Lösung 5 - htw saar

Lösungen zu Übungsblatt 5
Höhere Mathematik2/Stochastik 2
Master KI/PI
Zu Aufgabe 1)
Sei X eine exponentialverteilte Zufallsgröße mit dem Intensitätsparameter λ.
Berechnen Sie EX und VarX.
Lösung:
Die Dichte einer Exponentialverteilung mit dem Parameter λ>0 hat die Gestalt:
λe − λx
f ( x) = 
0
für x ≥ 0
für x < 0
a) Daraus folgt für den Erwartungswert:
EX =
∞
∞
∞
−∞
0
0
− λx
− λx
∫ xf ( x)dx = ∫ xλe dx = λ ∫ xe dx
b
b
∫ uv' = [uv]a − ∫ u ' v
b
a
Das Integral lösen wir über Partielle Integration:
−
Daraus folgt:
∞
u’=1
und v =
1
λ
a
mit u = x, v’ =
e − λx
e − λx
und wir erhalten gemäß der Formel der Part. Integration:
∞
∞
∞
1
 1

 1

EX = λ ∫ xe dx = λ (  − xe −λx  + ∫ e −λx dx) = − lim xe −λx + 0 + − e −λx 
x
−
>
∞
 λ
0 λ 0
 λ
0
0
1
1 1
= − lim xe − λx − lim e −λx + =
− λx
λ
x − >∞
λ
x −>∞
λ
(Bemerkung: Beide Grenzwerte konvergieren gegen Null, der erste Grenzwert nach den Regeln von
Bernoulli und L’Hospital, der 2. Grenzwert nach Grenzwertsätzen: der Nenner geht gegen unendlich, der
Zähler bleibt konstant).
Für die Varianz erhalten wir:
Var ( X ) =
∞
∞
1 2 − λx
2
∫ ( x − EX ) f ( x)dx = ∫ ( x − ) λe dx
−∞
λ
0
∞
= λ∫ x e
2
− λx
∞
dx − 2 ∫ xe
0
− λx
dx +
0
1
∞
λ ∫0
e − λx dx
Für die Integrale erhalten wir:
∞
∫e
1.
0
− λx
dx = −
1
λ
(lim e − λx − e −λ ⋅0 ) =
x →∞
1
λ
1
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∞
∫ xe
2.
− λx
dx =
0
1
∞
xλe
λ∫
− λx
dx =
0
1
λ
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1
EX =
λ2
(Bemerkung: Wir hätten dieses Integral auch durch Partielle Integration: u = x, v’ = e-λx lösen können.)
3.
∞
∫x e
2
0
− λx
∞
∞
1
2


dx =  − x 2 e −λx  + ∫ xe −λx dx
PI :
λ

0 λ 0
u = x2
v ' = e − λx
=
+
0
2
1
⋅
λ λ
2
=
2
λ3
Daraus folgt für die Varianz:
Var ( X ) =
∞
∞
1 2 − λx
2
∫ ( x − EX ) f ( x)dx = ∫ ( x − ) λe dx
−∞
0
∞
= λ∫ x e
2
− λx
∞
dx − 2 ∫ xe
0
=λ
2
λ
3
− λx
dx +
0
−2
1
λ
2
+
λ
1
∞
e
λ∫
− λx
dx
0
1 1
1
⋅ = 2
λ λ
λ
Zu Aufgabe 2)
Sei X eine exponentialverteilte Zufallsgröße mit dem Intensitätsparameter λ.
X beschreibe eine zufällige Lebensdauer bzw. Dauer eines Vorganges.
Zeigen Sie die sogenannte Vergessens- bzw. Nichtalterungseigenschaft der
Exponentialverteilung:
P(X>s+t/ X>s) = P(X>t)
die besagt, das die Wahrscheinlichkeit, ein Zeitintervall der Länge t zu überleben unabhängig
davon ist, ob die Zufallsgröße X bereits die Zeit s überlebt hat oder ob die Lebensdauer
soeben beginnt.
Lösung:
P(X>s+t/ X>s)
P ( s < X ∧ X > s + t ) P ( X > s + t ) 1 − F ( s + t ) e − λ ( s +t )
=
=
=
= −λs = e −λt = 1 − F (t ) = P( X > t )
P( X > s)
P( X > s)
1 − F (s)
e
q.e.d
2
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Zu Aufgabe 3)
Die zufällige Zeit T (Stunden), die bis zum Abbau einer bestimmten Droge (z.B. ein Glas
Wein, 0.1 cl) im menschlichen Blut vergeht, sei durch folgende Dichtefunktion
charakterisiert:
0,
falls x ≤ 0,
x
f(x) =
1 −2
e , falls x > 0
2
a) Skizzieren Sie die Dichtefunktion!
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F(x)!
c) Berechnen Sie die erwartete Abbauzeit EX und die Varianz Var(X).
d) In wieviel Prozent aller Fälle dauert der Abbau länger als 2 Stunden?
e) Welche Abbauzeit haben 90 % der Personen höchstens?
f) In wieviel % aller Fälle, in denen die Abbauzeit bereits 1 Stunde überschreitet,
überschreitet sie auch 2 Stunden?
{
Lösung:
Zu b)
u
1
1
− x
 − 12 x 
1 −2x
F ( x) = ∫ f (u )du = ∫ e dx =  − e  = 1 − e 2 für x ≥ 0 und
2
−∞
0

0
x
x
F(x) = 0 für x < 0.
Zu c) X ist exponentialverteilt mit dem Parameter λ = ½ pro h.
Aus Aufgabe 4 ergibt sich dann EX = 2 h und Var(X) = 4 h.
Zu d) In wieviel Prozent aller Fälle dauert der Abbau länger als 2 Stunden?
Ges. P(X > 2)
Lösung: P(X>2) = 1-P(X ≤ 2) = 1-F(2) = 1- (1 − e
1
− ⋅2
2
) = e −1 ≈ 0,37 = 37 %
Zu e) Welche Abbauzeit haben 90 % der Personen höchstens?
Gesucht ist die Zeit t für die gilt:
P(X ≤ t) = 0,9
Lösung:
P ( X ≤ t ) = F (t ) = 1 − e
1
− t
2
= 0,9 ⇔ e
1
− t
2
= 0,1 ⇔
−1
t = ln(0,1) ⇔ t = −2 ln(0,1) = 4,6
2
D..h. Nur 10 % aller Personen überschreiten die Abbauzeit von 4,6 Stunden, 90% nicht.
3
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Zu f)
In wieviel % aller Fälle, in denen die Abbauzeit bereits 1 Stunde überschreitet,
überschreitet sie auch 2 Stunden?
Ges.: Bedingte Wahrscheinlichkeit P(X > 2 / X>1)
P ( X > 2 I X > 1) P ( X > 2) 1 − F (2) e −1
1
=
=
= 1 =
≈ 0,61
−
P ( X > 1)
P ( X > 1) 1 − F (1)
e
2
e
Antwort: In 61% aller Fälle, in denen die Abbauzeit bereits 1 Stunde überschreitet,
überschreitet sie auch 2 Stunden.
Lösung: P ( X > 2 / X > 1) =
Zu Aufgabe 4
Der Forderungenstrom von Anrufen, die in einer Telefonzentrale ankommen, sei ein Poissonstrom mit der Intensität λ=20 Anrufe pro Minute.
a) Wie ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Anrufen verteilt? Mit
welcher Wahrscheinlichkeit ist dieser Abstand größer als 5 Sekunden?
b) Wieviele Anrufe treffen innerhalb von 20 Sekunden durchschnittlich ein?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommen in dieser Zeit weniger als 4 Anrufe an?
Lösung: Siehe Vorlesung!
Zu Aufgabe 5
Sei X ~ N(0,1).
Skizzieren und berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Tabelle
der Standardnormalverteilung::
a) P(X > -4) = 1 - Φ(-4) = 1 - 0 = 1
b) P(-2<X<1) = Φ(1)-Φ(-2) = 0,8413 – (1-0,9772) = 0,8185
c) P(|X-1|<1) = P(-1 < X-1 < 1) = P(0 < X < 2) = Φ(2)-Φ(0) = 0,9772 – 0,5 = 0,4772
P (0 < X < 2) 0,4772 0,4772
d) P(X > 2 / X > 0) =
=
=
= 0,9544
P ( X > 0)
1 − Φ ( 0)
0,5
e) Bei welchem Wert x gilt: P(X< x) = Φ(x) = 0,9 ?
Antwort: Wir lesen die Tabelle von innen nach außen: x =1,282
Zu Aufgabe 6
Sei X ~ N(10,9). Skizzieren und berechnen Sie unter Verwendung der Transformation F(x) =
x−µ
Φ
 folgende Wahrscheinlichkeiten:
 σ 
 − 4 − 10 
 − 14 
Zu a) P(X > -4) = 1- F(-4) = 1 − Φ
 = 1 − Φ
 = 1 − Φ (− 4,66 ) = 1 − 0 = 1
 3 
 3 
4
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Zu b) P(8<X<10)
 10 − 10 
 8 − 10 
= Φ
 − Φ
 = Φ(0 ) − Φ (− 0,67 )
,
 3 
 3 
= 0,5 − (1 − Φ(0,67 )) = 0,5 + Φ (0,67) − 1 = 0,7486 − 0,5 = 0,2486
Zu c) P(|X-10|<3)
P (10 − 3 < 10 + 3) =
 13 − 10 
 7 − 10 
= Φ
 − Φ
 = Φ(1) − Φ(− 1)
 3 
 3 
= 2Φ (1) − 1 = 2 * 0,8413 − 1 = 0,6826
Zu d) P(X > 13 / X > 10)
P ( X > 13 ∧ X > 10) P ( X > 13) 1 − F (13) 1 − Φ (1) 1 − 0,8413
=
=
=
=
=
= 0,3174
P ( X > 10)
P ( X > 10) 1 − F (10) 1 − Φ(0)
0,5
Skizze: Siehe Vorlesung.
Zu Aufgabe 7
(
X ~ N µ, σ 2
µ – 3σ
µ – 2σ
µ–σ
µ
µ+σ
1-σ-Bereich
2-σ-Bereich
3-σ-Bereich
Satz:
(
)
Sei X ~ N µ , σ 2 . Dann gilt:
1.) P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) = 0,68
2.) P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ ) = 0,955
3.) P(µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ ) = 0,998
Beweis des Satzes:
P(µ − iσ ≤ X ≤ µ + iσ )
= F(µ + iσ ) − F(µ − iσ )
5
µ + 2σ
µ + 3σ
)
Lösungen zu Übungsblatt 5
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Master KI/PI
 µ + iσ/ − µ/ 
 µ/ − iσ/ − µ/ 
= Φ /

 − Φ




σ/
σ/
= Φ( i ) − Φ ( − i )
= 2 ⋅ Φ(i) − 1
Nun gilt: 1.) Φ(1) = 0,8413
,i = 1, 2, 3
⇒ P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) = 2 ⋅ 0,8413 − 1 = 0,68
2.) Φ(2) = 0,9772
⇒ P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ ) = 2 ⋅ 0,9772 − 1 = 0,955
3.) Φ(3) = 0,9987
⇒ P(µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ ) = 2 ⋅ 0,9987 − 1 = 0,998
q.e.d
2
aller beobachtbaren Werte einer normalverteilten Zufallsgröße X liegen im
3
1-σ-Bereich und fast alle beobachteten Werte von X liegen im 3-σ-Bereich.
Bedeutung:
Ca.
Zu Aufgabe 8
Die zufällige Übertragungszeit T durch einen Kanal K sei normalverteilt mit dem
Erwartungswert µ=50 ms und der σ2= 4ms2 , d.h. es gelte T~N(50, 4).
a) In welchem Bereich liegen nahezu alle Zeiten? D.h. berechnen Sie den 3-σ-Bereich!
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Übertragungszeit zwischen 42 und 53 ms?
c) Geben Sie einen symmetrischen Bereich [50-c,50+c] ms um die mittlere
Übertragungszeit an, in dem 90 % aller Zeiten liegen!
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 5 Übertragungen bei mindestens
einer die Übertragungszeit mehr als 50 ms beträgt?
Hinweis: Verwenden Sie neben der Normalverteilung auch die Binomialverteilung!
Lösung:
Zu a) σ =
Zu b)
4 = 2 , Fast alle Daten liegen im 3-σ-Bereich [50 –6, 50 + 6]=[44ms, 56mms].
 53 − 50 
 42 − 50 
P (42 < T < 53) = F (53) − F (42) = Φ
 − Φ
 = Φ(1,5) − Φ (− 4 )
 2 
 2 
= 0,93319
- 0 = 0,93319
Zu c) Gesucht ist c so dass gilt: P (50 − c < T < 50 + c) = 0,9
6
Lösungen zu Übungsblatt 5
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Wir lösen diese Gleichung einfach nach c auf:
P (50 − c < T < 50 + c) = 0,9
⇔ F (50 + c) − F (50 − c) = 0.9
 50 + c − 50 
 50 − c − 50 
⇔ Φ
 − Φ
 = 0 .9
2
2




c
−c
⇔ Φ  − Φ
 = 0 .9
 2
 2 
⇔
Symmetrie
der
Normalverteilung
c 
 c 
c
Φ  − 1 − φ    = 2Φ  − 1 = 0.9
 2 
 2 
2
c
⇔ Φ  = 1,9 / 2 = 0,95
 2
c
⇔ = 1,645
Tabelle 2
⇔ c = 3,29ms
Antwort: 90% aller Zeiten liegen im Intervall [46.71 ms, 53.29ms]
Zu d)
Sei X die zufällige Anzahl von 5 Übertragungen, bei denen die Übertragungszeit mehr als
50ms beträgt. Gesucht ist P(X ≥ 1).
Offensichtlich ist X Binomialverteilt : X ~B(n=5, p), wobei
p = P(T>50) = 1-F(50) = 1-Φ(0) = 0,5 ist.
Damit ist
5
31
P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X < 1) = 1 − P ( X = 0) = 1 −   p 0 (1 − p ) 5 = 1 − (1 − 0,5) 5 = 1 − 0,5 5 =
= 0,96875
32
0
7