Arbeitsblatt 10 ¨Ubungen zu Mathematik I für das Lehramt an der

4. Januar 2007
Arbeitsblatt 10
Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe
sowie an Sonderschulen
I. Gasser, H. Strade, B. Werner
9.1.07
WiSe 06/07
Präsenzaufgaben:
1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelt man mit 2 Würfeln einen Pasch (2 gleiche Zahlen)?
2. Ein Kind hat 5 Bausteine mit den Farben rot, blau, gelb, weiß und grün. Wieviele verschiedenfarbige ( fünfstöckige“) Türme kann es aus den 5 Steinen bauen?
”
3. Sei |A| = 3 und |B| = 4. Wieviele Abbildungen f : A → B gibt es? Wieviele von ihnen sind
injektiv?
4. Beim Pferdetoto muss man die Reihenfolge der ersten drei Pferde voraussagen. Wie viele
Einlauf-Möglichkeiten gibt es bei 15 Pferden?
5. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
• Es gibt 11 gleichwahrscheinliche Ergebnisse von Augensummen beim Wurf mit zwei
.
Würfeln
• Die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 12 beim Wurf mit 2 Würfeln beträgt
.
1
36
• Es gibt genausoviel 11-elementige wie 2-elementige Teilmengen einer 13-elementigen Menge
.
• Es gibt 63 Möglichkeiten, drei Mal den Buchstaben A in einem Wort der Länge 6 zu
platzieren
.
• Das Symbol (n)k wird für (n)k := n(n − 1) · · · (n − k) verwendet
.
• Das Symbol (n)k wird für (n)k := n(n − 1) · · · (n − k + 1) verwendet
.
• Bei einem 100m-Lauf mit 8 Läuferinnen und 8 unterschiedlichen Zeiten gibt es genauso
viel Zieleingänge wie es Bijektionen einer 8-elementigen Menge gibt
.
• Beim Lotto 6 aus 49 kommt es auf die Reihenfolge der gezogenen Zahlen an
1
.
Abbildung 1: Figur 1 zu Aufgabe 35
Abbildung 2: Figur 2 zu Aufgabe 35
Übungsaufgaben: (Abgabe 16.1.04 in den Übungen)
Aufgabe 35:
Schauen Sie sich die Abbildungen 1 und 2 an.
Figur 1 in Abb. 1 wird von rechts nach links gemäß der Anweisung vRvLvLvRv, wobei v
für vorwärts“, L für links“ und R für rechts“ steht, durchlaufen. Wir nennen diese Be”
”
”
”
fehlssequenz“ b1 :=vRvLvLvRv. Diese Aussage müssen Sie verstehen, bevor Sie die eigentlichen
Aufgaben angehen.
(a) Begründen Sie, warum die Figur 2 in Abb. 2 durch eine Befehlssequenz b2 entsteht, die
sich aus b1 gewinnen lässt, indem jedes Mal dort ein v“ durch b1 ersetzt wird. Schreiben
”
Sie b2 auf!
(b) Zeichnen Sie die nächste Figur (ersetze wieder v“ durch b1 =vRvLvLvRv).
”
(c) Die Ausgangsfigur 1 in Abb. 1 kann man sich dadurch gewonnen denken, dass man aus
einer Strecke der Länge 1 das mittlere Drittel durch ein Quadrat ersetzt. Diese Konstruktion ist ganz analog zur Schneeflockenkurve im Skript.
Nenne die Länge der Kurve nach n Schritten `n und die Kantenlänge der kleinen Quadrate
sn . Offensichtlich ist `1 = 5/3 und s1 = 1/3. Geben Sie Rekursionsformeln und sodann
geschlossene Formeln“ für `n und sn an.
”
(d) (Zusatzaufgabe 3 Punkte) Welche fraktale Dimension hat die Grenzkurve“, d.h. die
”
Kurve, die bei immer weiterer Verfeinerung entsteht? Zur Erinnerung: Gilt für die Gesamtlänge ` und die Kantenlänge s einer Kurve zu jedem Unterteilungsschritt n die Beziehung ` = s1−D , so nennt man D die fraktale Dimension.
2
Aufgabe 36:
Der französische Adlige Chevalier De Mere (≈ 1650), der einen nicht unerheblichen Teil seiner
Zeit mit dem Glücksspiel verbrachte, konnte sich die folgende Beobachtung nicht erklären:
Beim Würfeln mit drei Würfeln kommt die Augensumme 11 häufiger vor als die Augensumme
12.
Er argumentierte so: Es gibt folgende sechs Möglichkeiten, die Augensumme 11 zu erzielen (6
4 1), (6 3 2), (5 5 1), (5 4 2), (5 3 3), (4 4 3), und es gibt ebenfalls sechs Möglichkeiten, die
Augensumme 12 zu erzielen: (6 5 1), (6 4 2), (6 3 3), (5 5 2), (5 4 3), (4 4 4).
Was sagen Sie zu der Argumentation von De Mere? Warum kommt die Augensumme 11 häufiger
vor als die Augensumme 12? Können Sie (auch ohne dass bisher der Begriff Wahrscheinlichkeit
definiert wurde) die Wahrscheinlichkeiten für diese beiden Augensummen berechnen? Hinweis:
Beachten Sie bei Ihrer ausführlichen (!) Argumentation, ob gewisse Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind.
Aufgabe 37:
Sei k ≤ n und b(n, k) durch die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen
Menge M definiert. Hinweis: Sie sollen im Folgenden nicht benutzen, dass b(n, k) = nk ein
Binomialkoeffizient ist, d.h., Sie sollen unabhängig vom Skript nur mit dieser Definition von
b(n, k) argumentieren. Wenn also z.B. nach b(3, 2) gefragt ist, müssen Sie sich überlegen, dass
eine 3-elementige Menge genau drei 2-elemenige Teilmengen besitzt, sodass sich b(3, 2) = 3
ergibt.
(a) Begründen Sie b(n, 0) = 1, b(n, 1) = n.
(b) Begründen Sie b(n, 2) = (n − 1)n/2. Hinweis: Gauß’sche Summenformel, Nummerierung
der Elemente von M = {m1 , ..., mn }. Betrachten Sie zunächst alle 2-elemenigen Teilmengen von M , die m1 enthalten, dann alle 2-elemenigen Teilmengen von M , die nicht m1 ,
aber m2 enthalten, etc.
(c) Begründen Sie b(n, k) = b(n, n − k) und folgern Sie hieraus und aus den Teilen a) und b)
dieser Aufgabe, dass b(n, n) = 1, b(n, n − 1) = n und b(n, n − 2) = (n − 1)n/2.
(d) Sei 1 < k < n. Ergänzen Sie den Beweis von1
b(n, k) = b(n − 1, k − 1) + b(n − 1, k)
(1)
Setze Pk := {A ⊂ M : |A| = k}. Dann gilt also nach Definition von b(n, k), dass
. Nun zeichne man ein Element von M aus. Dieses nenne ich m1 .
|Pk | =
Nun unterscheiden wir diejenigen A ∈ Pk , die
enthalten und diejenigen,
die dies nicht tun.
1
Dies wird sich als Gehalt des Pascal’schen Dreiecks herausstellen.
3
Von der ersten Sorte sind alle Teilmengen A ⊂ M , die sich als A = {m1 } ∪ A0 mit einer
darstellen lassen. Von diesen
-elementigen Teilmenge A0 von
gibt es soviele, wie es
-elementige Teilmengen A0 der
0
elementigen Menge M := M \ {m1 } gibt, also b(n − 1, k − 1) Stück. Von der zweiten Sorte
. Von diesen gibt es
sind alle k-elementigen Teilmengen von
Stück. Insgesamt gibt es also b(n − 1, k − 1) + b(n − 1, k)
-elementige Teilmengen
von M .
Aufgabe 38:
(a) Ein Verein enthält n wählbare Mitgieder. Es soll die/der Vorsitzende, sein/e Stellvertreter/in und der/die Kassenwart/in gewählt werden. Wieviele Möglichkeiten gibt es? Was
ist die Antwort, wenn man nur nach einem dreiköpfigen Vorstand fragt?
(b) Wieviele (nicht notwendig sinnvolle) Worte kann ich durch Umstellung der Buchstaben
aus ROMANTIKERIN bilden?
Hinweis: Überlegen Sie sich zuerst die Antwort, wenn alle 12 Buchtsaben verschieden
wären. Sodann die Antwort, wenn alle bis auf einen (zwei, drei) doppelt vorkommenden
Buchstaben verschieden sind.
Oder auch: Wieviele Möglichkeiten gibt es, nacheinander die drei doppelt vorkommenden
Buchstaben zu platzieren?
4