einer Flasche (Füllhöhe)
Ω = [0, H]
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Version vom 19. 5. 2015
Operationen mit Teilmengen
Es bezeichne P(Ω) := {A | A ⊆ Ω} die Potenzmenge von Ω.
Es seien A, B ∈ P(Ω), N eine abzählbar (un)endliche Teilmenge
von N und {An}N ⊂ P(Ω).
• Vereinigung von zwei Teilmengen
A ∪ B := {w ∈ Ω | w ∈ A oder w ∈ B}
• Vereinigung abzählbar vieler Teilmengen
S
An := {w ∈ Ω | ∃n ∈ N : w ∈ An}
n∈N
• Durchschnitt von zwei Teilmengen
A ∩ B := {w ∈ Ω | w ∈ A und w ∈ B}
• Durchschnitt abzählbar vieler Teilmengen
T
An := {w ∈ Ω | w ∈ An für alle n ∈ N }
n∈N
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Operationen mit Teilmengen (Fortsetzung)
• Differenz von zwei Teilmengen
A \ B := {w ∈ A | w ∈
/ B} (nicht kommutativ!)
• Komplement einer Teilmenge
Ā := Ω \ A
Die leere Menge
Durch ∅ wird die leere Menge bezeichnet.
Es gilt insbesondere
• ∅ ∈ P(Ω),
P(∅) = {∅}
• ∅ ∪ A = A,
∅∩A=∅
• Ω̄ = ∅
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Die Formeln von de Morgan
Seien Ω 6= ∅, N ⊆ N abzählbar und {An}N ⊆ P(Ω).
Dann gelten
[
\
An =
An
n∈N
n∈N
\
[
und
n∈N
An =
An .
n∈N
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Konstruktion eines Mengensystems Σ aus Teilmengen von Ω
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Version vom 19. 5. 2015
Wünschenswerte Eigenschaften des Mengensystems Σ
• Ω und ∅ sollen zu Σ gehören.
• Für beliebige A, B ∈ Σ sollen auch
A ∪ B, A ∩ B, Ā, A \ B
zu Σ gehören.
• Die Vereinigung bzw. der Durchschnitt abzählbar vieler Elemente von Σ soll ebenfalls zu Σ gehören.
Beispiel: Würfeln (Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6})
Es gibt verschiedene Mengensysteme, Σ ⊆ P(Ω), die obigen
Anforderungen genügen, etwa
Σ := {∅, Ω}, Σ := {∅, Ω, {1}, {2, 3, 4, 5, 6}}, . . . , Σ := P(Ω).
Für andere Mengensysteme (z.B. {∅, Ω, {1}}) ist das nicht der Fall.
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Version vom 19. 5. 2015
Ereignisalgebra (σ-Algebra) und Ereignis
Sei eine Ergebnismenge Ω gegeben. Ein System Σ ⊆ P(Ω) heißt
Ereignisalgebra (σ-Algebra), wenn folgende Bedingungen gelten:
• Ω ∈ Σ.
•A ∈ Σ
⇒
Ā ∈ Σ.
• Für eine Folge {An} von Elementen aus Σ gilt
[
An ∈ Σ.
n∈N
Jedes Element einer Ereignisalgebra heißt Ereignis.
Ω wird sicheres Ereignis, ∅ wird unmögliches Ereignis genannt.
Die vorstehenden Bedingungen implizieren, dass eine Ereignisalgebra auch die anderen wünschenswerten Eigenschaften erfüllt.
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Version vom 19. 5. 2015
Messraum
Ein Paar (Ω, Σ) aus Ereignisraum Ω und einer zugehörigen Ereignisalgebra wird als Messraum bezeichnet.
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Version vom 19. 5. 2015
Wahrscheinlichkeitsmaß und Maßraum
Sei (Ω, Σ) eine Messraum. Eine Abbildung P : Σ → R heißt
Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, Σ), wenn sie folgende Bedingungen (Kolmogorov-Axiome) erfüllt:
• 0 ≤ P (A) ≤ 1 für alle A ∈ Σ.
• P (Ω) = 1.
• Sei {An} ⊂ Σ mit Ai ∩ Aj = ∅ für beliebige i, j mit i 6= j.
Dann gilt


[
X
P
An  =
P (An).
n∈N
n∈N
Die Zahl P (A) heißt Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.
Das Tripel (Ω, Σ, P ) heißt Maßraum.
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Beispiele für Maßräume
Relative Häufigkeit (Laplace-Wahrscheinlichkeitsbegriff)
(Ω, Σ, P ) mit Ω := {E1, . . . , EN }, Σ := P(Ω) und
P (A) :=
|A|
für alle A ∈ Σ
N
Alle Elementarereignisse E1, . . . , EN haben hier die Wahrscheinlichkeit P (Ei) = 1/N und sind damit gleichwahrscheinlich.
(Ω, Σ, P ) mit Ω := {E1, . . . , EN }, Σ := P(Ω) und
X
P (A) :=
pi
i:Ei∈A
mit pi ∈ [0, 1] für i = 1, . . . , N und
N
P
pi = 1.
i=1
Das Elementarereignis Ei hat die Wahrscheinlichkeit P (Ei) = pi
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Beispiele für Maßräume (Fortsetzung)
(Ω, Σ, P ) := (R, B, P ) mit
• Ereignismenge R,
• Borelsche σ-Algebra B
B ist kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen enthält.
B enthält damit auch alle offenen, halboffenen und
abgeschlossenen Intervalle.
• Wahrscheinlichkeitsmaß
Z
f (x)dx
P (A) :=
für alle A ∈ B
A
mit einer sogenannten Wahrscheinlichkeitsdichte f (→ später).
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Aussagen für Maßräume
Seien (Ω, Σ, P ) ein Maßraum und A, B ∈ Σ. Dann gilt:
• P (∅) = 0.
• P (Ā) = 1 − P (A).
• Falls A ⊆ B, so folgt P (A) ≤ P (B).
• P (A) = P (A \ B) + P (A ∩ B).
• P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
• Falls A ∩ B = ∅ (unvereinbare Ereignisse), so folgt
P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
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Bedingte Wahrscheinlichkeit
Sei (Ω, Σ, P ) ein Maßraum. Weiter sei B ∈ Σ mit P (B) > 0.
Dann heißt
P (A ∩ B)
P (A|B) :=
P (B)
bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ∈ Σ unter der Bedingung B.
Bemerkung: Mit
ΣB := {A ∈ Σ | A ⊆ B},
PB (A) := P (A|B) für A ∈ ΣB
ist ein Maßraum (B, ΣB , PB ) erklärt.
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Sei (Ω, Σ, P ) ein Maßraum.
Ereignisse A, B ∈ Σ heißen (stochastisch) unabhängig, wenn
P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
Allgemeiner nennt man Ereignisse A1, . . . , An ∈ Σ (stochastisch)
unabhängig, wenn für jede Indexmenge J ⊆ {1, . . . , n} mit
|J | ≥ 2 die Gleichung
\
Y
P(
Ai ) =
P (Ai)
i∈J
i∈J
gilt.
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Version vom 19. 5. 2015
Seien (Ω, Σ, P ) ein Maßraum und A, B ∈ Σ mit P (B) > 0.
Falls P (A|B) = P (A), dann gilt
P (A ∩ B) = P (A|B)P (B) = P (A)P (B),
d.h. die Ereignisse A und B sind unabhängig.
Umgekehrt folgt aus der Unabhängigkeit von A und B, dass
P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
=
P (A)P (B)
P (B)
= P (A),
d.h. die Wahrscheinlichkeit für A hängt nicht davon ab, ob B eintritt
oder nicht.
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Version vom 19. 5. 2015
Der Satz zur totalen Wahrscheinlichkeit
Seien (Ω, Σ, P ) ein Maßraum, B ∈ Σ und A1, . . . , AN ∈ Σ
N
S
paarweise unvereinbare Ereignisse mit
Ai = B.
i=1
Dann gilt
P (B) =
N
X
i=1
P (B ∩ Ai) =
N
X
P (B|Ai)P (Ai).
i=1
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Version vom 19. 5. 2015
Der Satz von Bayes
Seien (Ω, Σ, P ) ein Maßraum, B ∈ Σ mit P (B) > 0 und
N
S
A1, . . . , AN ∈ Σ paarweise unvereinbare mit
Ai = B.
Dann folgt (als Zwischenüberlegung)
P (Aj |B) =
P (Aj ∩ B)
P (B)
=
i=1
P (B|Aj )P (Aj )
P (B)
und mit dem Satz zur totalen Wahrscheinlichkeit schließlich
P (Aj |B) =
P (B|Aj )P (Aj )
N
P
P (B|Ai)P (Ai)
i=1
für jedes j ∈ {1, . . . , N }.
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Zufallsgrößen (Zufallsvariable)
Sei (Ω, Σ) ein Messraum. Eine Funktion X : Ω → R heißt reelle
Zufallsgröße (Zufallsvariable), wenn das Urbild jedes Intervalls
(−∞, a] zu Σ gehört, d.h. wenn
X −1((−∞, a]) ∈ Σ für alle a ∈ R.
• X −1(A) := {w ∈ Ω | X(w) ∈ A} bezeichnet Urbild der
Menge A ⊆ R bzgl. der Abbildung X : Ω → R.
• Seien (Ω, Σ, P ) Maßraum und B die Borelsche σ-Algebra auf R.
Dann induziert X im Messraum (R, B) ein Wahrscheinlichkeitsmaß PX : B → [0, 1] durch
PX (A) := P (X −1(A))
für alle A ∈ B.
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Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße
Seien (Ω, Σ, P ) ein Maßraum und X : Ω → R eine reelle Zufallsgröße. Dann heißt die durch
FX (x) := P (X ≤ x)
für alle x ∈ R
definierte Funktion FX : R → [0, 1] Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X.
P (X ≤ x) ist Kurzschreibweise für die folgenden äquivalenten
Bezeichnungen
• P ({w ∈ Ω | X(w) ≤ x}),
−1
• P X (−∞, x] bzw.
• PX ((−∞, x] ).
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Charakterisierung von Verteilungsfunktionen
Sei F : R → R eine Funktion. Dann ist F genau dann Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße, wenn
• F monoton wachsend ist,
• F rechtsseitig stetig ist sowie
•
lim
x→−∞
F (x) = 0 und lim F (x) = 1 gilt.
x→∞
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Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der Verteilungsfunktion
P (a < X ≤ b) = P (X ≤ b) − P (X ≤ a) = F (b) − F (a)
P (a < X < b) = P (X < b) − P (X ≤ a)
= P (X ≤ b) − P (X = b) − P (X ≤ a)
= F (b) − F (a) − P (X = b)
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Diskrete Zufallsgrößen
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Sei (Ω, Σ, P ) ein Maßraum. Eine reelle Zufallsgröße X : Ω → R
heißt diskret, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich
viele Werte xk (k ∈ K ⊆ N) annimmt und X −1(xk ) ∈ Σ für
k ∈ K gilt. Der Einfachheit halber sei auch vorausgesetzt, dass
pk := P (X = xk ) > 0
für alle k ∈ K.
Für die Verteilungsfunktion F : R → [0, 1] einer reellen diskreten
Zufallsgröße X ergibt sich
X
X
F (x) = P (X ≤ x) =
P (X = xk ) =
pk .
k:xk ≤x
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k:xk ≤x
Binomialverteilung
In einer Urne seien N durchnummerierte Kugeln, davon S schwarze und N −S weiße. Man zieht nacheinander n Kugeln mit Zurücklegen. Es ergibt sich die Anzahl aller Möglichkeiten, um
• n Kugeln zu ziehen zu N n,
• genau k schwarze Kugeln zu ziehen zu S k ,
• genau n − k weiße Kugel zu ziehen zu (N − S)n−k ,
• genau k von n Mal eine schwarze Kugel zu ziehen zu
n
.
k
Die relative Häufigkeit aller Ziehungen mit genau k schwarzen Kugeln unter allen möglichen Ziehungen ergibt sich zu
!
!
S
n S k (N − S)n−k
n
k
n−k
p (1 − p)
für p := .
=
n
N
N
k
k
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Binomialverteilung (Fortsetzung)
Seien Parameter p ∈ [0, 1] und n ∈ {1, 2, . . .} gegeben.
Eine diskrete Zufallsgröße X : Ω → R nehme für k = 0, 1, . . . , n
die Werte xk = k mit der Wahrscheinlichkeit
!
n
P (X = xk ) := pk :=
pk (1 − p)n−k
k
an. Dann wird diese Zufallsgröße als binomialverteilte Zufallsgröße bezeichnet.
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Poisson-Verteilung
Sei ein Parameter λ > 0 gegeben.
Eine diskrete Zufallsgröße X : Ω → R nehme für k ∈ N die Werte
xk = k mit der Wahrscheinlichkeit
λk −λ
P (X = xk ) := pk :=
e
k!
an. Dann wird diese Zufallsgröße als Poisson-verteilte Zufallsgröße
bezeichnet.
Poisson-verteilte Zufallsgrößen spielen bei der Modellierung des
Eintreffens von seltenen unabhängigen Ereignissen eine Rolle.
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Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße
Sei X : Ω → R eine diskrete Zufallsgröße mit den Realisierungen
P
xk ∈ R für k ∈ K ⊆ N. Wenn die Reihe
pk |xk | konvergiert,
k∈K
dann existiert
E(X) :=
X
p k xk
k∈K
und wird Erwartungswert der Zufallsgröße X genannt.
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Varianz einer diskreten Zufallsgröße
Sei X : Ω → R eine diskrete Zufallsgröße mit den Realisierungen
P
xk ∈ R für k ∈ K ⊆ N. Wenn die Reihe
pk x2k konvergiert,
k∈K
dann existiert
VAR(X) := E((X − E(X))2) =
X
pk (xk − E(X))2
k∈K
und wird Varianz der Zufallsgröße X genannt. Andere Bezeichnunp
gen sind Streuung oder Dispersion. Mit σX := VAR(X) wird
die Standardabweichung der Zufallsgröße X bezeichnet.
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Erwartungswert und Varianz bei der Binomialverteilung
Sei X eine mit den Parametern p ∈ [0, 1] und n ∈ {1, 2, 3, . . .}
binomialverteilte Zufallsgröße. Dann gilt
!
n
X
n
E(X) =
k
pk (1 − p)n−k = np
k
k=0
und
VAR(X) =
n
X
(k − np)2
k=0
n
k
!
pk (1 − p)n−k = np(1 − p).
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Erwartungswert und Varianz bei der Poisson-Verteilung
Sei X eine mit dem Parameter λ > 0 Poisson-verteilte Zufallsgröße. Dann gilt
E(X) =
∞
X
k=0
und
VAR(X) =
∞
X
λk −λ
k
e
=λ
k!
k
λ
(k − λ)2
e−λ = λ.
k!
k=0
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Stetige Zufallsgrößen
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Sei (Ω, Σ, P ) ein Maßraum. Eine reelle Zufallsgröße X : Ω → R
heißt stetig, wenn es eine stückweise stetige Funktion fX : R → R
gibt, so dass
• fX (x) ≥ 0
für alle x ∈ R und
• FX (b) − FX (a) =
Rb
a
fX (t) dt für alle a, b ∈ R
gilt. Die Funktion fX wird Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße X genannt. Eine stetigen Zufallsgröße
besitzt eine stetig Verteilungsfunktion.
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Charakterisierung von Dichtefunktionen
Es sei f : R → R eine stückweise stetige Funktion. Dann ist f
genau dann Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße, wenn
• f (x) ≥ 0 für alle x ∈ R und
•
+∞
R
f (x) dx = 1.
−∞
Sei fX : R → R Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X mit
der Verteilungsfunktion FX . Dann gilt
Rx
• FX (x) =
f (t)dt.
−∞
• FX ist an allen Stetigkeitsstellen von fX differenzierbar mit
0 (x) = f (x).
FX
X
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Die stetige Gleichverteilung
Sei a < b. Eine stetige Zufallsgröße X mit der durch
(
1
falls x ∈ [a, b],
b
−
a
fX (x) :=
0
sonst
gegebenen Dichte, heißt (auf dem Intervall [a, b]) gleichverteilt.
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Erwartungswert einer stetigen Zufallsgröße
Sei X : Ω → R eine stetige Zufallsgröße mit der Dichte fX .
∞
R
Falls
|x|fX (x) dx existiert, so existiert
−∞
Z∞
E(X) :=
xfX (x) dx
−∞
und heißt Erwartungswert der Zufallsgröße X.
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Varianz einer stetigen Zufallsgröße
Sei X : Ω → R eine stetige Zufallsgröße mit der Dichte fX .
∞
R 2
Falls
x fX (x) dx existiert, dann existiert
−∞
Z∞
VAR(X) :=
(x − E(X))2fX (x) dx
−∞
und heißt Varianz der Zufallsgröße X. Andere Bezeichnungen sind
p
Streuung oder Dispersion. Mit σX := VAR(X) wird die Standardabweichung der Zufallsgröße X bezeichnet.
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Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz
Es sei X : Ω → R eine stetige (bzw. diskrete) Zufallsgröße mit
Erwartungswert E(X) und Varianz VAR(X). Weiter seien α, β ∈
R. Dann gilt:
• E(αX + β) = αE(X) + β.
• VAR(X) = E(X 2) − E2(X).
• VAR(αX + β) = α2VAR(X).
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Die Normalverteilung
Seien µ ∈ R und σ > 0. Eine stetige Zufallsgröße X mit der durch
(x−µ)2
− 2σ 2
e
1
fX (x) := √
σ 2π
gegebenen Dichte heißt normalverteilt mit dem Erwartungswert µ
und der Varianz σ 2. Um dies auszudrücken, schreibt man auch kurz
X ∈ N (µ, σ 2).
Falls µ = 0 und σ = 1 spricht man von der standardisierten Normalverteilung.
Einsatz u.a. oft bei zufälligen Messfehlern und zufälligen Abweichungen von Nennmaßen in der Fertigung.
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Standardisierung von Zufallsgrößen
Sei X : Ω → R eine Zufallsgröße mit Erwartungswert µ ∈ R und
Varianz σ 2 ∈ (0, ∞). Dann definiert
Y (w) :=
X(w) − µ
σ
eine Zufallsgröße Y : Ω → R mit
E(Y ) = 0 und
für alle w ∈ Ω
VAR(Y ) = 1.
Eine solche Zufallsgröße heißt standardisiert. Es gilt
X −µ
x−µ
FX (x) = P (X ≤ x) = P
≤
= FY (y).
σ }
σ }
| {z
| {z
Y
y
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Die Exponentialverteilung
Sei λ > 0. Eine stetige Zufallsgröße X mit der durch
(
λe−λx falls x ≥ 0,
fX (x) :=
0
falls x < 0
gegebenen Dichte heißt exponentialverteilt mit dem Erwartungs1
wert λ
. Weiter gilt VAR(X) = λ12 . Die Verteilungsfunktion ist durch
(
1 − e−λx falls x ≥ 0,
FX (x) =
0
falls x < 0
gegeben.
Einsatz u.a. oft bei Abständen zufälliger Ereignisse (etwa Anrufe,
Schadensereignisse). Für a, b, ∆ ≥ 0 gilt (sog. Gedächtnislosigkeit)
P (X ≥ a + ∆|X ≥ a) = e−λ∆ = P (X ≥ b + ∆|X ≥ b).
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Zufallsvektoren
Seien (Ω, Σ, P ) ein Maßraum und Xk : Ω → R, k = 1, . . . , n Zufallsgrößen. Dann heißt das Tupel (X1, . . . , Xn) n-dimensionaler
Zufallsvektor.
Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors
Sei X := (X1, . . . , Xn) : Ω → Rn ein Zufallsvektor. Seine Verteilungsfunktion F : Rn → R ist definiert durch
FX (x1, . . . , xn) := P (X1 ≤ x1, . . . , Xn ≤ xn)
für alle (x1, . . . , xn)> ∈ Rn. Dies ist die Kurzschreibweise für
P ({w ∈ Ω | X1(w) ≤ x1, . . . , Xn(w) ≤ xn}) .
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Randverteilungsfunktionen
Sei X := (X1, . . . , Xn) : Ω → Rn ein Zufallsvektor mit der Verteilungsfunktion FX : Rn → R. Dann heißt Fk : R → R für
k = 1, . . . , n mit
Fk (x) := F (∞, . . . , ∞, x, ∞, . . . , ∞)
z }| {
k-te Stelle
für alle x ∈ R.
Randverteilungsfunktion zu Xk .
Dabei ist F (∞, . . . , ∞, x, ∞, . . . , ∞) Abkürzung für
lim
x1,...,xk−1,xk+1,...,xn→∞
F (x1, . . . , xk−1, x, xk+1, . . . , xn).
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Kovarianz und Korrelationskoeffizient
Seien (X, Y ) ein Zufallsvektor, für den E(X), E(Y ) und E(X, Y )
existieren. Dann wird
COV(X, Y ) := E ((X − E(X))(Y − E(Y )))
als Kovarianz der Zufallsgrößen X und Y bezeichnet. Falls
COV(X, Y ) = 0, so heißen X und Y unkorreliert.
Existiern auch die Varianzen VAR(X), VAR(Y ), dann heißt
COV(X, Y )
ρ(X, Y ) := p
VAR(X)VAR(Y )
Korrelationskoeffizient von X und Y .
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Eigenschaften von Kovarianz und Korrelationskoeffizient
• COV(αX, Y ) = αCOV(X, Y ) für alle α ∈ R.
• COV(X + Y, Z) = COV(X, Z) + COV(Y, Z).
• COV(X, Y ) = COV(Y, X).
• COV(X, X) = VAR(X).
• |ρ(X, Y )| ≤ 1.
• |ρ(X, Y )| = 1 gilt genau dann, wenn es α, β ∈ R mit α 6= 0
gibt, so dass Y = αX + β.
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Unabhängigkeit von Zufallsgrößen
Sei X := (X1, . . . , Xn) ein Zufallsvektor.
Die Zufallsgrößen X1, . . . Xn heißen unabhängig, wenn
FX (x1, . . . , xn) = F1(x1) · F2(x2) · · · Fn(xn)
für alle (x1, . . . , xn)> ∈ Rn gilt.
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Sei (X, Y ) ein Zufallsvektor (die Existenz entsprechender Erwartungswerte und Varianzen sei vorausgesetzt). Dann gilt:
• E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
• VAR(X + Y ) = VAR(X) + VAR(Y ) + 2COV(X, Y ).
Falls X, Y unabhängig sind, gilt außerdem:
• E(XY ) = E(X)E(Y ).
• VAR(X + Y ) = VAR(X) + VAR(Y ).
Seien X, Y : Ω → R unkorrelierte normalverteilte Zufallsgrößen.
Dann sind X und Y unabhängig.
Achtung: Im Allgemeinen ist die Unkorreliertheit jedoch schwächer
als die Unabhängigkeit.
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Die Tschebyschowsche Ungleichung
Sei X eine Zufallsgröße mit Erwartungswert E(X) und Varianz
VAR(X). Dann gilt
P (|X − E(X)| ≥ ) ≤
VAR(X)
2
für jedes > 0.
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Zentraler Grenzwertsatz
Sei {Xn} eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen mit dem Erwartungswert µ ∈ R und der Varianz σ 2 > 0.
Weiter sei
n
1 X
Zn := √
(Xk − µ).
σ n
k=1
Dann ist Zn standardisiert und für die Verteilungsfunktion FZn der
Zufallsgröße Zn gilt
lim FZn (x) = Φ(x)
n→∞
für jedes x ∈ R, d.h. FZn konvergiert punktweise gegen die Verteilungsfunktion Φ der standardisierten Normalverteilung.
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p–Quantile
Seien p ∈ (0, 1) und X : Ω → R eine Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion FX : R → [0, 1]. Dann heißt
xp := min{x ∈ R | FX (x) ≥ p}
p–Quantil oder Quantil der Ordnung p.
Für p = 0.5 wird x0.5 als Median bezeichnet.
Ist X eine stetige Zufallsgröße, so gilt p = F (xp).
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Elemente der Mathematischen Statistik
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Mathematische Stichprobe
Seien (Ω, Σ, P ) ein Maßraum und X : Ω → R eine Zufallsgröße.
Der Zufallsvektor (X1, . . . , Xn), dessen Kompenenten unabhängig und identisch wie X verteilt sind, heißt mathematische
Stichprobe vom Umfang n aus der Grundgesamtheit X.
Die Zufallsgrößen X1, . . . , Xn werden auch Stichprobenvariable genannt. Weiter heißt (x1, . . . , xn) ∈ Rn Realisierung des
Zufallsvektors (X1, . . . , Xn) oder konkrete Stichprobe.
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Stichprobenfunktion (Schätzfunktion, Schätzer)
Für g : Rn → R und eine Stichprobe (X1, . . . , Xn) ist durch
g(X1, . . . , Xn)(w) := g(X1(w), . . . , Xn(w))
für alle w ∈ Ω
eine sogenannte Stichprobenfunktion oder (Schätzfunktion,
Schätzer) g(X1, . . . , Xn) : Ω → R definiert, wobei angenommen
wird, dass g(X1, . . . , Xn) eine Zufallsgröße zu (Ω, Σ, P ) ist.
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Beispiele für Stichprobenfunktionen
• Arithmetisches Mittel
g(X1, . . . , Xn) := X̄n :=
n
1X
n
Xi
i=1
• Korrigierte Stichprobenvarianz
2 :=
g(X1, . . . , Xn) := Sn
1
n−1
X
(Xi − X̄n)2
• Maximum
g(X1, . . . , Xn) := max{X1, . . . , Xn}
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Einige Grundaufgaben der mathematischen Statistik
• Punktschätzungen.
Bestimmung eines Schätzwertes θ̃ für einen unbekannten Parameter θ der Verteilungsfunktion der Grundgesamtheit X.
• Konfidenzschätzungen.
Bestimmung eines zufälligen Intervalls, das einen unbekannten Parameter mit einer bestimmten Mindestwahrscheinlichkeit
enthält.
• Statistische Hypothesen und Tests
Angabe statistischer Hypothesen über einen unbekannten Parameter und deren Überprüfung und Bewertung mittels statistischer Tests.
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Erwartungstreue von Punktschätzern
Ein Schätzer Γ(X1, . . . , Xn) heißt erwartungstreu bzgl. des zu
schätzenden Parameters θ ∈ Θ ⊆ R, falls
Eθ (Γ(X1, . . . , Xn)) = θ
für alle θ ∈ Θ. Dabei bezeichnet Eθ den Erwartungswert unter der
Annahme, dass θ der wahre Wert des Parameters ist.
Mit anderen Worten:
Eine Schätzer heißt erwartungstreu, wenn sein Erwartungswert immer (für alle θ ∈ Θ) gleich dem zu schätzenden (wahren) Parameter
ist.
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Andreas Fischer
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Konsistenz von Punktschätzern
Eine Folge {Γ(X1, . . . , Xn)} von Schätzern heißt konsistent,
wenn
lim Pθ (|Γ(X1, . . . , Xn) − θ| ≥ ) = 0
n→∞
für alle θ ∈ Θ
für jedes > 0 gilt. Dabei bezeichnet Pθ die Wahrscheinlichkeit
unter der Annahme, dass θ der wahre Wert des Parameters ist.
Mit anderen Worten:
Ein Schätzer heißt konsistent, wenn er stochastisch immer (für alle
θ ∈ Θ) gegen den zu schätzenden (wahren) Parameter konvergiert.
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Punktschätzer für den Erwartungswert und Varianz
Sei X eine Zufallsgröße mit Erwartungswert E(X) und der Varianz VAR(X) (beide unbekannt). Zur Schätzung von E(X) bzw.
VAR(X) werde eine mathematische Stichprobe (X1, . . . , Xn) aus
der Grundgesamtheit X verwendet. Dann ist
n
1X
• X̄n :=
Xi
n
i=1
erwartungstreuer und konsistenter Schätzer für E(X) (Θ := R)
und
n
X
1
2 :=
(Xi − X̄n)2
• Sn
n−1
i=1
erwartungstreuer und konsistenter Schätzer für VAR(X)
(Θ := (0, ∞)).
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Anwendung von Punktschätzern
Für eine beliebige Realisierung (x1, . . . , xn) der Stichprobe
(X1, . . . , Xn) wird der Wert des Punktschätzers ermittelt. Bei1 Pn
spielsweise x̄n := n i=1 xi für den Schätzer X̄n.
Dieser Wert ist eine Schätzwert für den unbekannten Parameter.
Neben Erwartungstreue und Konsistenz gibt es weitere wichtige
Kriterien zur Beurteilung von Punktschätzern, etwa die asymptotische Erwartungstreue, die starke Konsistenz und die Effizienz.
Um bestimmte Kriterien zu erreichen, wurden verschiedene Methoden zur Konstruktion von Punktschätzern (etwa die MaximumLikelihood-Methode) entwickelt.
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Konfidenzschätzung
Sei (X1, . . . , Xn) eine mathematische Stichprobe aus der Grundgesamtheit X und θ ∈ Θ ⊆ R ein unbekannter Parameter der Verteilung von X. Weiter seien g(X1, . . . , Xn) und G(X1, . . . , Xn)
Stichprobenfunktionen mit Werten in Θ. Dann ist durch
J (X1, . . . , Xn) := g(X1, . . . , Xn), G(X1, . . . , Xn)
ein zufälliges Intervall definiert, das man als Konfidenzschätzung
für θ bezeichnet.
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Konfidenzschätzung und Konfidenzniveau
Sei α ∈ (0, 1). Eine Konfidenzschätzung J (X1, . . . , Xn) heißt
Konfidenzschätzung zum Konfidenzniveau 1 − α für den Parameter θ, wenn
Pθ (θ ∈ J (X1, . . . , Xn)) ≥ 1 − α
für all θ ∈ Θ.
Dabei bezeichnet Pθ die Wahrscheinlichkeit unter der Annahme,
dass θ der wahre Wert des Parameters ist.
Mit anderen Worten:
Bei einer Konfidenzschätzung zum Konfidenzniveau 1 − α ist die
Wahrscheinlichkeit, dass das zufällige Intervall den wahren Wert θ
enthält, immer (für alle θ ∈ Θ) mindestes 1 − α.
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Konfidenschätzungen für die Parameter einer Normalverteilung
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Konfidenzschätzung für den unbekannten Erwartungswert
bei bekannter Varianz
Es sei X eine mit den Parametern µ := E(X) und σ 2 := VAR(X)
normalverteilte Zufallsgröße. Dabei wird σ 2 als bekannt vorausgesetzt. Weiter bezeichne (X1, . . . , Xn) eine mathematische Stichprobe aus der Grundgesamtheit X. Dann ist
σ
σ
J (X1, . . . , Xn) := X̄n − √ z1− α , X̄n + √ z1− α
2
2
n
n
eine Konfidenzschätzung für µ zum Konfidenzniveau 1 − α.
Dabei bezeichnet zp das p–Quantil der standardisierten Normalverteilung (d.h. Φ(zp) = p).
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Konfidenzschätzung für den unbekannten Erwartungswert
bei unbekannter Varianz
Es sei X eine mit den Parametern µ := E(X) und σ 2 := VAR(X)
normalverteilte Zufallsgröße. Dabei wird σ 2 als unbekannt vorausgesetzt. Weiter bezeichne (X1, . . . , Xn) eine mathematische Stichprobe aus der Grundgesamtheit X. Dann ist


s
s
2
2
Sn
Sn
J (X1, . . . , Xn) := X̄n −
tn−1,1− α , X̄n +
tn−1,1− α 
2
2
n
n
eine Konfidenzschätzung für µ zum Konfidenzniveau 1 − α.
Dabei bezeichnet tn−1,p das p–Quantil der Studentschen
t–Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden.
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Konfidenzschätzung für die unbekannte Varianz
bei bekanntem Erwartungswert
Es sei X eine mit den Parametern µ := E(X) und σ 2 := VAR(X)
normalverteilte Zufallsgröße. Dabei wird µ als bekannt vorausgesetzt. Weiter bezeichne (X1, . . . , Xn) eine mathematische Stichprobe aus der Grundgesamtheit X. Dann ist


∗2
∗2
nSn
nSn
J (X1, . . . , Xn) :=  2
, 2 
χn,1− α χn, α
2
2
eine Konfidenzschätzung für σ 2 zum Konfidenzniveau 1 − α.
Dabei ist
n
X
1
2
∗
Sn :=
(Xi − µ)2
n
i=1
und χ2n,p das p–Quantil der χ2–Verteilung mit n Freiheitsgraden.
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Konfidenzschätzung für die unbekannte Varianz
bei unbekanntem Erwartungswert
Es sei X eine mit den Parametern µ := E(X) und σ 2 := VAR(X)
normalverteilte Zufallsgröße. Dabei wird σ 2 als unbekannt vorausgesetzt. Weiter bezeichne (X1, . . . , Xn) eine mathematische Stichprobe aus der Grundgesamtheit X. Dann ist


2 (n − 1)S 2
(n − 1)Sn
n
J (X1, . . . , Xn) :=  2
,
χn−1,1− α
χ2n−1, α
2
2
eine Konfidenzschätzung für σ 2 zum Konfidenzniveau 1 − α.
Dabei ist χ2n−1,p das p–Quantil der χ2–Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden.
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Anwendung einer Konfidenzschätzung
Seien θ der zu schätzende Paramter, 1 − α das vorgegebene Konfidenzniveau und J (X1, . . . , Xn) eine zugehörige Konfidenzschätzung.
Für eine beliebige Realisierung (x1, . . . , xn) der mathematischen Stichprobe (X1, . . . , Xn) wird das konkrete Intervall
J (x1, . . . , xn) ermittelt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass man dabei ein Intervall erhält, das den
Parameter θ beinhaltet, beträgt 1 − α.
Jedoch ist es unsinnig zu sagen, dass das erhaltene Intervall den
Parameter θ mit Wahrscheinlichkeit 1 − α beinhaltet.
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