Maß und Integration

Maß und Integration
Übungszettel 10
Abgabe: Donnerstag, 12.1., 14:00 Uhr
(ins Postfach Ihres Tutors)
Each problem is worth five points.
To ease the load on the TAs, it is permissible to turn in solutions in teams of
two students. Nonetheless, each solution shall have a single author who is in charge
of the wording (for that particular solution). Each student in a team shall do half of
the problems. E.g., if a team works on all four problems, each member is in charge of
writing up two solutions.
Aufgabe 1. Sei (X, A, µ) ein Maßraum, I ⊆ R ein offenes Intervall und t0 ∈ I fest.
Ferner sei f : I × X → R eine Funktion, die folgende Bedingungen erfüllt:
1. Für jedes t ∈ I ist f (t, −) : X → R integrierbar.
2. Für jedes x ∈ X ist f (−, x) : I → R differenzierbar an der Stelle t0 .
≥0
3. Es gibt eine integrierbare Funktion g : X → R so daß für alle t ∈ I \ {t0 } gilt:
f (t, x) − f (t0 , x) ≤ g(x)
t − t0
Zeige: Die Funktion
F : I −→ R
Z
t 7→
f (t, −) d µ
X
ist differenzierbar an der Stelle t0 mit F 0 (t0 ) =
R
X
h d µ wobei h(x) =
d
f (−, x) |t=t0 .
dt
Aufgabe 2. Sei f : R → R differenzierbar mit beschränkter Ableitung f 0 : R → R.
Zeige, daß für alle reellen Zahlen a < b gilt:
Z
f 0 |[a,b] d λ = f (b) − f (a)
[a,b]
Warnung: Die Ableitung f 0 ist nicht unbedingt Riemann-integrierbar, denn f ist nur
als differenzierbar nicht aber als stetig differenzierbar vorausgesetzt.
Hint: Betrachte die Funktionenfolge gi (x) := i(f x + 1i − f (x)). Zeige, daß die
Folge punktweise gegen f 0 konvergiert, daß jedes gi meßbar ist und daß |gi | auf [a, b]
beschränkt ist mit einer von i unabhängigen Schranke. Wende dann dominierte Konvergenz auf dem Intervall [a, b] an und folgere die Lebesgue-Integrierbarkeit von f 0
auf [a, b].
Rx
Betrachte nun die Funktion F (x) := a f (t) d t und zeige:
Z
i→∞
gi |[a,b] d λ −−−→ F 0 (b) − F 0 (a) = f (b) − f (a)
[a,b]
≥0
Aufgabe 3. Sei f : R → R
integrierbar. Zeige, daß
{x f (x + i) konvergiert nicht gegen 0}
eine Lebesgue-Nullmenge ist.
Aufgabe 4. Seien (X, A, µ) und (Y, B, ν) Maßräume. Seien f : X → R
≥0
Y → R meßbar. Zeige, daß das Produkt
≥0
f · g : X × Y −→ R
(x, y) 7→ f (x) g(y)
meßbar ist und daß gilt:
Z
Z
f · gdµ ⊗ ν =
X×Y
X
Z
gdν
f dµ
Y
≥0
und g :