Lösungen

Inhaltsverzeichnis:
Aufgabenlösungen zu Kapitel 4 .......................................................................................... 3
Lösung zu Aufgabe 28 ................................................................................................ 3
Lösung zu Aufgabe 29 ................................................................................................ 3
Lösung zu Aufgabe 30 ................................................................................................ 3
Lösung zu Aufgabe 31 ................................................................................................ 3
Lösung zu Aufgabe 32 ................................................................................................ 3
Lösung zu Aufgabe 33 ................................................................................................ 3
Lösung zu Aufgabe 34 ................................................................................................ 3
Lösung zu Aufgabe 35 ................................................................................................ 4
Lösung zu Aufgabe 36 ................................................................................................ 4
Lösung zu Aufgabe 37 ................................................................................................ 4
Lösung zu Aufgabe 38 ................................................................................................ 4
Lösung zu Aufgabe 39 ................................................................................................ 4
Lösung zu Aufgabe 40 ................................................................................................ 5
Lösung zu Aufgabe 41 ................................................................................................ 5
Lösung zu Aufgabe 42 ................................................................................................ 5
Lösung zu Aufgabe 43 ................................................................................................ 5
Lösung zu Aufgabe 44 ................................................................................................ 5
Lösung zu Aufgabe 45 ................................................................................................ 6
Lösung zu Aufgabe 46 ................................................................................................ 6
Lösung zu Aufgabe 47 ................................................................................................ 6
Lösung zu Aufgabe 48 ................................................................................................ 7
Lösung zu Aufgabe 49 ................................................................................................ 7
Lösung zu Aufgabe 50 ................................................................................................ 7
Lösung zu Aufgabe 51 ................................................................................................ 7
Lösung zu Aufgabe 52 ................................................................................................ 7
Lösung zu Aufgabe 53 ................................................................................................ 8
Lösung zu Aufgabe 54 ................................................................................................ 8
Lösung zu Aufgabe 55 ................................................................................................ 8
Lösung zu Aufgabe 56 ................................................................................................ 8
Lösung zu Aufgabe 57 ................................................................................................ 8
Lösung zu Aufgabe 58 ................................................................................................ 9
Lösung zu Aufgabe 59 ................................................................................................ 9
Lösung zu Aufgabe 60 .............................................................................................. 10
Lösung zu Aufgabe 61 .............................................................................................. 10
Lösung zu Aufgabe 62 .............................................................................................. 11
Lösung zu Aufgabe 63 .............................................................................................. 11
Lösung zu Aufgabe 64 .............................................................................................. 11
Lösung zu Aufgabe 65 .............................................................................................. 11
Lösung zu Aufgabe 66 .............................................................................................. 12
Lösung zu Aufgabe 67 .............................................................................................. 12
Lösung zu Aufgabe 68 .............................................................................................. 12
Lösung zu Aufgabe 70 .............................................................................................. 12
Lösung zu Aufgabe 71 .............................................................................................. 12
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Lösungen zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4
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Lösung zu Aufgabe 72 .............................................................................................. 13
Lösung zu Aufgabe 73 .............................................................................................. 13
Lösung zu Aufgabe 74 .............................................................................................. 14
Lösung zu Aufgabe 75 .............................................................................................. 14
Lösung zu Aufgabe 76 .............................................................................................. 14
Lösung zu Aufgabe 77 .............................................................................................. 14
Lösung zu Aufgabe 78 .............................................................................................. 15
Lösung zu Aufgabe 79 .............................................................................................. 15
Lösung zu Aufgabe 80 .............................................................................................. 15
Lösung zu Aufgabe 81 .............................................................................................. 15
Lösung zu Aufgabe 82 .............................................................................................. 16
Lösung zu Aufgabe 83 .............................................................................................. 16
Lösung zu Aufgabe 84 .............................................................................................. 16
Lösung zu Aufgabe 86 .............................................................................................. 17
Lösung zu Aufgabe 87 .............................................................................................. 17
Lösung zu Aufgabe 88 .............................................................................................. 17
Lösung zu Aufgabe 89 .............................................................................................. 17
Lösung zu Aufgabe 90 .............................................................................................. 17
Lösung zu Aufgabe 91 .............................................................................................. 17
Lösung zu Aufgabe 92 .............................................................................................. 18
Lösung zu Aufgabe 93 .............................................................................................. 18
Lösung zu Aufgabe 94 .............................................................................................. 18
Lösung zu Aufgabe 95 .............................................................................................. 18
Lösung zu Aufgabe 96 .............................................................................................. 18
Lösung zu Aufgabe 97 .............................................................................................. 18
Lösung zu Aufgabe 98 .............................................................................................. 19
Lösung zu Aufgabe 99 .............................................................................................. 19
Lösung zu Aufgabe 100 ............................................................................................ 19
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Lösungen zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4
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Aufgabenlösungen zu Kapitel 4
Lösung zu Aufgabe 28
ohne Lösung
Lösung zu Aufgabe 29
a) Ω = {1,2,3,4,5,6}
b) Ω = {0,1,2,...,100}
c) jedes ω ∈ Ω besitzt die Gestalt ω = ( x1 , x 2 , x3 ,..., x7 ) mit 7 verschiedenen Zahlen
xi ∈ {1,2,...,49}
Lösung zu Aufgabe 30
a) A = {2,4,6} , B = {2}
b) A = {0} , B = {0,1,2}
c) A = {KK , KZ , ZK }, B = {KZ , ZK }
Lösung zu Aufgabe 31
1111
= 0,27775 = 27,75%
4000
235
b) P( A) =
= 0,05875 = 5,875%
4000
a) P( A) =
Lösung zu Aufgabe 32
a) Permutation ohne Wiederholung. Daher gibt es 10! = 3.628.800Möglichkeiten.
10!
b) Permutation mit Wiederholung:
= 2520 Möglichkeiten
3!⋅2!⋅5!
Lösung zu Aufgabe 33
Es handelt sich um eine geordnete Stichprobe mit Zurücklegen. Deshalb gibt es 313 =
1.594.323 Möglichkeiten.
Lösung zu Aufgabe 34
Bezeichnen wir mit P6 , P7 und P8 die Anzahl der möglichen Passwörter mit sechs,
sieben bzw. acht Zeichen. Nach der Summenregel gibt es dann insgesamt
P = P6 + P7 + P8 mögliche Passwörter.
Es gibt 26 + 10 =36 mögliche Zeichen (Buchstaben oder Ziffern).
Berechnung von P6 : Zeichen können mehrfach vorkommen, daher gibt es für jede der
sechs Stellen XXXXXX des Passworts 36 Möglichkeiten und daher
36 ⋅ 36 ⋅ 36 ⋅ 36 ⋅ 36 ⋅ 36 = 366 verschiedene Passwörter der Länge sechs.
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Berechnung von P7 : Analog folgt, dass es 36 7 Passwörter der Länge sieben gibt.
Berechnung von P8 : Analog folgt, dass es 36 8 Passwörter der Länge acht gibt.
6
7
8
Insgesamt gibt es daher 36 + 36 + 36 = 2.901.650.853.889 mögliche Passwörter.
Lösung zu Aufgabe 35
Es handelt sich um eine geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen. Daher gibt es
20 ⋅ 19 ⋅ 18 = 6840 Möglichkeiten den Wettschein auszufüllen.
Lösung zu Aufgabe 36
Es handelt sich hierbei um eine ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen. Deshalb gibt
5
5!
5⋅ 4
=
= 10 Möglichkeiten.
es   =
2
 3  3!⋅2!
Lösung zu Aufgabe 37
Es handelt sich hierbei um eine ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen.
 250 
 Möglichkeiten aus den Losen 20 zu ziehen.
Insgesamt gibt es 
 20 
 50   200 
Die Möglichkeiten 5 Gewinnlose innerhalb der 20 Lose zu ziehen sind   ⋅ 
 .
 5   15 
 50   200 
  ⋅ 

5   15 

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet sich deshalb als
= 0,18098
 250 


 20 
Lösung zu Aufgabe 38
Ziehen (von zwei Telegraphenleitungen) mit Zurücklegen ohne Beachtung der
Reihenfolge, n = 4, k = 2
 4 + 2 − 1  5  5 ⋅ 4
Anzahl Möglichkeiten: 
= 10
 =   =
 2   2 1⋅ 2
Auflisten der möglichen Verteilungen: die Telegraphenleitungen seien von 1 bis 4
durchnummeriert.
11
22
33
44
(gleiche Leitung)
12
23
34
(benachbarte Leitungen)
13
24
(eine Leitung dazwischen)
14
(max. Abstand)
Lösung zu Aufgabe 39
Weil Umlaute für die zwei Stellen hinter dem Ortskennzeichen nicht in Betracht
kommen, gibt es insgesamt 26 2 ⋅ 10 4 = 6.760.000 Möglichkeiten.
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Lösungen zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4
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Lösung zu Aufgabe 40
Insgesamt gibt es 8!= 40320 Möglichkeiten die Ehrengäste auf die Sitzplätze zu verteilen.
Die Wahrscheinlichkeit genau die Sitzordnung wieder zu treffen beträgt deshalb
1
p=
= 2,48 ⋅ 10 −5
40320
Lösung zu Aufgabe 41
 6 + 2 − 1
 = 21 verschiedene Würfe möglich.
Es sind 
 2 
Lösung zu Aufgabe 42
Sei n=3 die Anzahl der Kugeln und k=2 die Anzahl der Ziehungen.
a) zu 1.: Es gibt n k = 3 2 = 9 Möglichkeiten
n!
3!
zu 2.: Es gibt (n −k
)! = 1! = 6
 n −1 + k   4
 =   = 6 Möglichkeiten.
zu 3.: Es gibt 
 k
  2
 n   3
zu 4.: Es gibt   =   = 3 Möglichkeiten.
 k   2
b) zu 1.: (A,A), (B,B), (C,C), (A,B), (B,A), (B,C), (C,B), (A,C), (C,A).
zu 2.: (A,B), (B,A), (A,C), (C,A), (B,C), (C,B).
zu 3.: (A,A), (A,B), (A,C), (B,C), (C,C), (B,B).
zu 4.: (A,C), (A,B), (B,C).
Lösung zu Aufgabe 43
a) Es handelt sich um eine Auswahl ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge.
100 
 ≈ 1,731 ⋅ 1013 Möglichkeiten
Es gibt 
10


 95 
b) Es gibt   ≈ 1,01049 ⋅ 1013 Möglichkeiten
 10 
 5  95 
c) Es gibt    ≈ 1,2155 ⋅ 1012 Möglichkeiten
 2  8 
 95   95  5   5  95 
d) Es gibt   +    +    ≈ 1,7195 ⋅ 1013 Möglichkeiten
 10   9  1   2  8 
Lösung zu Aufgabe 44
a) Es handelt sich um eine Auswahl mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge.
Daher hat Franz 8 5 = 32768 Möglichkeiten.
b) Es handelt sich um eine Auswahl ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge.
Daher hat Franz (8−8!5 )! = 6720 Möglichkeiten.
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Lösung zu Aufgabe 45
10 
a) Es gibt   = 252 verschiedene Stichproben. Die Reihenfolge der Geräteauswahl
5
spielt bei der Stichprobe keine Rolle. Es handelt sich also um eine Auswahl ohne
Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge.
b) Man kann sich die Entnahme einer solchen Stichprobe gedanklich in zwei
Teilschritten vorstellen:
1. Entnahme von zwei defekten Geräten aus den drei defekten. Dafür gibt es
 3
  =3 Möglichkeiten.
 2
2. Entnahme von drei intakten Geräten aus den sieben in7akten. Dafür gibt es
7
  = 35 Möglichkeiten.
 3
Nach der Produktregel gibt es daher insgesamt 3 ⋅ 35 = 105 Möglichkeiten, eine
Stichprobe mit genau zwei defekten Geräten zu ziehen.
c) Die Anzahl der Stichproben mit mindestens einem defekten Gerät, ist gleich der
Anzahl mit genau einem, genau zwei, oder genau drei defekten Geräten, also
 3  7   3   7   3  7 
  ⋅   +   ⋅   +   ⋅   = 231 .
1  4   2   3   3  2 
Lösung zu Aufgabe 46
Es handelt sich um eine Auswahl mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge.
18 − 1 + 6   23 
 =   = 100947 Möglichkeiten eine Kiste
Daher gibt es 
6

 6
zusammenzustellen.
Lösung zu Aufgabe 47
A = beim ersten Ziehen wird eine Zehn gezogen;
B = beim zweiten Ziehen wird eine Zehn gezogen.
a) A = „beim ersten Ziehen wird keine Zehn gezogen“;
B = „beim zweiten Ziehen wird keine Zehn gezogen“;.
b) P(A) = 18 und P( A ) = 78 .
c) A ∩ B = „sowohl im ersten als auch im zweiten Zug wird eine Zehn gezogen”.
d) A ∪ B = „im ersten oder im zweiten Zug wird eine Zehn gezogen“.
e)
3
f) P( A ∩ B) =P(A) ⋅ P ( B | A) = 81 ⋅ 313 = 248
= 0,0121 .
g) P (B ) = P( B ∩ A) + P( B ∩ A ) = P( A) ⋅ P( B | A) + P( A ) ⋅ P ( B | A ) = 81 ⋅ 313 + 78 ⋅ 314 = 81 .
h) P ( A ∪ B ) = P( A) + P( B ) − P( A ∩ B ) = 18 + 18 − 8⋅331 = 859⋅31 = 0,2379
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Lösung zu Aufgabe 48
A = beim ersten Ziehen wird eine Zehn gezogen;
B = beim zweiten Ziehen wird eine Zehn gezogen.
a) P (B ) = 18 und P ( B ) = 78 .
b) P( A ∩ B) =P(A) ⋅ P( B ) = 81 ⋅ 18 = 641 = 0,0156 .
c) P( A ∪ B) = P( A) + P( B ) − P ( A ∩ B ) = 18 + 18 − 641 =
15
64
= 0,2344
Lösung zu Aufgabe 49
a) Das Ereignis A=gerade Augenzahl tritt ein, wenn 2, 4 oder 6 gewürfelt wird. Da diese
Ereignisse paarweise unvereinbar sind ist
P( A) = P (2) + P(4) + P(6) = 127 = 0,58. Das .heißt, bei sehr vielen Würfen kann man
bei diesem Würfel erwarten, dass in 58% aller Fälle die Augenzahl gerade ist.
b) Das gesuchte Ereignis ist das Gegenereignis zu A=gerade Augenzahl. Die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Augenzahl zu werfen, ist daher (nach Kapitel 4.5.2 e)
der Vorlesung) P( A ) = 1 − P( A) = 0,42 .
Lösung zu Aufgabe 50
a) A=Herz-Karte, B=Kreuz-Karte. Sowohl für A als auch für B sind 8 Fälle günstig,
daher P( A) = 328 , P( B) = 328 . Da nicht gleichzeitig eine Herz- und eine Kreuz-Karte
gezogen werden kann, sind die Ereignisse A und B unvereinbar. Daher ist
1
P( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) = 16
32 = 2 .
b) A=Herz-Karte, B=König; P( A) = 328 , P( B) = 324 . Nun kann aber gleichzeitig eine
Herz-Karte und ein König gezogen werden (der Herz-König!). Die Wahrscheinlichkeit dafür ist P( A ∩ B) = 321 . Daher ist nun
8
4
1 11
.
P( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P( A ∩ B) =
+
−
=
32 32 32 32
Lösung zu Aufgabe 51
R1=“Rote Kugel wird im ersten Zug gezogen“
R2=“Rote Kugel wird im zweiten Zug gezogen“
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln dieselbe Farbe haben ergibt sich aus:
P( R1 ∩ R 2) + P( R1 ∩ R 2) = P( R1) ⋅ P ( R 2 | R1) + P ( R1) ⋅ P( R 2 | R1)
=
17 16 28 27
257
⋅
+
⋅
=
45 44 45 44
495
Lösung zu Aufgabe 52
a) P ( K1 ∩ K 2) = 1% ⋅ 0,3%
b) P( K1 ∩ K 2) = 1 − 1% ⋅ 0,3%.
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Lösung zu Aufgabe 53
Ereignisse:
K1 = Komponente K1 fällt aus,
K2 = Komponente K2 fällt aus,
dann gilt:
a) P( K1 ∪ K 2) = P( K1) + P ( K 2) − P( K1) ⋅ P( K 2) = 1% + 0,3% − 1% ⋅ 0,3% .
b) P ( K1 ∪ K 2) = 1 − P ( K1 ∪ K 2) = 1 − 1% − 0,3% + 1% ⋅ 0,3% .
Lösung zu Aufgabe 54
Man definiere die Ereignisse K i = Komponente K i fällt aus.
Dann gilt P( K 1 ∩ K 2 ∩ K 3 ∩ ... ∩ K n ) = P( K 1 ) ⋅ P( K 2 ) ⋅ ...P( K n ) = (7,2% ) ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System ausfällt. Damit diese Wahrscheinlichkeit
ln (50 ⋅ 10 −6 )
kleiner als 50 ppm wird, muss gelten n >
.
ln (7,2 ⋅ 10 −2 )
n
Lösung zu Aufgabe 55
Man definiere die Ereignisse
A=A fällt aus
B=B fällt aus
C=C fällt aus.
Das System fällt aus bedeutet, dass das Ereignis A ∩ ( B ∪ C ) eintritt.
P ( A ∩ ( B ∪ C )) = P ( A) ⋅ P ( B ∪ C ) und P ( B ∪ C ) = P ( B ) + P (C ) − P ( B ∩ C ) .
Damit
P( A ∩ ( B ∪ C )) = 10 ⋅ 10 −6 ⋅ 10 −2 + 10 −3 − 10 −5 = (0,1 + 0,01 − 0,0001) ⋅ 10 −6 = 0,1099 ppm.
(
)
Lösung zu Aufgabe 56
Die Gewinnchancen verdoppeln sich, wenn der Kandidat wechselt.
1. Strategie: Bei ursprünglicher Wahl bleiben.
Gewinnwahrscheinlichkeit p = 1/3
2. Strategie: Tür wechseln
Kandidat gewinnt, wenn er zu Beginn auf eine Ziege gesetzt hat. Dafür ist aber die
Wahrscheinlichkeit p = 2/3.
Lösung zu Aufgabe 57
Zu b):
Aus der Produktregel wissen wir, dass
P( A ∩ B) = P ( A) ⋅ P( B | A) = P( B) ⋅ P( A | B) gilt. Durch Umformen nach P( B | A)
erhalten wir:
P( B)
P( B | A) =
P( A | B) .
P( A)
Es gilt:
P ( B ) = 40% ,
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Lösungen zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4
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P( A | B ) = 1% ,
P( A) = P ( A ∩ B ) + P( A ∩ B) = P( B ) ⋅ P( A | B ) + P( B ) ⋅ P ( A | B ) = 60% ⋅ 2% + 40% ⋅ 1%
40% ⋅ 1%
1
Damit ist P( B | A) =
= .
60% ⋅ 2% + 40% ⋅ 1% 4
Lösung zu Aufgabe 58
Man definiere die Ereignisse:
TP = Test fällt positiv aus; K = Person ist krank.
a) Dann gilt P(TP ) = P(TP ∩ K ) + P(TP ∩ K ) = 96% ⋅ 0,5% + 2% ⋅ 99,5% = 2,47% .
P( K ∩ TP ) 96% ⋅ 0,5%
b) Gesucht ist P(K|TP). Weil P( K | TP ) =
=
= 19,43% .
P(TP )
2,47%
0 ,4
0 ,3 5
0 ,3
0 ,2 5
0 ,2
0 ,1 5
0 ,1
0 ,0 5
0
0
1
2
3
Lösung zu Aufgabe 59
a)
70.000
40.000
20.000
x in GE
10 %
70 %
20 %
P(X=x)
µ = 0,1 ⋅ 70.000 + 0,7 ⋅ 40.000 + 0,2 ⋅ 20.000 = 39.000 ,
σ 2 = 0,1 ⋅ 70.000 2 + 0,7 ⋅ 40.000 2 + 0,2 ⋅ 20.000 2 − 39.000 2 = 169.000000 ⇒ σ = 13.000 .
b)
105.000
55.000
-45.000
x in GE
10 %
70 %
20 %
P(Y=x)
µ = 0,1 ⋅ 105.000 + 0,7 ⋅ 55.000 − 0,2 ⋅ 45.000 = 40.000
σ 2 = 0,1 ⋅ 105.000 2 + 0,7 ⋅ 55.000 2 + 0,2 ⋅ 45.000 2 − 40.000 2 = 2.025.000.000 ⇒
σ = 45.000
c) Erwartungswert von Alternative A und Alternative B sind ungefähr gleich, bei
Alternative B ist die Streuung um den Mittelwert aber sehr viel größer. Während
der Erwartungswert den im Mittel zu erwartenden Gewinn darstellt, steht die
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Lösungen zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4
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Varianz bzw. die Standardabweichung für das Risiko, das mit dem jeweiligen
Investment eingegangen wird. Je nach Risikoverhalten des Unternehmers ist
Alternative A oder Alternative B vorzuziehen.
Lösung zu Aufgabe 60
a) P(X = k) = 1/6 für k = 1, … ,6
b) (Wahrscheinlichkeits-)Dichte
P
1/
1
2
3
4
5
6
x
c) Verteilungsfunktion
F(x)
1
5/
4/
3/
2/
1/
0
1
2
3
4
5
6
7
x
d) Erwartungswert µ = 3,5
e) Varianz σ2 = 35/12 ≈ 2,9167
35
f) Standardabweichung σ =
≈ 1,7078
12
Lösung zu Aufgabe 61
a) P( X = 5) =
b)
4
36
= 19 .
P(X=2) P(X=3) P(X=4) P(X=5) P(X=6) P(X=7) P(X=8) P(X=9) P(X=10) P(X=11) P(X=12)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
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b) P( X ≤ 4 ) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 6/36=1/6
c) P(X>5)=1-P(X≤5)=1-10/36=26/36=13/18.
Lösung zu Aufgabe 62
b) Dichte
k
P(X = k)
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
c)
d) E(X) = 3/2; Var(X) = 3/4
e) 3/8
f) 1/2
Lösung zu Aufgabe 63
a)
Gewinn: k
−3
−2
0
4
P( X = k )
13
13
16
16
b) E ( X ) = −1 , also nicht fair; Var ( X ) = 6
Lösung zu Aufgabe 64
 4  16 
  ⋅  
2
3
a) P( X = 2) =    
 20 
 
5
 4   16 
  ⋅ 

i   5 − i 

b) Allgemein gilt P( X = i ) =
für i = 0,1,2,3,4 .
 20 
 
5
Damit lautet die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
0
1
2
3
x
0,282
0,469
0,217
0,031
P(X=x)
4
0,0001
Lösung zu Aufgabe 65
Ist X = Anzahl der schwarzen Kugeln, dann ist X ~ H(5; 4; 10). Deshalb ist
 4  6
  ⋅  
2 3
10
P ( X = 2) =     =
.
21
10 
 
5
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Lösungen zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4
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Lösung zu Aufgabe 66
a) Für die Zufallsvariable X = Anzahl Richtige gilt: X ~ H(2; 22; 2)
k
P(X = k)
Unternehmens-Gewinn
0
0,8225
1
1
0,1732
-4
2
0,0043
-22,22
b) Bei 1000 Kunden kann das Unternehmen einen Gewinn von ca. 33,68 Euro erwarten.
Lösung zu Aufgabe 67
Ist X = Anzahl der schwarzen Kugeln, dann ist X ~ B(5; 40%). Deshalb ist
5
P( X = 2) =   ⋅ 0,4 2 ⋅ 0,6 3 = 34,56% .
 2
Lösung zu Aufgabe 68
X = Anzahl der Defektstücke in der Stichprobe.
a) X ~ H(20;35;1000)
 35   965 
  ⋅ 

1   19 

= 36,03%
b) P( X = 1) =
1000 


 20 
19
 20  35  965 
n
c) P( X = 1) =   ⋅
⋅
= 0,02 < 0,05
 = 35,57% . Näherung erlabt, da
N
 1  1000  1000 
Lösung zu Aufgabe 69
X ~ B(4;10%).
a)
k
P(X=k)
0
0,6561
1
0,2916
2
0,0486
3
0,0036
4
0,0001
b) E ( X ) = 4 ⋅ 10% = 0,4
c) VaR( X ) = n ⋅ p ⋅ q = 4 ⋅ 10% ⋅ 90% = 0,36
Lösung zu Aufgabe 70
a) 25,88 % b) 75,90 % c) 75,90 % d) 15,15 % e) 94,34 % f) 98,48 %
Lösung zu Aufgabe 71
X = Anzahl der falschen Ziffern in 5er-Gruppe.
X ~ B(5;9,7%).
Gesucht ist P( X ≥ 3) = P( X = 3) + P ( X = 4) + P ( X = 5) .
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 5
3
2
P( X = 3) =   ⋅ (9,7% ) ⋅ (90,3% ) ≈ 0,007442
3
 
5
4
P( X = 4) =   ⋅ (9,7% ) ⋅ 90,3% ≈ 0,0003997
4
 
5
P( X = 5) = (9,7% ) ≈ 0,00000085873
Damit ist P( X ≥ 3) = 0,00785 .
Lösung zu Aufgabe 72
3
4
 1   5   7
a) P ( X = 3) =   ⋅   ⋅   = 7,8%
 6   6   3
b)
P(X=0) P(X=1) P(X=2) P(X=3) P(X=4) P(X=5) P(X=6) P(X=7)
27,9% 39,1% 23,4% 7,81% 1,56% 0,188% 0,013% 0,0003%
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
0
1
2
3
4
5
6
Lösung zu Aufgabe 73
X = Anzahl der fehlerhaften Einheiten in der Stichprobe.
X ~ H(50;60;2000)
 60  1940 
  ⋅ 

2   48 

a) P( X = 2) =
≈ 25,9%
 2000 


 50 
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7
 50 
2
b) P( X = 2) ≈   ⋅ (0,03) ⋅ (0,97) 48 ≈ 25,5%
2
 
Lösung zu Aufgabe 74
Nach dem Ziehen dürfen nur noch 8 fehlerhafte Dichtungen im Behälter sein, weil
8 10
.
=
40 50
X = Anzahl der fehlerhaften Dichtungen in der Stichprobe.
Gesucht ist P ( X = 2) .
10   40 
  ⋅  
2
8
P( X = 2) =     = 0,336898 .
 50 
 
 10 
Lösung zu Aufgabe 75
X = Anzahl der defekten Batterien unter fünf getesteten Batterien ist hypergeometrisch
verteilt mit n = 5 , M = 2 , N = 25 . Daher ist P( X = 2 ) = 3,33%
Lösung zu Aufgabe 76
X = Anzahl der fehlerhaften Einheiten in der Stichprobe.
X ~ H(80;10;1000). Gesucht ist P( X ≤ 1) .
a)
10   990  10   990 
  ⋅ 
  ⋅

1   79   0   80 

P( X ≤ 1) = P( X = 1) + P( X = 0) =
+
= 0,81264
1000 
1000 




 80 
 80 
 80 
 80 
0
80
b) P( X ≤ 1) ≈   ⋅ (0,01) ⋅ (0,99) 79 +   ⋅ (0,01) (0,99) = 0,80916
1
0
 
 
1
(0,8) e −0,8 + e −0,8 = 0,80879
c) P( X ≤ 1) ≈
1!
d) Nach den Faustformeln ist die Näherung gültig.
Lösung zu Aufgabe 77
31 −3
e = 3 ⋅ e −3 .
1!
6 2 −6
b) Y= Anzahl der Gespräche in 10 Minuten, Y~Po(6), P(Y=2) =
e = 18 ⋅ e −6 .
2!
a) X = Anzahl der Gespräche in 5 Minuten, X~Po(3), P(X=1) =
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Lösung zu Aufgabe 78
a) X = Anzahl der Lackfehler pro Blech, X~Po(0,4),
0,4 2 −0, 4
P(X = 2) =
e
= 0,08 ⋅ e −0, 4 = 0,0536256
2!
b) Y = Anzahl der Lackfehler auf zwei Blechen Y~Po(0,8),
0,8 4 −0,8
P(X = 4) =
e
= 0,00766855
4!
Lösung zu Aufgabe 79
a) X = Anzahl der Webfehler pro 1 m2. X ~ Po(0,8),
0
P(X=0)= ( 00,8!) e −0,8 = e −0,8 .
b) Y = Anzahl der Webfehler pro 5 m2. Y ~ Po(4)
P(Y ≥ 3) = 1 − P (Y ≤ 2) = 1 − P (Y = 0) − P(Y = 1) − P(Y = 2)
= 1 − e −4 (1 + 4 + 8) = 1 − 13 ⋅ e −4
c) F(2) = 0,2381 = P(Y ≤ 2), d.h. die Wahrscheinlichkeit, höchstens zwei Fehler auf
einem 5 m2 großen Gewebestück zu finden.
Lösung zu Aufgabe 80
a) Die Konstante k muss so gewählt werden, dass
∞
10
−∞
0
1 = ∫ f ( x)dx = ∫ kdx = 10 ⋅ k ⇒ k = 0,1 = 101 .
b)
c)
d)
e)
f)
für x ≤ 0,
 0,

F ( x) = 0,1x, für 0 < x < 10,
 1,
für x ≥ 10,

P( X ≤ 3) = F (3) = 0,1 ⋅ 3 = 0,3 .
P ( X ≥ 2) = 1 − F (2) = 1 − 0,1 ⋅ 2 = 0,8.
P(5 < X ≤ 9) = F (9) − F (5) = 0,1 ⋅ 9 − 0,1 ⋅ 5 = 0,4.
E(X ) =
∞
10
−∞
0
∫ xf ( x)dx = ∫ x ⋅ 0,1dx = 0,1 ⋅
10 2
=5
2
∞
10
−∞
0
( )
Var ( X ) = E X 2 − µ 2 =
2
2
2
2
∫ x f ( x)dx − µ = ∫ x ⋅ 0,1dx − µ = 0,1 ⋅
10 3
100
25
− 25 =
− 25 =
3
3
3
Lösung zu Aufgabe 81
a) Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist die Ableitung von FX , also
ke − kx , für x ≥ 0
f ( x) = FX' ( x) = 
für x < 0
 0
b) P( X ≤ 1) = F (1) = 1 − e −1 = 63,2%
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(
) (
)
c) P(1 < X < 2 ) = F (2 ) − F (1) = 1 − e −2 − 1 − e −1 = 23,3%
d) P( X > 2 ) = 1 − P( X ≤ 2 ) = 1 − F (2 ) = e −2 = 13,5%
Lösung zu Aufgabe 82
a1) P( X ≤ 1000) = F (1000) = 1 − e
− 1000
1500
a2) P( X ≥ 1500) = 1 − F (1500) = e
− 1500
1500
= 1− e
− 23
= 0,4866
= e −1 = 0,3679
a3) P(1000 ≤ X ≤ 1500) = F (1500) − F (1000) = 1 − e −1 − 1 + e
b) Skizze siehe rechts
1
c) Gesucht ist nach einem Wert x so
dass:
0,75
F ( x ) = 1 − F ( x ), also
−
−
x
− 23
= 0,2498
x
1 − e 1500 = 1 − 1 + e 1500 . Damit ist
x = 1500 ln 2 = 1039,72h .
0,5
F(x)
0,25
Lösung zu Aufgabe 83
X = Anzahl der defekten Teile in einer
Stichprobe von 8 Teilen,
Y = Anzahl der defekten Teile in einer
Stichprobe von 4 Teilen,
X ~ B(8;0,12), Y ~ B(4;0,12),
Damit ist
8
P( X = 0) = (0,88) ,
0
-1000
0
1000
2000
3000
-0,25
P( X = 1) = 8 ⋅ 0,12 ⋅ (0,88) ,
7
P(Y = 0) = (0,88) .
Mit einer Wahrscheinlichkeit von
P( X = 0) + P(( X = 1) ∩ (Y = 0 )) = P( X = 0) + P ( X = 1) ⋅ P(Y = 0) = 0,5949
4
Lösung zu Aufgabe 84
b) µˆ = 329,675 ; σˆ 2 ≈ 99,8938 c) g (315) ≈ 13,5833
a) + d)
40
30
20
10
0
300
310
320
330
340
350
360
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4000
e) Man kann davon ausgehen, dass eine Normalverteilung vorliegt.
g)
Lösung zu Aufgabe 85
a) N(0; 22) = N(0;4) b) N(1,5; 1)
d) N(1,5; 22) = N(1,5; 4)
c) N(0,1)
Lösung zu Aufgabe 86
a) 0,9332
b) 0,0668
c) 0,2668
Lösung zu Aufgabe 87
a) P( X ≤ 109) = F (109) = Φ
(
109−100
20
b) P ( X > 95) = 1 − F (95) = 1 − Φ
(
d) 0,0668
e) 0
) = Φ( ) = Φ(2,01246) = 0,9778 .
95 −100
20
9
20
) = 1 − Φ ( ) = Φ ( ) = Φ(1,118) = 0,8686 .
−5
20
5
20
Lösung zu Aufgabe 88
a) 0,8389 b) 0,1093 c) 0,0116 d) 0,9884 e) 0,8464 f) 0
Lösung zu Aufgabe 89
a) 0,2072
b) 0,6578
c) 0,1102
Lösung zu Aufgabe 90
a)
P(75 ≤ X ≤ 85) = F (85) − F (75) = Φ ( 85−8 73 ) − Φ( 75−8 73 ) = Φ(1,5) − Φ (0,25) = 0,9332 − 0,5987 = 0,3345
b) P(90 ≤ X ) = 1 − F (90) = 1 − Φ(178 ) = 1 − 0,9834 = 0,0166
c) P(70 ≤ X ) = 1 − F (70) = 1 − Φ ( −83 ) = 1 − 1 + Φ (0,38) = 0,6480
d) P (65 ≤ X ≤ 81) = F (81) − F (65) = Φ (1) − Φ (− 1) = Φ (1) − 1 + Φ (1) = 2 ⋅ 0,8413 − 1 = 0,6826
Lösung zu Aufgabe 91
a) P( µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) = F ( µ + σ ) − F ( µ − σ ) = 2 ⋅ Φ (1) − 1 = 2 ⋅ 0,8413 − 1 = 68,26%
b) b) P( µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ ) = 2 ⋅ Φ (2) − 1 = 2 ⋅ 0,9772 − 1 = 95,44%
c) c) P( µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ ) = 2 ⋅ Φ(3) − 1 = 2 ⋅ 0,9987 − 1 = 99,74%
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Lösung zu Aufgabe 92
X = Füllmenge in ml; X~N(701,25;0,92)
, 25
) = Φ(−01,,925 ) = 1 − Φ(10, 25,9 ) = 1 − Φ(1,39) = 0,0823 .
a) P( X ≤ 700) = F (700) = Φ (700−0701
,9
, 25
) = 1 − Φ(30,,759 ) = 1 − Φ(4,17) = 1 − 1 = 0 .
b) P( X ≥ 705) = 1 − F (705) = 1 − Φ (705−0701
,9
c)
.25
) + Φ(698−0701,9 ,25 )
P( X ≥ 702) + P ( X ≤ 698) = 1 − F (702) + F (698) = 1 − Φ (702−0701
,9
= 1 − Φ (00,,759 ) + Φ ( −03,,925 ) = 2 − 0,7967 − 1 = 0,2033
d) [µ − z0,99 ⋅ σ ; µ + z0,99 ⋅ σ ] = [701,25 − 2,326 ⋅ 0,9;701,25 + ...] = [699,1566;703,3434]
[µ − z
⋅ σ ; µ + z0,995 ⋅ σ ] = [701,25 − 2,576 ⋅ 0,9;701,25 + 2,576 ⋅ 0,9] = [698,9316;703,5684]
e) 699,16 ml
0 , 995
Lösung zu Aufgabe 93
X = Füllmenge einer Packung (in g); X ~ N (1000;10)
a) zweiseitiger 95 % Zufallsstreubereich für X : p = 95 %; α = 1-p = 5 %;
1 − α2 = 97,5 %; z1− α = z 0,975 = 1,960 ;
[
2
α
2
= 2,5 %;
]
⇒ 1000 − 1,960 ⋅ 10 ; 1000 + 1,960 ⋅ 10 = [993,801; 1006,198].
b) einseitiger nach oben beschränkter Zufallsstreubereich für X : z1−α = 1,645 ;
⇒ (− ∞; 1000 + z1−α ⋅ σ ] = (− ∞; 1005,202]
Einseitig nach unten beschränkter Zufallsstreubereich für X :
⇒ [1000 − z1−α ⋅ σ ; ∞ ) = [994,800; ∞ ) .
Lösung zu Aufgabe 94
X = Lesekompetenz von Schülern; X ~ N (550;3600) ; Gesucht ist q0,05 = µ + z0,05 ⋅ σ .
z 0,05 = − z 0,95 = −1,645 ⇒ µ + z 0,05 ⋅ σ = 550 − 1,645 ⋅ 60 = 451,3 .
Die 5 % der Schüler, die am schlechtesten lesen konnten, hatten einen Punktwert von
451,3 Punkte oder weniger.
Lösung zu Aufgabe 95
[999,38; 1000,62]
Lösung zu Aufgabe 96
a) G = Gesamtgewicht:
b) D = Durchschnittsgewicht:
G ~ N(10.000; 100)
D ~ N(500; 0,25)
P(G ≤ 9.990) = 0,1587
P(D ≤ 499) = 0,0228
Lösung zu Aufgabe 97
X 1 = Stoffmenge von Stoff 1 (in g) ; X 2 = Stoffmenge von Stoff 2 (in g)
X 1 ~ N (100; 4) ; X 2 ~ N (75; 1) ⇒ X 1 + X 2 ~ N (175; 5) .
 -5 
P( X 1 + X 2 ≤ 170) = Φ( 170-5175 ) = Φ
 = 1 − Φ
 5
( ) = 1 − Φ(2,24) = 1 − 0,9875 = 0,0125
5
5
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Lösung zu Aufgabe 98
X = Länge (in mm) eines zufällig ausgewählten Drahtstückes; X ~ N (501; 7) .
a) p = 95 % , α = 5 % ; α2 = 2,5 % ; 1 − α2 = 97,5 % ; z1− α = z 0,975 = 1,960 ;
2
⇒ zweiseitiger 95 %- Zufallsstreubereich
µ − z1− α ⋅ σ ; µ + z1− α ⋅ σ = 501 − 1,96 ⋅ 7 ; 501 + 1,96 ⋅ 7 = [495,814; 506,186]
[
2
][
2
b) p = 99 % , α = 1 % ;
α
2
]
= 0,5 % ; 1 − α2 = 99,5 % ; z1− α = z 0,995 = 2,576 ;
2
⇒ zweiseitiger 99 %- Zufallsstreubereich
µ − z1− α ⋅ σ ; µ + z1− α ⋅ σ = 501 − 2,576 ⋅ 7 ; 501 + 2,576 ⋅ 7 = [494,18; 507,82]
[
2
2
][
]
c) einseitiger nach oben beschränkter 99 %-Zufallsstreubereich: 1 − α = 99 % ;
z 0,99 = 2,326 ; ⇒ (− ∞; µ + z1−α ⋅ σ ] = − ∞; 501 + 2,326 ⋅ 7 = (− ∞; 507,15] ;
einseitiger nach unten beschränkter 99 %-Zufallsstreubereich:
[µ − z1−α ⋅ σ ; ∞ ) = 501 − 2,326 ⋅ 7 ; ∞ = [494,85; ∞ ) .
]
(
[
)
d) X = mittlere Drahtlänge der Stichprobe; X ~ N (501; 507 ) ;
⇒ zweiseitiger 99 %-Zufallsstreubereich: z1− α = z 0,995 = 2,576
[µ − z
1− α2
][
2
⋅ σ ; µ + z1− α ⋅ σ = 501 − 2,576 ⋅
2
7
50
; 501 + 2,576 ⋅
7
50
] = [500,036; 501,964].
Lösung zu Aufgabe 99
X = Anzahl der Ausschussstücke in der Stichprobe
X ~ Bn(500; 2%)
a)
P( X > 15) = 1 − P( X ≤ 15) = 1 − [P( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) + ... + P( X = 15)]
 500 
 500 
 ⋅ 0,02 2 ⋅ 0,98 498 − ... − 
 ⋅ 0,0215 ⋅ 0,98 485 = 0,046997
= 1 − 0,98 500 − 500 ⋅ 0,02 ⋅ 0,98 499 − 
 2 
 15 
b) X ≈ N (µ , σ 2 ) mit µ = n ⋅ p = 10 und σ 2 = n ⋅ p ⋅ q = 9,8
⇒ P ( X > 15) ≈ 1 − Φ 15−109,+80,5 = 1 − Φ (1,76) = 1 − 0,9609 = 0,0392
(
)
Lösung zu Aufgabe 100
X = Augenzahl beim 1-maligen Werfen,
Y = Augenzahl beim 100-maligen Werfen.
µ X = 3,5
σ X2 = 2,9167 ⇒ µ Y = 100 ⋅ 3,5 = 350
Damit ist
P (340 ≤ X ≤ 360) = Φ 360−σµYY +0,5 − Φ 340−σµYY −0,5 = 2 ⋅ Φ
(
)
(
)
σ Y2 = 100 ⋅ 2,9167 = 291,67
(
10, 5
291, 67
) − 1 = 2 ⋅ Φ(0,61) − 1 = 2 ⋅ 0,7291 − 1 = 0,4582
.
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