Statistik und Datenanalyse

Emmerich Kneringer
"The central limit theorem"
Der Zentrale Grenzwertsatz
Bsp: Vielfachstreuung
SS 2004 - 704031
Einzelstreuverteilung
home page:
physik.uibk.ac.at/statistik
Gesamtstreuwinkelverteilung
9. Vorlesung
17. Mai 2004
Nachtrag zur letzten Vorlesung
z
Fit einer Fläche an 2-d Daten
¾
z.B. 2-d Gaussverteilung
ƒ
z
Info zur Stabilität des Levitron
¾
link für Interessierte
ƒ
z
http://physik.uibk.ac.at/hephy/maturanten/levitron/
Abhängigkeit von Fit-Parametern (in Origin)?
¾
2
geht mit χ2 Methode, aber nicht in Origin!
siehe die nächsten 2 Folien
Definition
Definitionder
derAbhängigkeit
Abhängigkeit
eines
Parameters
eines Parametersvon
vonallen
allen
anderen
(in
Origin):
anderen (in Origin):
1−
1
Cii (C −1 ) ii
Abhängigkeit der Fit-Parameter
z
Für Fits mit 2 Parametern gilt:
¾
Abhängigkeit = (Korrelationskoeffizient)2
 cov( x, y ) 
1
2

= 1−
=r =
−1
 σσ 
Cii (C ) ii
x y


2
r ... Korrelationskoeffizient
C ... Kovarianzmatrix
z
Es gilt: (X,Y) unabhängig → cov(X,Y) = 0
¾
aber nicht umgekehrt!
ƒ
3
Bsp. Geraden-Fit mit Daten symmetrisch um y-Achse
Durch
DurchKoordinatentrafos
Koordinatentrafoskann
kann
man
'unabhängige
Variablen'
man 'unabhängige Variablen'
finden,
finden,deren
derenInterpretation
Interpretationist
ist
meist
meistaber
abernicht
nichtso
sointuitiv!
intuitiv!
Beispiel: linearer Fit
z
4
y = A + B·x
Kovarianz
Kovarianzaufgrund
aufgrundder
der
Symmetrie
gleich
0!
Symmetrie gleich 0!
Die
DieSumme
Summeeiner
einergrossen
grossenZahl
Zahlvon
von
unabhängigen,
unabhängigen,beliebig
beliebigverteilten
verteilten
Zufallsvariablen
ist
Gauss-verteilt.
Zufallsvariablen ist Gauss-verteilt.
Der Zentrale Grenzwertsatz
z
5
http://physik.uibk.ac.at/statistik/Grenzwertsatz/
aus einer engl.
Vorlesung:
6
http://physik.uibk.ac.at/streuung/vielfach/
Anwendungsbsp. Mehrfachstreuung
7
Anwendungsbsp. Mehrfachstreuung
8
NN==10000
10000Streuvorgänge
Streuvorgänge
Demonstration des Zusammenhangs
σMehrfachstreuung = √N ⋅ σEinzelstreuung
Modell
Gleich-Verteilung
Gauss-Verteilung
Dreieck /\
Dreieck \/
1/x (Pol bei 0)
1/x (Pol bei max)
Einzelstreuung
Mehrfachstreuung Quotient
θ-max
RMSE
Θ-MAX
RMSM
σM/σE
0.025
0.030
0.025
-“-“-“-
0.01443
0.00827
0.01021
0.01768
0.01118
0.01826
5
3
4
7
4
7
1.461
0.818
1.044
1.751
1.096
1.853
101.25
98.91
102.25
99.04
98.03
101.48
alle Winkel in Grad
9
≈ 100
für alle Verteilungen!
Übungsaufgabe:
Übungsaufgabe:
Bsp.
Bsp.22mit
mitOrigin:
Origin:
Qualität
eines
Qualität einesGauss-Fit?
Gauss-Fit?
2 spezielle Beispiele
z
Verteilung ±1: 1-dimensionaler 'Random Walk'
¾
Streuung der Verteilung des Abstandes vom Ursprung nach N
Schritten:
ƒ
z
σ = √N
(Beweis: nächste Folie)
Erzeugung von 'normal Gauss-verteilten Zufallszahlen'
¾
mittels Summation über 12 unabhängige Zufallszahlen X einer
Gleichverteilung in (0,1)
a)
b)
c)
X
X+X
X+X+X
…
¾
Warum 12?
Varianz[X] = 1/12
→ Varianz[Σ12 X] = 1
ƒ
10
1
σ = ∫ (x − 0.5) = ( x − 0.5)
2
0
2
1
3
31
0
= 13 ( 18 + 18 ) = 121
Random Walk in 1-er Dimension
10 Schritte
z
Schritt vorwärts: P(+1) = 0.5
oder rückwärts: P (–1) = 0.5
¾
¾
11
Einzelschritt: σ2 = Σi (xi – 0)2 P(xi) = 0.5 + 0.5 =1
N Schritte: σ2 = N, da Schritte unabhängig
→ Gaussverteilung
Random Walk in 2 Dimensionen
z
Abstand von 0 in x und y Gauss-verteilt
¾
¾
z
12
Gesamtabstand = Wurzel(x2 + y2) ≠ Summe
entspricht Maxwell'scher Geschwindigkeitsverteilung (2-d)
Simulation der Brown'schen Bewegung
nach 10 Kollisionen
nach 100 Kollisionen
nach 1000 Kollisionen