(WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Stetige oder monotone Funktionen

1
Vorlesung
Mathematik für Ingenieure
(WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
Kapitel 7: Integralrechnung einer Veränderlichen
Volker Kaibel
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg
(Version vom 16. April 2012)
2
Stetige oder monotone Funktionen
Satz 7.1
Ist f : [a, b] → R stetig oder monoton, so existiert
der Grenzwert
Zb
a
f (t)dt := lim
q→∞
q
X
j=1
f (ξj )∆t ∈ R
für jede Wahl von
ξj ∈ Ij = [a + (j − 1) · ∆t, a + j · ∆t] mit ∆t =
Er heißt das (bestimmte) Integral von f über
[a, b].
b−a
q .
3
Illustration
4
Integral und Fläche
Bemerkung 7.2
Ist f : [a, b] → R stetig mit f (x) ≥ 0 für alle
Rb
x ∈ [a, b], so ist a f (x)dx der Flächeninhalt der
vom Graphen von f , der x-Achse und den durch
x = a bzw. x = b definierten Geraden
eingeschlossenen Fläche.
5
Illustration
6
Stückweise stetig/monoton
7
Stückweise Stetigkeit/Monotonie
Definition 7.3
Eine Funktion f : [a, b] → R (mit a < b) heißt
stückweise stetig bzw. stückweise monoton,
wenn es eine endliche Unterteilung
a = z0 < z1 < · · · < zm = b
von [a, b] gibt, so dass f : ] zi−1 , zi [ → R für alle
i ∈ {1, . . . , m} die Einschränkung einer stetigen
bzw. monotonen Funktion fi : [zi−1 , zi ] → R ist.
8
Integral
In diesem Fall heißt f integrierbar auf [a, b] und
wir definieren die folgenden (bestimmten)
Integrale von f :
Rb
a
Ra
b
Ra
a
f (x)dx :=
Rz1
f1 (x)dx +
z0
z1
Rb
f (x)dx := − f (x)dx
a
f (x)dx := 0
Rz2
f2 (x)dx + · · · +
Rzm
zm−1
fm (x)dx
9
Rechenregeln für Integrale . . .
Die folgenden Regeln gelten jeweils, falls die
auftretenden Funktionen integrierbar sind:
Rb
Rb
Rb
I
(f (x) + g (x))dx = f (x)dx + g (x)dx
a
a
I
I
Für λ ∈ R :
Rc
a
f (x)dx =
Rb
a
Rb
λf (x)dx = λ f (x)dx
a
Rb
a
f (x)dx +
a
Rc
f (x)dx
b
10
. . . Rechenregeln für Integrale
I
Falls f (x) ≤ g (x) für alle x ∈ [a, b]:
Zb
a
I
f (x)dx ≤
Zb
g (x)dx
a
b
Z
Zb
f (x)dx ≤ |f (x)|dx
a
a
11
Schranken für Integrale
Satz 7.4
Sei f : [a, b] → R integrierbar und sei
m ≤ f (x) ≤ M für alle x ∈ [a, b]. Dann gilt
m · (b − a) ≤
Zb
a
f (x)dx ≤ M · (b − a) .
12
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Satz 7.5
Ist f : [a, b] → R (a < b) stetig, so gibt es ein
ξ ∈ ] a, b [ mit
1
f (ξ) =
b−a
Zb
a
f (x)dx
1
=
a−b
Za
b
f (x)dx .
13
Stammfunktionen
Definition 7.6
Ist f : I → R (mit einem Intervall I ) irgendeine
Funktion und F : I → R differenzierbar mit
F 0 (x) = f (x) für alle x ∈ I ,
so ist F eine Stammfunktion von f .
Für stetige Funktionen f : I → R (I Intervall) ist für
jedes a ∈ I die Funktion F : I → R mit
Zx
F (x) = f (t)dt
a
eine Stammfunktion von f .
14
Addition von Konstanten
Bemerkung 7.7
Sei f : [a, b] → R stetig.
(1) Ist F : [a, b] → R eine Stammfunktion von f ,
so ist für jedes c ∈ R auch
F + c : [a, b] → R ,
x 7→ F (x) + c
eine Stammfunktion von f .
(2) Sind F , G : [a, b] → R zwei Stammfunktionen
von f , so ist G = F + c für eine Konstante
c ∈ R.
15
Hauptsatz der Differenzial- und
Integralrechnung
Satz 7.8
Seien f : I → R (mit einem Intervall I ) stetig und
a ∈ I.
(1) Die Funktion F : I → R mit
F (x) =
Zx
f (t)dt
a
für alle x ∈ I
ist eine Stammfunktion von f .
16
HS der Differenzial- und Integralrechnung
Satz 7.8
(2) Für jede Stammfunktion G : I → R von f gilt
für die Konstante c = G (a):
G (x) =
Zx
f (t)dt + c
a
für alle x ∈ I
(3) Insbesondere ist für b ∈ I :
Zb
a
f (t)dt = G (b) − G (a) =: G |ba
17
Notation für unbestimmte Integrale
I
Falls G Stammfunktion von f ist:
Z
f (x)dx = G (x) + const
I
”+ const” erinnert daran, dass
Stammfunktionen nur bis auf additive
Konstanten eindeutig sind.
18
Drehmoment
19
Substitutionsregel I
Für
f :I →R ,
stetig und
x 7→ f (x)
x : J → I , t 7→ x(t)
differenzierbar mit stetiger Ableitung x 0 : J → I gilt
für alle α, β ∈ J:
x(β)
Z
Zβ
f (x)dx = f (x(t)) · x 0 (t)dt
α
x(α)
20
Substitutionsregel II
Falls zusätzlich x : J → I umkehrbar ist mit
Umkehrabbildung
t : x(J) → J
,
x 7→ t(x)
und a, b ∈ x(J):
Zb
a
Zt(b)
f (x)dx =
f (x(t)) · x 0 (t)dt
t(a)
f (x) =
√
21
r2 − x2
22
Kreisfläche
Bemerkung 7.9
Die Fläche einer Kreisscheibe vom Radius r ist
πr 2 .
23
Substitution für unbestimmte Integrale
I
I
Angenommen, x : J → I ist injektiv und
differenzierbar mit stetiger Ableitung x 0 : J → I
und Umkehrabbildung t : x(J) → J
Falls
Z
f (x(t))x 0 (t)dt = G (t) + const
ist, so ist
Z
f (x)dx = G (t(x)) + const
(auf x(J))
24
Partielle Integration
I
Für u, v : I → R differenzierbar (mit stetigen
Ableitungen u 0 , v 0 : I → R) und a, b ∈ I gilt:
Zb
a
I
b Zb
0
u (x)v (x)dx = (uv ) − u(x)v 0 (x)dx
a
a
Und für unbestimmte Integrale:
Z
u 0 (x)v (x)dx = u(x)v (x)
Z
− u(x)v 0 (x)dx + const
25
Uneigentliche Integrale I
Definition 7.10
Sei f : [a, ∞ [→ R über jedem Intervall [a, b]
integrierbar. Wenn
Rb
lim f (x)dx ∈ R
b→∞ a
existiert, so heißt dieser Grenzwert das
uneigentliche Integral
Z∞
f (x)dx
a
von f über [a, ∞ [ .
26
Uneigentliche Integrale II
Bemerkung 7.11
Analog definiert man für f :] − ∞, b] → R
Zb
Zb
f (x)dx := lim
f (x)dx
a→−∞
−∞
a
(falls der Grenzwert in R existiert) und für
f :R→R
Z∞
Z0
Z∞
f (x)dx :=
f (x)dx + f (x)dx
−∞
−∞
0
(falls beide uneigentliche Integrale existieren).
27
f (x) =
1
x 2 +1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-4
-2
2
4
28
f (x) =
1
x
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-4
-2
0
2
4
29
1
x2
f (x) = x1 , g (x) =
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
30
Uneigentliche Integrale III
Definition 7.12
Sei f : ] a, b ] → R über jedem Intervall [c, b] mit
c ∈ ] a, b ] integrierbar. Wenn
Rb
lim f (x)dx ∈ R
c&a c
existiert, so heißt dieser Grenzwert das
uneigentliche Integral
Zb
a
von f über ] a, b ].
f (x)dx
31
Uneigentliche Integrale IV
Bemerkung 7.13
Analog definiert man für f : [ a, b [ → R
Zb
f (x)dx := lim
c%b
a
Zc
f (x)dx
a
(wenn der Grenzwert in R existiert.)
32
Integration R → C
Definition 7.14
Für f : [a, b] → C und u, v : [a, b] → R mit
u(t) = Re (f (t)) und v (t) = Im (f (t))
für alle t ∈ [a, b] definieren wir (falls u und v
integrierbar sind)
Zb
a
f (t)dt :=
Zb
a
u(t)dt + i
Zb
a
v (t)dt.
33
Differenziation R → C
Definition 7.15
Für f : [a, b] → C und u, v : [a, b] → R mit
u(t) = Re (f (t)) und v (t) = Im (f (t))
für alle t ∈ [a, b] definieren wir (falls u und v
differenzierbar sind) die Ableitung f 0 : [a, b] → C
von f durch
f 0 (t) := u 0 (t) + i · v 0 (t)
für alle t.
34
Regeln
Bemerkung 7.16
Die Integrations- und Differenziationsregeln (außer
denen mit Ungleichheitszeichen) einschließlich des
Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung
übertragen sich auf Integrale von Funktionen
R → C.
35
Periodische Funktionen
Definition 7.17
Eine Funktion f : R → R oder f : R → C heißt
T -periodisch (mit T > 0), wenn für alle t ∈ R
f (t + T ) = f (t)
gilt. (T muss nicht minimal sein.)
36
Rechteckspannung
2
1
-5
5
-1
-2
37
Sägezahnspannung
1.0
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1.0
38
Trigonometrische Polynome
Definition 7.18
Für T > 0, ω = 2π
T , a0 , a1 , . . . , an ∈ R und
b0 , b1 , . . . , bn ∈ R heißt die durch
n
X
(ak cos(kωt) + bk sin(kωt))
k=0
definierte Funktion ein trigonometrisches
Polynom n-ten Grades (n-ter Ordnung).
39
cos(ωt) + 12 sin(kωt) mit ω =
2π
5,
k=8
2
1
-10
-5
5
10
-1
-2
40
Orthogonalitätsrelationen
Satz 7.19
Für alle k, l ∈ N, T > 0, ω = 2π
T gelten:

ZT
 2 , falls
2
1 , falls
cos(kωt) cos(lωt)dt =

T
0 , falls
0
ZT
2
1 , falls
sin(kωt) sin(lωt)dt =
0 , sonst
T
0
ZT
2
cos(kωt) sin(lωt)dt = 0
T
0
k=l =0
k=l >0
k 6= l
k =l >0
41
Fourier-Polynome
Definition 7.20
Sei f : R → R (oder f : R → C) T -periodisch mit
T = 2π
ω und ω > 0. Für k ∈ N definieren wir die
Fourier-Koeffizienten
RT
2
ak := T f (t) cos(kωt)dt
bk :=
2
T
0
RT
f (t) sin(kωt)dt
0
von f . Sie bilden das n-te Fourier-Polynom
n
X
a
0
φfn (t) =
+
(ak cos(kωt) + bk sin(kωt))
2
k=1
von f .
42
Gerade / ungerade Funktionen
Definition 7.21
Eine Funktion f : R → R heißt gerade, wenn
f (−x) = f (x)
für alle x ∈ R gilt; sie heißt ungerade, falls
f (−x) = −f (x)
für alle x ∈ R gilt.
43
Fourier-Koeffizienten (un)gerader
Funktionen
Bemerkung 7.22
Ist f T -periodisch mit T = 2π
ω , so
Fourier-Koeffizienten
 T

 4 R2
f (t) cos(kωt)dt ,
T
ak =
0

0
,
 T

 4 R2
f (t) sin(kωt)dt ,
T
bk =
0

0
,
gilt für seine
falls f gerade
falls f ungerade
falls f ungerade
falls f gerade
44
Rechteckspannung: 3. Fourier-Polynom
2
1
-5
5
-1
-2
45
Rechteckspannung: 5. Fourier-Polynom
2
1
-5
5
-1
-2
46
Rechteckspannung: 7. Fourier-Polynom
2
1
-5
5
-1
-2
47
Rechteckspannung: 9. Fourier-Polynom
2
1
-5
5
-1
-2
48
Rechteckspannung: 15. Fourier-Polynom
2
1
-5
5
-1
-2
49
Konvergenz der Approximation
Satz 7.23
Ist f : R → R stückweise monoton und
T -periodisch, so gilt für die n-ten Fourier-Polynome
φfn von f :
lim
n→∞
ZT
0
(f (t) − φfn (t))2 dt = 0
50
Sägezahnspannung: 3. Fourier-Polynom
1.0
0.5
-2
-1
1
-0.5
-1.0
2
51
Sägezahnspannung: 4. Fourier-Polynom
1.0
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1.0
52
Sägezahnspannung: 8. Fourier-Polynom
1.0
0.5
-2
-1
1
-0.5
-1.0
2
53
Sägezahnspannung: 15. Fourier-Polynom
1.0
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1.0
54
Komplexe Fourier-Approximation
I
I
Sei f : R → C (mit stückweise monotonen
Real- und Imaginärteil-Funktionen)
T -periodisch mit T = 2π
ω (ω > 0).
Für alle k ∈ Z definieren wir die komplexen
Fourier-Koeffizienten
ZT
1
ck :=
f (t) · e −ikωt dt
T
0
I
Die n-te Fourier-Approximation von f ist dann
n
X
f (t) ≈
ck e ikωt
k=−n
55
Komplexe Fourier-Koeffizienten
reellwertiger Funktionen
Für f : R → R gilt für die reellen
Fourier-Koeffizienten ak , bk ∈ R und die komplexen
Fourier-Koeffizienten ck ∈ C:
I c−k = c k
I
a0 = c0 = c0 , b0 = 0
I
Für k ≥ 1: ak = ck + ck = 2 Re (ck )
I
Für k ≥ 1: bk = i(ck − ck ) = −2 Im (ck )
56
Fourier-Reihen
Definition 7.24
Für eine T -periodische Funktion f : R → R mit
T = 2π
ω und Fourier-Koeffizienten ak , bk ∈ R
(k ∈ N) heißt die durch
∞
a0 X
+
(ak cos(kωt) + bk sin(kωt))
2
k=1
definierte Funktion die Fourier-Reihe von f .
57
Konvergenz von Fourier-Reihen
Satz 7.25
Für eine stückweise monotone T -periodische
Funktion f : R → R mit T = 2π
ω existieren für alle
t ∈ R der linksseitige Grenzwert f (t−) und der
rechtsseitige Grenzwert f (t+) von f an der Stelle t
(falls f stetig in t ist: f (t−) = f (t+)). Für die
Fourier-Reihe von f gilt:
∞
a0 X
f (t−) + f (t+)
+ (ak cos(kωt)+bk sin(kωt)) =
2
2
k=1
Insbesondere stimmt also die Fourier-Reihe von f
mit f in allen Stetigkeitsstellen von f überein.
58
Eine Sägezahnkurve
2
1
-4
-2
2
-1
-2
4
59
Fourier-Polynom für n = 3
2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
60
Fourier-Polynom für n = 5
2
1
-4
-2
2
-1
-2
4
61
Fourier-Polynom für n = 7
2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
62
Fourier-Polynom für n = 9
2
1
-4
-2
2
-1
-2
4
63
Fourier-Polynom für n = 15
2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
64
Parsevalsche Gleichung
Satz 7.26
Für eine stückweise monotone T -periodische
Funktion f : R → R mit Fourier-Koeffizienten
ak , bk ∈ R (k ∈ N) gilt:
2
T
Z
0
T
∞
2
X
a
0
2
(f (t)) dt =
+
(ak2 + bk2 )
2
k=1
65
Differenzieren und Integrieren von
Fourier-Reihen
Bemerkung 7.27
Man kann konvergente Fourier-Reihen zwar
gliedweise integrieren, man darf sie aber im
allgemeinen nicht gliedweise differenzieren.
66
Approximation von Kurven durch
Polygonzüge
67
Konstantes Feld, gleichförmige geradlinige
Bewegung
68
Kurvenintegral (eines Vektorfelds)
Definition 7.28
Das Kurvenintegral eines (stetigen) Vektorfeldes
F : Rn ⊇ G → Rn über einer (stetig
differenzierbaren) Kurve c : [a, b] → G ist
Z
c
Fds :=
Zb
a
F (c(t)) · c 0 (t)dt
69
Kurvenintegrale sind i.A. wegabhängig
Bemerkung 7.29
In allgemeinen Vektorfeldern hängt das
Kurvenintegral nicht nur vom Anfangs- und
Endpunkt der Kurve ab, sondern auch vom
Wegverlauf.
70
Umparametrisierung
Satz 7.30
(i) Durch Umparametrisieren (ohne Vertauschung
von Anfangs- und Endpunkt) des Weges (z. B.
Geschwindigkeitsänderung) ändert sich das
Kurvenintegral nicht.
(ii) Bei Vertauschung von Anfangs- und Endpunkt
multipliziert sich das Kurvenintegral mit (−1).