Logik für Informatiker (WS 08/09)

Universität Augsburg
Prof. Dr. W. Vogler
Logik für Informatiker (WS 08/09)
Übungsblatt 2 (Abgabe bis 03.11.2008, 12:00 Uhr)
Aufgabe 1
V
Wir definieren die Kurzschreibweise induktiv wie folgt:
0
^
Ci :≡ true
(4 Punkte)
(0)
i=1
1
^
Ci :≡ C1
(1)
!
∧ Cn+1
i=1
n+1
^
Ci :≡
i=1
n
^
Ci
i=1
(2)
V
Anmerkung: Ohne (1) wäre 1i=1 C1 ≡ C1 ∧ true. Dies ist aber zumindest aussagenlogisch
äquivalent zu dem, was in (1) definiert ist. Somit ist (1) eigentlich für das folgende überflüssig,
aber es erleichtert die Aufgabe etwas.
Zeigen Sie ggf. mit bekannten Gesetzen, dass für alle n ≥ 1 gilt:
A∨
n
^
Bi =||=
i=1
n
^
(A ∨ Bi )
i=1
Aufgabe 2
(6 Punkte)
Übersetzen Sie die folgenden Formeln unter der jeweils angegeben Interpretation in normale
Umgangssprache. Verwenden Sie dabei keine Variablen.
1. ∀ x M(x) ∧ (∀ y ¬ W(x, y)) → U(x)
mit dem Grundbereich D := Menge der Menschen“ und der Interpretation MI (x) := x
”
”
ist ein Mann“, WI (x, y) := x und y sind verheiratet“, UI (x) := x ist unglücklich“.
”
”
2. ¬ ∃ y G(y) ∧ ∀ x G(x) → L(x, y)
mit D := R und der Interpretation GI (x) := x ist eine ganze Zahl“, LI (x, y) := x ist
”
”
kleiner-oder-gleich y“.
3. ∀ x H(x) → ∃ y ∃ z y 6= z ∧ ∀ u P(u, x) ↔ u = y ∨ u = z
mit D := Menge der Menschen“ und der Interpretation HI (x) := x ist ein Mensch“,
”
”
PI (x, y) := x ist ein Elternteil von y“.
”
1
Aufgabe 3
Gegeben sei eine Signatur (F, P) mit:
(5 Punkte)
x, y ∈ X ,
F 0 = {0, 1}, F 2 = {+, ♥}, F = F 0 ∪ F 2 ,
P 2 = {<},
P = P 2,
Für diese Signatur (F, P) definieren wir uns eine Interpretation I wie folgt:
D = N0 ,
0I = 1,
1I
+I : (x, y) 7→ x · y,
♥I
I
<
: (x, y) →
7 (x ≤ y)
= 0,
: (x, y) 7→ x − y,
(Das heißt, die Zeichenfolge ’0’ interpretieren wir als die Zahl 1 (!), die Zeichenfolge ’1’ als
die Zahl 0, die Zeichenfolge ’+’ als Multiplikation (!), usw.) Zusätzlich sei eine Belegung β
gegeben mit β(x) = 3, β(y) = 4.
Überprüfen Sie für die folgende Formel
y ♥ 0<x → x+1=y
ob diese bei (I, β) gilt, d.h. ob
I, β |= y ♥ 0 < x → x + 1 = y
Gehen Sie dabei schrittweise vor und wenden Sie pro Schritt nur eine einzige Interpretationsregel aus der Vorlesung an.
Aufgabe 4
Für eine Formel A sei d(A) die größte Zahl geschachtelter Quantoren in A.
Beispiel: d ∀xP (x)∧∃yQ(x, y) = 2
d (∀xP (x))∧∃yQ(x, y) = 1
(4 Punkte)
1. Die beiden Formeln aus obigem Beispiel sind nicht vollständig geklammert. Geben Sie
die zugehörigen vollständig geklammerten Formeln an.
(Beachten Sie die Klammereinsparungsregeln.)
2. Geben Sie für d eine induktive Definition über den Formelaufbau an.
Hinweis: Betrachten Sie die Regeln, mit denen Formeln aufgebaut werden. Wie ist der
d-Wert bei atomaren Formeln, wie in den anderen Fällen?
2