Klasse ST12a FrSe 14 ungr MND2 Serie 9 Aufgabe 1 Gegeben ist

Klasse ST12a
FrSe 14
MND2
ungr
Serie 9
Aufgabe 1
Gegeben ist die Matrix
(
A=
a
0
b
a
)
a) Bestimmen Sie Exponentialmatrix eA .
b) Bestimmen Sie Exponentialmatrix Φ(t) := etA .
c) Zeigen Sie, dass Φ(t) aus b) eine Lösung von ẋ = Ax, x ∈ R2 ist.
d) Wie lautet die allgemeine Lösung xh (t) der Differentialgleichung aus c)?
Aufgabe 2
Dgl.
ẏ − t · y + 2y = g(t)
{
0
, falls 0 ≤ t ≤ 2
g(t) =
t − 2 , falls 2 ≤ t
AB: y(0) = 1
a) Graphische Darstellung der Anregung g(t)
b) Bestimmen Sie die stetige Lösung y(t) des gegebenen AWPs.
Aufgabe 3
ÿ + 4ẏ + 8y = 8t
a) Schreiben Sie die gegebene Differentialgleichung als System ż = Az + g(t) von Differentialgleichungen
1− ter Ordnung.
b) Lösen Sie das in a) entstandene Differentialgleichungssystem allgemein.
Aufgabe 4
Gegeben ist die Differentialgleichung
y ′′ (x) = y ′ (x) − x2 · y
(1)
y(0) = α
y ′ (0) = β
a) Schreiben Sie (1) als System von Differentialgleichungen erster Ordnung.
b) Da (1) nicht geschlossen gelöst werden kann (obwohl (1) linear ist), ist das gegebene AWP ein gutes
Beispiel für die numerischen Verfahren
• Euler
• verbesserter Polygonzug
• Heun, p = 2
• Trapezmethode
1
serie9_MND2.tex
Aufgabe 5
Gegeben ist die Differentialgleichung des schwach gedämpften Harmonischen Oszillators:
(2)
ÿ + δ · ẏ + y = 0
mit den AB:
y(0) = α
ẏ(0) = β
a) Schreiben Sie (2) um in ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung.
b) Allgemeine Lösung des Systems in a).
c) Spezielle Lösung mit den gegebenen AB.
d) Mit (MATLAB):
• Graphische Darstellung von Ort und Geschwindigkeit je als Funktion der Zeit.
• Geschwindigkeit als Funktion des Orts, d.h. horizontal: Ort und vertikal: Geschwindigkeit.
(sog. Trajektorie in der Phasenebene)
Aufgabe 6 (MATLAB)
Bestimmen Sie mit Matlab das Vektorfeld des Differentialgleichungssystems obiger Aufgabe in der Phasenebene.
Phasenebene; horizontale Achse: Ort, vertikale Achse: Geschwindigkeit.
Stellen Sie in der selben Figur die oben gerechnete Lösung graphisch dar (sog. Phasenporträt).
Aufgabe 7 (MATLAB)
Lösen Sie (2) numerisch mit dem
a) Verfahren von Euler, p = 1 und
b) Verfahren von Heun, p = 2.
Da die exakte Lösung bekannt ist, können Sie die globalen Fehler bestimmen.
Stellen Sie in einer separaten Figur die globalen Fehler der Verfahren halblogarithmisch graphisch dar und
überprüfen Sie die Fehlerordnung.
2
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MND2
Lösung 1
(
a) eA = ea ·
1 b
0 1
Serie 9
)
(
b) Φ(t) = etA = eta ·
Lösungen
1
0
tb
1
)
c) Nachrechnen:
(
Φ̇(t)
=
a·e
ta
(
= eta ·
(
a
=
0
·
1
0
tb
1
)
a
0
(
+e
)
ta
·
0 b
0 0
)
b + tba
a
)
(
)
b
1 tb
ta
·e ·
a
0 1
= A · etA = A · Φ(t)
Φ(t) := Fundamentalmatrix der Lösungen der gegebenen Differentialgleichung
d) allgemeine Lösung: xH (t) = Φ(t) · c, wobei c ∈ R2 .
Bestimmung von c mit gegebenen AB.
Lösung 2
a) Grafik, g(t) stückweise linear
b)
t2
• erster Teil: y(t) = e 2 · e−2t für 0 ≤ t ≤ 2 und
t2
• zweiter Teil: y(t) = (1 + e2 ) · e 2 · e−2t − 1 für 2 ≤ t.
Lösung 3
(
a) z ∈ R mit z1 = y und z2 = ẏ, damit A =
2
0
1
−8 −4
)
(
, also ż = Az + g(t), wobei g(t) =
0
8t
)
(
)
−2t
b) EWP von A: żneu = Dzneu + gneu (t), wobei gneu (t) = T g(t) = j ·
.
2t )
(
(
)
1
1
λ2 −1
1
Dabei wurde verwendet: T =
·
und T −1 = λ2 −λ
1
λ1 λ2
−λ1 1
In Σneu haben wir ein entkoppeltes Dgl-System. Für jede der einzelnen Komponenten wird separat
ein linearer Ansatz für zneupp (t), k = 1, 2 gemacht, nämlich zneupk (t) = a0 + a1 t. Hier werden die
k
Konstanten a0 und a1 u.U. komplex.
)
(
− 14 + j(−1−j)
·t
2
Damit erhalten wir zneup (t) =
·t
− 14 + j(1−j)
2
( 1
)
−2 + t
zallg (t) = zh (t) + zp (t), wobei zp (t) = T zneup (t) =
1
(
)
(
)
1
0
−2t
−2t
zh (t) = 2e (a cos (2t) − b sin (2t)) ·
− 2e (b cos (2t) + a sin (2t)) ·
−2
2
−1
3
serie9_MND2.tex
Ansatz
Oder zp (t) direkt mit dem Ansatz gemäss Papula (hier etwas einfacher):
)
(
a0 + a1 t
zp (t) =
=⇒ żp (t) = Azp (t) + g(t)
b0 + b1 t
Koeffizientenvergleich:
(
) (
a1
0
0
t :
=
b1
−8
1
−4
)(
a0
b0
(
Lösung des zweiten Gleichungssystems:
(
) ( 1 )
a0
−2
=
b0
1
)
(
1
t :
)
a1
b1
(
=
1
0
0
0
)
(
0
1
−8 −4
=
)
)(
a1
b1
)
(
+
0
8
)
einsetzen im ersten Gleichungssystem liefert:
Lösung 4
a)
{
z1
z2
= y
= y′
(
′
)
z1′
z2′
=⇒ z =
(
= f (x, z) =
0
−x2
1
1
)(
z1
z2
)
Die Matrix A = A(x) ist abhängig von x.
(
)
α
(0)
b) Mit z =
erhalten wir
β
• Euler:
(
z
(k+1)
=z
(k)
+h
0
−x2k
• verbesserter Polygonzug
k1
=
k2
=
z (k+1)
=
)
1
1
[
z
(
(k)
(
= I2 + h
1
1
)]
z (k)
)
1
f (xk , z ) =
· z (k)
1
(
) (
0
h
h
(
)2
f xk + , z (k) + · k1 =
2
2
− xk + h2
0
−x2k
(k)
1
1
k = 0, 1, 2, . . .
) [
]
h
· z (k) + · k1
2
z (k) + h · k2
• Heun
(
(k)
)=
0
−x2k
1
1
)
· z (k)
k1
= f (xk , z
k2
= f (xk + h, z + h · k1 ) =
{
}
1
1
(k)
= z +h·
· k1 + · k2
2
2
z (k+1)
0
−x2k
0
2
− (xk + h)
1
1
) [
]
· z (k) + h · k1
)
0
1
· z (k)
−x2k 1
(
0
f (xk + h, z (k+1) ) =
2
− (xk + h)
{
}
1
1
z (k) + h ·
· k1 + · k2
2
2
1
1
) [
]
· z (k+1)
(k)
• Trapez
(
(
k1
=
k2
=
z (k+1)
=
f (xk , z (k) ) =
4
serie9_MND2.tex
aufgelöst nach z (k+1)
z (k+1) =
(
)−1 (
)
h
h
I2 − · A(xk + h)
· I2 + · A(xk ) · z (k)
2
2
c) numerische Tests mit MATLAB: dglsyst_MND2_s9a4.m mit den Funktionen
dgl_s9a4_MND2_2014.m, dgl_s9a4_MND2_2014_trap.m
Lösung 5
(
)
0
1
−1 −δ
(
)
(
)
0
1
α
a) ẋ = Ax, wobei A =
mit der AB x(0) = x0 =
−1 −δ
β
√
2
b) EWP von A: λ1.2 = − 2δ ± ωδ =: α1 ± jβ1 , wobei ωδ = 1 − δ4 , ( schwache Dämpfung: 0 < δ < 2)
(
)
1
(1)
mit v = µ
, cf. Theorie.
λ1
Substitution: x =
x1
x2
)
(
:=
y
ẏ
)
(
=⇒ ẋ = Ax, wobei A =
xh (t) = 2eα1 t {[a1 cos (β1 t) − b1 sin (β1 t)] · u(1) − [a1 sin (β1 t) + b1 cos (β1 t)] · w(1) },
(
)
(
)
1
0
δ
(1)
(1)
wobei α1 = − 2 , β1 = ωδ , u =
und w =
.
α1
β1
( )
c) a1 = α2 und b1 = 2β1 1 · (α1 α − β)
d) Entsprechende Graphik mit MATLAB.
Lösung 6
Entsprechender MATLAB code.
Lösung 7
a) Entsprechender MATLAB code.
b) Entsprechender MATLAB code.
5
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