Finanz- und Risikomanagement

Finanz- und Risikomanagement
1
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Vorlesungsinhalte
1.
Basisgüter und Grundbegriffe
-
2.
Einteilung nach Art der Basisgüter
Einteilung nach Börsen- oder OTC-Handel
Einteilung in Spot-Geschäfte oder Termingeschäfte
Einfache Terminkontrakte (Forward, Future, europäische Option)
-
3.
Forward
Future
Margin bei Börsengeschäften
Europäische Optionen
Optionen
Arbitrage (No-Arbitrage Prinzip)
Ein einfaches Marktmodell (oder das Ein-Perioden Modell)
-
Berechnung der Optionsprämie im einfachen Marktmodell (Duplizierendes Portfolio, )
Berechnung des Forward-Preises im einfachen Marktmodell
Random Walk-Theorie oder der Kursverlauf von Aktien
logarithmische Rendite und einfache Rendite
Das Black-Scholes Modell für die logarithmische Rendite
Simulation eines Aktienkursverlaufes
4.
Das Binomial Modell
5.
Eigenschaften von Aktienoptionen
6.
Die Black-Scholes-Formel und Sensitivitäten
7.
Strategien mit Optionen
2
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Kapitel 1: Basisgüter
Basisgüter auf Finanzmärkten einteilen in
¾
Aktien (z.B. Aktie auf Daimler, BASF,…) oder
Aktienindizes (z.B. DAX, TecDAX, EURSTOXX50,…)
¾
Anleihen (z.B. Bundeswertpapiere, Länderanleihen,
Industrieanleihen,…)
¾
Devisen (z.B. EUR gegen USD, USD gegen GBP, …)
¾
Waren (z.B. Stahl, Schweinebäuchen, Getreide, Rohstoffe,…)
3
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Kapitel 1: Börsen/OTC-Handel
Finanzgeschäfte kann man je nachdem wo die Produkte gehandelt werden
einteilen in
¾ Börsengeschäfte
Börse ist ein organisierter Markt für Aktien, Anleihen, Devisen oder Waren.
An der Börse werden für alle gehandelten Produkte ein Kaufkurs
(„Geldkurs“) und ein Verkaufskurs („Briefkurs“) angegeben. Treffen sich
Geld- und Briefkurs, so kommt ein Geschäft zustande.
Die Produkte an der Börse sind standardisiert.
- Parkettbörse
- Elektronische Börse
¾ OTC-Geschäfte (OTC = „Over The Counter“ = „über den Tresen“):
Individuell abgesprochene Transaktionen zwischen zwei FinanzmarktTeilnehmern.
4
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Kapitel 1: Parkettbörse (I)
5
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Kapitel 1: Parkettbörse (II)
6
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Kapitel 1: Parkettbörse (II)
7
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Kapitel 1: Elektronische Börse
8
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Kapitel 1: Spotgeschäft/Termingeschäft
Finanzgeschäfte kann man je nachdem, ob Basisgüter oder in die
Zukunft reichende Kontrakte (z.B. Optionen oder Futures) gehandelt werden, einteilen in
•
Spot-Geschäfte: Austausch Basisgüter gegen Geld zum aktuellen
Zeitpunkt
•
Termingeschäft: Beim Termingeschäft liegen Vertragsabschluß
und Vertragserfüllung zeitlich auseinander.
9
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Kapitel 2: Forward (I)
Ein Forward ist ein Vertrag zwischen zwei Parteien, ein bestimmtes
Basisgut (z.B. Aktie, eine Währung, eine Ware) zu einem
zukünftigen Zeitpunkt T zu einem jetzt schon festgelegten Preis K zu
kaufen bzw. zu verkaufen.
Derjenige Kontrahent, der die Aktie zum Zeitpunkt T verkauft, hat
eine short Position inne (short forward contract).
Derjenige Kontrahent, der die Aktie zum Zeitpunkt T kauft, hat eine
long Position inne (long forward contract).
Ein Forward Kontrakt ist immer ein OTC-Kontrakt, d.h. Laufzeit und
Verkaufspreis können individuell zwischen den beiden
Vertragspartnern ausgehandelt werden.
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Kapitel 2: Forward (II)
Aufgabe 3
Ein Investor geht eine short forward position in einem Devisen-Forward ein.
Darin verpflichtet er sich 100.000 GBP gegen USD zu einem Wechselkurs von 1,5 USD pro
GBP zu verkaufen.
Welchen Gewinn oder Verlust macht er, wenn am Ende der Laufzeit der Wechselkurs bei
a)
1,49 USD pro GBP steht.
b)
1,52 USD pro GBP steht.
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Kapitel 2: Future
¾ Im Unterschied zum Forward ist ein Future aber standardisiert, d.h
nur bestimmte
- Basisgüter,
- Laufzeiten
- Verkaufspreise
¾ Future wird nur an einer Börse gehandelt.
¾ Schon während der Laufzeit eines Futures muss zu festgesetzten
Zeitpunkten Geld (Margin) an die Börse für unrealisierte Verluste
bezahlt werden.
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Kapitel 2: Marginzahlung bei
Börsen-Termingeschäften
•
Margin (engl.: "Spanne") bezeichnet eine Sicherheitsleistung, die
bei börsengehandelten Termingeschäften wie Futures oder
Optionen durch die jeweilige Börse vom einzelnen
Handelsteilnehmer verlangt wird.
•
Der Sinn der Margin besteht darin, sicherzustellen, dass der Inhaber
einer Kauf- oder Verkaufspostion (Long oder Short) seiner
Verpflichtung auch dann nachkommen wird, wenn der Kursverlauf
für ihn ungünstig ist.
•
Initial Margin (engl. „Einschuss-Spanne“): Wird bei Abschluss des
Geschäfts fällig.
•
Additional Margin (engl. „Nachschuss-Margin“): Kann jederzeit
mittels eines "Margin Call" abgerufen werden, wenn sich das
Geschäft für den Investor negativ entwickelt.
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Kapitel 2: europäische Option
Eine Option ist ein Vertrag zwischen zwei Parteien. Der Käufer einer
Option erwirbt das Recht (aber nicht die Plicht!)
¾ ein bestimmtes Basisgut – das „Underlying“
¾ in einer vereinbarten Menge – der Kontraktgröße
¾ zu einem festgelegten Preis – dem Strike Preis
¾ zu einem festgelegt Zeitpunkt – dem Ausübungstermin
zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put-Option).
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Kapitel 2: europäische Option – Call Option
Call-Option:
Underlying (z.B. Aktien),
Kontraktgröße M,
Strike-Preis K,
Laufzeit T
t=0
Optionskäufer
Aktienkurs
Aktienkurs
K
K
t=T
T
t
Ausübung
T
t
keine Ausübung
M Aktien
Optionskäufer
Optionsverkäufer
Optionsprämie (Geld)
Optionsverkäufer
Optionskäufer
Optionsverkäufer
Strike*M (Geld)
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Kapitel 2: europäische Option – Put Option
Put-Option:
Underlying (z.B. Aktien),
Kontraktgröße M,
Strike-Preis K,
Laufzeit T
t=0
Optionskäufer
Aktienkurs
Aktienkurs
K
t=T
Optionsverkäufer
Optionsprämie (Geld)
K
T
t
T
Keine Ausübung
Optionskäufer
Optionsverkäufer
t
Ausübung
M Aktien
Optionskäufer
Optionsverkäufer
Strike*M (Geld)
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Kapitel 2: Optionen
Bemerkungen
¾
Beim Optionshandel gibt es vier Arten von Marktteilnehmern:
•
•
•
•
Käufer einer Call-Option
Verkäufer einer Call-Option
Käufer einer Put-Option
Verkäufer einer Put-Option
¾
Der Käufer einer Option hat nur ein Recht aber keine Pflicht (im Gegensatz zum Käufer eines
Futures oder Forwards)
¾
Optionen werden sowohl an Börsen als auch OTC gehandelt. Bei Börsen gehandelten Optionen
gibt es nur bestimmte (von der jeweiligen Börse festgelegte Underlyings, Laufzeiten Strike-Preise)
¾
Neben den „europäischen“ Optionen gibt es auch
• „amerikanische“ Optionen: Amerikanische Optionen können nicht nur am Ende ihrer Laufzeit ausgeübt
werden, sondern jederzeit während ihrer Laufzeit
• „Bermuda“ Optionen: Bermuda Optionen haben nicht nur einen Ausübungstermin, sondern können an
mehreren Terminen ausgeübt werden.
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Kapitel 2: Optionen
Aktuelles Beispiel (Optionen auf Hypo-Real Estate Aktien am 08.10.2008)
Derzeitiger Preis der Aktie beträgt an der Börse XETRA: 4,83 EUR
Auszug aus den aktuellen Angaben an der Terminbörse EUREX
•
Name des
Underlyings
Laufzeit der
Option
Kontraktart
Gehandelte
Kontrakte
Put-/Call-Ratio
Hypo Real Estate
Okt 08
Call
6
64,16
Hypo Real Estate
Okt 08
Put
385
Hypo Real Estate
Nov 08
Call
0
Hypo Real Estate
Nov 08
Put
180
Hypo Real Estate
Dez 08
Call
4
Hypo Real Estate
Dez 08
Put
438
Put-/Call Ratio:
unendlich
109,5
Verhältnis zwischen Verkaufs- und Kaufoptionen an der
jeweiligen Börse. Die Put-/Call-Ratio ist ein Indikator für die Marktstimmung
und liegt in der Regel bei knapp unter 1.
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Kapitel 2: Optionen
Aufgabe 4
Ein Spekulant setzt darauf, dass der Kurs der Amazon-Aktie in den nächsten 2 Monaten
ansteigen wird. Er hat 2000 USD in bar zur Verfügung. Er überlegt sich entweder
•
•
eine Call-Option auf Amazon zu kaufen oder
die Amazon-Aktien direkt zu kaufen.
•
•
Der Aktienkurs der Amazon-Aktie beträgt derzeit 20 USD.
Eine Call-Option auf Amazon mit einem Strike von 22,5 USD wird an der Börse derzeit für 1
USD angeboten
Der Spekulant hat also 2 Alternativen:
1. Alternative: Kauf von 100 Amazon Aktien
2. Alternative: Kauf von 2000 Call-Optionen auf Amazon
Welchen Gewinn oder Verlust macht der Spekulant, wenn sich der Aktienkurs von Amazon in
2 Monaten auf
a) 27 USD erhöht?
b) 15 USD fällt ?
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Kapitel 2: Arbitrage
Arbitrage bezeichnet das Erzielen von Gewinnen durch die Ausnutzung
von Kursunterschieden für dasselbe Produkt. Der Kursunterschied kann
z.B. durch den Handel an verschiedenen Märkten oder verschiedenen
Terminprodukten auf das selbe Basisgut erfolgen.
Aufgabe 6
Händler A in New York bietet an Euros zu einem Kurs von 1,39 USD pro
EUR zu kaufen.
Gleichzeitig bietet Händler B in Frankfurt Euros zu einer Rate von 1,35
USD pro EUR zum Verkauf an.
Wie kann ein Investor, der kein Geld hat, zu einem kleinen Vermögen
kommen?
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Kapitel 2: Arbitrage
Aufgabe 7
Angenommen Händler A bietet in New York an Euros in einem Jahr für
eine Rate von 1,58 USD pro EUR zu kaufen.
Gleichzeitig bietet Händler B in Frankfurt Euros zum sofortigen Verkauf
bei einem Wechselkurs von 1,60 USD pro Euro an.
Weiterhin sei angenommen, dass US-Dollars zur Zeit mit einer jährlichen
Zinsrate von 4% geliehen werden können und Euros zu einem jährlichen
Zinssatz von 6% angelegt werden können.
Wie kann ein Investor, der kein Geld hat, zu einem kleinen Vermögen
kommen?
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Kapitel 2: Arbitrage
Bemerkungen
- Arbitrage Möglichkeiten sind nur kurze Zeit am Markt vorhanden.
Aufgrund der verstärkten Nachfrage gleichen sich Preisunterschiede
an verschiedenen Märkten sehr schnell aus.
-
Bei der Bewertung von Optionen und Forwards wird deswegen vom
sogenannten „No-Arbitrage Prinzip“ ausgegangen
No-Arbitrage Prinzip
Es ist auf dem Finanzmarkt nicht möglich einen risikolosen Gewinn
ohne eigenen Kapitaleinsatz zu erzielen
mit anderen Worten
"There is no such thing as a free lunch"
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Kapitel 2: Arbitrage
Folgerung aus dem No-Arbitrage Prinzip
Haben zwei Portfolios (Ansammlung von Basisgütern und
Terminkontrakten) morgen den gleichen Wert, wie immer sich der
Markt von heute auf morgen entwickelt, dann haben sie auch
heute den gleichen Wert.
Beweis der Folgerung
Wenn die Folgerung nicht zutreffen würde, dann könnte man
heute das teurere Portfolio verkaufen und das billigere kaufen.
Morgen verkauft man dann das ursprünglich billigere wieder und
kauft das ursprünglich teurere zurück.
Damit ist die Ausgangssituation wieder hergestellt und es bleibt
ein risikoloser Gewinn, der gleich der Differenz der beiden
Portfoliowerte ist.
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Kapitel 3: Ein einfaches Marktmodell
Angenommen es gibt nur zwei Zeitpunkte t = 1 und t = 0.
Ein Investor kann sein Geld sowohl in Aktien (risikoreiche Anlage), Anleihen
oder Sparbuch (risikofreie Anlage), Forwards auf Aktien und Optionen auf
Aktien anlegen.
Wert der Aktie zum Zeitpunkt t:
Wert der risikofreien Anlage zum Zeitpunkt t:
Wert des Forwards zum Teitpunkt t:
Wert der Call-Option zum Zeitpunkt t:
Wert einer Put-Option zum Zeitpunkt t:
Vermögen des Investors zum Zeitpunkt t:
S(t)
A(t)
F(t)
C(t)
P(t)
V(t)
Für einen Investor der x Aktien, y risikofreie Anlagen, z1 Call-Optionen und z2
Forwards besitzt berechnet sich der Wert seines Portfolios zum Zeitpunkt t als
V(t) = x·S(t)+y·A(t)+z1·C(t)+z2·F(t)
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Kapitel 3: Ein einfaches Marktmodell
Annahmen:
1.
Zufälligkeit: Der zukünftige Aktienkurs S(1) ist eine Zufallsvariable, die
mindestens zwei verschieden Werte annehmen kann. Der zukünftige Wert der
risikofreien Anlage A(1) ist bekannt.
2.
Positivität: Alle Aktienkurse und alle Werte einer risikofreien Anlage sind immer
positiv.
3.
Liquidität und Short-Selling: Ein Investor kann jede beliebige (ganzzahlige,
rationale, negative oder postive) Anzahl x von Aktien, y von risikofreien Anlagen z1
von Optionen und z2 von Forwards besitzen. Also
x, y, z1,,z2 ∊ ℝ
4.
Einheitlicher Zinssatz: Ein Investor kann Geld für denselben Zinssatz Geld
aufnehmen und Geld anlegen.
5.
Es gibt keine Transaktionskosten.
6.
Es gilt das No-Arbitrage Prinzip.
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Kapitel 3: Ein einfaches Marktmodell
Bestimmung der Optionsprämie im einfachen Marktmodell:
Basisgut = Aktien ohne Dividendenzahlung
Vorgehen in zwei Schritten:
1.
Zum Zeitpunkt t=1 Konstruktion eines Portfolios
V(1) = x·S(1)+y·A(1) mit Wert C(1), also V(1)=C(1)
(Konstruktion eines Duplizierenden Portfolios)
2.
Zum Zeitpunkt t=0 muss aufgrund des No-Arbitrage Prinzipes ebenfalls gelten
V(0) = x·S(0)+y·A(0) = C(0)
(Bewertung der Option)
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Kapitel 3: Ein einfaches Marktmodell
Bestimmung der Optionsprämie im einfachen Marktmodell:
Basisgut = Aktien ohne Dividendenzahlung
Beispiel:
Für die risikolose Anlage gelte A(0)=100 und A(1)=110. Der Wert der Aktie zum
Zeitpunkt t = 0 sei S(0)=100 Euro und
120 mit einer Wahrscheinlichkeit p
S(1)=
für 0<p<1
80 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-p
Für den Wert einer Call-Option mit Strike-Preis 100 zum Zeitpunkt t=1 gilt dann:
20, wenn die Aktie im Kurs steigt
C(1)=
0, wenn Aktie im Kurs fällt
Gesucht ist die Optionsprämie, d. h. der Wert der Call-Option zum Zeitpunkt t = 0.
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Kapitel 3: Ein einfaches Marktmodell
Bestimmung der Optionsprämie im einfachen Marktmodell:
Basisgut = Aktien ohne Dividendenzahlung
Fortsetzung des Beispiels:
1.
Konstruktion eines duplizierenden Portfolios
x·120+y·110, wenn die Aktie im Kurs steigt
x·S(1)+y·A(1)=
x·80+y·110, wenn die Aktie im Kurs fällt
Um x·S(1) + y·A(1) = C(1) zu erhalten muss man das LGS (lineare Gleichungssystem):
x·120 + y·110 = 20
x·80 + y·110 = 0
lösen.
⇒ x = 1/2 und y = -4/11
2.
Bewertung der Option
Aufgrund des No-Arbitrage-Prinzipes muss dann auch gelten
x·S(0)+y·A(0)=C(0);
also 1/2·100 - 4/11·100 = 13,6364 = C(0);
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Kapitel 3: Ein einfaches Marktmodell
Bestimmung der Optionsprämie im einfachen Marktmodell:
Basisgut = Aktien ohne Dividendenzahlung
Bemerkung
Die Wahrscheinlichkeiten p und 1-p für den Fall oder Anstieg des
Aktienkurs wurden für die Bewertung der Option nicht verwendet.
-
In einem Modell mit mehreren Zeitschritten, müsste zu jedem Zeitpunkt
das Duplizierende Portfolio angepasst werden, was hohe
Transaktionskosten verursacht und deshalb für viele Marktteilnehmer
nicht praktikabel ist.
Aufgabe 9
Angenommen die risikofreie Anlage und die Aktie besitzen die Werte wie
im Beispiel. Berechnen Sie den Wert einer Call-Option mit Laufzeit bis
t=1 und Strike-Preis 90 EUR (bzw. 110 EUR)
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Kapitel 3: Ein einfaches Marktmodell
Bestimmung eines Aktien Forward-Preises K im einfachen Marktmodell:
Basisgut = Aktien ohne Dividendenzahlung
Satz 1:
Unter den Annahmen 1. bis 6. entspricht der Forward-Preis K der Höhe
des Rückzahlungsbetrages eines Kredites (Kreditbetrag inkl. Zinsen) der
für den Kauf der entsprechenden Aktien zum Zeitpunkt t = 0 aufgewendet
werden musste.
Aufgabe 11
Angenommen der Wert meines Sparbuches zum Zeitpunkt t = 0 sei A(0) = 100
EUR und der Wert einer bestimmten Aktie, die keine Dividenden zahlt, zum
Zeitpunkt t=0 sei S(0) = 50 EUR.
Zum Zeitpunkt t=1 sei mein Sparbuch 110 EUR wert.
Zeigen Sie dass dann unter den Vorraussetzungen 1. bis 6. der Forward-Preis K
der Aktie gleich 55 EUR ist.
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Kapitel 3: Random Walk-Theorie
Frage:
Sind Aktienkurse prognostizierbar?
Antwort:
Nein! Das Auf und Ab der Aktienkurse ist ein Zufallsprozess (Random Walk)
Aktienkurs der Deutsche Bank AG vom 14.09.2007 - 14.09.2008
120
100
80
60
40
20
0
14.09.07
14.12.07
14.03.08
14.06.08
14.09.08
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Kapitel 3: Random Walk-Theorie
Rendite eines Aktienkurses: Ertrag eines Aktiengeschäftes über einen gewissen Zeitraum.
Bei Aktien ohne Dividendenzahlung gibt es zwei Möglichkeiten, die Rendite zu berechnen:
1.
einfache Rendite
10%
= (Endkurs - Anfangskurs) / Anfangskurs
⇒ Endkurs = (1+einfache Rendite) · Anfangskurs
einfache Tagesrendite Aktien Deutsche Bank 14.09.2007 15.09.2008
8%
6%
4%
2%
0%
-2%
-4%
-6%
-8%
-10%
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Kapitel 3: Random Walk-Theorie
2. logarithmische Rendite
10%
= (Endkurs - Anfangskurs) / Anfangskurs
⇒ Endkurs = e logarithmische Rendite · Anfangskurs
logarithmische Tagesrendite Aktien Deutsche Bank 14.09.2007 15.09.2008
8%
6%
4%
2%
0%
-2%
-4%
-6%
-8%
-10%
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Kapitel 3: Random Walk-Theorie
Vorteile logarithmische Rendite:
Um einfache und logarithmische Renditen besser miteinander vergleichen zu können,
schreiben wir die Formel für die einfache Rendite als
einfache Rendite = Endkurs / Anfangskurs – 1
Und betrachten einfache Rendite und logarithmische Rendite in Abhängigkeit vom
Kursverhältnis Endkurs / Anfangskurs
Kursverhältnis
Endkurs/Anfangskurs
a)
Einfache Rendite
Endkurs/Anfangskurs-1
logarith. Rendite
ln (Endkurs/Anfangskurs)
0,1
- 90 %
-2,3
0,5
- 50 %
- 0,693
0,9
- 10 %
- 0,105
1,0
0%
1,1
10%
0,095
1,5
50 %
0,405
2,0
100 %
0,693
5,0
400 %
1,609
10,0
900 %
2,303
- 0,0
Logarithmische Renditen sind symmetrisch um Null; einfache Renditen sind
asymmetrisch um Null
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Kapitel 3: Random Walk-Theorie
Vorteile logarithmische Rendite:
b) Additivitätseigenschaft von logarithmischer Rendite: z.B. Kurs der deutschen Bank Aktie
Datum
Aktienkurs Deutsche
Bank
Einfache Rendite
über vergangenen
Monat
Logarithmische
Rendite über
vergangenen Monat
16.06.2008
61,94
-
-
15.07.2008
49,94
-19,37 %
- 0,2153
15.08.2008
60,67
21,49 %
0,1946
15.09.2008
54,21
-10,65 %
0,1126
Datum
Aktienkurs Deutsche
Bank
Einfache Rendite
über letzten drei
Monate
Logarithmische
Rendite über letzten
drei Monate
16.06.2008
61,94
-
-
15.09.2008
54,21
-12,48 %
0,1333
Wird ein Zeitraum in Teilzeiträume unterteilt, so ist die logarithmische Rendite über den gesamten
Zeitraum gleich der Summe der logarithmischen Renditen über Teilzeiträume.
Aufgrund der Additivitäts- und der Symmetrieeigenschaft werden in der Finanzmathematik fast
ausschließlich logarithmische Renditen über Teilzeiträume verwendet.
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Kapitel 3: Random Walk-Theorie
Statistische Verteilung der logarithmischen Rendite
Häufigkeitsverteilung logarithmische Tagesrenditen Deutsche
Bank Aktie 14.09.2007 - 15.09.2008
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-6,85%
-3,10%
0,65%
4,40%
Die logarithmische Rendite ist annähernd normalverteilt
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Kapitel 3: Random Walk-Theorie
Statistische Verteilung der logarithmischen Tages-Renditen
vom 14.09.2007 - 15.09.2008
Klassen
Mittelwert μtäglich = - 0,002
Empirische Standardabweichung σtäglich = 0,0218
Betrachtet man anstatt den täglichen Renditen
wöchentliche Renditen so erhält man einen
Mittelwert von μWoche = - 0,01 = μtäglich·5
und eine empirische Standardabweichung
σwöchentlich = 0,0487 = σwöchentlich·
5
-0,0760 bis 0,0685
-0,0685 bis -0,0610
-0,0610 bis -0,0535
-0,0535 bis -0,0460
-0,0460 bis -0,0385
-0,0385 bis -0,0310
-0,0310 bis -0,0235
-0,0235 bis -0,0160
-0,0160 bis -0,0085
-0,0085 bis -0,0010
-0,0010 bis 0,0065
0,0090 bis 0,0140
0,0140 bis 0,0215
0,0215 bis 0,0290
0,0290 bis 0,0365
0,0365 bis 0,0440
0,0440 bis 0,0515
0,0515 bis 0,0590
0,0590 bis 0,0665
0,0665 bis 0,0740
absolute Häufigkeit
1
2
2
1
4
7
12
26
44
43
44
27
16
11
6
6
2
1
3
2
37
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Kapitel 3: Random Walk-Theorie
Aufgrund der bisherigen statistischen Analysen in diesem Kapitel scheint die folgende
Modellannahme für die Entwicklung eines Aktienkurses gerechtfertigt:
Black-Scholes Modell:
⎛ St ⎞
Für die Rendite Rt = ln⎜⎜ ⎟⎟ einer Aktie mit Kurs S t zum Zeitpunkt t und Kurs S 0 zum
⎝ S0 ⎠
Startzeitpunkt t = 0 wird angenommen
•
Rt ~ N ( μ t , σ 2t )
, wobei μ und σ > 0 Konstanten sind.
Für den Erwartungswert der Rendite im Interval [0, t] gilt also:
E(Rt) = μ t
Der Parameter μ gibt die mittlere Rendite für die Zeiteinheit t=1 an. Er wird Drift genannt.
•
Für die Varianz der Rendite im Interval [0, t] gilt:
Var (Rt) = σ 2 t
Die auf die Zeiteinheit t=1 bezogene Standardabweichung σ heißt Volatilität der Aktie·
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Kapitel 3: Random Walk-Theorie
Aufgabe 13
Für eine Aktie wird das Black-Scholes Modell mit Drift μ = 0,15 und Volatilität σ = 0,35 bezogen auf ein
Jahr angenommen.
a) Wie hoch ist der Erwartungswert für die wöchentliche Drift?
b) Wie hoch ist die Volatilität bezogen auf eine Woche?
c) Wenn zum Zeitpunkt t = 0 der Aktienkurs 250 EUR betrug, in welchem Intervall liegt dann der
Aktienkurs mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % nach einer Woche?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit übersteigt der Kurs 270 EUR?
39
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Kapitel 3: Random Walk-Theorie
Die Normalverteilungsannahme der logarithmischen Renditen eines Aktienkurses
bedeutet, dass der Aktienkurs log-normalverteilt ist.
Man kann mit Mitteln der partiellen Integration zeigen, dass dann gilt:
E ( St ) = S 0e
und
2
⎛
⎜ μ +σ
⎜
2
⎝
⎞
⎟t
⎟
⎠
⎛
σ2
2 ⎜⎜ μ +
2
2 ⎝
0
Var ( St ) = S e
⎞
⎟t
⎟
⎠
(e
σ 2t
)
−1
40
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Kapitel 3: Random Walk-Theorie
Simulation eines Aktienkurses im Black-Scholes-Modell:
1. Schritt:
Generiere mit einem Zufallszahlengenerator standardnormalverteilte
Zufallszahlen ε.
z.B.
- Erzeugung von [0,1]-gleichverteilter Zufallszahlen z1, z2.
- anschließend Konvertierung in
standardnormalverteilte Zufallsvariablen ε1, ε2 mittels
ε 1 = − 2 ln( z1 ) ⋅ sin (2π ⋅ z 2 )
ε 2 = − 2 ln( z1 ) ⋅ cos(2π ⋅ z 2 )
2. Schritt:
Für t1 = 0 und t2 = 1 setze
ε=
Rt2 − μ ⋅ t 2
σ ⋅ t2
⇒ St 2 = St1 e
3. Schritt:
⎛ St2
⇒ Rt2 = ln⎜
⎜ St
⎝ 1
(Box-Müller Methode)
⎞
⎟ = μ ⋅ t2 + σ ⋅ t2 ⋅ ε
⎟
⎠
μ ⋅t 2 +σ ⋅ t 2 ⋅ε
Wiederhole 1. Schritt und 2. Schritt für t2 = 2 und t1 = 1
usw.
41
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 3: Random Walk-Theorie
Simulation eines Aktienkurses im Black-Scholes Modell:
gleichverteilte gleichverteilte
normalverteilte
normalverteilte simulierter
simulierter
tatsächlicher
tgl. Volatilität Datum
Zufallszahlen
Zufallszahlen
Zufallszahl
Zufallszahl
Aktienkurs 1 Aktienkurs 2 Aktienkurs
-0,002
0,0218
16.09.2008
0,61
0,00
0,01
0,99
54,11
55,29
51,74
17.09.2008
0,32
0,33
1,33
-0,72
55,59
54,32
50,31
18.09.2008
0,59
0,77
-1,02
0,11
54,26
54,34
50,28
Letzter Kurswert
54,21
19.09.2008
0,01
0,46
0,80
-2,89
55,11
50,92
57,50
22.09.2008
0,95
0,42
0,16
-0,29
55,19
50,50
55,56
23.09.2008
0,24
0,42
0,81
-1,47
56,06
48,81
53,83
24.09.2008
0,18
0,58
-0,84
-1,64
54,94
47,00
55,50
25.09.2008
0,44
0,79
-1,25
0,30
53,35
47,21
56,00
26.09.2008
0,48
0,44
0,45
-1,13
53,77
45,97
54,90
29.09.2008
0,25
0,90
-0,98
1,35
52,52
47,24
50,65
30.09.2008
0,84
0,01
0,03
0,59
52,45
47,76
49,53
01.10.2008
0,68
0,88
-0,62
0,62
51,65
48,31
49,69
02.10.2008
0,07
0,70
-2,19
-0,79
49,14
47,39
49,69
03.10.2008
0,15
0,59
-1,06
-1,62
47,92
45,66
53,01
06.10.2008
0,59
0,14
0,78
0,66
48,65
46,22
47,85
07.10.2008
0,89
0,25
0,49
0,00
49,07
46,13
43,58
08.10.2008
0,16
0,10
1,13
1,56
50,20
47,64
38,94
09.10.2008
0,48
0,00
0,02
1,21
50,11
48,81
37,21
10.10.2008
0,65
0,84
-0,77
0,51
49,18
49,26
31,23
13.10.2008
0,10
0,12
1,47
1,55
50,68
50,85
35,00
14.10.2008
0,43
0,23
1,29
0,18
52,02
50,95
38,75
15.10.2008
0,83
0,70
-0,58
-0,20
51,27
50,63
33,92
16.10.2008
0,05
0,34
2,08
-1,25
53,54
49,17
31,87
17.10.2008
0,67
0,22
0,89
0,15
54,48
49,23
32,61
18.10.2008
0,95
0,17
0,27
0,14
54,70
49,29
19.10.2008
0,97
0,58
-0,11
-0,20
54,46
48,98
20.10.2008
0,46
0,43
0,53
-1,14
54,98
47,68
21.10.2008
0,72
0,29
0,79
-0,20
55,82
47,38
22.10.2008
0,09
0,60
-1,30
-1,74
54,16
45,53
23.10.2008
0,86
0,19
0,51
0,19
54,66
45,63
24.10.2008
0,28
0,26
1,59
-0,10
56,48
45,44
25.10.2008
0,26
0,36
1,27
-1,03
57,95
44,34
26.10.2008
0,76
0,81
-0,70
0,27
56,96
44,51
27.10.2008
0,14
0,22
1,95
0,34
59,32
44,75
28.10.2008
0,93
0,01
0,02
0,39
59,23
45,04
29.10.2008
0,38
0,93
-0,57
1,26
58,38
46,20
tgl. Drift
42
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Kapitel 3: Random Walk-Theorie
Simulation eines Aktienkurses im Black-Scholes Modell:
80
echt Kurs
70
60
50
40
30
20
16.09.08 07.10.08 28.10.08 18.11.08 09.12.08 30.12.08 20.01.09
43
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Kapitel 3: Random Walk-Theorie
Simulation eines Aktienkurses im Binomialmodell über einen Zeitraum [0,T]:
1. Schritt:
Das Zeitintervall [0,T] wird in n Teilintervalle der Länge T/n eingeteilt.
Der Aktienkurs ändert sich also nur zu den Zeitpunkten T/n, 2T/n, …,
2. Schritt:
In jedem Teilintervall steigt der Aktienkurs unabhängig von den
anderen Teilintervallen entweder um den Faktor
u=e
T
n
μ ⋅ +σ ⋅
T
n
oder er fällt um den Faktor
d =e
3. Schritt:
T
n
μ ⋅ −σ ⋅
T
n
Die Aufwärtsbewegung trete mit der Wahrscheinlichkeit p=1/2 ein, die
Abwärtsbewegung trete ebenfalls mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 1/2
ein.
uuS
uS
S
udS
Baum für 2-Perioden-Binomialmodell
dS
ddS
44
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 3: Random Walk-Theorie
Simulation eines Aktienkurses im Binomialmodell:
Aufgabe 18
Für die Aktie der Deustschen Bank sei die Drift μ = −0,002 und die Volatilität σ = 0,0218
bezogen auf einen Tag (historische berechnete Werte über den Zeitraum 14.09.2007 bis
15.09.2008).
Simulieren Sie die Entwicklung des Aktienkurses für den Zeitraum 16.09.2008 bis 18.09.2008 im
Binomialmodell.
Kurs am
15.09.08
16.09.08
17.09.08
18.09.08 Wahrscheinlichkeit
57,5276323
0,125
56,3997876
55,2940547
54,21
55,0733203
0,375
52,7237171
0,375
50,4743554
0,125
53,9935931
52,9350343
51,6900545
45
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Kapitel 4: Das Binomial Modell
Rückblick: Einfaches Marktmodell (Ein-Perioden Modell)
Aktie
Option
uS
Cu
S
C
dS
Cd
Wir setzen zur Vereinfachung 1 = A(0) = Geld für die risikolose Anlage und
A(1) = (1+i), wobei i der jeweils gültige Zinssatz ist.
Um ein das duplizierende Portfolio aus Aktie und Geldanlage bzw. –aufnahme zu
erhalten muss gelten:
C −C
x ⋅ uS + y ⋅ (1 + i ) = Cu
⇒
x ⋅ dS + y ⋅ (1 + i ) = Cd
x=
y=
u
d
(u − d )S
uCd − dCu
(u − d )(1 + i )
d.h. das duplizierende Portfolio muss
Cu − Cd Aktien und uCd − dCu Geld enthalten.
(u − d )S
(u − d )(1 + i )
Der Preis der Option zum Anfangszeitpunkt ist dann:
C=
[(1 + i ) − d ]Cu + [u − (1 + i )]Cd
(u − d )(1 + i )
46
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Kapitel 4: Das Binomial Modell
Übertragung auf das n-Perioden Binomialmodell
¾ Der Baum eines n-Perioden Binomialmodells entsteht durch „Aneinandersetzen“
der Bäume von Ein-Perioden Binomialmodellen.
¾ Simulation des Aktienkurses im Binomialmodell
¾ In jedem Ein-Perioden-Modell kann der Optionspreis am Anfang der Periode
berechnet werden.
¾ Optionspreise zum Ausübungszeitpunkt T können im n-Perioden Binomialmodell
ebenfalls leicht berechnet werden.
¾ Man erhält den Optionspreis zum Zeitpunkt t = 0 durch „Rückwärts arbeiten“ im
Binomialbaum
47
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 4: Das Binomial Modell
Aufgabe 19
Die logarithmische Rendite der Aktie X habe eine Jahresdrift von μ = 0,155 . Die jährliche
Volatilität betrage σ = 40% . Der Aktienkurs der Aktie X notiere an der Frankfurter Börse bei
78 Euro. Der risikofreie Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann sei
3,35 % p.a.
Eine Call-Option auf diese Aktie mit Strike 85 Euro und einem Verfallstermin in 5 Monaten
kostet an der Börse EUREX 6,57 EUR.
Überprüfen Sie diesen Preis mit Hilfe eines 5-Perioden Binomialmodells.
48
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 4: Das Binomial Modell
Lösung Aufgabe 19
1. Schritt:
Umrechnung Jahresdrift auf Monatsdrift
1
μ jährlich = 0,155 ⇒
μ monatlich = 0,155 ⋅
12
Umrechnung von Jahresvolatilität in Monatsvolatilität
1
σ jährlich = 0,4 ⇒
σ monatlich = 0,4 ⋅
12
Umrechnung von Jahreszins auf Monatszins
(1 + imonatlich )12 = (1 + i jährlich ) ⇒ 1 + imonatlich = 12 1,0335
2. Schritt:
Berechnung des Faktors u für Aufwärts- und d für Abwärtsbewegung
u=e
3. Schritt:
0 ,155 0 , 4
+
12
12
= 1,14 ; d = e
0 ,155 0 , 4
−
12
12
= 0,9
Aufstellen eines 5-Perioden Binomialmodells für die Aktie X
49
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 4: Das Binomial Modell
Lösung Aufgabe 19
3. Schritt:
Aufstellen eines 5-Perioden Binomialmodells für die Aktie X
150,18
131,74
115,56
101,37
88,92
78
118,57
104
91,23
80,03
70,2
93,6
82,11
63,18
63,18
64,82
64,82
56,86
58,34
51,18
46,06
50
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 4: Das Binomial Modell
Lösung Aufgabe 19
4. Schritt:
Berechnung der Optionpreise an den Kontenpunkten
[(1 + i ) − d ]⋅ 65,18 + [u − (1 + i )]⋅ 33,57 = 46,97
(u − d )(1 + i )
101,37
19,13
78
6,28
80,03
5,30
max(ST − K ;0 ) = 118,57 − 85
93,6
8,60
max(ST − K ;0 ) = 93,6 − 85
82,11
3,67
63,18
1,57
63,18
0,67
[(1 + i ) − d ]⋅11,19 + [u − (1 + i )]⋅ 2,64 = 6,28
(u − d )(1 + i )
118,57
33,57
104
19,24
91,23
10,31
70,2
2,64
max(ST − K ;0 ) = 150,15 − 85
131,74
46,97
115,56
31,03
88,92
11,19
150,18
65,18
64,82
0,00
max(ST − K ;0) = 0
64,82
0,00
56,86
0,00
58,34
0,00
max(ST − K ;0 ) = 0
51,18
0,00
46,06
0,00
max(ST − K ;0 ) = 0
51
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 4: Das Binomial Modell
Aufgabe 20
Wir nehmen an, dass die logarithmische Rendite der Deutschen Telekom Aktie eine Jahresdrift von
μ = 0 hat. Die jährliche Volatilität beträgt σ = 41,18% . Der Aktienkurs der Deutschen Telekom
notiert derzeit an der Börse XETRA 11,69 Euro. Der risikofreie Zinssatz zu dem Geld
aufgenommen oder angelegt werden kann ist 3,906 % p.a (EURIBOR).
Eine Put-Option auf diese Aktie mit Strike 13 Euro und einem Verfallstermin in 6 Wochen kostet
an der Börse EUREX 1,80 EUR.
Überprüfen Sie diesen Preis mit Hilfe eines 3-Perioden Binomialmodells.
Wieviel würden Sie für eine Call-Option mit gleichem Strike und gleicher Lauf
Zeit verlangen?
Lösung Aufgabe 20
1. Schritt:
Umrechnung von Jahresvolatilität in 2-Wochen-Volatilität
2
σ jährlich = 0,4118 ⇒ σ 2− wöchentlich = 0,4118 ⋅
52
Umrechnung von Jahreszins auf 2-Wochenzins
(1 + i2− wöchentlich )26 = (1 + i jährlich ) ⇒ 1 + i2− wöchentlich = 26 1,0391
2. Schritt:
Berechnung des Faktors u für Aufwärts- und d für Abwärtsbewegung
u=e
0 , 4118⋅
2
52
= 1,084 ;
d =e
− 0 , 4118⋅
2
52
= 0,9224
52
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Kapitel 4: Das Binomial Modell
Lösung Aufgabe 20
3. Schritt:
Aufstellen eines 3-Perioden Binomialmodells für die Telekomaktie
14,89
13,74
12,67
11,69
12,67
11,69
10,78
10,78
9,95
9,17
53
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 4: Das Binomial Modell
Lösung Aufgabe 20
4. Schritt:
Berechnung des Optionspreises der Put-Option an den Knotenpunkten
[(1 + i ) − d ]⋅ 0,00 + [u − (1 + i )]⋅ 0,33 = 0,03
(u − d )(1 + i )
max(K − ST ;0 ) = 0
12,67
0,33
max (K − ST ;0 ) = 13 − 12,67
10,78
2,22
max (K − ST ;0 ) = 13 − 10,78
9,17
3,83
max (K − ST ;0 ) = 13 − 9,17
13,74
0,17
12,67
0,67
11,69
1,44
14,89
0,00
11,69
1,29
10,78
2,18
9,95
3,03
54
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 4: Das Binomial Modell
Lösung Aufgabe 20
Für eine Call-Option gilt:
14,89
1,89
max (ST − K ;0 ) = 14,89 − 13
12,67
0,00
max(ST − K ;0 ) = 0
10,78
0,00
max(ST − K ;0 ) = 0
9,17
0,00
max(ST − K ;0 ) = 0
13,74
0,93
12,67
0,45
11,69
0,22
11,69
0,00
10,78
0,00
9,95
0,00
55
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 4: Das Binomial Modell
Amerikanische Optionen im n-Perioden Binomialmodell
¾
Simulation des Aktienkurses im Binomialmodell
¾
Berechnung des Optionspreis am Laufzeitende, wie bei Europäischen Optionen
¾
Berechnung des Optionspreises an den restlichen Knotenpunkten, als den
größeren der folgenden Werte:
-
¾
Wert, der sich über das Binomialmodell für eine europäische Option ergibt
die Auszahlung bei einer vorzeitigen Ausübung
Man erhält den Optionspreis zum Zeitpunkt t = 0 durch „Rückwärts arbeiten“ im
Binomialbaum
Amerikanische Optionen sind immer mindestens soviel wert, wie die entsprechenden
Europäischen Optionen.
56
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 4: Das Binomial Modell
Aufgabe 22
Wir nehmen an, dass die logarithmische Rendite der Deutschen Telekom Aktie eine Jahresdrift von
μ = 0 hat. Die jährliche Volatilität beträgt σ = 41,18% . Der Aktienkurs der Deutschen Telekom
notiert derzeit an der Börse XETRA 11,69 Euro. Der risikofreie Zinssatz zu dem Geld
aufgenommen oder angelegt werden kann ist 3,906 % p.a (EURIBOR).
a) Berechnen Sie den Wert einer amerikanische Call-Option auf diese Aktie mit Strike 13
Euro und einem Verfallstermin in 6 Wochen mittels eines 3-Perioden Binomialmodells.
b) Berechnen Sie den Wert einer amerikanischen Put-Option auf diese Aktie mit Strike 13 Euro
und einem Verfallstermin in 6 Wochen mittels eines 3-Perioden Binomialmodells.
57
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 4: Das Binomial Modell
Optionen mit einer kontinuierlichen Dividendenzahlung im
n-Perioden Binomialmodell
Wir nehmen der Einfachheit halber an, die Aktie zahle pro Zeitintervall eine
Dividende in Höhe von q (in %).
¾
Simulation des Aktienkurses im Binomialmodell, mit
u=e
T
n
μ ⋅ +σ ⋅
T
n
(1 + q )
und
d =e
T
n
μ ⋅ −σ ⋅
T
n
(1 + q )
¾
Berechnung des Optionspreises am Laufzeitende
¾
Berechnung des Optionspreises an den Knotenpunkten
¾
Man erhält den Optionspreis zum Zeitpunkt t = 0 durch „Rückwärts
arbeiten“ im Binomialbaum
58
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 5: Eigenschaften von Aktienoptionen
Es gibt insgesamt 6 Faktoren, die den Wert einer Aktienoption beeinflussen:
¾
¾
¾
¾
¾
¾
Der derzeitige Aktienkurs der zugrundeliegenden Aktie,
der Strike-Preis der Option,
die Laufzeit der Option,
die Volatilität der zugrundeliegenden Aktie,
der risikofreie Zinssatz zu dem Geld angelegt oder aufgenommen werden
kann,
Dividenden, die während der Laufzeit der Option erwartet werden.
In diesem Abschnitt sollen die Auswirkungen auf den Optionspreis untersucht
werden, wenn sich einer dieser Faktoren ändert.
59
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 5: Eigenschaften von Aktienoptionen
1.
Auswirkungen des derzeitigen Aktienkurs der zugrundeliegenden Aktie auf
den Optionspreis:
¾
¾
2.
Mit steigendem Aktienkurs steigt auch der Wert einer Call-Optionen
Mit steigendem Aktienkurs fällt der Wert einer Put-Option
Auswirkungen des Strike-Preises auf den Optionspreis:
¾
¾
3.
Mit steigendem Strike-Preis fällt der Wert einer Call-Optionen
Mit steigendem Strike-Preis steigt der Wert einer Put-Option
Auswirkungen der Laufzeit der Option auf den Optionspreis:
¾
¾
Mit zunehmender Laufzeit steigt der Wert einer amerikanischen Call-Optionen
Mit zunehmender Laufzeit steigt der Wert einer amerikanischen Put-Option
Bei europäischen Optionen ist hier keine Aussage möglich
60
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 5: Eigenschaften von Aktienoptionen
4.
Auswirkungen des Volatilität der zugrundeliegenden Aktie auf den
Optionspreis:
¾
¾
5.
Mit steigender Volatilität steigt auch der Wert einer Call-Optionen
Mit steigender Volatilität steigt auch der Wert einer Put-Option
Auswirkungen des risikolosen Zinssatzes auf den Optionspreis:
¾
¾
6.
Mit steigendem Zinssatz steigt der Wert einer Call-Optionen
Mit steigendem Zinssatz fällt der Wert einer Put-Option
Auswirkungen von Dividendenzahlungen auf den Optionspreis:
Der Wert einer Aktie wird nach einer Dividendenzahlung geringer aus diesem Grund gilt:
¾
¾
Mit zunehmenden Dividenden fällt der Wert einer Call-Optionen
Mit zunehmenden Dividenden steigt der Wert einer Put-Option
61
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 5: Eigenschaften von Aktienoptionen
Sei Cta der Wert einer amerikanischen Call-Option und Cte der Wert einer europäischen CallOption zum Zeitpunkt t.
Weiterhin sei Pt a der Wert einer amerikanischen Put-Option und Pt e der Wert einer europäischen
Put-Option zum Zeitpunkt t.
Außerdem ist St der Wert der Aktie zum Zeitpunkt t, K der Strike-Preis und T die Laufzeit der
jeweiligen Option
Schranken für amerikanische Optionspreise:
Dann gilt immer
1.
Cta ≥ Cte und Pt a ≥ Pt e
2.
Cte ≤ Cta ≤ St und Pt a ≥ K
3.
max(0, St − K ) ≤ Cta und max(0, K − St ) ≤ Pt a
62
Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring
Kapitel 5: Eigenschaften von Aktienoptionen
Schranken für europäische Optionspreise:
Sei i > 0 der risikolose Zinssatz, dann gilt für Aktien ohne Dividendenzahlung:
1.
⎞
⎞
⎛
⎛
1
1
e
⎟
⎟⎟ ≤ Pt e
⎜
und
max⎜⎜ 0; S t −
max
0
;
K
≤
C
K
S
−
t
t
T −t
T −t
⎟
⎜
(1 + i )
⎠
⎠
⎝
⎝ (1 + i )
2.
Cte ≤ St und Pt e ≤
1
K
(1 + i )T −t
Put-Call-Parität für europäische Optionen auf dividendenlose Aktien
Man kann vom Wert einer europäischen Call-Option auf eine dividendenlose Aktie auf den
Wert der entsprechenden europäischen Put-Option schließen.
Es gilt immer:
Cte − Pt e = S t −
1
⋅K
T −t
(1 + i )
Herleitung erfolgt wieder über das No-Arbitrage-Prinzip
63
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Kapitel 5: Eigenschaften von Aktienoptionen
Put-Call-Parität für amerikanische Optionen auf dividendenlose Aktien
Für amerikanische Optionen kann man lediglich obere und untere Schranken für die Differenz
zwischen Call- und Put-Preis angeben:
Es gilt immer:
1
St − K ≤ C − Pt ≤ St −
⋅K
T −t
(1 + i )
a
t
a
Herleitung erfolgt wieder über das No-Arbitrage-Prinzip
Aufgabe 27
Eine amerikanische Call-Option auf eine dividendenlose Aktie mit Strike-Preis 20 USD und
Laufzeit 5 Monate ist derzeit 1,5 USD wert.
Angenommen der derzeitige Aktienkurs liegt bei 19 USD und der risikolose Zinssatz
betrage 10 %.
Geben Sie eine obere und eine untere Schranke für eine Put-Option auf die gleiche Aktie, mit
gleicher Laufzeit und gleichem Strike, wie die Call-Option an.
64
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Kapitel 6: Die Formel von Black und Scholes
Im Gegensatz zum vorhergehenden Abschnitt, indem das Zeitintervall [0,T] in n Teilintervalle
der Länge T/n eingeteilt wurde und der Aktienkurs nur zu den Zeitpunkten T/n, 2T/n, …, T
simuliert wurde, gehen wir jetzt davon aus, dass der Aktienkurs ein stetiger Prozess ist.
Mann kann zeigen, dass der Preis aus dem Binomialmodell gegen die sogenannte
„Black-Scholes-Formel“ konvergiert.
T
n
μ ⋅ +σ ⋅
T
n
T
n
μ ⋅ −σ ⋅
T
n
Es liege ein n-Perioden Binomialmodell mit u n = e
und d n = e
vor, wobei
μ die Jahresdrift und σ die Jahresvolatilität der jeweiligen Aktie beschreibt. Der risikolose
Zinssatz wird mit i bezeichnet.
Bezeichnet man mit C0,n den aus dem Binomialmodell bestimmten Preis einer europäischen
Call-Option mit Strike-Preis K und Laufzeit T auf eine dividendenlose Aktie, die zum Zeitpunkt
t=0 den Kurs S hat, dann gilt:
lim C0,n = C0BS = SΦ (d1 ) −
n →∞
wobei
⎛ S (1 + i )T ⎞ σ 2
⎟+
ln⎜⎜
T
⎟
K ⎠ 2
d1 = ⎝
σ T
und
1
KΦ (d 2 )
T
(1 + i )
d1 − d 2 = σ T ist und Φ, die Verteilungsfunktion für
eine standardnormalverteilte Zufallsvariable bezeichnet.
65
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Kapitel 6: Die Formel von Black und Scholes
Der Ausdruck
C0BS = SΦ (d1 ) −
1
KΦ (d 2 )
T
(1 + i )
heißt Black-Scholes Formel für den Preis einer europäischen Call-Option auf eine
dividendenlose Aktie.
Bemerkungen:
Den Preis für die Black-Scholes Gleichung erhält man auch, wenn man als Modell für die
Aktienkursentwicklung das Black-Scholes-Modell zugrunde legt (siehe Kapitel 3) und nach
dem No-Arbitrage-Prinzip vorgeht.
-
In der Black-Scholes-Formel taucht der Drift-Parameter μ nicht auf. Sein Verschwinden
erklärt sich ähnlich wie das Verschwinden der Wahrscheinlichkeit für die Aufwärtsbewegung
oder Abwärtsbewegung im Binomialmodell.
-
Weil es nie lohnend ist eine amerikanische Call-Option vorzeitig auszuüben, ist
Preis für eine amerikanische Call-Option
C0BS auch der
66
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Kapitel 6: Die Formel von Black und Scholes
Myron Scholes und Fisher Black
- 1973 veröffentlichten sie "The Pricing of Options
and Corporate Liabilities"
- 1995 Death of Fisher Black
Robert Merton
- weitere Beiträge zur Bewertung von Optionen
- 1997 Verleihung des Nobelpreises für
Wirtschaftswissenschaften an Myron Scholes
und Robert Merton
67
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Kapitel 6: Die Formel von Black und Scholes
Vorraussetzungen zum Beweis der Black-Scholes Formel:
¾
Der Aktienkurs bzw. die Rendite des Aktienkurses entwickelt sich gemäß dem Black-Scholes
Modell.
¾
Der Leerverkauf („Short-Selling“) von Aktien ist immer möglich
¾
Es gibt keine Transaktionskosten
¾
Die Aktien zahlen keine Dividenden während der Laufzeit der Option
¾
Es gibt keine Arbitrage Möglichkeiten
¾
Der Handel von Aktien ist stetig möglich (d.h. jeder Bruchteil einer Aktie ist handelbar)
¾
Der risikofreie Zinssatz, zu dem Geld angelegt oder aufgenommen werden kann ist konstant
über die gesamte Laufzeit der Option
Aufgabe 28 (vgl. Aufgabe 19)
Die jährliche Volatilität der Aktie X betrage σ = 40% . Der Aktienkurs der Aktie X notiere
an der Frankfurter Börse bei 78 Euro. Der risikofreie Zinssatz zu dem Geld aufgenommen
oder angelegt werden kann sei 3,35 % p.a.
Eine Call-Option auf diese Aktie mit Strike 85 Euro und einem Verfallstermin in 5
Monaten kostet an der Börse EUREX 6,57 EUR.
Überprüfen Sie diesen Preis mit Hilfe des Black-Scholes Modells.
68
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Kapitel 6: Die Formel von Black und Scholes
Über die Put-Call-Parität erhält man die Black-Scholes Formel für den Preis einer
europäischen Put-Option als:
P0BS = − SΦ(− d1 ) +
1
KΦ(− d 2 )
T
(1 + i )
Aufgabe 31
Eine europäische Put-Option auf die BMW-Aktie hat Restlaufzeit von einem Jahr und einen
Ausübungspreis von 40 EUR. Der jährliche Marktzins betrage 6%, der heutige Aktienkurs 38 EUR.
Außerdem finden wir für die BMW-Aktie eine geschätzte Volatilität von 25%.
Wieviel ist die Put-Option wert?
Aufgabe 33
Um welchen Betrag ändert sich der Wert, der in Aufgabe 31 erwähnten Put-Option auf die BMWAktie, wenn der Aktienkurs der BMW Aktie sich um einen EUR erhöht?
Für die Lösung von Aufgabe 33 benötigen wir die sogenannten „Griechen“ (Greeks) des
Optionspreises
69
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Kapitel 6: Die Formel von Black und Scholes
6.1. Sensitivitäten des Optionspreises nach Black und Scholes (Griechen)
Unter den Sensitivitäten des Optionspreises versteht man die partiellen Ableitungen des Optionspreises nach den Inputvariablen S (Aktienkurs), σ (Volatilität)
und i (risikolose Marktzins).
Bildet man die Ableitungen aus der Formel für Black und Scholes so erhält man:
Name
Delta Δ
Vega υ
Rho ρ
Partielle Ableitung Formel für europ.
bzgl.
Call-Option
Aktienkurs S
Φ(d1 )
Volatilität σ
S ⋅ T ⋅ N (d1 )
Risikoloser
K
⋅
Φ (d 2 )
T
T −1
Zinssatz i
(1 + i )
Formel für eurpo.
Put-Option
Φ(d1 ) − 1
S ⋅ T ⋅ N (d1 )
K
−T ⋅
Φ (− d 2 )
T −1
(1 + i )
wobei N(x) die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung im Punkte x bezeichnet.
70
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Kapitel 6: Die Formel von Black und Scholes
6.1. Sensitivitäten des Optionspreises nach Black und Scholes (Griechen)
a) Delta einer Option: Tangentensteigung des Optionspreises im Punkt S0, d.h.
ändert sich der Aktienkurs S0 um einen „kleinen“ Wert dS, so
ändert sich der Optionswert um den Betrag dC = Φ(d1) = ∆
Stellt sich ein Anleger also das folgende Portfolio zusammen:
1 Option auf die Aktie X - ∆ Aktien X
dann ändert sich der Wert Π des Portfolios bei einer kleinen Änderung des Aktienkurses
näherungsweise um den Wert
∂Π ∂C0 ∂
(ΔS0 ) = Δ − Δ = 0
=
−
∂S
∂S ∂S
solange also die Aktienkursänderung gering ist, ist das genannte Portfolio „risikolos“.
71
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Kapitel 6: Die Formel von Black und Scholes
Aufgabe 32
Angenommen Sie sind der Verkäufer von 100 Call-Optionen auf die Aktie der
Deutschen Bank mit einem Ausübungspreis von K = 90 EUR und einer Restlaufzeit
von 9 Monaten. Der aktuelle Aktienkurs notiere bei 91,05 EUR und die
Jahresvolatilität der Aktie betrage 29%. Der risikofreie Zinssatz betrage 3 % p.a.
und wir nehmen an, dass keine Dividenden gezahlt werden.
Wieviele Aktien müssen Sie kaufen, damit ihre Gesamtposition gegenüber kleinen
Aktienkursveränderungen risikoneutral wird?
72
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Kapitel 6: Die Formel von Black und Scholes
6.1. Sensitivitäten des Optionspreises nach Black und Scholes (Griechen)
a)
Delta einer Option:
- Für eine Call Option gilt immer: 0 < Δ <1
- Für eine Put-Option gilt immer: -1< Δ <0
- Für Call-Optionen gilt: Für S0 sehr groß, (also S0 → ∞ ), ist Δ → 1.
- Für Put-Optionen gilt : Für S0 sehr groß, (also S0 → ∞ ), ist Δ → 0.
73
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Kapitel 6: Die Formel von Black und Scholes
6.2. Sensitivitäten des Optionspreises nach Black und Scholes (Griechen)
b)
Delta eines Portfolios: Das Delta eines Portfolios, bestehend aus n
verschiedenen Optionen oder Aktienpositionen auf eine
bestimmte Aktie berechnet sich als,
n
∂Π
= ∑ ωi Δ i
∂S i =1
wobei Π den Gesamtwert des Portfolios darstellt, ωi die
Anzahl der unterschiedlichen Optionstypen und Δi die
Deltas der unterschiedlichen Optionstypen.
Aufgabe 37
Angenommen ein Aktienhändler einer Bank managed ein Portfolio, das aus den folgenden Positionen
besteht:
•
100.000 gekaufte Call-Optionen auf eine Aktie X mit einem Strike-Preis von 55 EUR und einer
Laufzeit von 3 Monaten. Das Delta dieser Optionen liege bei 0,533.
•
200.000 verkaufte Call-Optionen auf Aktie X mit einem Strike-Preis von 56 EUR und einer
Laufzeit von 5 Monaten. Das Delta dieser Optionen liege bei 0,468.
•
50.000 verkaufte Put-Optionen auf Aktie X mit einem Strike-Preis von 56 EUR und einer
Laufzeit von 2 Monaten. Das Delta dieser Optionen liege bei -0,508.
Wieviel Aktien X muss der Händler kaufen um sein Portfolio Delta-neutral zu stellen?
74
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Kapitel 6: Die Formel von Black und Scholes
6.2. Sensitivitäten des Optionspreises nach Black und Scholes (Griechen)
c) Dynamische Delta-Hedging Strategie:
Weil sich auch das Delta einer Option ändert, wenn sich der zugrundeliegende
Aktienkurs ändert, müssen für die Erhaltung eines Delta-neutralen Portfolios
ständig Aktien zu- oder verkauft werden.
Aufgabe 38
Ein Händler einer Bank hat für 300 000 EUR 100 000 Call-Optionen auf eine dividendenlose Aktie X
verkauft. Der Strike-Preis dieser Optionen liege bei 50 EUR, der derzeitige Aktienkurs der Aktie X
betrage 49 EUR. Der risikolose Zinssatz, zudem Geld angelegt oder aufgenommen werden kann,
betrage 5% p.a.
Die Volatilität der Aktie X sei 20% pro Jahr und die Laufzeit der Option betrage 20 Wochen
(= 0,3846 Jahre).
a)
Wie hoch ist der Black-Scholes Preis aller Call-Optionen?
b)
Um wie viel hat die Bank die Call-Optionen über dem theoretischen Black-Scholes Preis
verkauft?
c)
Wieviele Aktien muss der Händler kaufen, um sein Portfolio Delta-neutral zu gestalten?
75
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Kapitel 6: Die Formel von Black und Scholes
6.2. Sensitivitäten des Optionspreises nach Black und Scholes (Griechen)
c) Dynamische Delta-Hedging Strategie:
Zu Aufgabe 38
Ein Händler einer Bank hat für 300 000 EUR 100 000 Call-Optionen auf eine dividendenlose Aktie X
verkauft. Der Strike-Preis dieser Optionen liege bei 50 EUR, der derzeitige Aktienkurs der Aktie X
betrage 49 EUR. Der risikolose Zinssatz, zudem Geld angelegt oder aufgenommen werden kann,
betrage 5% p.a.
Die Volatilität der Aktie X sei 20% pro Jahr und die Laufzeit der Option betrage 20 Wochen
(= 0,3846 Jahre).
d)
Angenommen der Aktienkurs sinkt innerhalb einer Woche auf 48,12 EUR, wie viele Aktien
muss der Händler kaufen oder verkaufen, um das Gesamtportfolio wieder Delta-neutral zu
haben?
e)
Was kostet ihn insgesamt der Zu- bzw. Verkauf der Aktien?
f)
Simulieren Sie den Aktienkurs mit einer Drift von 13 % in Zeitschritten von einer Woche und
berechnen Sie für jede neue Woche die Kosten des Delta-Hedges um Delta-Neutralität
herzustellen.
76
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Kapitel 6: Die Formel von Black und Scholes
6.2. Sensitivitäten des Optionspreises nach Black und Scholes (Griechen)
c) Dynamische Delta-Hedging Strategie:
Zu Aufgabe 38
Woche Aktienkurs Delta zusätzlich zu kaufende Aktien Kosten für zusätzlichen Aktienkauf Kumulative Kosten inkl. Zinsen
0
49,00 0,52
52.011,01
2.548.539,29
2.548.539,29
1
48,12 0,46
-6.355,08
-305.806,29
2.245.125,34
2
47,37 0,40
-5.790,69
-274.305,11
1.972.927,77
3
50,25 0,59
19.628,96
986.355,03
2.961.134,81
4
51,75 0,69
9.683,02
501.096,47
3.465.010,93
5
53,12 0,77
8.107,00
430.643,77
3.898.907,36
6
53,00 0,77
-250,41
-13.271,78
3.889.295,53
7
51,87 0,71
-6.522,93
-338.344,33
3.554.602,14
8
51,38 0,67
-3.196,68
-164.245,51
3.393.693,38
9
53,00 0,79
11.257,40
596.642,09
3.993.521,18
10
49,88 0,55
-23.659,71
-1.180.146,38
2.817.123,56
11
48,50 0,41
-13.734,40
-666.118,47
2.153.649,56
12
49,88 0,54
12.975,07
647.196,66
2.802.867,88
13
50,37 0,59
4.813,40
242.450,82
3.047.949,79
14
52,13 0,77
17.792,06
927.499,99
3.978.310,93
15
51,88 0,76
-897,70
-46.572,54
3.935.472,88
16
52,87 0,86
10.607,46
560.816,17
4.499.983,33
17
54,87 0,98
11.349,51
622.747,43
5.126.954,96
18
54,62 0,99
1.167,41
63.763,74
5.195.531,43
19
55,87 1,00
1.012,76
56.582,93
5.256.991,48
20
57,25 1,00
0,00
0,00
5.261.926,28
77
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Kapitel 7: Strategien mit Optionen
Call- bzw. Put-Optionen spiegeln die Erwartung wider, dass der Kurs des Basiswertes
steigt bzw. fällt. Mit Kombinationen aus Put- und Call-Optionen können auch andere
Komplexe Kurserwartungen modelliert werden.
7.1 Long Straddle
Unter einem Straddle versteht man den gleichzeitigen Kauf einer europäischen Put-Option und einer
europäischen Call-Option jeweils mit Laufzeit T und Strike-Preis K.
Die beiden Optionen bilden ein Portfolio mit dem Wert Πt=Ct+Pt.
Der Wert des Portfolios am Verfallstag beträgt:
⎧ ST − K ; ST > K
Π T = max(K − ST ,0 ) + max(ST − K ;0 ) = ⎨
⎩ K − ST ; ST ≤ K
Der Kauf eines Straddles lohnt also, wenn sich der Kurs des Basiswerts signifikant von K
unterscheidet, etwa wenn der Kurs deutlich steigt oder fällt.
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Kapitel 7: Strategien mit Optionen
7.2 Long Strangle
Unter einem Strangle versteht man den gleichzeitigen Kauf einer europäischen Call-Option mit
Laufzeit T und Ausübungspreis K1 und einer europäischen Put-Option mit Laufzeit T und
Ausübungspreis K2 >K1.
Die beiden Optionen bilden ein Portfolio mit dem Wert Πt=Ct+Pt.
Der Wert des Portfolios am Verfallstag beträgt:
ST ≥ K 2
⎧ ST − K 2 ;
⎪
Π T = max(K1 − ST ,0 ) + max(ST − K 2 ;0 ) = ⎨ 0;
K 2 > S T > K1
⎪K − S ;
ST ≤ K 2
⎩ 1 T
Der Käufer eines Strangles erwartet sehr große Kursschwankungen. Ein Strangle ist auf jeden Fall
preiswerter als ein Straddle, da die Gewinnchancen kleiner sind.
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Kapitel 7: Strategien mit Optionen
7.2 Long Butterfly Spread
Unter einem Butterfly Spread versteht man den gleichzeitigen Kauf einer europäischen Call-Option C1
mit Ausübungspreis K1 und einer europäischen Put-Option P1 mit Ausübungspreis K2 sowie dem
Verkauf einer europäischen Call-Option C2 und einer europäischen Put-Option P2 beide mit
Ausübungspreis K. Alle vier Optionen haben eine Laufzeit T.
Kürzer formuliert besteht ein Portfolio Π, das einen Long Butterfly Spread nachbildet aus
long Call K1, long Put K2, short Call K, short Put K
Der Wert des Portfolios am Verfallstag beträgt:
Π T = max(K 2 − ST ,0 ) + max(ST − K1 ;0 ) − max(ST − K ;0 ) − max(K − ST ;0 )
Der Käufer eines long Butterfly Spreads erwartet stagnierende Kurse um den Wert K bzw. nur geringe
Kursschwankungen.
80
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