Block 1 − Analysis − Aufgabe 1A

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Lösungsblatt (ausführlich)
Block 1 − Analysis − Aufgabe 1A
a)
(1) ◮ Entscheiden, welcher der Graphen zur Funktion f gehört
(16P)
In der Anlage findest du eine Skizze, in welcher 3 Graphen dargestellt werden. Deine Aufgabe ist es nun, herauszufinden, welcher dieser Graphen zur Funktion f mit:
f (t) = 100 ·
e−0,1·t
(1 + e−0,1·t )
gehört.
2
Bevor du damit beginnst, diese Aufgabe zu lösen, solltest du dir den Graphen der Funktion
f im Graphs - Modus deines GTR darstellen lassen.
So bekommst du einen ersten Eindruck davon, wie der
Graph der Funktion f aussehen könnte. Willst du den Gra-
hier anfangen
phen einer bestimmten Funktion mit Hilfe deines GTR
zeichnen lassen, so gibst du deren Funktionsterm im Y=Editor deines Rechners ein. Wechsle anschließend den
Graphs-Modus, um den Graphen zu betrachten.
Willst du nun begründet entscheiden, welcher der dargestellten Graphen zur Funktion f
gehört, so berechnest du zunächst die Koordinaten verschiedener Punkte mit dem Funktionsterm von f . Wähle diese Punkte so, dass du anhand derer Koordinaten entscheiden
kannst, welcher der Graphen zu f gehört und welcher nicht. Betrachtest du das oben stehende Schaubild näher, so kannst du erkennen, dass der Hochpunkt des Graphen von f
offensichtlich auf der y - Achse liegt. Dies könnte also der erste Punkt sein, mit welchem
du deine Untersuchung beginnst.
Graphen von f bestimmen
Wie oben schon erwähnt, berechnest du die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen
von f mit der y-Achse. Setze dazu t = 0 in den Funktionsterm von f ein:
f (0) = 100 ·
e−0,1·0
2
(1 + e−0,1·0 )
= 100 ·
1
= 25
(1 + 1)2
Der Schnittpunkt P des Graphen von f mit der y-Achse hat die Koordinaten P(0 | 25). An-
hand dieser Koordinaten siehst du sofort, dass der Graph I nicht zu Funktion f gehören
kann, da dieser die y-Achse oberhalb von y = 25 scheidet.
Nun gilt es herauszufinden, welcher der Graphen II und III zur Funktion f gehört. Gehe
dabei wie eben vor und suche dir einen Punkt im Schaubild, mit welchem du klar entscheiden kannst, welcher der Graphen II oder III zu f gehört. Betrachtest du beispielsweise
die Funktionswerte der Graphen an der Stelle t = −20, so kannst du erkennen, dass der
Abstand zwischen den Graphen II und III hier relativ groß ist. Berechnest du also den Funktionswert von f an der Stelle t = −20, so kannst du klar entscheiden, welcher der Graphen
der zu f zugehörige ist. Setze also t = −20 in den Funktionsterm von f ein und berechne
so den Funktionswert:
e−0,1·(−20)
f (−20) = 100 ·
2 ≈ 10, 5.
1 + e−0,1·(−20)
Du kannst sofort erkennen, dass der Graph III an der Stelle t = −20 einen Wert kleiner 10,5
annimmt, deswegen kommt dieser als Graph der Funktion f nicht in Frage.
=⇒Der Graph II ist der Graph der Funktion f .
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(2) ◮ Bestimmen des Zeitpunkts t1 an dem die Förderungsrate maximal war
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass f (t) die Förderungsrate in Einheiten
pro Jahren im Zeitintervall −25 ≤ t ≤ 0 wiedergibt, während t den Zeitpunkt in Jahren
beschreibt. Deine Aufgabe ist es nun, jenen Zeitpunkt t1 zu bestimmen, an welchem die
Änderung der Förderungsrate maximal war. Die Änderung der Förderungsrate wird dabei
beschrieben durch die erste Ableitungsfunktion f ′ von f . Das heißt, gesucht sind Koordinaten des Steigungsmaximums bei t1 im betrachteten Intervall [−25; 0].
Besitzt der Graph einer bestimmten Funktion bei einem beliebigen Punkt tW ein Steigungsextremum bzw. einen Wendestelle, so sind an der betrachteten Stelle folgende zwei Bedingungen erfüllt:
• Notwendige Bedingung: f ′′ (t1 ) = 0.
• Hinreichende Bedingung: f ′′′ (t1 ) 6= 0.
Das heißt, du untersuchst den Graphen der ersten Ableitungsfunktion f ′ auf Extrema. Da
es sehr umständlich wäre, die Ableitungsfunktionen f ′ , f ′′ und f ′′′ von Hand zu bestimmen, bestimmen wir die benötigten Ableitungsfunktionen mit dem GTR. Hast du die Ableitungsfunktion der ersten Ableitung f ′ von f bestimmt, so untersuchst du diese auf Maxima, denn da, wo diese Funktion ein Maximum besitzt, ist die Steigung des Graphen von f
maximal. Das heißt an dieser Stelle befindet sich eine Wendestelle mit maximaler positiver
Steigung und hier ist die Änderung der Förderungsrate maximal.
Bestimmen des gesuchten Zeitpunkts t1 :
Willst du die erste Ableitungsfunktion f ′ von f mit deinem GTR bestimmen, so wechselst du zunächst in den Y=Editor. In diesem gibst du dann über diese Eingabenfolge
den Befehl zum Ableiten der Funktion f ein:
hier anfangen
MATH → nDeriv(
Wende diesen Befehl wie im Schaubild rechts auf die
Funktion f an, welche hier unter Y1 gespeichert ist.
Hast du die erste Ableitungsfunktion f ′ von f wie oben, mit Hilfe deines GTR bestimmt,
so bestimmst du mit diesem nun im betrachteten Intervall das Maximum der Steigung.
Wende dazu im Graphs-Modus über diese Befehlsfolge
den entsprechenden Befehl an:
hier anfangen
2nd → CALC → 4:maximum
Hast du den Befehl richtig auf den Graphen der Funktion f ′ angewendet, so sollte das Ergebnis der Befehlsausführung wie im Schaubild rechts aussehen.
=⇒Der Zeitpunkt t1 , an dem die Förderungsrate maximal war, ist t1 ≈ −13, 2.
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(3) ◮ Bestimmen der Gesamtförderung innerhalb der 25 Jahre vor dem Zeitpunkt t = 0
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass Funktion f die zu einem konkreten
Förderungsvorgang zugehörige Förderungsrate ( f (t)) in Einheiten pro Jahr angibt, wobei t
einen Zeitpunkt darstellt. Außerdem siehst du, dass dieses Modell den Förderungsvorgang
der letzten 25 Jahre angemessen beschreibt, das bedeutet also für t: −25 ≤ t ≤ 0. Deine Auf-
gabe ist es nun, die Gesamtförderung G innerhalb der letzten 25 Jahre vor dem Zeitpunkt
t = 0 zu bestimmen.
Da f (t) die Förderungsrate beschreibt, entspricht die Gesamtförderung G nach dem zugrundeliegenden Modell dem Inhalt der Fläche unter dem dem Graphen von f . Möchtest
du also die Gesamtförderung G innerhalb der letzten 25 Jahre vor dem Zeitpunkt t = 0
bestimmen, so integrierst du über f in den Grenzen t1 = −25 und t2 = 0. Dieses Integral
kannst du dabei mit deinem GTR bestimmen.
Berechnen der Gesamtförderung G:
Zu berechnen ist hier dieses Integral:
G=
Zt2
f (t) dt =
t1
Z0
f (t) dt.
−25
Dieses Integral kannst du im Calculator-Modus deines GTR berechnen. Dabei ist zu
empfehlen, den Funktionsterm von f zunächst im Y=-Editor zu speichern (hier wurde f (t)
unter Y1 festgelegt). Anschließend fügst du über
MATH → 9:fnInt(
hier anfangen
den Integralbefehl in den Calculator-Modus deines GTR’s
ein und greifst über
VARS → Y-VARS → 1: Function
auf jene Variable zu, unter welcher du f (t) festgelegt hast.
Das Integral berechnest du dann wie im Schaubild rechts.
=⇒In den 25 Jahren vor dem Zeitpunkt t = 0 wurden etwa 424,14 Einheiten gefördert.
b)
(1) ◮ Bestimmen der Förderungsrate und der Änderung der Förderungsrate
(12P)
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass eine weitere Kurve mit vergleichbarem
Verlauf die sogenannte Gauß-Kurve ist. Diese Gauß-Kurve wird dabei beschrieben durch
die Funktion g mit folgendem Funktionsterm:
g(t) = 27, 5 · e−0,0017·(t−4,15)
2
Deine Aufgabe ist es nun, die Förderungsrate und die Änderung der Förderungsrate nach
beiden Modellierungen, also nach der Hubbert- und der Gauß-Kurve, zum Zeitpunkt t1
zu berechnen. Der Zeitpunkt t1 war dabei jener Zeitpunkt, an dem die Änderung der
Förderungsrate maximal war. Diesen hast du bereits im vorhergegangen Aufgabenteil bestimmt: t1 = −13, 2.
Willst du nun die Förderungsrate und die Änderung der Förderungsrate zum Zeitpunkt t1
nach f und g berechnen, so berechnest du im ersten Schritt die Funktionswerte von f und
g bei t1 . Im zweiten Schritt berechnest du dann die zu t1 zugehörigen Ableitungswerte der
ersten Ableitung von f und g.
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1. Schritt: Berechnen von f (t1 ) und g (t1 )
Setze t1 jeweils in den Funktionsterm von f und g ein, um die zugehörigen Funktionswerte
zu berechnen:
2
f (t1 ) = 27, 5 · e−0,0017·((−13,2)−4,15) = 16, 64.
g(t1 ) = 100 ·
e−0,1·(−13,2)
1 + e−0,1·(−13,2)
2 = 16, 49.
2. Schritt: Berechnen von f ′ (t1 ) und g ′ (t1 )
Das Berechnen der Ableitungswerte f ′ (t1 ) und g′ (t1 ) der ersten Ableitungen f ′ und g′
an der Stelle t1 von Hand wäre aufgrund der komplexeren Funktionsterme von f und g
etwas umständlich. Deswegen empfiehlt es sich hier, diese im Graphs-Modus deines GTR’s
berechnen zu lassen.
Lege dazu die Funktionsterme von f und g im Y=Editor fest und wechsle anschließend in den GraphsModus. Anschließend berechnest du über diese Befehlsfolge, die Änderung der Förderungsrate nach f und g an
hier anfangen
der Stelle t1 :
2nd → CALC → 6:dy/dx → X = -13.2
=⇒Die Änderung der Förderungsrate nach f beträgt am Zeitpunkt t1 f (t1 ) = 0, 96, und nach
g beträgt sie g′ (t1 ) = 0, 97.
(2) ◮ Bestimmen der größten Abweichung der Förderungsraten
Deine Aufgabe ist es nun, die größte Abweichung der Förderungsraten nach den beiden
Modellierungen innerhalb der letzten 25 Jahre (−25 ≤ t ≤ 0) zu berechnen. Die Abweichung der Förderungsraten berechnest sich dabei über die Differenz d zwischen den Graphen von f und g. Differenz d lässt sich also ausdrücken als:
d = f − g.
Willst du nun die größte Abweichung der Modellierungen bestimmten, so ist es sinnvoll
hier den Betrag von d zu bilden, damit das Vorzeichen der Differenz zwischen den Graphen
irrelevant ist. Differenz d kannst du anschließend als Funktion auffassen mit folgendem
Funktionsterm:
d( x ) = | f ( x ) − g( x )|.
Um nun die größte Abweichung der Förderungsraten nach beiden Modellierungen im Intervall −25 ≤ t ≤ 0 zu bestimmen, ermittelst du das Maximum der Differenzfunktion d im
betrachteten Intervall.
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Berechnen der größten Abweichung der Förderungsraten für −25 ≤ t ≤ 0
Die maximale Abweichung der Förderungsraten nach f
und g im Intervall −25 ≤ t ≤ 0 berechnest du im Graphs-
hier anfangen
Modus deines GTR. Lege dazu den Funktionsterm von
d im Y=-Editor deines GTR fest. Beachte dabei, dass der
Befehl für einen Betrag über diese Eingabenfolge hinzugefügt werden kann:
MATH → NUM → 1:abs( .
Anschließend wechselst du in den Graphs-Modus.
Im Graphs-Modus bestimmst du anschließend über diese
Befehlsfolge das absolute Maximum von d im betrachteten
Intervall:
hier anfangen
2nd → CALC → 4:maximum
Achte dabei darauf, dass du die Grenzen des Befehls richtig setzt. Die Grenzen des Maximum-Befehls (Left- und
Right-Bound) müssen also den Grenzen des gegeben Intervalls für t (−25 ≤ t ≤ 0) entsprechen.
=⇒Betrachtest du Ergebnis genauer, so kannst du erkennen, dass es sich hier um ein Randmaxium handelt. Das heißt, an der Stelle t = 0 weichen Modellierungen der Förderungsraten
mit 1,7 Einheiten am stärksten voneinander ab.
c)
◮ Vergleichen der beiden Modellierungen geg. Zeitraum hinsichtlich gegebener Aspekte
(16P)
Nun sollen die Modellierungen des Fördervorgangs nach f und g im Intervall −25 ≤ t ≤ 25
verglichen werden. Dabei sollst du die Modellierungen nach f und g hinsichtlich dieser Aspekte vergleichen:
• Gesamtförderung zwischen den Zeitpunkten t = −25 und t = 0.
• Gesamtförderung zwischen den Zeitpunkten t = 0 und t = 25.
• Zeitpunkt der maximalen Förderungsrate und deren Größe.
Anschließend sollen die Ergebnisse im Hinblick auf einen Förderungsvorgang interpretiert
werden.
1. Aspekt: Gesamtförderung zwischen den Zeitpunkten t = −25 und t = 0
Hier sollst du die gesamte Fördermengen G1 und G2 nach f und g innerhalb der ersten 25 Jahre
vor dem Zeitpunkt t = 0 berechnen und vergleichen. Aus Aufgabenteil a weißt du, dass die
gesamte Fördermenge der Fläche unter jenem Graphen entspricht, welcher den Fördervorgang
beschreibt. Die gesamte Fördermenge G1 nach f innerhalb der 25 Jahre vor dem Zeitpunkt
t = 0 hast du also schon berechnet, diese war G1 = 424, 14.
Die gesamte Fördermenge G2 nach g innerhalb des Intervalls −25 ≤ t ≤ 0 berechnest du nun
wie im Aufgabenteil a. Das heißt, du integrierst über Funktion g in den Grenzen tu = −25 und
to = 0.
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Zu berechnen ist hier also dieses Integral:
G2 =
Zto
g(t) dt =
Z0
g(t) dt.
−25
tu
Dieses Integral kannst wieder du im Calculator-Modus deines GTR berechnen. Dabei ist zu
empfehlen, den Funktionsterm von g zunächst im Y=-Editor zu speichern (hier wurde g(t)
unter Y2 festgelegt). Anschließend fügst du über
MATH → 9:fnInt(
hier anfangen
den Integralbefehl in den Calculator-Modus deines GTR’s
ein und greifst über
VARS → Y-VARS → 1: Function
auf jene Variable zu, unter welcher du g(t) festgelegt hast.
Das Integral berechnest du dann wie im Schaubild rechts.
=⇒ Innerhalb der ersten 25 Jahren vor dem Zeitpunkt t = 0 wurden nach g insgesamt etwa 425,35
Einheiten gefördert. Interpretiert im Sachzusammenhang bedeutet das, dass mit dem Modell
g innerhalb der ersten 25 Jahre vor dem Zeitpunkt t = 0 etwas mehr Rohstoff gefördert wurde
wie nach dem Modell f . Die Differenz der Fördermengen beträgt dabei
G2 − G1 = 425, 35 − 424, 14 = 1, 21,
was bedeutet, dass nach Modell g etwa 1,21 Fördereinheiten mehr gefördert wurden. Allgemein kannst du sagen, dass innerhalb der letzten 25 Jahren nach beiden Kurven etwa die gleichen Einheiten des Rohstoffs gefördert wurde.
2. Aspekt: Gesamtförderung zwischen den Zeitpunkten t = 0 und t = 25
Nun sollst du die Gesamtförderung G3 und G4 nach f und g zwischen den Zeitpunkten t = 0
und t = 25 berechnen und anschließend vergleichen. Das heißt, du integrierst über f und g
im gegebenen Intervall für t: 0 ≤ t ≤ 25. Dabei gehst du vor wie in den vorhergegangen
Aufgabenteilen. Zu berechnen sind hier also diese Integrale:
• G3 =
Z25
f (t) dt
• G4 =
Z25
g(t) dt
0
0
Berechne G3 und G4 wie oben schon mit Hilfe deines GTR. Hier wurde zum Beispiel der
Funktionsterm von f unter Y1 und der Funktionsterm von g unter Y2 festgelegt und die
gesuchten Integrale wurden wie folgt berechnet:
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=⇒ Mit dem GTR hast du herausgefunden, dass mit der Modellierungsfunktion f (Hubbert-Kurve)
etwa 424,14 Einheiten und nach der Modellierungsfunktion g (Gauß-Kurve) etwa 571,66 Einheiten in den kommenden 25 Jahren nach Zeitpunkt 0 gefördert werden. Es ist klar erkenntlich,
dass die berechneten Daten zur gesamten Fördermenge stark voneinander abweichen:
G2 − G1 = 571, 66 − 424, 14 = 147, 52.
Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass mit der Modellierungsfunktion g etwa 147,25 Einheiten mehr gefördert werden als mit der Modellierungsfunktion f . Bei der Modellierung
mit der Hubbert-Kurve f wird dabei in den kommenden 25 Jahren etwa die gleiche Menge
gefördert wie in den vergangen 25 Jahren.
3. Aspekt: Zeitpunkt der maximalen Förderungsrate und deren Größe
Nun sollst du die Zeitpunkte der maximalen Förderungsrate und deren Größe berechnen
und vergleichen. Da f und g jeweils die momentane Förderungsrate zu einem bestimmten
Zeitpunkt beschreiben, gilt es hier, das absolute Maximum dieser Funktionen im Intervall
−25 ≤ t ≤ 25 zu berechnen. Die Stellen dieser Maxima entsprechen dann gerade den Zeit-
punkten der maximalen Förderungsraten nach f und g, während der Funktionswert von f und
g an diesen Zeitpunkten gerade der Größe der maximalen Förderungsrate entspricht. Auch
hier empfiehlt es sich wieder die Maxima mit Hilfe deines GTR zu berechnen.
Willst du die gesuchten Maxima von f und g mit Hilfe
deines GTR berechnen, so legst du auch hier zunächst die
Funktionsterme im Y=-Editor deines GTR fest. Hier wurde beispielsweise der Funktionsterm von f unter Y1 und
hier anfangen
der Funktionsterm von g unter Y2 festgelegt. Anschließend wechselst du in den Graphs-Modus, um dort über
diese Eingabenfolge die gesuchten Maxima zu berechnen:
2nd → CALC → 4:maximum
hier anfangen
Achte auch hier darauf, dass die Grenzen des angewandten Befehls wieder den Grenzen des angegebenen Intervalls entsprechen (siehe Aufgabenteil b).
=⇒ Das Maximum der Funktion f befindet sich also an der Stelle t M1 = 0, wobei f hier einen Funktionswert von f (t M1 ) = 25 annimmt. Das Maximum der Funktion g befindet sich an der Stelle
t M2 = 4, 15, wobei g hier einen Funktionswert von g(t M1 ) = 27, 5 annimmt. Im Sachzusammenhang interpretiert bedeutet das, dass nach der Modellierungsfunktion f (Hubbert-Kurve)
früher die maximale Förderungsrate erreicht wird, wie mit der Modellierungsfunktion g. Außerdem ist die maximale Förderungsrate nach g um
g(t M2 ) − f (t M2 ) = 27, 5 − 25
Einheiten größer als die maximale Förderungsrate nach f .
d)
(1) ◮ Nachweisen, dass Funktion H eine Stammfunktion von h ist
(16P)
Nun hast du eine Funktion h gegeben mit:
e− x
h( x ) =
(1 + e− x )2
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und eine Funktion H gegeben mit:
− e− x
.
H (x) =
1 + e− x
Gegenstand dieser Aufgabe ist es nun, zu zeigen, dass die Funktion H eine Stammfunktion
von h ist. Da die Stammfunktion H durch Aufleiten von h entstanden sein könnte, leitest
du H hier einmal ab und zeigst so, dass sich wieder h ergibt. Hast du gezeigt, dass sich
durch Ableiten von H gerade wieder der Funktionsterm von h ergibt, so hast du gezeigt,
dass H eine Stammfunktion von h ist. Es muss also gelten:
H ′ ( x ) = h ( x ).
Beim Ableiten von H musst du beachten, dass es sich bei H um eine gebrochenrationale
Funktion handelt, das heißt, du leitest diese hier gemäß der Quotientenregel ab. Da außerdem Potenzen vorliegen, musst du ebenfalls Gebrauch von der Kettenregel machen.
H (x) =
H ′ (x) =
=
=
− e− x
1 + e− x
e− x · (1 + e− x ) − (−e− x · (−e− x ))
e− x
+ e−2· x
(1 + e− x )2
− e−2· x
(1 + e− x )2
e− x
(1 + e− x )2
= h( x )
=⇒Damit hast du gezeigt, dass durch Ableiten von H gerade wieder der Funktionsterm von h
resultiert, was bedeutet, dass H einer Stammfunktion von h entspricht.
(2) ◮ Beschreiben eines Lösungswegs zur Bestimmung des Flächeninhalts
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass für b > 0 durch die Punkte A(b | 0),
B(b | h(b)), C (−b | h(−b)) und D (−b | 0) ein Rechteck gegeben ist, dessen Eckpunkte B
und C auf dem Graphen von h liegen. Weiterhin schließen die Strecke BC und der Graph
von h eine Fläche mit dem Flächeninhalt A ein. Deine Aufgabe ist es zunächst einmal, einen
Lösungsweg zur Bestimmung des Flächeninhalts A dieser Fläche zu beschreiben.
Beim Lösen dieser Aufgabe kann es dabei sinnvoll sein, wenn du dir eine Skizze des
Sachverhalts anfertigst. Lasse dir dazu den Graphen der Funktion h in deinem GTR
anzeigen.
Füge dazu den Funktionsterm von h in den Y=-Editor deines GTR ein und lasse dir anschließend im Graphs-Modus
den zu h zugehörigen Graphen anzeigen. Über diese Be-
hier anfangen
fehlsfolge kannst du dir dazu noch die zugehörige Wertetabelle anzeigen lassen:
2nd → Table
Zeichnest du nun den Graphen von h sowie die Eckpunkte A, B, C und D des Rechtecks
ABCD in ein gemeinsames Koordinatensystem, so sollte dieses wie das unten stehende
aussehen. Beachte beim Zeichnen, dass die Eckpunkte B und C des Rechtecks ABCD auf
dem Graphen von h liegen.
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Skizze für b = 2:
y
0.2
A
C
b
B
b
0.1
h
D
−4
−3
b
−2
b
−1
1
A
2
3
4
x
Der Skizze kannst du entnehmen, dass die betrachtete Fläche nach oben vom Graphen von
h und nach unten von der Strecke BC beschränkt wird. Da Strecke BC parallel zur x-Achse
verläuft, kann diese im Intervall von [−b; b] durch eine Gerade y beschrieben werden, mit:
y = h ( b ).
Den Flächeninhalt A in Abhängigkeit von b berechnest du dann über ein Integral. Da diese
Fläche in negativer x-Richtung durch die Stelle −b und in positiver Richtung durch die Stelle b beschränkt wird, entsprechen diese Stellen gerade den Grenzen des zu berechnenden
Integrals. Der Graph von h läuft dabei im betrachteten Intervall [−b; b] stets oberhalb der
Strecke BC, hier repräsentiert durch y = h(b). Das heißt, Flächeninhalt A in Abhängigkeit
von b berechnet sich über ein Integral in den Grenzen xu = −b und xo = b über die Differenz zwischen h und y = h(b):
A(b) =
Zb
−b
(h( x ) − h(b)) dx
Aufgrund der Symmetrie des Graphen von h zur y-Achse lässt sich der Term vereinfachen
zu:
A(b) = 2 ·
Zb
0
(h( x ) − h(b)) dx = 2 · [ H ( x ) − h(b) · x ]0b
= 2 · (( H (b) − h(b) · b) − ( H (0) − h(b) · 0))
= 2 · ( H (b) − h(b) · b − H (0))
=2·
=2·
!
− e− b
e− b
e−0
−
2 · b − −
1 + e−0
1 + e− b
1 + e− b
!
− e− b
e− b
1
−
2 · b + 2
1 + e− b
1 + e− b
(3) ◮ Berechnen von b so, das der Flächeninhalt von A(b) 0,5 FE beträgt
Nun ist es deine Aufgabe, ausgehend vom ermittelten Term in (2) Parameter b so zu bestimmen, dass der Flächeninhalt A der betrachteten Fläche 0, 5 Flächeneinheiten beträgt.
Setze dazu den oben bestimmten Term zur Berechnung von A mit A = 0, 5 gleich und
löse die resultierende Gleichung nach b auf. Da die so entstehende Gleichung von Hand
nur schwer zu lösen wäre, empfiehlt es sich hier, das Ergebnis dieser Gleichung mit dem
Graphs-Modus deines GTR zu ermitteln.
Bestimmen von b
Zu lösen ist hier also diese Gleichung:
A(b) = 0, 5
0, 5 = 2 ·
− e− b
e− b
−
2 · b +
1 + e− b
1 + e− b
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1
2
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Willst du diese Gleichung nun mit Hilfe deines GTR grafisch lösen, so trägst du den Term
zur Berechnung von A in Abhängigkeit von b als Funktionsterm in den Y=-Editor deines
GTR ein. Des Weiteren speicherst du den Funktionsterm einer Geraden mit y = 0, 5 im
Y=-Editor, diese Gerade repräsentiert dabei die linke Seite der oben stehenden gleich.
Möchtest du nun bestimmen, für welches b der
Flächeninhalt A einen Wert von 0, 5 annimmt, so schneidest du die beiden von dir gespeicherten Funktionen im
hier anfangen
Graphs-Modus deines GTR. Dies geschieht über diese
Befehlsfolge im Graphs-Modus:
2nd → CALC → 5:intersect
=⇒Nimmt b einen Wert von b ≈ 2, 508 an, so beträgt der Flächeninhalt der betrachteten Fläche
0,5 Flächeneinheiten.
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Block 1 − Analysis − Aufgabe 1B
a)
(1) ◮ Untersuchen des Graphen von f auf Symmetrie
(14P)
Betrachtet wird hier die Funktion f , mit folgendem Funktionsterm:
f ( x ) = x · sin( x ).
Deine Aufgabe ist es nun, den Graphen von f auf Symmetrie zu untersuchen. Der Graph
von f kann dabei achsen- oder punktsymmetrisch sein. Willst du nun den Graphen von f
auf Symmetrie untersuchen, so überprüfst du für ein beliebiges negatives x, ob einer der
beiden Fälle zutrifft:
• f (− x ) = f ( x ) =⇒ Achsensymmetrie zur y-Achse.
• f (− x ) = − f (− x ) =⇒ Punktsymmetrie zum Ursprung.
Setze also (− x ) in den Funktionsterm von f ein und untersuche diese wie folgt auf
Symmetrie:
f (− x ) = (− x ) · sin(− x ) = (− x ) · (− sin( x )) = x · sin( x ) = f ( x ).
=⇒Da f (− x ) = f ( x ) gilt, ist der Graph von f achsensymmetrisch zur y-Achse.
(2) ◮ Bestimmen der Nullstellen von f
Hier ist es nun deine Aufgabe, die Nullstellen der Funktion f zu bestimmen. Nullstellen
befinden sich dabei an jenen Stellen, an welchen die Funktion f eine Funktionswert von
Null annimmt. Da es sich hier unter anderem um eine trigonometrische Funktion handelt
(sin( x )), solltest du die Nullstellen von f schriftlich zu berechnen, um wirklich alle zu bestimmen. Setze dazu den Funktionsterm von f mit Null gleich und löse die resultierende
Gleichung nach x auf.
f (x) = 0
0 = x · sin( x )
Um diese Gleichung zu lösen, solltest du Gebrauch vom Satz des Nullprodukt“ machen,
”
der besagt, dass ein Produkt genau dann Null wird, wenn einer seiner Faktoren Null wird.
Setze also die Faktoren getrennt voneinander gleich Null.
0 = x · sin( x ) = u( x ) · v( x )
Setze nun u( x ) und v( x ) unabhängig voneinander gleich Null und bestimme so die gesuchten Nullstellen von f :
u ( x ) = x = 0 ⇔ x1 = 0
v( x ) = sin( x ) = 0
Die Sinusfunktion hat bei jedem ganzzahligen Vielfachen von π eine Nullstelle, also zum
Beispiel bei:
... − 2 · π; −π; 0; π; 2 · π; ....
Die Nullstellen von f ergeben sich also für eine beliebige ganze Zahl z mit z ∈ Z zu:
=⇒ x1 = 0 und xz = π · z mit z ∈ Z.
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(3) ◮ Untersuchen des Sachverhalts
Deine Aufgabe ist es nun, zu untersuchen ob sich die Wendestellen von f im Bereich
0 ≤ x ≤ 6 genau in der Mitte zwischen den beiden benachbarten Extremstellen liegen. Be-
vor du den Sachverhalt untersuchen kannst, musst du zunächst ermitteln, wo sich die Wendestellen und Extremstellen von f im Intervall 0 ≤ x ≤ 6 befinden. Beim Berechnen der
Extrem- und Wendestellen von f kann dir dein GTR behilflich sein. Dabei solltest du wissen, dass sich die Wendestellen von f an den Stellen befinden, an welchen die erste Ableitungsfunktion von f Extrema besitzt.
Hast du die Wende- und Extremstellen im Intervall 0 ≤ x ≤ 6 berechnet, so überprüfst du,
ob die Wendestellen in der Mitte der Intervalle liegen, welche durch die Extremstellen von
f gebildet werden.
Gehe beim Lösen der Aufgabe also so vor:
1. Schritt: Bestimmen der Extremstellen von f im betrachteten Intervall
2. Schritt: Ermitteln der Wendestellen von f im betrachteten Intervall
3. Schritt: Überprüfen des Sachverhalts
1. Schritt: Bestimmen der Extremstellen von f im betrachteten Intervall
Die Extremstellen von f können entweder Maximal- oder Minimalstellen sein. Diese
kannst du im Intervall 0 ≤ x ≤ 6 mit Hilfe deines GTR berechnen. Speichere dazu
zunächst den Funktionsterm von f im Y=-Editor deines GTR. Hast du diesen dort
eingegeben, so wechselst du in den Graphs-Modus. Dabei empfiehlt es sich hier, den
Anzeigebereich im Graphs-Modus so anzupassen, dass dieser dem betrachteten Intervall
entspricht.
Den Anzeigebereich kannst du im Window-Menü anpassen, in welches über die Window-Taste wechselst. Anschließend bestimmst im Graphs-Modus über diese zwei Eingabenfolgen die Maximal- und Minimalstellen von f im
hier anfangen
Intervall 0 ≤ x ≤ 6:
2nd → CALC → 3:minimum
2nd → CALC → 4:maximum
hier anfangen
hier anfangen
Die Extremstellen von f befinden sich also bei: x1 = 0, x2 ≈ 2, 029 und x3 ≈ 4, 9131.
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2. Schritt: Ermitteln der Wendestellen von f im betrachteten Intervall
Wie oben schon erwähnt, befinden sich die Wendestellen von f da, wo die erste Ableitungsfunktion von f Extremstellen besitzt. Das heißt, du untersuchst die erste Ableitungsfunktion f ′ von f auf Extremstellen. Die erste Ableitungsfunktion f ′ von f kannst du dabei
mit deinem GTR bestimmen. Hast du diese ermittelt, so untersuchst du diese wie oben auf
Minimal- und Maximalstellen.
Willst du die erste Ableitungsfunktion f ′ von f mit deinem GTR bestimmen, so wechselst du zunächst in den Y=Editor. In diesem gibst du dann über diese Eingabenfolge
hier anfangen
den Befehl zum Ableiten von f ein:
MATH → nDeriv(
Wende diesen Befehl wie im Schaubild rechts auf die
Funktion f an, welche hier unter Y1 gespeichert ist.
Hast du die erste Ableitungsfunktion f ′ von f wie oben, mit Hilfe deines GTR bestimmt, so
untersuchst du diese im Graphs-Menü im betrachteten Intervall auf Maxima und Minima
(siehe oben):
hier anfangen
hier anfangen
Die Wendestellen der Funktion f befinden sich bei xW1 ≈ 1, 077 und xW2 ≈ 3, 644.
3. Schritt: Überprüfen des Sachverhalts
Überprüfe nun, ob die Wendestellen xW1 ≈ 1, 077 und xW2 ≈ 3, 644 von f in der Mitte
zwischen den beiden benachbarten Extremstellen liegen. Die benachbarten Extremstellen
zu xW1 sind x1 = 0 und x2 ≈ 2, 029 und die benachbarten Extremstellen zu xW1 sind
x2 ≈ 2, 029 und x3 ≈ 4, 9131. Willst du nun überprüfen, ob die Wendestellen jeweils in
der Mitte liegen, so addierst du die Werte der benachbarten Extremstellen und teilst diesen
Wert durch 2, so bestimmst du die Mitte der Intervall, welche die Extremstellen jeweils
bilden. Entspricht dieser Wert dann dem Wert der Wendestellen, so hast du gezeigt, dass
die Wendestellen jeweils in der Mitte zwischen den beiden benachbarten Extremstellen
liegen.
x + x2
2, 029
Wendestelle xW1 = 1
=
= 1, 0145 6= xW1 .
2
2
x2 + x3
2, 029 + 4, 9131
6, 942
Wendestelle xW2 =
=
=
= 3, 471 6= xW2 .
2
2
2
=⇒Keine der beiden Wendestellen liegen in der Mitte der benachbarten Extremstellen.
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b)
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(1) ◮ Bestimmen des Punktes im 1. Quadranten, der dem Ursprung am nächstem liegt
(16P)
Nun wird neben f die Gerade g betrachtet, mit g( x ) = x. Der Aufgabenstellung kannst
du entnehmen, dass die Graphen von f und g gemeinsame Punkte besitzen. Deine Aufgabe ist es dabei, zunächst jenen Schnittpunkt der Graphen f und g zu berechnen, der
dem Ursprung im ersten Quadranten am nächsten liegt. Willst du die Schnittpunkte zweier Graphen bestimmen, so setzt du deren Funktionsterme gleich und löst die resultierende
Gleichung nach x auf. Hast du die Schnittstellen von f und g berechnet, so bestimmst du
die Schnittstelle unter diesen, die dem Ursprung im ersten Quadranten am nächsten liegt.
Setze nun also f ( x ) und g( x ) gleich, um die Schnittstellen von f und g zu berechnen:
f ( x ) = g( x )
x · sin( x ) = x
| −x
x · sin( x ) − x = 0
x ausklammern
x · (sin( x ) − 1) = 0
Hier kannst du wieder vom Satz des Nullprodukts“ (siehe oben) profitieren. Betrachte
”
dazu das ausgeklammerte x. Wird dieses Null, so resultiert die Gleichung zu einer wahren
Aussage (0 = 0). Das heißt, die erste Schnittstelle von f und g befindet sich bei x1 = 0
(siehe Aufgabenstellung).
sin( x ) − 1 = 0
| +1
sin( x ) = 1
Nun gilt es jene Stelle im ersten Quadranten zu bestimmen, an welchem die Sinusfunktion
das erste Mal den Wert 1 annimmt. Diese Stelle entspricht gerade der Schnittstelle von f
und g im ersten Quadraten, die dem Ursprung am nächsten liegt.
Die Sinusfunktion nimmt für x2 = π2 , das erste Mal im ersten Quadranten den Wert 1 an
und somit entspricht diese Stelle der gesuchten Schnittstelle. Setze nun x2 im den Funktionsterm von f oder g ein, um die zugehörige y-Koordinate zu berechnen:
g( π2 ) =
π
2.
=⇒Der Schnittpunkt, der dem Ursprung im ersten Quadranten am nächsten liegt, besitzt die
Koordinaten B( π2 | π2 ).
(2) ◮ Nachweisen, dass es sich bei P um einen Berührpunkt handelt
Die Graphen zweier Funktionen besitzen einen Berührpunkt, wenn für eine bestimmte
Stelle x B gilt:
• Die zwei betrachteten Graphen besitzen bei x B eine Schnittstelle.
• Die zwei betrachteten Graphen besitzen bei x B die gleiche Steigung
Im vorherigen Aufgabenteil dieser Aufgabe hast du bereits die Schnittstelle im ersten Quadranten von f und g bestimmt, die dem Ursprung am nächsten liegt. Nun sollst du nachweisen, dass es sich bei dem zugehörigen Schnittpunkt B um einen Berührpunkt handelt.
Das heißt, du weißt nach, dass f und g an der Stelle x B = π2 die gleiche Steigung besitzen.
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Die Steigungen von f und g an der Stelle x B kannst du mit
deinem GTR berechnen. Speichere dazu die Funktions-
hier anfangen
terme f ( x ) und g( x ) im Y=-Editor und wechsle anschließend in den Graphs-Modus. In diesem berechnest du dann
über diese Eingabenfolge die Steigung von f und g an der
Berührstelle x B =
π
2:
2nd → CALC → 6:dy/dx
=⇒Mit Hilfe deines GTR hast du herausgefunden, dass f und g an der Stelle x B = π2 beide
eine Steigung von 1 besitzen. Da f und g an der Stelle x B sowohl sich schneiden, als auch
die gleiche Steigung besitzen, hast du nachgewiesen, dass die Graphen von f und g im
Punkt B( π2 | π2 ) einen Berührpunkt besitzen.
(3) ◮ Bestimmen für y = 1 das Verhältnis der Streckenlängen PR : PQ
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass eine Parallele zur x-Achse die y-Achse
im Punkt P und den Graphen von f im Intervall [0; π ] in den Punkten P und Q schneidet.
Ein Schaubild zur Aufgabe findest du dabei in der Anlage 1 zur Aufgabenstellung. Deine
Aufgabe ist es nun, für die Gerade y = 1 das Verhältnis der Streckenlängen PR und PQ zu
bestimmen.
Bevor du jedoch dieses Verhältnis der Strecken berechnen kannst, benötigst du die Koordinaten der Punkte P, Q und R. Punkt P entspricht dabei dem Schnittpunkt der Gerade y = 1
mit der y-Achse, während die Punkte Q und R den Schnittpunkten der Gerade y = 1 und
dem Graphen von f im Intervall [0; π ] entsprechen. Diese Schnittpunkte kannst du dabei
im Graphs-Modus deines GTR berechnen. Hast du diese Schnittpunkte und die Koordinaten des Punktes P berechnet, so bestimmst du die Streckenlängen der Strecken PR und PQ
und ermittelst das Verhältnis derer über den gegebenen Quotienten.
1. Schritt: Bestimmen der Koordinaten von P, Q und R
Der Schnittpunkt P der Geraden y = 1 mit der y-Achse besitzt die Koordinaten P(0 | 1),
da y = 1 an jeder Stelle x eine y-Koordinate von 1 besitzt.
Willst du nun die Schnittpunkte Q und R des Graphen
von f mit der Geraden y = 1 berechnen, so speicherst du
die Funktionsterme f ( x ) und y = 1 zunächst im Y=-Editor
hier anfangen
und wechselst anschließend in den Graphs-Modus. In diesem bestimmst du dann Schnittpunkte von f und y = 1
unter Verwendung des Befehls, welchen du unter
2nd → CALC → 5:intersect
findest (siehe rechts).
Die Koordinaten der Schnittpunkte sind also: Q(1, 114 | 1) und R(2, 773 | 1).
2. Schritt: Bestimmen des Verhältnisses PR : PQ
Bevor du das Verhältnis PR : PQ berechnen kannst, benötigst du die Längen der Strecken PR und PQ. Die Längen der Strecken berechnen sich dabei über die Differenz der xKoordinaten der jeweiligen Punkte, da die Strecken jeweils parallel zur x-Achse verlaufen:
Länge von PR: | x R − x P | = |1, 114 − 0| = 2, 773.
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Länge von PQ: xQ − x P = |2, 773 − 0| = 1, 114.
Dividiere nun die Länge der Strecke PR durch die Länge der Strecke PQ und erhalte daraus
das Verhältnis PR : PQ:
PR
2, 773 LE
= 2, 489
=
1,
114 LE
PQ
=⇒Das gesuchte Verhältnis ist: PR : PQ = 2, 489.
(4) ◮ Ermitteln des Zahlenwerts für a
Nun ist es deine Aufgabe, eine Gerade, welche parallel zur x-Achse verläuft zu bestimmen,
für die das Verhältnis der Längen der Strecken PR und PQ folgendes ist:
PR : PQ = 2.
Gesucht ist also eine Gerade y = a die den Graphen von f so schneidet, dass die Längen
der Strecken PQ und PR sich im Verhältnis 2 teilen. Das heißt, Strecke PR muss doppelt so
lang sein wie die Strecke PQ. Betrachtest du nun die erste Schnittstelle xS1 von y = a und
f , so muss für die zweite Schnittstelle von xS2 gelten:
• Da y = a eine Parallele zur x-Achse ist, muss der Funktionswert von f an der Stelle
xS1 gleich dem Funktionswert von f an der Stelle xS2 sein. Es gilt also f ( xS1 ) = f ( xS2 )
• Da Strecke PR doppelt so wie die Strecke PQ sein soll, muss die Schnittstelle xS2 dem
Doppelten der Schnittstelle xS1 entsprechen. Es muss also gelten: xS2 = 2 · xS1 .
Gesucht ist also eine Stelle xS1 für welche gilt:
f ( x S1 ) = f ( 2 · x S1 ) .
Setze also f ( x ) mit f (2 · x ) gleich und bestimme jene Stelle xS1 im Intervall [0; π ] welche
dem Ursprung am nächsten ist. Diese Stelle entspricht dann gerade der x-Koordinaten des
Punktes Q:
f ( x ) = f (2 · x )
x · sin( x ) = 2 · x · sin(2 · x )
x · sin( x ) − 2 · x · sin(2 · x ) = 0
| −2 · x · sin(2 · x )
x ausklammern
x · (sin( x ) − 2 · sin(2 · x )) = 0
Die erste Stelle, welche die oben genannten Bedingungen erfüllt ist, die Stelle x = 0 (Satz
vom Nullprodukt). Da aber für x = 0 die Strecken PQ und PR eine Länge von Null besitzen
würden, wird diese Lösung im Weiteren nicht mehr betrachtet.
sin( x ) − 2 · sin(2 · x ) = 0
| +2 · sin(2 · x )
sin( x ) = 2 · sin(2 · x )
Da die Lösung dieser Gleichung nur schwer von Hand zu bestimmen wäre, ist es hier
sinnvoll, wenn du deinen GTR benutzt, um diese Gleichung graphisch zu lösen.
Speichere dazu sin( x ) und 2 · sin(2 · x ) als Funktionen
im Y=-Editor und wechsle anschließend in den GraphsModus. In diesem bestimmst du nun jenen Schnitt-
hier anfangen
punkt der beiden Funktionen, welcher dem Ursprung am
nächsten liegt. Verwende dazu diese Eingabenfolge:
2nd → CALC → 5:intersection
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Der Schnittpunkt Q des Graphen von f und der Geraden y = a, der die in der Aufgabenstellung geforderte Bedingung erfüllt, befindet sich an der Stelle xS1 ≈ 1, 318. Willst du nun
den Parameter der Geraden y = a wie gefordert bestimmen, so berechnest du den Funktionswert von f an der Stelle xS1 ≈ 1, 318. Der Funktionswert von f an der Stelle xS1 ≈ 1, 318
entspricht dann gerade dem gesuchten Parameterwert von a.
f ( xS1 ) = 1, 318 · sin(2 · 1, 318) ≈ 1, 276
=⇒Die Gerade y = 1, 276 schneidet den Graphen von f so, dass für die Strecken PQ und PR
gilt: PR : PQ = 2.
c)
(1) ◮ Zeigen, dass F eine Stammfunktion von f ist
(16P)
Betrachtet wird nun Funktion F mit dem Funktionsterm:
F ( x ) = sin( x ) − x · cos( x ).
Deine Aufgabe ist es dabei, zu zeigen, dass F eine Stammfunktion von f ist. Da die Stammfunktion F durch Integrieren von f entstanden sein könnte, leitest du F hier einmal ab und
zeigst so, dass sich wieder f ergibt. Es muss also gelten:
F ′ ( x ) = f ( x ).
Hast du gezeigt, dass sich durch Ableiten von F gerade wieder der Funktionsterm von f
ergibt, so hast du gezeigt, dass F eine Stammfunktion von f ist.
Beim Ableiten von F musst du dabei beachten, dass du von der Produktregel Gebrauch
machen musst.
F ( x ) = sin( x ) − x · cos( x )
F ′ ( x ) = cos( x ) − (cos( x ) + x · (− sin( x )))
F ′ ( x ) = cos( x ) − cos( x ) + x · sin( x )
F ′ ( x ) = x · sin( x ) = f ( x )
=⇒Damit hast du gezeigt, dass durch Ableiten von F gerade wieder der Funktionsterm von f
resultiert, was bedeutet, dass F eine Stammfunktion von f ist.
(2) ◮ Bestimmen den Inhalt der jeweiligen Flächenstücke
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass der Graph von f mit der positiven
x-Achse viele Flächenstücke einschließt. In der Anlage zur Aufgabenstellung siehst du
nun, dass die ersten zwei Flächenstücke auf der positiven x-Achse markiert sind. Deine
Aufgabe ist es nun, die Flächeninhalte A1 und A2 dieser Flächenstücke zu berechnen. Dabei kannst du der Skizze der Anlage entnehmen, dass die Flächenstücke jeweils durch die
Schnittstellen von f mit der x-Achse beschränkt werden. Im Aufgabenteil a hast du bestimmt, dass die Nullstellen von f sich an den folgenden Stellen befinden:
x1 = 0 und xz = π · z mit z ∈ Z.
Der Skizze kannst nun du entnehmen, dass das Flächenstück mit dem Flächeninhalt A1
durch die Nullstellen von f bei x1 = 0 und xz=1 = π beschränkt wird. Das zweite
Flächenstück mit dem Flächeninhalt A2 wird beschränkt durch xz=1 = π und xz=2 = 2 · π.
Die Flächeninhalte A1 und A2 berechnest du über Integrale über die Funktion f , wobei
du beachten musst, dass sich die zweite betrachtete Fläche unterhalb der x-Achse befindet,
deshalb musst du hier mit dem Betrag arbeiten.
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Zu berechnen sind also diese Integrale:
xZz=1
xZz=2
f ( x ) dx .
f ( x ) dx und A2 = A1 =
x
x
z =1
1
Diese Integrale kannst du im Calculator-Modus deines GTR berechnen. Dabei ist zu empfehlen, den Funktionsterm von f zunächst im Y=-Editor zu speichern (hier wurde f ( x )
unter Y1 festgelegt). Anschließend fügst du über
MATH → 9:fnInt( den Integralbefehl in den Calculator-Modus deines GTR ein und
greifst über
VARS → Y-VARS → 1: Function
auf jene Variable zu, unter welcher du f ( x ) festgelegt hast.
Beachte außerdem, dass du den Betragsbefehl über diese Eingabenfolge in den Calculator-Modus deines GTR
hier anfangen
einfügst:
MATH → NUM → 1:abs(
=⇒Für die Flächeninhalte A1 und A2 gilt also: A1 = π ≈ 3, 142 und A2 = 3 · π ≈ 9, 425.
(3) ◮ Bestimmen der Nullstellen, die das n-te Flächenstück begrenzen
Betrachtet wird nun das n-te Flächenstück, welches der Graph von f mit der positiven
x-Achse einschließt, mit dem Flächeninhalt An . Deine Aufgabe ist es zunächst, jene Nullstellen zu bestimmen, welche das n-te Flächenstück begrenzen, wobei für n gilt: n ∈ N und
n ≥ 1.
Beim Lösen dieser Aufgabe kann es sinnvoll sein, wenn du zunächst die in der Anlage
gegebene Skizze des vorherigen Sachverhalts nochmals betrachtest. Betrachtest du zum
Beispiel das erste Flächenstück mit dem Flächeninhalt A1 so kannst du erkennen, dass
dieses durch die folgenden zwei Nullstellen x0 und x1 begrenzt wird:
x0 = 0 · π und x1 = 1 · π.
Für das Flächenstück mit dem Flächeninhalt A2 gilt, dass dieses durch diese beiden Nullstellen begrenzt wird:
x1 = 1 · π und x2 = 2 · π.
Das zweite Flächenstück wird also nach links durch die (2-1)te-Nullstelle und nach rechts
durch die zweite Nullstelle von f auf der positiven x-Achse begrenzt. Übersetzt du dieses
Verständnis nun auf das n-te Flächenstück, so kannst du für die zugehörigen begrenzenden
Nullstellen dies folgern:
=⇒Das n-te Flächenstück wird durch die die Nullstellen (n − 1) · π und n · π begrenzt.
(4) ◮ Nachweisen, dass der Flächeninhalt ein ganzzahliges Vielfaches von π ist
Gegenstand dieser Aufgabe ist es, zu zeigen, dass sich das n-te Flächenstück als ganzzahliges Vielfaches von π darstellen lässt. Dabei ist dir der Flächeninhalt An der Flächenstücke,
in Abhängigkeit von n, über folgenden Term gegeben:
An = |−n · π · cos(n · π ) + (n − 1) · π · cos((n − 1) · π )|
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Nun musst du also diesen Term soweit vereinfachen, dass dieser ein ganzzahliges Vielfaches von π darstellt. Dabei ist zu empfehlen, zunächst die trigonometrischen Teile des
Terms zu betrachten:
cos(n · π ) und cos((n − 1) · π ).
Betrachtet wird also zunächst die Kosinusfunktion. Da n eine natürliche Zahl darstellt,
wird die Kosinusfunktion hier für ganzzahlige Vielfache von π untersucht. Dabei sollte
dir bekannt sein, dass die Kosinusfunktion für ganzzahlige Vielfache von π entweder die
Werte 1 oder (-1) annimmt. Für welche Vielfache von π die Kosinusfunktion den Funktionswert 1 oder (-1) annimmt, kannst du herausfinden, indem du dir beispielsweise eine
Periode der Kosinusfunktion skizzierst:
y
1
2π
π
3π
−1
Der obigen Skizze kannst du entnehmen, dass die Kosinusfunktion für gerade Vielfache
von π den Wert 1 und für ungerade Vielfache von π den Wert (-1) annimmt. Überträgst du
diese Erkenntnis nun auf die oben betrachteten Kosinusfunktion des Terms An , dann gilt:


−1; n gerade
1;
n gerade
.
und cos((n − 1) · π ) =
cos(n · π ) =
1;
−1; n ungerade
n ungerade
Diese Fallunterscheidung musst du nun auch auf den Term für den Inhalt An des n-ten
Flächenstücks anwenden. Anschließend vereinfachst du diesen soweit, bis der Term ein
ganzzahliges Vielfaches von π darstellt.
An = |−n · π · cos(n · π ) + (n − 1) · π · cos((n − 1) · π )|

|−n · π · 1 + (n − 1) · π · (−1)| ; n gerade
=
|−n · π · (−1) + (n − 1) · π · 1| ; n ungerade

|−n · π − (n − 1) · π | ; n gerade
=
 | n · π + ( n − 1) · π | ;
n ungerade

|−n · π − n · π + π | ; n gerade
=
|n · π + n · π − π | ;
n ungerade

|−2 · n · π + π | ; n gerade
=
 |2 · n · π − π | ;
n ungerade
Löst du nun den Betrag auf, so fällt die Fallunterscheidung nach n gerade und ungerade weg. Da die Flächenstücke für gerade n unterhalb der x-Achse liegen, ist deren
Flächeninhalt negativ. Das impliziert, dass für ein beliebiges gerades nb der Flächeninhalt
A des zugehörigen Flächenstücks gilt:
nb An = − An
b
b
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Da n ≥ 1 definiert ist, musst du dabei beim Term für n-gerade die Vorzeichen umdrehen,
damit dieser für jeden Wert von n größer Null ist. Es ergibt sich dieser Term:
An = 2 · n · π − π = (2 · n − 1) · π.
=⇒Da n ∈ N und n ≥ 1 definiert ist, ist der Flächeninhalt An des n-ten Flächenstücks mit
(2 · n − 1) · π ein ganzzahliges Vielfaches von π.
d)
(1) ◮ Ermitteln, für welche k Funktion f k im Intervall mehr als vier Nullstellen besitzt
(14P)
Funktion f ist eine Funktion der Scharfunktion f k . Die Scharfunktion f k hat dabei diesen
Funktionsterm:
f k ( x ) = x · sin(k · x ) für k > 0.
Deine Aufgabe ist es nun, die Parameterwerte von k zu bestimmen, für welche die Scharfunktionen f k im Intervall [0; π ] mehr als vier Nullstellen besitzen. Willst du allgemein die
Nullstellen einer Funktion bestimmen, so setzt du deren Funktionsterm mit Null gleich
und löst die so entstehende Gleichung nach x auf. Ein Teil des Funktionsterms von f k entspricht einer trigonometrischen Funktion, das heißt, diese weist Periodizität auf und wird
für bestimmte Vielfache von π gleich Null. Beachte dies beim Bestimmen der Parameterwerte für k.
f k (x) = 0
0 = x · sin(k · x )
Hier kannst wieder den Satz des Nullprodukts“ anwenden (siehe oben). Wird das x, wel”
ches vor der Sinusfunktion steht, gleich Null, so resultiert die Gleichung zu einer wahren
Aussage (0 = 0). Das heißt, die erste Schnittstelle der Scharfunktion f k befindet sich bei
x1 = 0 und ist unabhängig von Parameter k.
0 = sin(k · x )
Hier muss dir nun bekannt sein, dass die Sinusfunktion für jedes ganzzahlige Vielfache
von π eine Nullstelle besitzt. Entspricht also k · x einem ganzzahligen Vielfachen z · π mit
z ∈ Z von π, so wird die Sinusfunktion gleich Null. Aus dieser Erkenntnis lässt sich dieser
Zusammenhang folgern:
z·π
k · x = z · π ⇔ xz;k =
.
k
Nun musst Parameter k so anpassen, dass f k im Intervall [0; π ] mehr als vier Nullstellen
besitzt. Das heißt, f k muss im betrachteten Intervall mindestens 5 Nullstellen besitzen. Eine
Nullstelle ist bereits durch die von k unabhängige Nullstelle bei x1 = 0 gegeben. Das heißt,
du musst k so bestimmen, dass f k im Intervall [0; π ] vier weitere Nullstellen besitzt. Da
die Nullstellen der Sinusfunktion sich immer bei ganzzahligen Vielfachen von π befinden,
müssen mindestens folgende vier Nullstellen im Intervall [0; π ] vorhanden sein:
1·π
2·π
3·π
4·π
x1;k =
; x2;k =
; x3;k =
und x4;k =
.
k
k
k
k
4·π
kleiner oder gleich der
Dabei muss weiterhin gelten, dass die letzte Nullstelle x4;k =
k
oberen Intervallsgrenze π sein muss:
4·π
≤ π ⇔ 4 · π ≤ k · π ⇔ 4 ≤ k.
k
=⇒Damit die Scharfunktion f k im Intervall [0; π ] mehr als vier Nullstellen besitzt muss Parameter k einen Wert größer gleich 4 annehmen.
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(2) ◮ Untersuchen, ob es Tangenten gibt, die die y-Achse im Punkt P schneiden
Hier ist es nun deine Aufgabe, zu untersuchen, ob es Tangenten gibt, die die y-Achse im
Punkt P(0 | 1) schneiden. Dabei sollen diese Tangenten an die Graphen von f k in jenen
Schnittpunkt mit der positiven x-Achse der Graphen von f k gelegt werden, welcher dem
Ursprung am nächsten liegt. Die Nullstellen von f k in Abhängigkeit von k und einer Zahl
z ∈ Z hast du bereits im vorherigen Aufgabenteil bestimmt, diese waren:
z·π
.
xz;k =
k
Die Nullstelle auf der positiven x-Achse, welche dem Ursprung am nächsten liegt, ergibt
sich also für die kleinste positive ganze Zahl z ∈ Z:
π
1·π
= .
x1;k =
k
k
Die Nullstelle der Scharfunktion, welche auf der positiven x-Achse dem Ursprung am
π
nächsten liegt, befindet sich also bei x1;k = . Das heißt, die Tangenten, für welche die
k
beschriebene Bedingung überprüft werden soll, müssen also im Punkt Nk ( πk | 0) an die
Graphen der Scharfunktion f k angelegt werden. Die allgemeine Form einer Tangenten lautet:
tk ( x ) = f ′ (u) · ( x − u) + f (u) mit:
• u: Stelle an welche Tangente an die Graphen von f k angelegt werden soll.
• f ′ (u): Ableitungswert der ersten Ableitung von f an der Stelle u.
• f (u): Funktionswert von f an der Stelle u.
Das heißt, die Stelle, an welcher die Tangenten an die Graphen der Scharfunktion f k angelegt werden sollen, ist u = πk . Willst du nun überprüfen ob es Parameterwerte für k gibt,
für welche die Tangenten an f k die y-Achse im Punkt P schneiden, so setzt du zunächst
u = πk in den von u abhängigen Funktionsterm der Tangenten tk ein. Anschließend führst
du eine Punktprobe von tk und Punkt P durch, woraus eine Gleichung in Abhängigkeit
von Parameter k entsteht. Anhand dieser Gleichung kannst du dann überprüfen, ob es Parameterwerte für k gibt, für welche t durch den Punkt P(0 | 1) verläuft.
Gehe beim Lösen der Aufgabe also so vor:
1. Schritt: Bestimmen der ersten Ableitungsfunktion f k′ von f k
2. Schritt: Aufstellen der Tangentengleichung der Tangenten tk an die Graphen von f k
im Punkt Nk
3. Schritt: Punktprobe von tk mit Punkt P
1. Schritt:
Leite f k mit Hilfe der Ketten- und Produktregel ab:
f k ( x ) = x · sin(k · x )
f k′ ( x ) = sin(k · x ) + x · k · cos(k · x )
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2. Schritt:
Setze nun u = πk in den von u und k abhängigen Funktionsterm von t ein und vereinfache
soweit wie möglich:
tk ( x ) = f ′ (u) · ( x − u) + f (u)
= f ′ ( πk ) · ( x −
=
=
=
=
=
π
π
k ) + f( k )
sin(k · πk ) + πk · k · cos(k · πk ) · ( x
(sin(π ) + π · cos(π )) · ( x − πk )
(0 + π · (−1)) · ( x − πk )
−π · ( x − πk )
2
−π · x + π · πk = −π · x + πk
− πk ) + 0
3. Schritt:
Setze nun die Koordinaten von P in die oben bestimmte von k abhängige Funktionsgleichung von t ein, um die Parameterwerte von k zu bestimmen, für welche Tangente tk durch
P verläuft:
tk ( x ) = −π · x +
t k (0) = − π · 0 +
1=
k=
π2
k
π2
π2
k
π2
mit P(0 | 1)
k
| ·k
=⇒Nimmt Parameter k den Wert k = π 2 an, so verläuft Tangente t, angelegt an die Graphen
von f k im Punkt Nk πk | 0 , durch den Punkt P(0 | 1).
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Block 2A − Lineare Algebra/Analytische Geometrie − Stochastik − Aufgabe 1
a)
(1) ◮ Bestimmen der Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Gepäckstück schwerer als 20 kg ist
(13P)
Betrachtet wird hier eine normalverteilte Zufallsgröße X. Diese Zufallsgröße X beschreibt
das Gewicht der Gepäckstücke und man geht, basierend auf vorherigen Erfahrungen, davon aus, dass X einen Erwartungswert von µ = 14, 5 kg und eine Standardabweichung von
σ = 5, 4 kg besitzt. Die Zufallsgröße X ist demnach wie folgt verteilt:
X ∼ N (14, 5; 5, 42 )
Nun ist es deine Aufgabe die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass ein Gepäckstück
schwerer als 20 kg ist. Zu bestimmen ist demnach diese Wahrscheinlichkeit: P( X > 20).
Da es sich hier nicht um eine standardnormalverteilte Zufallsvariable handelt, musst du
jedoch, bevor du die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kannst, die Zufallsgröße X
normieren. Alternativ kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit auch mit deinem GTR
berechnen, verwende dazu den normcdf(...)-Befehl.
Die zu berechnende Wahrscheinlichkeit kannst du mit Hilfe des zugehörigen Gegenereignisses auf folgende Form bringen:
P( X > 20) = 1 − P( X ≤ 20).
Nun kannst du diese mit folgender Normierung und der Tabelle zur Standardnormalverteilung berechnen:
k−µ
P( X ≤ k) = Φ
anwenden auf P( X ≤ 20):
σ
20 − 14, 5
P( X > 20) = 1 − P( X ≤ 20) = 1 − Φ
= 1 − Φ(1, 0185)
5, 4
≈ 1 − 0, 84614 ≈ 0, 154
Alternativ
Alternativ kannst du die Wahrscheinlichkeit P( X > 20) auch mit deinem GTR berechnen.
Da es sich bei X um eine normalverteilte Zufallsvariable handelt, ist hier folgende Umformung des betrachteten Terms zulässig:
P( X > 20) = P( X ≥ 20).
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Willst du diese Wahrscheinlichkeit nun mit deinem GTR berechnen, so verwendest du hier
den normcdf(...)- Befehl. Dieser ist nämlich wie folgt definiert:
P( a0 ≤ X ≤ a1 ) = normalcdf(a0 ,a1 ,µ,σ); wobei gilt:
• a0 und a1 obere und untere Grenze des betrachteten Intervalls.
• µ: Erwartungswert der betrachteten Zufallsvariable.
• σ: Standardabweichung der betrachteten Zufallsvariable.
Da bei der zu berechnenden Wahrscheinlichkeit keine obere Grenze angegeben ist, musst
du diese hier mit ∞ annehmen. In den GTR gibst du diese mit 1E99 ein.
Willst du nun P( X ≥ 20) mit deinem GTR berechnen, so
greifst du zunächst über diese Eingabenfolge auf den eben
genannten Befehl zu:
hier anfangen
2nd → VARS (DISTR) → 2:normalcdf(
Anschließend wendest du diesen wie folgt an, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen:
normalcdf(20,1E99,14.5,5.4)
=⇒Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gepäckstück mehr als 20 kg wiegt, liegt bei
ungefähr 15,4 %.
(2) ◮ Symmetrisches Intervall bestimmen
Gesucht ist ein Intervall, das symmetrisch zum Erwartungswert liegen soll. Allgemein
kannst du dieses Intervall so formulieren: [µ − k; µ + k ]. So liegt der Erwartungswert µ genau in der Mitte des Intervalls.
In diesem Intervall soll nun das Gewicht von mindestens 80 % aller Gepäckstücke liegen;
d.h. 80 % all der Werte die, X annehmen kann. In Formeln soll also gelten:
P( X ∈ [µ − k; µ + k ]) ≥ 0, 80 bzw. P(µ − k ≤ X ≤ µ + k ) ≥ 0, 80 .
• Forme diesen Term mithilfe der Φ-Funktion um
• Löse diesen Term nach k auf. Verwende hierzu entweder eine Tabelle zur Standardnormalverteilung oder deinen GTR
• Bestimme das Intervall. Führe zuletzt noch eine Probe durch.
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1. Schritt: Term umformen:
Aus der Forderung ergibt sich:
P(µ − k ≤ X ≤ µ + k ) ≥ 0, 80
P( X ≤ µ + k) − P( X ≤ µ − k) ≥
µ−k−µ
µ+k−µ
−Φ
≥
Φ
σ
σ
k
k
−Φ −
≥
Φ
σ
σ
k
k
Φ
− 1−Φ
≥
σ
σ
k
k
−1+Φ
≥
Φ
σ
σ
k
2Φ
−1 ≥
σ
k
2Φ
≥
σ
k
≥
Φ
σ
0, 80
0, 80
0, 80
0, 80
0, 80
0, 80
| +1
1, 80
|:2
0, 90
2. Schritt: Term nach k auflösen
Betrachte eine Tabelle zur Normalverteilung und suche nach dem Wert, für den
die Φ-Funktion erstmals einen Wert größer oder gleich 0,90 annimmt. Du findest
Φ(1, 29) = 0, 90147.
Alternativ
Alternativ kannst du die gesuchte Stelle der Φ-Funktion auch mit deinem GTR berechnen.
Rufe dazu den Befehl
2nd → VARS (DISTR) → 3: invNorm
hier anfangen
auf und wende diesen hier so an:
invNorm(0.9,0,1)
µ und σ brauchst du hier nicht zu verändern, weil die
Φ-Funktion sich auf die Standardnormalverteilung bezieht.
Der GTR liefert den Wert 1,2816. Die Abweichung kommt zustande, weil der GTR exakter
ist als die Tabelle. Wir verwenden in der folgenden Lösung jedoch den Wert 1,29 aus der
Tabelle.
3. Schritt: Intervall bestimmen und Probe durchführen:
Mit diesem Wert folgt:
k
≥ 1, 29
σ
k
≥ 1, 29
| ·5, 4
5, 4
k ≥ 6, 966
Mit k = 6, 912 ergibt sich das Intervall:
[µ − 6, 966; µ + 6, 966] = [14, 5 − 6, 966; 14, 5 + 6, 966] = [7, 534; 21, 466].
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Führe zuletzt noch die Probe durch: Bestimme
P(7, 53 ≤ X ≤ 21, 47). Sie müsste größer als 0,80 sein.
die
Wahrscheinlichkeit
Untersuche außerdem das nächst kleinere Intervall [7, 6; 21, 4] und vergleiche die beiden
Werte.
Rufe wie oben den Befehl für Normalverteilung auf und
berechne die Wahrscheinlichkeit für die beiden Intervall.
hier anfangen
Mit dem GTR ergibt sich:
P(7, 53 ≤ X ≤ 21, 47) ≈ 0, 803 ≥ 0, 8.
P(7, 6 ≤ X ≤ 21, 4) ≈ 0, 799 < 0, 8.
Damit ist nachgewiesen, dass mit [7, 53; 21, 47] das richtige Intervall bestimmt ist.
b)
(1) ◮ Begründen, warum Z als binomialverteilt angesehen werden kann
(12P)
Betrachtet wird in diesem Aufgabenteil eine Zufallsvariable Z. Diese Zufallsvariable Z soll
die Anzahl der fehlgeleiteten Gepäckstücke repräsentieren. Deine Aufgabe ist es zunächst
einmal zu begründen, warum die Zufallsvariable Z als binomialverteilt angesehen werden
kann. Der Aufgabenstellung kannst du dazu entnehmen, dass es aufgrund von unlesbaren
oder verloren gegangenen Aufklebern auf den Gepäckstücken dazu kommt, dass bestimmte Gepäckstücke nicht zu den dafür vorhergesehenen Flugzeugen gelangen. Der Anteil der
fehlgeleiteten Gepäckstücken wird dabei als konstant angesehen und der Anteil dieser beträgt 1 %.
Ist eine bestimmte Zufallsvariable binomialverteilt, so besitzt diese genau zwei verschiedene mögliche Ausprägungen, welche jeweils mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit p
und (1 − p) auftreten. Betrachtet wird demnach eine bernoulliverteilte Zufallsvariable in einem n-stufigen Bernoulli-Versuch. Handelt es sich bei diesem Bernoulli-Versuch um einen
Zufallsversuch, bei dem Ziehen mit Zurücklegen“ gilt, so kann eine Zufallsvariable, wel”
che nur zwei mögliche Ausprägungen besitzt, als binomialverteilt angenommen werden.
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Da hier eine sehr große Anzahl an Gepäckstücken betrachtet wird, kann die Tatsache, dass
es sich eigentlich um ein Ziehen ohne Zurücklegen“ handelt, vernachlässigt werden. Wer”
den nun verschiedene Gepäckstücke auf verschiedenen Stufen des Zufallsexperiments betrachtet, so wird jedes dieser Gepäckstücke mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % fehlgeleitet. Das heißt, die Zufallsvariable Z, welche die Anzahl der fehlgeleiteten Gepäckstücke
beschreibt, besitzt nur diese beiden Ausprägungen:
• Gepäckstück wird fehlgeleitet“ oder
”
• Gepäckstück wird nicht fehlgeleitet“.
”
Da somit alle Bedingungen an die Zufallsvariable Z erfüllt sind, damit diese als binomialverteilt angenommen werden kann, hast du gezeigt, dass Z eine binomialverteilte Zufallsvariable darstellt. Diese ist also wie folgt definiert:
Z ∼ Bn;0,01 (k ) mit:
• n: Stichprobenumfang, wobei gilt: n ∈ N.
• p = 0, 01: Wahrscheinlichkeit für Fehlleitung.
• k: Anzahl der betrachteten Ereignisse.
(2) ◮ Berechnen der Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse E1 und E2
Deine Aufgabe ist es nun, die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse E1 und E2 zu berechnen.
Das heißt du sollst hier die Wahrscheinlichkeit zu diesen zwei Ereignissen berechnen:
• E1 : Alle 100 Gepäckstücke gelangen zum richtigen Flugzeug.
• E2 : Mehr als zwei der 100 Gepäckstücke werden fehlgeleitet.
Betrachtet wird hier die Zufallsvariable Z, welche die Anzahl der fehlgeleiteten
Gepäckstücke repräsentiert, wobei der Stichprobenumfang nun mit n = 100 angenommen wird. Zufallsvariable Z ist demnach hier so verteilt:
Z ∼ B100;0,01 (k )
1. Schritt: Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis E1
Nun sollst du also die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass alle der 100 beobachteten Gepäckstücke zu ihrem vorhergesehen Flugzeug gelangen, dass heißt, keines der
100 Gepäckstücke wird fehlgeleitet. Da Z die Anzahl der fehlgeleiteten Gepäckstücke repräsentiert, ist hier folgende Wahrscheinlichkeit gesucht:
P ( Z = 0).
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Diese Wahrscheinlichkeit kannst du im Calculator-Modus deines GTR berechnen. Verwende dazu den binompdf(..)-Befehl, welchen du über diese Befehlsfolge in den
Calculator-Modus deines GTR einfügst:
2nd → VARS (DISTR) → A:binompdf( .
Willst du hier die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen,
so musst du beachten, dass der binompdf(..)-Befehl folgende Syntax aufweist:
hier anfangen
binompdf(n,p,k).
Nimm für n, p und k also n = 100, p = 0, 01 und k = 0
an und berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit wie im
Schaubild rechts.
=⇒Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keines der 100 betrachteten Gepäckstücke fehlgeleitet
wird, liegt bei 0, 3660 bzw. bei 36, 6 %.
2. Schritt: Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis E2
Hier sollst du nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass mehr als zwei der 100
betrachteten Gepäckstücke fehlgeleitet werden. Überträgst du diesen Sachverhalt nun auf
die Zufallsvariable Z, so sollst du hier die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass diese
einen Wert größer zwei annimmt. Zu berechnen ist hier also folgende Wahrscheinlichkeit:
P ( Z > 2).
Diese Wahrscheinlichkeit kannst du dabei wieder mithilfe deines GTR berechnen, wobei
du jedoch das zugehörige Gegenereignis betrachten musst, da der Rechner nur in der Lage
ist, dieses zu berechnen:
P ( Z > 2) = 1 − P ( Z ≤ 2).
Die Wahrscheinlichkeit P( Z ≤ 2) kannst du mit dem binomcdf(..)-Befehl im Calculator-
Modus deines GTR berechnen, welchen du über diese Befehlsfolge in den CalculatorModus deines GTR einfügst:
2nd → VARS (DISTR) → B: binomcdf( .
Dabei musst du beachten, dass der binomcdf(..)-Befehl
folgende Syntax aufweist:
hier anfangen
P( Z ≤ k ) = binomcdf(n,p,k).
Nehme für n, p und k also n = 100, p = 0, 01 und k = 2
an und berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit wie im
Schaubild rechts.
=⇒Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 2 der 100 beobachteten Gepäckstücke fehlgeleitet werden, liegt ungefähr bei 0,07937 bzw. 7,94 %.
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(3) ◮ Untersuchen, um wieviel der Anteil gesenkt werden muss
Nun sollst du untersuchen, um wie viele Prozentpunkte der Anteil der fehlgeleiteten
Gepäckstücke durch Verbesserungsmaßnahmen mindestens gesenkt werden müsste, damit die oben berechnete Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E2 , mit:
E2 : Mehr als zwei Gepäckstücke werden fehlgeleitet“,
”
höchstens halb so groß wird. Oben hast du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E2 bereits berechnet, wobei sich dieses Ergebnis ergeben hat:
P( E2 ) = P( Z > 2) = 1 − P( Z ≤ 2) ≈ 0, 0794.
Ausgehend von dieser Wahrscheinlichkeit, sollst du also nun den Anteil der fehlgeleiteten
Gepäckstücke so berechnen, dass dieser die oben genannte Bedingung erfüllt. Der Anteil
der fehlgeleiteten Gepäckstücke wird dabei durch den Parameter p der Binomialverteilung
repräsentiert. Das bedeutet, hier ist ein Wert für p gesucht, welcher die oben gegebene
Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E2 mindestens halbiert, sodass gilt:
P( E2 ) ≤
1
2
· 0, 0794 ⇔ P( E2 ) ≤ 0, 0397.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E2 hast du oben mit Hilfe des binomcdf(..)Befehls deines GTR berechnet, wobei du diesen bei der Berechnung so angewandt hast:
P( E2 ) = 1 − P( Z ≤ 2) = 1 − binomcdf(n, p, k).
Dabei sind Parameter n mit n = 100 und Parameter k mit k = 2 gegeben und nun gilt es,
den Parameter p so zu bestimmen, dass folgende Bedingung erfüllt ist:
1 − binomcdf(n, p, k) ≤ 0, 0397.
Da diese Gleichung von Hand kaum lösbar wäre, wird im Folgenden ein graphisches
Lösungsverfahren beschrieben, mit welchem diese Gleichung lösbar ist.
Bestimmen des gesuchten Parameters p
Setzt du n und k in die oben aufgestellte Ungleichung ein, so ergibt sich diese zu:
1 − binomcdf(100, p, 2) ≤ 0, 0397.
Durch Umformen erhältst du anschließend:
1 − binomcdf(100, p, 2) ≤ 0, 0397
−binomcdf(100, p, 2)
binomcdf(100, p, 2)
≤ −0, 9603
| −1
| : (−1)
≥ 0, 9603
Diese Ungleichung kannst du nun graphisch mit Hilfe deines GTR lösen. Interpretiere dazu den von p abhängigen
binomcdf-Befehl der obigen Ungleichung als eine von pabhängige Funktion. Diese kannst du wie rechts in den
hier anfangen
Y=-Editor deines Rechners eintragen. Der entstehende zugehörige Graph gibt dir dann zu verschiedenen Werten
von p den zugehörigen Wert des binomcdf(..)-Befehl,
unter Bedingung der gegebenen Parameter n und k, an.
Betrachtest du die oben gegebene Ungleichung näher, so kannst du erkennen, dass ein
Parameterwert für p gesucht ist, damit der resultierende Wert des binomcdf(..)-Befehls
größer als 0,9603 ist.
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Lösungsblatt (ausführlich)
Diese Bedingung kannst du nun als Gerade im GraphsModus deines GTR formulieren, wobei diese Gerade b fol-
hier anfangen
genden Funktionsterm besitzen muss:
b : y = 0, 9603.
Trage diese wie rechts in den Y=-Editor deines GTR ein
und wechsle anschließend in den Graphs-Modus. In diesem lässt du dir anschließend die Graphen im zwischen 0
und 1 auf der x- und y- Achse anzeigen.
Um den gesuchten Wert für p nun zu finden, bestimmst
du den Schnittpunkt der beiden entstehenden Graphen.
Dabei berechnest du den Schnittpunkt dieser Graphen im
hier anfangen
Graphs-Modus über diese Eingabenfolge:
2nd → TRACE (CALC) → 5:intersect
Hast du den Schnittpunkt der beiden Graphen nun
wie rechts berechnet, so entspricht dessen zugehörige
x-Koordinate, dem gesuchten Wert für p.
Der gesuchte Wert für p ist also p ≈ 0, 0075.
=⇒Damit die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E2 höchstens halb so groß wird, muss der
Anteil der fehlgeleiteten Gepäckstücke von 1 % auf mindestens 0,75 % gesenkt werden. Das
heißt, der Anteil der fehlgeleiteten Gepäckstücke muss mindestens um 25 % bzw. um 0,25
Prozentpunkte gesenkt werden, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 2 von
100 betrachteten Gepäckstücke fehlgeleitet werden, halbiert wird.
c)
(1) ◮ Graphisches Darstellen des Sachverhalts
(15P)
Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass ein Gepäckstück bei der Sicherheitskontrolle
bis zu 3 Stationen durchläuft. Dieser Ablauf kann hier als dreistufiger Zufallsversuch interpretiert werden, wobei sich die Wahrscheinlichkeiten des Zufallsversuchs wie folgt dem
Text entnehmen lassen:
Bei der ersten Station kann, durch automatisches Durchleuchten des Gepäckstücks, mit
95 % Wahrscheinlichkeit ein eindeutiges Ergebnis ermittelt werden. Liegt ein eindeutiges
Ergebnis vor, so ist die Sicherheitskontrolle bzw. der Zufallsversuch beendet. Kann hingegen kein eindeutiges Ergebnis ermittelt werden, so wird das Gepäckstück an Station 2
weitergeleitet, was folglich mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % geschieht.
Bei Station 2 wird das betrachtete Gepäckstück nochmals von einem Mitarbeiter durchleuchtet, welcher mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % ein eindeutiges Ergebnis ermitteln
kann. Wird hier ein eindeutiges Ergebnis ermittelt, so ist die Sicherheitskontrolle bzw. der
Zufallsversuch ebenfalls beendet.
Liegt hier wiederum kein eindeutiges Ergebnis vor, was folglich mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 % eintrifft, so wird das betrachtete Gepäckstück an Station 3 weitergeleitet. Bei
dieser wird das Gepäckstück durch einen Mitarbeiter geöffnet. Dieser Mitarbeiter kann dabei mit 100 % Wahrscheinlichkeit ein eindeutiges Ergebnis für für das Gepäckstück feststellen und die Sicherheitskontrolle eines Gepäckstücks bzw. der Zufallsversuch ist spätestens
hier beendet.
Da hier ein mehrstufiger Zufallsversuch vorliegt, kannst du diesen durch ein Baumdiagramm graphisch darstellen. Beachte dabei, dass auf den ersten beiden Stufen jeweils zwei
mögliche Ausgänge gegeben sind, deren Wahrscheinlichkeiten oben beschrieben wurden.
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Dein Baumdiagramm könnte nun wie das unten stehende aussehen. Im unten dargestellten
Baumdiagramm entspricht e einem eindeutigen Ergebnis, während e keinem eindeutigen
Ergebnis entspricht.
e
e
0,95
0,8
0,05
Station 1
0,2
e
Station 2
1
e
e
Station 3
(2) ◮ Berechnen der durchschnittlichen Kosten für die Kontrolle eines Gepäckstücks
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass durch die Kontrolle der Gepäckstücke
bei den verschiedenen Stationen jeweils Kosten anfallen. Eine Kontrolle bei Station 1 kostet
0,4 e pro Gepäckstück, eine Kontrolle bei Station 2 kostet 2 e pro Gepäckstück und eine
Kontrolle bei Station 3 kostet 15 e pro Gepäckstück. Deine Aufgabe ist es nun, die Kosten
zu berechnen, die durchschnittlich für die Kontrolle eines Gepäckstücks angesetzt werden
müssen.
Da es sich bei der Kontrolle eines Gepäckstücks um einen dreistufigen Zufallsversuch
handelt, kannst du hier Zufallsvariable Y betrachten, welche die Kosten eines geprüften
Gepäckstücks in e repräsentiert. Die möglichen Ausprägungen der Zufallsvariable Y ergeben sich dabei aus dem zugrundeliegenden dreistufigen Zufallsversuch und entsprechen
den Kosten der verschiedene Stufen bei der Sicherheitskontrolle.
Modellierst du den Sachverhalt, wie eben beschrieben, so entsprechen die durchschnittlichen Kosten der Sicherheitskontrolle eines Gepäckstücks, dem Erwartungswert der Zufallsvariable Y. Um den Erwartungswert zu berechnen, multiplizierst du zunächst die Kosten der jeweiligen Stufen mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten und summierst diese
Produkte auf.
Berechnen des Erwartungswerts der Zufallsvariable Y
Bevor du den Erwartungswert berechnest, solltest du dir Gedanken darüber machen, mit
welcher Wahrscheinlichkeit die jeweiligen Ereignisse eintreffen. Da Y die Kosten eines geprüften Gepäckstücks in e repräsentiert, sind hier jene Ereignisse wichtig, bei denen Kosten entstehen. Verwende zum Berechnen der Wahrscheinlichkeiten dieser, die Pfadregeln
im obigen Baumdiagramm:
P(Kontrolle Station 1) = 1.
P(Station 1, e) = 0, 05.
P(Station 2, e) = 0, 05 · 0, 2 = 0, 01.
Erwartungswert E(Y ):
E(Y ) = 1 · 0, 4 e + 0, 05 · 2 e + 0, 01 · 15 e = 0, 65 e
=⇒Pro Gepäckstück müssen durchschnittlich 0,65 e bzw. 65 Cent an Kosten für die Kontrolle
angesetzt werden.
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(3) ◮ Berechnen, der gesuchten Prozentzahl
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass ein neues Durchleuchtungsgerät
für Station 1 angeboten wird, durch das sich die Kosten je untersuchtem Gepäckstück an
dieser Station auf 0,50 e erhöhen würden.
Deine Aufgabe ist es nun, zu berechnen, bei wie viel Prozent der Kontrollen dieses Gerät
ein eindeutiges Ergebnis liefern muss, damit sich die durchschnittlichen Kosten für die
Kontrolle eines Gepäckstücks nicht erhöhen. Dabei kannst du annehmen, dass sich die Erkennungsrate an Station 2 nicht ändert.
Im vorhergegangenen Aufgabenteil hast du herausgefunden, dass die durchschnittlichen Kosten für die Kontrolle eines Gepäckstücks dem Erwartungswert der oben eingeführten Zufallsvariablen Y entsprechen. Die durchschnittlichen Kosten der Kontrolle pro
Gepäckstück waren E(Y ) = 0, 65 e.
Oben hast du eben diesen Erwartungswert über die Summe der Produkte der Kosten
der jeweiligen Stufen und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnet. Dabei waren
die Wahrscheinlichkeiten, dass bei einem Gepäckstück kein eindeutiges Ergebnis vorliegt
gegeben. Nun ist dir nicht bekannt, mit welcher Wahrscheinlichkeit an Station 1 für ein
Gepäckstück kein eindeutiges Ergebnis vorliegt, es gilt also:
P(Station 1, e) = p.
Da dir nicht bekannt ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit an Station 1 für ein Gepäckstück
kein eindeutiges Ergebnis vorliegt, ist dir auch nicht bekannt, mit welcher Wahrscheinlichkeit an Station 2 für dasselbe Gepäckstück ebenfalls kein eindeutiges Ergebnis vorliegt, es
gilt hier also:
P(Station 2, e) = p · 0, 2.
Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit p nun zu berechnen, setzt du die von p abhängigen
Wahrscheinlichkeiten in die Formel für die Berechnung des Erwartungswerts ein (siehe
(2)) und setzt diesen mit E(Y ) = 0, 65 e gleich. Anschließend löst du die resultierende
Gleichung nach p auf. Beachte dabei, dass sich die Kosten an Station 1 auf 0,50 e erhöht
haben.
Berechnen des gesuchten Prozentsatzes
E(Y ) = 1 · 0, 5 e + p · 2 e + p · 0, 2 · 15 e
0, 65 e = 0, 5 e + p · 5 e
mit E(Y ) = 0, 65 e
| −0, 5 e
0, 15 e = p · 5 e
|: 5 e
0, 03 = p
=⇒Das neue Gerät muss also bei
1 − p = 1 − 0, 03 = 0, 97 = 97 %
der Kontrollen ein eindeutiges Ergebnis liefern, damit sich die durchschnittlichen Kosten
für die Kontrolle eines Gepäckstücks nicht erhöhen.
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(4) ◮ Erläutern eines Grundes, der gegen die gegebene Voraussetzung spricht
Im letzten Teil dieser Aufgabe sollst du nun einen Grund erläutern, welcher gegen die Voraussetzung sprechen könnte, dass sich die Erkennungsrate an Station 2, durch Einführen
eines neuen Geräts bei Station 1, nicht ändert. Beachte dabei, dass das neue Durchleuchtungsgerät für Station 1 mit einer höheren Wahrscheinlichkeit ein eindeutiges Ergebnis für
ein Gepäckstück liefert. Ausgehend von dieser Tatsache kannst du annehmen, dass die
Gepäckstücke, welche nun Station 1 ohne eindeutiges Ergebnis verlassen, Fälle sind die
sehr schwer entscheidbar sind. Mache dir im Folgenden klar, was dies für Station 2 bedeuten könnte.
=⇒Kommen nun, ausgehend von den oben getroffenen Annahmen, nur noch die schwierigsten Fälle bei Station 2 an, so wird es auch für Station 2 schwieriger ein eindeutiges
Ergebnis für ein Gepäckstück zu erzielen. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass für ein
Gepäckstück bei Station 2 ein eindeutiges Ergebnis vorliegt, würde sinken.
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Block 2A − Lineare Algebra/Analytische Geometrie − Stochastik − Aufgabe 2
a)
(1) ◮ Nachweisen, dass die Strecke OA durch Ebene E1 in zwei Teilstrecken geteilt wird
(12P)
Im ersten Aufgabenteil dieser Aufgabe sollst du nachweisen, dass die Strecke OA, mit
O(0 | 0 | 0) und A(6 | 6 | 3), durch die Ebene E1 , mit
 
 
 
1
2
1
 
 
 
−
→





E1 : x =  0  + r · 1 + s · −2
,
−2
2
−4
in zwei Teilstrecken geteilt wird. Teilt Ebene E1 die Strecke OA in zwei Teilstrecken, so bedeutet das, dass Ebene E1 und Strecke OA sich schneiden. Willst du nun nachweisen, dass
Ebene E1 die Strecke OA in zwei Teilstrecken teilt, so berechnest du die Koordinaten des
Schnittpunktes, in dem Ebene E1 Strecke OA teilt.
Willst du die Koordinaten dieses Punktes berechnen, so musst du eine Gerade g bestimmen, auf welcher Strecke OA liegt. Hast du diese Gerade g ermittelt, so setzt du deren
Geradengleichung mit der Parametergleichung der Ebenen E1 gleich und löst das resultierende Gleichungssystem. Anschließend überprüfst du, ob der Schnittpunkt dieser auch
wirklich auf Strecke OA liegt und berechnest danach dessen Koordinaten.
Strecke OA liegt auf einer Geraden, wobei der Ortsvektor des Punktes O mit O(0 | 0 | 0)
−→
als Stützvektor und OA als Richtungsvektor der Geraden g fungieren könnte. Die Parametergleichung der Geraden g ergibt sich also zu:
 
 
 
6
6
0
 
 

−→
−→ 
−
→





g : x = OO + t · OA = 0 + t · 6 = t · 6
.
3
3
0
Da Gerade g nur die Punkte auf Strecke OA repräsentieren soll, darf Parameter t nur Werte
zwischen 0 und 1 annehmen, es gilt also: 0 ≤ t ≤ 1.
Um die Koordinaten des Schnittpunkts S von g und E1 zu berechnen, setzt du nun die
Parametergleichungen von g und E1 gleich und löst das resultierende lineare Gleichungssystem. Dabei gibt es zwei verschiedene Lösungswege, zum einen lässt es sich per Hand
und zum anderen über deinen GTR lösen (siehe Alternative).
−
→
xg = −
x→
E1
   
 
 
6
1
2
1
   
 
 







t · 6 =  0  + r · 1 + s ·  −2

3
−4
2
−2
 
 
 
 
6
1
2
1
 
 
 
 
 
 
 

−
 0  = r · 1 + s ·  −2 − t · 6
3
−2
2
−4
 
 
 
 
−6
1
2
−1
 
 
 
 
 0  = r · 1 + s ·  −2 + t ·  −6
 
 
 
 
−3
−2
2
4


 
1
6
 
 
 | − t · 6
| −
0
 
 
−4
3
Es ergibt sich also dieses LGS:
I
II
III
−1 = 2 · r +
s − 6·t
0 = 1·r − 2·s − 6·t
4 = 2·r − 2·s − 3·t
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| Rechne: III−2·II
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I
II
−1 = 2 · r +
II
4 =
II
6·t
2·s +
9·t
−1 =
5·s +
4 =
2·s +
−11 =
4 =
II
0 = 1·r − 2·s −
III
I
II
III
I
II
III
=
4 =
III
II
9·t
6·t
2·s +
I
2·s +
−11 =
9·t
t=
2
3
2
3
in III
6·t
9·
2
3
| −9 ·
2
3
− 16, 5 · t
−2 =
2·s
−11 =
0 = 1·r +
−1 =
0 = 1·r −
−1 =
⇔ t=
t
0 = 1·r − 2·s −
−11 =
| Rechne: I−2, 5·II
6·t
− 16, 5 · t
2
3
I
6·t
0 = 1·r − 2·s −
III
| Rechne: I−2·II
6·t
0 = 1·r − 2·s −
III
I
s −
0 = 1·r − 2·s −
III
I
Lösungsblatt (ausführlich)
− 16, 5 · t
2 −
s
2
6·t
6·
2
3
in II
⇔ s = −1
2
3
− 16, 5 · t
s
s = −1 und t =
⇔ r=2
Alternativ
Alternativ kannst du das oben aufgestellte lineare Gleichungssystem mit deinem GTR
lösen. Trage dazu dieses Gleichungssystem als eine (3 × 4)-Matrix in deinen GTR ein,
wobei drei Spalten dieser Matrix jeweils einer Variablen der Gleichung zugeordnet werden
müssen und einer Spalte müssen die Werte ohne Variable zugeordnet werden.
Es empfiehlt sich dabei diese Spalte auf der rechten Seite der Matrix anzuordnen. Möchtest du nun eine Matrix
in deinem GTR festlegen, so rufst du zunächst über diese
Eingabenfolge den Matrix-Editor deines GTR auf:
hier anfangen
2nd → x−1 (MATRIX) → EDIT
Hier legst du zum Beispiel unter dem Platzhalter A das
LGS als Matrix fest (siehe rechts).
Hast du die Matrix im GTR festgelegt, so wechselst du anschließend in den Calculator-Modus. In diesen fügst du
hier anfangen
über diese Befehlsfolge den zum Lösen eines LGS notwendigen Befehl ein:
2nd → x−1 (MATRIX) → MATH → B: rref(
Löse anschließend das LGS wie im Schaubild rechts und
entnehme der letzten Spalte der entstehenden Matrix die
Lösungen für Parameter r, s und t.
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Die Lösung des LGS ergibt sich also zu s = −1, r = 2 und s = 23 . Da der Parameterwert
für s = 32 im oben angegebenen Bereich für diesen liegt, hast du gezeigt, dass Ebene E1 die
Strecke OA teilt. Setze beispielsweise s = 32 in die Gleichung der Geraden g ein, um die
Koordinaten des Schnittpunkts S von E1 und OA zu berechnen:
   
4
6
  
−→ 2 
  
OS = 3 · 
6 = 4 =⇒ S (4 | 4 | 2).
2
3
=⇒Ebene E1 unterteilt die Strecke OA in zwei Teilstrecken, wobei sich diese im Punkt S mit
S (4 | 4 | 2) schneiden.
(2) ◮ Entscheiden, welcher der beiden Punkte von S weiter entfernt liegt
Nun ist es deine Aufgabe, zu entscheiden, welcher der beiden Punkte O oder A weiter vom
Schnittpunkt S von Ebene E1 und OA entfernt liegt. Das heißt, du vergleichst die Längen
der Strecken OS und SA.
Beim Lösen dieser Aufgabe gibt es zwei verschiedene Lösungswege. Zum Einen lässt sich
diese Aufgabe durch ein näheres Betrachten des im ersten Aufgabenteil ermittelten Parameterwerts für t lösen und zum Anderen lässt sie sich durch eine Abstandsbetrachtung der
Abstände zwischen den Punkten S und A, sowie den Punkten S und O, lösen.
◮◮ Lösungsweg A: Betrachten des Parameterwerts für t
Im ersten Teil dieser Aufgabe hast du herausgefunden, dass Ebene E1 und Gerade g, welche
für 0 ≤ t ≤ 1 die Strecke OA repräsentiert, sich für t = 32 schneiden. Das heißt, Ebene E1
unterteilt die Strecke OA im Verhältnis 2:1. Da Gerade g Strecke OA ausgehend vom Punkt
O repräsentiert, bedeutet das, dass die Strecke OS doppelt so lang ist, wie die Strecke SA.
=⇒Da Strecke OS länger als Strecke AS ist, liegt Punkt O weiter von Punkt S entfernt, wie
Punkt A.
◮◮ Lösungsweg B: Abstandsbetrachtung
Berechnest du den Abstand zwischen Punkt S und A, sowie den Abstand zwischen Punkt
O und S, so kannst du anhand dieser Werte entscheiden, welcher der beiden Punkte weiter
von S entfernt liegt. Die gesuchten Abstände berechnest du dabei über den Betrag der
−→
−→
zugehörigen Vektoren OS und SA:

  
4−0 4 −
√
   √
→ 




OS
=
=
4 − 0 4 = 42 + 42 + 22 = 36 = 6
2−0 2 
  
6−4 2 −→ 
√
   √




SA = 6 − 4 = 2 = 22 + 22 + 12 = 9 = 3
3−2 1 =⇒Da der Abstand zwischen Punkt O und S größer ist als der Abstand zwischen A und S,
liegt Punkt O weiter von S entfernt.
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b) ◮ Untersuchen, ob die gegebene Gleichung eine Gleichung der Ebene E2 sein kann
(8P)
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die zwei Ebenen E1 und E2 punktsymmetrisch zum Ursprung im Punkt O liegen. Gegenstand dieser Aufgabe ist es dabei, zu untersuchen, ob die gegebene Gleichung einer Ebene, mit
 
 
 
4
−3
−4
 
 
 
−
→
 
 

x =
 −4 + u ·  6  + v ·  −3,
−2
6
−2
eine Gleichung für Ebene E2 sein kann. Liegen zwei Ebenen punktsymmetrisch zu einem bestimmten Punkt, so entspricht die eine Ebene einer Spiegelung der anderen. Das heißt, Ebene E2
entspricht einer Spiegelung der Ebenen E1 am Punkt O. Wird eine Ebene an einem bestimmten
Punkt gespiegelt, so verläuft die gespiegelte Ebene parallel zur Ausgangsebene, was bedeutet,
dass Ebene E1 und Ebene E2 folglich parallel verlaufen müssen.
Um nun zu untersuchen, ob Ebene E2 durch die gegebene
hier anfangen x
Parametergleichung repräsentiert werden kann, spiegelst
2
du zunächst Ebene E1 am Punkt O. Spiegle dazu Punkt P,
E1
dessen Ortsvektor dem Stützvektor der gegebenen Parametergleichung von E1 entspricht, am Punkt O. Hast du
P
diesen gespiegelten Punkt P′ ermittelt, so konstruierst du
mit den Richtungsvektoren der Ebene E1 eine Ebenengleichung der Ebenen E2 .
Hast du eine Ebenengleichung der Ebene E2 über das oben
beschriebene Verfahren ermittelt, so setzt du diese mit
O
x1
P‘
E2
der, in der Aufgabenstellung gegeben, Ebenengleichung
gleich.
Dadurch ergibt sich ein überbesetztes lineares Gleichungssystem. Dieses überbesetzte LGS löst
du dann nach den Parametern u und v der gegebenen Ebenengleichung auf. Hast du diese in
Abhängigkeit der Parameter der ermittelten Ebenengleichung für Ebene E2 ermittelt, so setzt du
eben diese wieder in die ermittelte Ebenengleichung für Ebene E2 ein. Ergibt sich dabei wieder
die angegebene Ebenengleichung, so hast du gezeigt, dass die angegebene Ebenengleichung
eine Ebenengleichung der Ebenen E2 darstellt.
Gehe also beim Lösen dieser Aufgabe so vor:
1. Schritt: Bestimmen einer Ebenengleichung von E2 durch Spieglung von E1 an Punkt O
2. Schritt: Gleichsetzen der Ebenengleichungen und Auflösen nach den Parametern der gegebenen Ebenengleichung
3. Schritt: Einsetzen dieser Parameter in die im ersten Schritt ermittelte Ebenengleichung und
Untersuchen des Ergebnis
1. Schritt: Ebenengleichung von E2
Spiegelt man den Punkt P am Punkt O, so entsteht der Punkt P′ . Die Koordinaten des Punktes
P′ bestimmst du dabei über folgenden Zusammenhang:
     
 
−1
1
0
1
     

−→ −→
−
→ 









OP = OP + 2 · PA =  0  + 2 · 0 −  0  =  0 
.
4
−4
0
−4
′
′
Koordinaten von Punkt P : P (−1 | 0 | 4).
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◮ Abitur 2011 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Wie oben schon erwähnt, verläuft Ebene E1 parallel zur Ebenen E2 . Daraus folgt, dass du
die Richtungsvektoren von E1 beim Bilden einer Ebenengleichung der Ebenen E2 verwenden
kannst. Mit dem Ortsvektor von P′ als Stützvektor und den Richtungsvektoren von E1 ergibt
sich folgende Ebenengleichung für Ebene E2 :
 
 
 
1
2
−1
 
 
 
−
→
 
 

E2 : x = 
 0  + a · 1 + b ·  −2.
−2
2
4
2. Schritt: Gleichsetzen der Ebenengleichungen
Setze nun die Ebenengleichungen gleich und löse das resultierende Gleichungssystem nach den
Parametern a und b auf:
 
 
   
 
 
4
−3
−4
1
2
−1
 
 
   
 
 
 0  + a · 1 + b ·  −2 =  −4 + u ·  6  + v ·  −3
 
 
   
 
 
−2
6
−2
−2
2
4
 
     
 
 
2
1
−4
−1
−3
4
 
     
 
 
     
 
 

a·
1 + b ·  −2 =  −4 −  0  + u ·  6  + v ·  −3
2
−2
−2
4
6
−2
 
   
 
 
4
−3
−3
1
2
 
   
 
 
 
   
 

a·
1 + b ·  −2 − u ·  6  =  −4 + v ·  −3
−2
−6
6
−2
2
   
 
 
 
−3
4
3
1
2
   
 
 
 
   
 
 

a·
1 + b ·  −2 + u ·  −6 − v ·  −3 =  −4
−6
−2
−6
−2
2
   
 
 
 
−3
−4
3
1
2
   
 
 
 









a · 1 + b ·  −2 + u ·  −6 + v ·  3  =  −4

−6
2
−6
−2
2
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

−1
 

| −
 0 
4

−3

 

| −u · 
 6 
6


4
 

| −v · 
 −3
−2
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Es ergibt sich also dieses überbesetzte LGS:
−3 =
I
−4 =
II
−6 =
III
−3 =
I
2 =
II
−6 =
III
I
II
III
III
III
II
III
v−2 =
a
2·a +
a
2·a +
a
2·v−4
v−2 =
a
2·a +
2·b =
4·v
v−2 =
a
−3 =
III
+
v
b =
| −v
|: (−1)
2·a − 2·b − 6·u + 2·v
2·b−6 =
I
II
−a
b + 3·u − 4·v
b + 3·u − 4·v
2·a +
2·v
| Einsetzen: a = v − 2
b + 3·u − 4·v
−6 = 2 · ( v − 2) − 2 · b − 6 · u + 2 · v
−3 =
I
2·a +
2·a − 2·b − 6·u + 2·v
−3 =
| Rechne: II − III
2·a − 2·b − 6·u + 2·v
−6 =
v−2 =
I
II
a − 2·b − 6·u + 3·v
2·a +
−3 =
II
b + 3·u − 4·v
−3 =
v−2 =
I
2·a +
| +2 · b
b + 3·u − 4·v
− 6·u + 2·v
| +6
− 6·u +
2
|: 2
− 3·u +
1
b + 3·u − 4·v
b + 3·u − 4·v
Für Parameter a und b ergeben sich also diese Ergebnisse: a = v − 2 und b = 2 · v − 3 · u + 1.
Setze diese Ergebnisse in Gleichung I ein, um dein Ergebnis zu verifizieren:
I −3 = 2 · a + b + 3 · u − 4 · v
mit a = v − 2 und b = 2 · v − 3 · u + 1
−3 = 2 · ( v − 2) + 2 · v − 3 · u + 1 + 3 · u − 4 · v
−3 = 2 · v − 4 − 2 · v + 1
−3 = −3
Da sich nach dem Einsetzen von a und b eine wahre Aussage ergibt, hast du das Gleichungssystem richtig nach a und b aufgelöst.
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3. Schritt: Überprüfen der gegebenen Parametergleichung
Setze nun für a und b die oben ermittelten Parameterwerte in die Ebenengleichung von E2 ein
und untersuche, ob sich durch Umformen dieser die in der Aufgabenstellung gegebene Parametergleichung ergibt:
 
 
 
1
2
−1
 
 
 
−
→
 
 

E2 : x = 
 0  + a · 1 + b ·  −2
−2
2
4
 
 
 
1
2
−1
 
 
 
−
→





x =  0  + ( v − 2) · 1 + (2 · v − 3 · u + 1) ·  −2

−2
2
4
 
 
   
 
3
2
4
2
0
 
 
   
 









=  −2 + v · 1 − 2 + v ·  −4 − u ·  −6

−6
−4
4
2
2
 
 
 
3
4
−4
 
 
 





=  −4 + v ·  −3 − u ·  −6

−6
−2
−2
 
 
 
4
−3
−4
 
 
 





=  −4 + u ·  6  + v ·  −3

−2
6
−2
=⇒Da sich durch Einsetzen der ermittelten Parameterwerte für a und b gerade wieder die gegebene
Parametergleichung ergibt, hast du gezeigt, dass eine Ebenengleichung für Ebene E2 die in der
Aufgabenstellung gegebene Ebenengleichung sein kann.
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Block 2B − Lineare Algebra/Analytische Geometrie − Stochastik − Aufgabe 1
a)
(1) ◮ Ergänzen der Übergangstabelle
(13P)
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Wetterentwicklung eines bestimmten Ortes über lange Zeit beobachtet wurde, wobei nur zwischen sonnigem Wetter
(s), unbeständigen Wetter (u) und regnerischem Wetter (r) unterschieden wurde. Die
Übergangswahrscheinlichkeiten, vom gegenwärtigen Wetterzustand zum Wetterzustand
am nächsten Tag können der unvollständigen Übergangstabelle entnommen werden. Deine Aufgabe ist es nun, diese Übergangstabelle zu vervollständigen.
Willst du die Übergangstabelle vervollständigen, so betrachtest du diese zunächst spaltenweise. Da es sich beim in der Aufgabenstellung beschriebenen Sachverhalt um ein stochastisches Modell handelt, muss die Summe der Werte einer Spalte immer 1 sein. Passe,
zum Vervollständigen der Übergangstabelle, also die fehlenden Werte so an, dass sich die
jeweiligen Spaltensummen zu 1 ergeben.
Für die erste Spalte s ergibt sich also: Fehlender Wert = 1 − 0, 5 − 0, 2 = 0, 3.
Für die zweite Spalte u ergibt sich also: Fehlender Wert = 1 − 0, 5 − 0, 2 = 0, 3.
Für die dritte Spalte r ergibt sich also: Fehlender Wert = 1 − 0, 5 − 0, 3 = 0, 2
=⇒Die Übergangsmatrix ergibt sich also zu:
von
nach
s
u
r
s
u
0, 5
0, 3
0, 3
0, 5
0, 2
0, 3
r
0, 2
0, 2
0, 5
(2) ◮ Zeichnen des entsprechenden Übergangsgraphen
Nun ist es deine Aufgabe, den zur Übergangstabelle zugehörigen Übergangsgraphen zu
zeichnen. Dabei empfiehlt es sich hier, diesen spaltenweise aus der Übergangstabelle zu
entwickeln.
Spalte s:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 bleibt das Wetter sonnig, wenn es zuvor sonnig war.
Zeichne also einen Pfeil vom Knoten s zu Knoten s mit 0,5. Mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0,3 wird das Wetter unbeständig, wenn es zuvor sonnig war. Zeichne also einen Pfeil
von Knoten s zu Knoten u mit 0,3. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 wird das Wetter
regnerisch, wenn es zuvor sonnig war. Zeichne also einen Pfeil von s zu r mit 0,2.
Spalte u:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 3 wird es sonnig, wenn es zuvor unbeständig war:
=⇒ Pfeil von u zu s mit 0,3.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 5 bleibt das Wetter unbeständig, wenn es zuvor unbeständig war:
=⇒ Pfeil von u zu u mit 0,5.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 2 wird das Wetter regnerisch, wenn es zuvor unbeständig war:
=⇒ Pfeil von u zu r mit 0,2.
Die Pfeile für Spalte r ergeben sich analog.
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Der gesuchte Übergangsgraph könnte so aussehen:
0,3
0,5
u
s
0,5
0,3
0,2
0,2
0,3
0,2
r
0,5
(3) ◮ Erläutern der Hauptdiagonalen im Sachzusammenhang
Nun sollst du die Hauptdiagonale der Übergangsmatrix betrachten und deren Werte im
Sachzusammenhang interpretieren. Die Hauptdiagonale der Übergangsmatrix führt dabei
von oben links nach unten rechts:
von
s
u
r
nach
s
u
0, 5
0, 3
0, 3
0, 5
0, 2
0, 3
r
0, 2
0, 2
0, 5
Die Hauptdiagonale der Übergangsmatrix enthält also 3 mal die Zahl 0,5 und aus den
vorherigen Aufgabenteilen dieser Aufgabe weißt du, dass die Übergangsmatrix modellhaft
den Wetterübergang innerhalb zweier Tage darstellt. Du kannst demanch erkennen, dass
die Diagonalelemente von s zu s, von u zu u und von s zu s aufzeigen. Sie geben also die
Wahrscheinlichkeit dafür wieder, dass das Wetter am Folgetag gleich bleibt.
=⇒Die Einträge der Hauptdiagonalen der betrachteten Übergangsmatrix besagen, dass sich
mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 bzw. 50 % das Wetter des Vortages wiederholt. Das
heißt, ist das Wetter am Vortag sonnig, so bleibt dieses mit einer Wahrscheinlichkeit von
0,5 am Folgetag sonnig. Der gleiche Zusammenhang ist gültig für unbeständiges und regnerisches Wetter.
(4) ◮ Erläutern der letzten Spalte in der Übergangsmatrix im Sachzusammenhang
Nun sollst du die letzte Spalte der Übergangsmatrix im Sachzusammenhang erläutern:
von
nach
s
s
0, 5
u
0, 3
r
0, 2
u
r
0, 3
0, 2
0, 5
0, 2
0, 3
0, 5
Diese Spalte repräsentiert die Wetterübergänge bei regnerischem Wetter.
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=⇒Die letzte Spalte der Übergangsmatrix besagt, dass das Wetter mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0,2 bzw. 20 % am Folgetag sonnig wird, wenn es am Vortag regnerisch war, mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0,3 bzw. 30 % wird es unbeständig, wenn es am Vortrag regnerisch
war und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 bzw. 50 % bleibt es regnerisch, wenn es am
Vortrag regnerisch war.
(5) ◮ Berechnen des Wetter-Vektors für Übermorgen und Interpretieren dessen
→
In der Aufgabenstellung ist dir nun ein Vektor −
v0 gegeben, der dir für einen bestimmten
Tag angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Wetter an diesem Tag eintritt:
 
0, 3
 
−
→

v0 = 0, 3

0, 4
Betrachtest du diesen Vektor nun näher, so kannst du diesen wie folgt interpretieren:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 wird es am betrachteten Tag sonnig oder unbeständig
und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 wird es an diesem Tag regnerisch.
→
v2 für
Deine Aufgabe ist es nun, ausgehend von diesem Vektor, den Wetter-Vektor“ −
”
übermorgen, also zwei Tage nach dem betrachteten Tag, zu berechnen. Dabei kannst du davon ausgehen, dass sich das Wetter entsprechend der oben bestimmten Übergangsmatrix
→
verändert. Willst du nun −
v2 bestimmten, so wendest du die Übergangsmatrix zweimal auf
−
→
den gegebenen Vektor v an:
0
2 →
−
→
v2 = Übergangsmatrix · −
v0 .
→
Bei der Berechnung des Vektors −
v2 kann dir dein GTR behilflich sein.
→
Berechnen von −
v2
→
Wetter-Vektor“ −
v2 berechnen, so legst du zunächst die
”
Übergangsmatrix und den Vektor als Matrizen in deinem GTR fest.
Willst du den gesuchten
Wechsle dazu über diese Eingabenfolge in den MatrizenEditor deines GTR:
hier anfangen
2nd → x−1 (MATRIX) → EDIT
In diesem Editor legst du nun die Übergangsmatrix als
(3 × 3)-Matrix beispielsweise unter dem Platzhalter A und
→
den Vektor −
v0 als (3 × 1)-Matrix beispielsweise unter dem
Platzhalter B fest (siehe rechts).
Wechsle anschließend wieder in den Calculator-Modus
deines GTR. In diesem fügst du so die zuvor festgelegten
hier anfangen
Matrizen ein:
2nd → x−1 (MATRIX) → NAMES
Hast du die Platzhalter für die festgelegten Matrizen in
den Calculator-Modus deines GTR eingefügt, so berech→
nest du den gesuchten Vektor −
v nach dem oben gezeigten
2
Zusammenhang (siehe rechts).
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=⇒Der gesuchte Wetter-Vektor“ ergibt sich also zu:
”


0, 332


−
→

v2 = 
0, 372.
0, 296
Interpretierst du diesen nun im Sachzusammenhang, so besagt dieser, dass es übermorgen,
also zwei Tage nach dem betrachteten Tag, mit einer Wahrscheinlichkeit von 33,2 % sonnig,
mit einer Wahrscheinlichkeit von 37,2 % unbeständig und mit einer Wahrscheinlichkeit von
29,6 % regnerisch wird.
b)
(1) ◮ Berechnen des Wetter-Vektor“ für den folgenden Mittwoch
”
(16P)
Laut Aufgabenstellung sagt die Wetterprognose für Samstag einer bestimmten Woche voraus, dass alle drei Wetterzustände mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten. Bilde nun
ausgehend von dieser Angabe den Wetter-Vektor −
v→
S für Samstag und beachte dabei, dass
die Summe der Einträge dieses Vektors wieder 1 sein muss:
   
1
s
3




−
  1
v→
S =  u  =  3 .
1
r
3
Deine Aufgabe ist es nun, den Wetter-Vektor −
v→
M für den kommenden Mittwoch zu berech−
→
nen. Diesen Vektor v M berechnest du über die gleiche Vorgehensweise wie im Aufgaben-
teil a). Beachte dabei, dass du dieses Mal die Übergangsmatrix mit 4 potenzieren musst, da
zwischen Samstag und Mittwoch vier Wetterübergänge vorliegen. Beim Berechnen von −
v→
M
kannst du wieder deinen GTR verwenden.
Berechnen von vM
Willst du −
v→
M mit deinem GTR berechnen, so legst du wie zuvor zunächst die
Übergangsmatrix und den Startvektor −
v→
S als Matrizen im Matrix-Editor deines GTR
fest.
Hast du diese wie oben im Editor festgelegt, so wechselst
du wieder in den Calculator-Modus deines GTR. In diesem berechnest du dann, wie rechts zu sehen ist, den gesuchten Vektor −
v→
M . Hier wurde die Übergangsmatrix unter dem Platzhalter A und der Vektor −
v→ unter dem Platz-
hier anfangen
S
halter B festgelegt.
=⇒Der Wetter-Vektor für nächsten Mittwoch ist:


0, 339


−


v→
M = 0, 375.
0, 286
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(2) ◮ Berechnen des Wetter-Vektors für Mittwoch unter neuen Bedingungen
Nun kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, dass eine andere Prognose davon ausgeht, dass am Samstag sonniges Wetter doppelt so wahrscheinlich ist wie unbeständiges
und regnerisches Wetter. Deine Aufgabe ist es nun, ausgehend von dieser Aussage
zunächst den neuen Wetter-Vektor −
v→
S1 für Samstag zu bilden und mit diesem anschließend
−→
den neuen Wetter-Vektor v M1 für den darauffolgenden Mittwoch zu berechnen. Zuletzt
sollst du die beiden Wetter-Vektoren −
v→ und −→
v für Mittwoch vergleichen.
M
M1
Willst du den neuen Wetter-Vektor −
v→
S1 für Samstag bilden, so musst du hier folgendes
beachten:
v→
• Die Summe der Einträge des Vektors −
S1 muss 1 ergeben.
• Die Wahrscheinlichkeit für sonniges Wetter am Samstag ist doppelt so groß, wie die
Wahrscheinlichkeit für regnerisches und unbeständiges Wetter.
Aus der letzten Bedingung folgt, dass der der Eintrag für sonniges Wetter im Vektor −
v→
S1
der Summe der Einträge für regnerisches und unbeständiges Wetter entsprechen muss.
Hast du den Wetter-Vektor −
v→ gebildet, so berechnest du wie oben den Wetter-Vektor −→
v
M1
S1
−→
für Mittwoch und vergleichst anschließend die berechneten Vektoren −
v→
M und v M1 für den
darauffolgenden Mittwoch
1. Schritt: Bestimmen von −
v→
S1
Tritt sonniges Wetter mit der doppelten Wahrscheinlichkeit wie unbeständiges und regnerisches Wetter ein, so lässt sich daraus schließen, dass unbeständiges und regnerisches
Wetter mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten. Ausgehend von dieser Erkenntnis,
ergibt sich der gesuchte Wetter-Vektor für Samstag wie folgt:


0, 5


−


v→
S1 = 0, 25
0, 25
2. Schritt: Berechnen von −
v→
M1
Berechne nun wie oben den gesuchten Wetter-Vektor −→
v M1
für den darauffolgenden Mittwoch. Beachte dabei, dass
hier anfangen
du auch hier zunächst den verändernden Wetter-Vektor
−
v→
S1 für Samstag zunächst in deinem GTR festlegen musst.
Hast du diesen in deinem GTR festgelegt, so wechselst du
wieder in den Calculator-Modus. In diesem berechnest du
anschließend wie rechts den gesuchten Vektor −→
v .
M1
=⇒Der gesuchte Wetter-Vektor für Mittwoch, welcher sich unter den neuen Bedingungen für
das Wetter am betrachteten Samstag ergibt, ist:


0, 3398


−→

v M1 = 
0, 3748
0, 2854
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3. Schritt: Vergleichen der Wetter-Vektoren für Mittwoch
−→
Vergleichst du nun die oben berechneten Wetter-Vektoren −
v→
M und v M1 für Mittwoch, so
kannst du erkennen, dass diese sich nicht signifikant voneinander unterscheiden. Das
heißt, dass sich trotz unterschiedlicher Startvektoren sehr ähnliche Prognosen, mit dem
verwendeten Modell, für den betrachteten Mittwoch ergeben.
(3) ◮ Berechnen des Wetter-Vektors, mit dem die Verteilung von Tag zu Tag gleich bleibt
Nun ist es deine Aufgabe, jenen Wetter-Vektor zu bestimmen, mit welchem die Verteilung über die Wahrscheinlichkeiten, für die verschiedenen Wetterzustände, von Tag zu Tag
v→
gleich bleibt. Gesucht ist also ein Vektor −
St. der, wenn man ihn mit der Übergangsmatrix
multipliziert, gleich bleibt. Eine solche Verteilung nennt man auch stationäre Verteilung.
Betrachtest du nun einen von a, b und c abhängigen Vektor, der die stationäre Verteilung
−
−→
v→
St. repräsentieren soll, so muss für diesen Vektor vSt. folgender Zusammenhang gelten:
  
  
a
0, 5 0, 3 0, 2
a
  
  
b = 0, 3 0, 5 0, 3 · b.
  
  
c
0, 2 0, 2 0, 5
c
Da es sich beim Vektor −
v→
St. , wie zuvor auch, um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt, muss für a, b und c gelten:
a + b + c = 1 und 0 ≤ a, b, c ≤ 1.
Berechnest du das oben stehende Matrizenprodukt, zwischen −
v→
St. und der
Übergangsmatrix, so ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten
und vier Gleichungen.
v→
Berechnen von −
St.

   
  
0, 5 · a + 0, 3 · b + 0, 2 · c
a
0, 5 0, 3 0, 2
a

   
  
b = 0, 3 0, 5 0, 3 · b = 0, 3 · a + 0, 5 · b + 0, 3 · c

   
  
0, 2 · a + 0, 2 · b + 0, 5 · c
c
0, 2 0, 2 0, 5
c
Mit a + b + c = 1 ergibt sich folgendes LGS:
I
a =
II
b =
III
c =
IV
1 =
I
0 = −0, 5 · a + 0, 3 · b + 0, 2 · c
II
0 =
0, 5 · a + 0, 3 · b + 0, 2 · c
0, 3 · a + 0, 5 · b + 0, 3 · c
0, 2 · a + 0, 2 · b + 0, 5 · c
a +
b +
IV
1 =
I
0 = −0, 5 · a + 0, 3 · b + 0, 2 · c
III
IV
−0, 2 =
1 =
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Robert Waddell
| −c
0, 3 · a − 0, 5 · b + 0, 3 · c
0 =
0 =
| −b
c
III
II
| −a
0, 2 · a + 0, 2 · b − 0, 5 · c
a +
b +
| Rechne: III −0, 2· IV
c
0, 3 · a − 0, 5 · b + 0, 3 · c
a +
− 0, 7 · c
b +
|: (−0, 7)
c
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I
0 =
II
0 =
III
2
7
IV
1 =
I
0 =
=
II
0 =
III
2
7
IV
1 =
I
II
=
0, 5 · a =
0 =
III
2
7
IV
1 =
=
I
a =
II
0 =
III
2
7
IV
1 =
=
Lösungsblatt (ausführlich)
−0, 5 · a + 0, 3 · b + 0, 2 · c
0, 3 · a − 0, 5 · b + 0, 3 · c
a +
b +
c
−0, 5 · a + 0, 3 · b +
2
35
3
35
0, 3 · a − 0, 5 · b +
a +
a =
II
0 =
III
2
7
IV
1 =
I
a =
II
III
IV
I
8
25
=
4
35 )
c
0, 6 · b +
4
35
3
35
c
0, 6 · b +
4
35
3
35
a +
8
·b
− 25
c
0, 6 · b +
4
35
3
25
a +
b =
III
2
7
IV
1 =
b +
c
0, 6 · b +
4
35
3
25
a +
b +
c
0, 6 · b +
4
35
3
8
=
I
a =
II
b =
III
2
7
IV
1 =
8
·b
| + 25
|:
8
25
b=
3
8
in I
c
a +
b +
0, 6 ·
3
8
+
=
c
4
35
3
8
c
a +
b +
c
19
56
I
a =
II
b =
3
8
III
2
7
c
IV
1 =
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Robert Waddell
4
35
c
a =
II
mit a = 0, 6 · b +
c
=
1 =
|: 0, 5
c
b +
+
| +0, 5 · a
c
b +
− 0, 5 · b +
·b =
2
7
2
7
c
b +
a +
=
I
0, 3 · b +
0, 3 · a − 0, 5 · b +
0 = 0, 3 · (0, 6 · b +
1 =
c
2
35
3
35
a +
II
IV
mit c =
c
b +
0, 3 · a − 0, 5 · b +
a =
III
2
7
c
I
2
7
mit c =
=
a +
b +
c
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Als Lösung des Gleichungssystems ergibt sich also: a =
nun Gleichung IV um dein Ergebnis zu verifizieren:
IV
1=
19
56
+ 38 +
2
7
19
56 ,
b =
3
8
und c =
2
7.
Verwende
⇔ 1 = 1.
Da sich die obige Gleichung nach dem Einsetzen der für a, b und c ermittelten Werte zu
einer wahren Aussage ergibt, kannst du die gesuchte stationäre Verteilung −
v→
St. mit diesen
Werte angeben.
Alternativ: Lösen mit dem GTR
Alternativ kannst du dieses Gleichungssystem auch mit deinem GTR lösen. Trage dazu
dieses Gleichungssystem als eine (4 × 4) in deinen GTR ein, wobei drei Spalten dieser
Matrix jeweils einer Variablen der Gleichung zugeordnet werden müssen und einer Spalte
die Werte ohne Variable zugeordnet werden. Daraus folgt, dass du das oben aufgestellte
Gleichungssystem zunächst wie folgt umformen musst:

  
   
0, 5 · a + 0, 3 · b + 0, 2 · c
a
0, 5 0, 3 0, 2
a

  
   
b = 0, 3 0, 5 0, 3 · b = 0, 3 · a + 0, 5 · b + 0, 3 · c

  
   
0, 2 · a + 0, 2 · b + 0, 5 · c
c
0, 2 0, 2 0, 5
c
I
a =
II
b =
III
c =
IV
1 =
I
0 = −0, 5 · a + 0, 3 · b + 0, 2 · c
II
0 =
III
0 =
IV
1 =
0, 5 · a + 0, 3 · b + 0, 2 · c
0, 3 · a + 0, 5 · b + 0, 3 · c
0, 2 · a + 0, 2 · b + 0, 5 · c
a +
b +
| −a
| −b
| −c
c
0, 3 · a − 0, 5 · b + 0, 3 · c
0, 2 · a + 0, 2 · b − 0, 5 · c
a +
b +
c
Es empfiehlt sich die Spalte ohne Variablen auf der rechten Seite der Matrix anzuordnen. Möchtest du eine Matrix
in deinem GTR festlegen, so rufst du auch hier wieder den
hier anfangen
Matrix-Editor deines GTR auf:
2nd → x−1 (MATRIX) → EDIT
Hier legst du zum Beispiel unter dem Platzhalter A das
LGS als Matrix fest (siehe rechts).
Hast du die Matrix im GTR festgelegt, so wechselst du anschließend in den Calculator-Modus. In diesen fügst du
hier anfangen
über diese Eingabenfolge den zum Lösen eines LGS notwendigen Befehl ein:
2nd → x−1 (MATRIX) → MATH → B: rref(
Löse anschließend das LGS wie im Schaubild rechts und
entnehme der letzen Spalte der entstehenden Matrix die
Lösungen für Parameter a, b und c.
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=⇒Der Wetter-Vektor, bei dem die Verteilung von Tag zu Tag gleich bleibt ist:
 
19
 56 
−
 3 .
v→
=
St.
8
2
7
→
(4) ◮ Untersuchen, ob −
vn aus einem Wetter-Vektor entstanden sein kann
Nun wird der Vektor −
v→
n betrachtet, mit:
 
0, 2
 
−
→

vn = 0, 4
.
0, 4
Deine Aufgabe ist es nun zu untersuchen, ob dieser Vektor −
v→
n durch die Multiplikation
eines Wetter-Vektors mit der gegebenen Übergangsmatrix, welche im Folgenden mit P bezeichnet wird, entstanden sein kann. Ist Vektor −
v→ durch die Multiplikation eines bestimmn
→
ten Wetter-Vektors mit P entstanden, so muss ein Wetter-Vektor −
v−
n−1 existieren, welcher
den Wetter-Vektor des Vortages repräsentiert.
−
→
→
v−
Wird nun dieser Vektor −
n−1 mit P multipliziert, so muss sich vn ergeben. Es gilt demnach:
−
→
−
−
→
v = P·v
n
n −1
Möchtest du also überprüfen, ob die durch den Wetter-Vektor −
v→
n repräsentierte Verteilung
→ mit P, entstanden sein kann, so unterv−
durch die Multiplikation eines Wetter-Vektors −
n −1
suchst du, ob mit Hilfe der obigen Gleichung ein Vektor −
v−→ ermittelt werden kann.
n −1
→
−
→
Es gilt also die oben angeführte Gleichung nach −
v−
n−1 aufzulösen. Setze vn dazu in die oben
−
−
→
aufgestellte Gleichung ein und stelle diese wie folgt nach v
um. Hast du diese nach −
v−→
n −1
umgestellt, so löst du sie, wie unten beschrieben mit Hilfe deines GTR.
n −1
−
−−→
−1 · −
v→
v→
n
n = P · v n −1 ⇔ v n −1 = P
Diese Gleichung kannst du nun mit deinem GTR lösen, indem du mit diesem die Inverse
P−1 von P bestimmst und anschließend das Matrizen-Produkt berechnest.
Willst du diese Rechenoperationen mit deinem GTR
durchführen, so legst du zunächst, wie oben, Matrix P und
Vektor −
v→ im Matrix-Editor deines GTR fest. Hier wurde
hier anfangen
n
beispielsweise Matrix P unter dem Platzhalter A und Vektor −
v→ unter B festgelegt. Hast du die Matrizen festgelegt,
n
so greifst du auf diese im Calculator-Modus deines GTR
zu und berechnest wie rechts den gesuchten Vektor.

−0, 167



→
−−→


=⇒Da der entstandene Vektor −
v−
n−1 mit vn−1 =  0, 5  einen negativen Eintrag enthält,
0, 669
−
→
kann der gegebene Wetter-Vektor vn nicht durch Multiplikation mit der Übergangsmatrix
entstanden sein. Das hat seine Ursache darin, dass die betrachteten Vektoren Wahrscheinlichkeiten repräsentieren und Wahrscheinlichkeiten können unter keinen Umständen negativ sein.
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c)
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(11P)
◮ Beweisen des gegebenen Satzes
Betrachtet werden in diesem Aufgabenteil stochastische Matrizen. Dabei kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, dass eine Matrix genau dann eine stochastische Matrix ist, wenn diese
folgende Bedingungen erfüllt:
• es liegt eine (n × n)-Matrix vor,
• deren Elemente Zahlen aus dem Intervall [0; 1] sind und
• jede Spaltensumme den Wert 1 besitzt.
Deine Aufgabe ist es nun, zu beweisen, dass das Produkt einer beliebigen stochastischen
(2 × 2)-Matrix A mit einer beliebigen stochastischen (2 × 2)-Matrix B wieder eine stochasti-
sche Matrix ergibt.
Beim Lösen dieser Aufgabe werden also zunächst zwei stochastische Matrizen A und B betrachtet, deren Elemente Zahlen aus dem Intervall [0; 1] darstellen. Diese könnten zum Beispiel
so aussehen:




A=
a1
a2
a3
a4
; B = 
b1
b2
b3
b4
 mit a1 , ..., a4 , b1 , ...,b4 Zahlen aus dem Intervall [0; 1].
Da du aus der Aufgabenstellung weißt, dass die Spaltensummen in einer stochastischen Matrix
immer 1 ergeben müssen, kannst du für a3 , a4 , b3 und b4 folgende Zusammenhänge als gegeben
annehmen:
a3 = 1 − a1 , a4 = 1 − a2 , b3 = 1 − b1 und b4 = 1 − b2 .
Ausgehend von diesen Zusammenhängen kannst du die oben aufgestellten Matrizen A und B
wie folgt vereinfachen:




a1
a2
b1
b2
; B = 
.
A=
1 − a1 1 − a2
1 − b1 1 − b2
Willst du nun mit diesem Ansatz den gegebenen Satz beweisen, so bildest du im ersten Schritt
das Matrizenprodukt der Matrizen A und B. Im zweiten Schritt musst du dann nachweisen,
dass die aus dem Matrizenprodukt entstandene Matrix wieder eine stochastische Matrix darstellt. Zeige dazu zunächst, dass die Spaltensummen der resultierenden Matrix wieder 1 ergeben. Anschließend musst du noch begründen, warum die vier Komponenten bzw. Einträge der
aus dem Matrizenprodukt entstehenden Matrix aus dem Intervall [0; 1] stammen. Das heißt, du
zeigst, dass diese alle größer gleich Null und kleiner gleich 1 sind.
1. Schritt: Berechnen des Matrizenprodukts A · B
Das Matrizenprodukt der stochastischen Matrizen A und B berechnet sich hier wie folgt:

 

b1
b2
a1
a2
·

C = A·B=
1 − b1 1 − b2
1 − a1 1 − a2


a1 · b1 + a2 · (1 − b1 )
a1 · b2 + a2 · (1 − b2 )

=
(1 − a1 ) · b1 + (1 − a2 ) · (1 − b1 ) (1 − a1 ) · b2 + (1 − a2 ) · (1 − b2 )
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2. Schritt: Nachweisen, dass C eine stochastische Matrix ist
Willst du nun nachweisen, dass die eben berechnete Matrix C eine stochastische Matrix ist, so
zeigst du zunächst, dass die Spaltensummen der Matrix C sich zu 1 ergeben:
Spaltensumme der ersten Spalte:
a1 · b1 + a2 · (1 − b1 ) + (1 − a1 ) · b1 + (1 − a2 ) · (1 − b1 )
= a1 · b1 + a2 − a2 · b1 + b1 − a1 · b1 + 1 − b1 − a2 + a2 · b1 = 1
Spaltensumme der zweiten Spalte:
a1 · b2 + a2 · (1 − b2 ) + (1 − a1 ) · b2 + (1 − a2 ) · (1 − b2 )
= a1 · b2 + a2 − a2 · b2 + b2 − a1 · b2 + 1 − b2 − a2 + a2 · b2 = 1
Damit hast du bewiesen, dass sich die Spaltensummen der Matrix C also zu 1 ergeben, womit
die erste Bedingung an C für eine stochastische Matrix erfüllt ist. Beim Berechnen des Matrizenprodukts A · B werden nicht negative Zahlen miteinander multipliziert und addiert. Beim
Multiplizieren und Addieren von nicht negativen Zahlen können keine negativen Zahlen entstehen, dadurch müssen die Komponenten der Matrix C positiv sein.
Da sich die Spaltensummen der oben berechneten Matrix zu 1 ergeben und die Komponenten
dieser Matrix nicht negativ sind, müssen die Komponenten der Matrix C kleiner gleich 1 sein.
Da alle Bedingungen an C für eine stochastische Matrix erfüllt sind, hast du den Satz aus der
Aufgabenstellung erfüllt.
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Lösungsblatt (ausführlich)
Block 2B − Lineare Algebra/Analytische Geometrie − Stochastik − Aufgabe 2
a)
(1) ◮ Zeichnen des zugehörigen Baumdiagramms
(10P)
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass ein Fernsehsender täglich eine Abendsendung der Nachrichten ausstrahlt. Dieser Fernsehsender hat nun eine große Umfrage
zu den Fernsehgewohnheiten der Befragten durchgeführt. Bei dieser Umfrage wurden die
Gruppen vereinfachend in zwei Gruppen aufgeteilt, auf der einen Seite die Vielseher”’
”
und auf der anderen Seite die Nicht-Vielseher“.
”
Nun kannst du weiterhin der Aufgabenstellung entnehmen, dass 30 % der Befragten
zu den Vielsehern“ gehören, was bedeutet, dass 70 % der Befragten zu den Nicht”
”
Vielsehern“ gehören. Außerdem kannten 40 % der sogenannten Vielseher“ die Abend”
sendung der Nachrichten des Fernsehsenders, daraus lässt sich schließen, dass 60 % der
Vielseher“ eben diese Sendung unbekannt war.
”
Insgesamt kannten dabei 20 % aller Befragten die Abendsendung der Nachrichten, das
heißt, es gibt auch Befragte, die nicht als Vielseher“ eingestuft wurden, welche die Abend”
sendung der Nachrichten kannten. Welcher Anteil dieser Nicht-Vielseher“ die Abendsen”
dung der Nachrichten kannten ist unbekannt und wird im Weiteren mit x bezeichnet, was
bedeutet, dass ein Anteil von 1 − x der Nicht-Vielseher“ die Abendsendung der Nach”
richten nicht kannten.
Willst du diesen Sachverhalt nun in einem Baumdiagramm darstellen, so musst du hier
beachten, dass es sich um einen zweistufigen Zufallsversuch handelt:
• Erste Stufe: Unterscheidung zwischen den Vielseher“ und den Nicht-Vielseher“.
”
”
• Zweite Stufe: Unterscheidung zwischen den Befragten der einzelnen Gruppierungen,
die die Abendsendung der Nachrichten kannten oder nicht.
Dein Baumdiagramm zum Sachverhalt könnte also so aussehen:
30%
70%
40%
ja
60%
x
nein
ja
1- x
nein
Vielseher
NichtVielseher
1.Stufe:
Fernsehgewohnheiten
2.Stufe:
Kenntnis der Sendung
(2) ◮ Bestimmen des Anteils der Nicht-Vielseher“, die die Sendung kennen
”
Nun sollst du jenen Anteil der Nicht-Vielseher“ berechnen, die die Abendsendung der
”
Nachrichten trotzdem kennen. Der Aufgabenstellung kannst du dabei entnehmen, dass
insgesamt 20 % aller zur Umfrage befragten Personen die Abendsendung der Nachrichten
kennen. Willst du nun berechnen, welcher Anteil der Nicht-Vielseher“ die Abendsendung
”
der Nachrichten kennen, so musst du zunächst mit den dir bekannten Angaben, den Anteil der Befragten berechnen, die als Vielseher“ gelten und die Abendsendung kennen.
”
Dieser Anteil bzw. diese Wahrscheinlichkeit berechnest du hier mit Hilfe einer Pfadmultiplikation.
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◮ Abitur 2011 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Hast du den oben beschriebenen Anteil berechnet, so bestimmst du mit diesem und dem
Anteil der Personen der Umfrage, welche die Abendsendung der Nachrichten kennen, den
Anteil der Nicht-Vielseher“, welche die Sendung kennen.
”
Berechnen des gesuchten Anteils
Berechne zunächst den Anteil der Vielseher“ die die Sendung kennen, mit Hilfe einer
”
Pfadmultiplikation:
P(Vielseher und Kenntnis der Sendung) = 0, 3 · 0, 4 = 0, 12 = 12 %.
Nun ist dir bekannt, dass 12 % aller Befragten als Vielseher“ gelten und die Abendsendung
”
der Nachrichten kennen. Subtrahierst du diesen Anteil von dem Anteil aller Befragten, welche die Abendsendung der Nachrichten kennen, so erhältst du den Anteil der Befragten,
der nicht Nicht-Vielseher“ gelten und die Abendsendung trotzdem kennen:
”
P(Nicht-Vielseher und Kenntnis der Sendung) = 0, 2 − 0, 12 = 0, 08 = 8 %.
=⇒Insgesamt kennen 8 % der Befragten, die nicht als Vielseher“ gelten, die Abendsendung
”
der Nachrichten.
(3) ◮ Berechnen des Anteils der Nicht-Vielseher“, die die Abendsendung kennen
”
Nun sollst du den Anteil der Nicht-Vielseher“ berechnen, welche die Abendsendung der
”
Nachrichten kennen. Im obigen Baumdiagramm hast du diesen Anteil mit x bezeichnet. Im
vorhergegangenen Aufgabenteil hast du dabei den Anteil der Nicht-Vielseher“ berechnet,
”
welche trotzdem die Abendsendung der Nachrichten kennen. Diesen Anteil hast du dabei
mit Hilfe des Anteils aller Befragten, welche die Abendsendung der Nachrichten kennen
berechnet.
Willst du diese Aufgabe lösen, dann musst du nun wissen, dass sich der im zweiten Aufgabenteil berechnete Anteil auch auf anderem Wege berechnen lässt. Der Anteil aller Befragten, die als Nicht-Vielseher“ gelten und die Abendsendung kennen lässt sich nämlich
”
auch über die Pfadmultiplikation berechnen. Da dir der Anteil aller Befragten, die als
Vielseher“ gelten und die Abendsendung kennen, bekannt ist, kannst du mit diesem und
”
der Pfadmultiplikation den gesuchten Anteil x berechnen.
Wende die Pfadmultiplikation wie folgt an, um den gesuchten Anteil zu berechnen:
0, 08
P(Nicht-Vielseher und Kenntnis der Sendung) = 0, 08 = 0, 7 · x ⇔ x =
0, 7
⇔ x = 0, 1143 = 11, 43 %
Alternativ: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Alternativ kannst du den gesuchten Anteil auch über den Ansatz der bedingten Wahrscheinlichkeit berechnen. Betrachtet werden dabei diese beiden Ereignisse:
N : Person ist Nicht-Vielseher“ und K : Person kennt die Abendsendung“.
”
”
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person die Abendsendung der Nachrichten kennt, unter der Bedingung, dass dieser ein Nicht-Vielseher“ ist. Formal ausgedrückt
”
ist also die Wahrscheinlichkeit P(K | N ) gesucht, welche wie folgt berechnet wird:
P(K ∩ N )
0, 08
P(K | N ) =
=
= 0, 1143 = 11, 43 %.
P( N )
0, 07
=⇒Der Anteil der Nicht-Vielseher“, die die Abendsendung der Nachrichten kennen, beträgt
”
ungefähr 11,43 %.
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Lösungsblatt (ausführlich)
(4) ◮ Bestimmen der Mindestanzahl der Personen, die befragt werden müssen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer
Befragung mindestens eine Person die Abendsendung der Nachrichten kennt, nun mehr
als 99 % betragen soll. Deine Aufgabe ist es dabei, die Mindestanzahl der Personen zu berechnen, die dazu befragt werden müssen. Der Aufgabenstellung kannst du dazu entnehmen, dass insgesamt 20 % der Befragten, aus der vorherigen Umfrage, die Abendsendung
der Nachrichten kannten. Du könntest hier also sagen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass eine befragte Person die Abendsendung der Nachrichten kennt, bei 20 % liegt.
Betrachtest du nun eine Zufallsvariable X, welche die Anzahl der Personen beschreibt, die
die Abendsendung der Nachrichten kennen, dann kann diese Zufallsvariable als binomialverteilt angesehen werden. Das hat seine Ursache darin, dass die Zufallsvariable X dann
nur folgende zwei Ausprägungen besitzt
• Person kennt Sendung“ (Wahrscheinlichkeit 20 %)
”
• Person kennt Sendung nicht“ (Wahrscheinlichkeit 80 %)
”
und darin, dass davon ausgegangen werden kann, dass eine große Anzahl von Personen
befragt wurde, weshalb es sich näherungsweise um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt.
Das heißt, X ist binomialverteilt mit p = 0, 2 und n unbekannt.
Die Anzahl n beschreibt die Anzahl der für die Umfrage befragten Personen. Dieses n soll
nun so angepasst werden, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Person
der Befragten die Abendsendung der Nachrichten kennt, mehr als 99 % beträgt.
Es muss also folgender Zusammenhang erfüllt sein:
P( X ≥ 1) > 0, 99.
Willst du die unbekannte Anzahl n nun bestimmen, so mache hier Gebrauch vom Gegenereignis von P( X ≥ 1). Das Gegenereignis zu
• mindestens eine befragte Person kennt die Abendsendung der Nachrichten“ ist
”
• keine der befragten Personen kennt die Abendsendung der Nachrichten.“
”
Berechnen der gesuchten Anzahl n
Forme den oben gegebenen Ansatz zunächst mit Hilfe des Gegenereignisses um:
P( X ≥ 1) > 0, 99 ⇔ 1 − P( X = 0) > 0, 99.
Berechne nun mit Hilfe der Formel, zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröße die gesuchte Anzahl n:
1 − P( X = 0) > 0, 99
− P( X = 0) > −0, 01
P( X = 0) < 0, 01
(n0 ) · 0, 20
· 0, 8n
| −1
| : (−1)
p = 0, 2 und n unbekannt
< 0, 01
1 · 1 · 0, 8n < 0, 01
0, 8n < 0, 01
n · ln(0, 8) < ln(0, 01)
n >
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| ln( )
| : ln(0, 8) Achtung ln(0, 8) < 0!
ln(0, 01)
≈ 20, 63
ln(0, 8)
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=⇒Es müssen also mindestens 21 Personen befragt werden, damit die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass mindestens eine der befragten Personen die Abendsendung der Nachrichten
kennt, größer als 99 % ist.
b)
(1) ◮ Bestimmen der Vertrauensintervalle
(10P)
1. Personen, für die die Abendsendung wichtigste Informationsquelle ist
Deine Aufgabe ist es hier, zunächst ein Vertrauensintervall mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von γ = 90 % zu bestimmen für den Anteil der Personen, die die Abendsendung als wichtigste Informationsquelle des Tages angeben würden. Sei dazu Zufallsgröße
X1 die Anzahl jener Personen, die die Abendsendung als wichtigste Informationsquelle
angeben würden. X1 kann dabei näherungsweise als binomialverteilte Zufallsgröße angenommen werden, mit n = 1000 und p unbekannt. Einen ersten Schätzwert für p kannst
du über die Angabe ermitteln, dass 357 der 1000 befragten Personen angaben, dass die
Abendsendung ihre wichtigste Informationsquelle des Tages sei. Dieser Schätzwert ist der
prozentuale Anteil bzw. die relative Häufigkeit aller Personen, die die Abendsendung als
wichtigste Informationsquelle ansehen, d.h.:
X1
357
=
= 0, 357.
n
1000
Gesucht ist nun ein Intervall, in dem der tatsächliche Anteil p der Personen, die die Abendsendung als wichtigste Informationsquelle ansehen, mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 %
liegt. Einen Ansatz für dieses Problem bieten die σ-Regeln. Diese dürfen angewandt werden, wenn das Laplace-Kriterium σ > 3 erfüllt ist. Tatsächlich ergibt sich z.B. mit dem
Schätzwert 0,357 für p die Standardabweichung
p
σ = 1000 · 0, 357 · (1 − 0, 357) ≈ 15, 151 > 3.
Selbstverständlich kann dies nur als Näherung gesehen werden. Tendenziell kann aber
davon ausgegangen werden, dass die Bedingung σ > 3 erfüllt ist.
Du kannst also so vorgehen:
• Wähle die σ-Regel, welche eine Aussage über ein 90 %-Konfidenzintervall um den
Erwartungswert µ macht.
• Bedenke: µ = n · p. Forme den Ausdruck in der σ-Regel also so um, dass er eine
Aussage über p macht. Hieraus ergibt
! sich:
r
X1
p
·
(
1
−
p
)
P − p ≤ 1, 64 ·
≤ 0, 9
n
n
• Löse die Ungleichung nach p auf und berechne so die Grenzen des Intervalls.
1. Schritt: σ-Regeln auswählen
Du findest die Regel
P(µ − 1, 64 · σ ≤ X1 ≤ µ + 1, 64 · σ ) ≈ 0, 9
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2. Schritt: Ausdruck umformen
Betrachte nur den Ausdruck in Klammern und forme ihn so um, dass er eine Aussage über
p macht. Du kennst bereits:
• n = 1000
p
• σ = n · p · (1 − p )
• die relative Häufigkeit
X1
= 0, 357.
n
µ − 1, 64σ ≤
n · p − 1, 64 ·
p
X1 ≤ µ + 1, 64σ
n · p − 1, 64σ ≤
n · p · (1 − p )
r
p · (1 − p )
p − 1, 64 ·
n
r
p · (1 − p )
−1, 64 ·
n
X1
n − p
≤
≤
≤
X1 ≤ n · p + 1, 64σ
p
X1 ≤ n · p + 1, 64 n · p · (1 − p)
r
p · (1 − p )
X1
≤ p + 1, 64
n
n
r
p · (1 − p )
X1
− p ≤ 1, 64
n
n
≤ 1, 64
r
p · (1 − p )
n
|0, 357 − p| ≤ 1, 64
r
p · (1 − p )
1000
| µ = n·p
p
| σ = n · p · (1 − p )
|:n
| −p
|
X1
= 0, 357;
n
n = 1000
3. Schritt: Ungleichung lösen
Du kannst auf beiden Seiten quadrieren und die Ungleichung nach p auflösen:
r
p · (1 − p )
| ( )2
|0, 357 − p| ≤ 1, 64
1000
p · (1 − p )
(0, 357 − p)2 ≤ (1, 64)2 ·
1000
2, 6896
0, 3572 − 2 · 0, 357 · p + p2 ≤
· p · (1 − p )
1000
2, 6896 2
2, 6896
2, 6896 2
2, 6896
p+
p
p−
p
| −
0, 3572 − 2 · 0, 357 · p + p2 ≤
1000
1000
1000
1000
2, 6896 2
2, 6896
p2 +
p − 2 · 0, 357 · p −
p + 0, 3572 ≤ 0
1000
1000
Fasse den Ausdruck links vom Gleichheitszeichen als Funktionsterm f ( p) einer Funktion
f auf. Der Graph von f ist eine nach oben geöffnete Parabel.
Gesucht ist der Bereich, in welchem f negative Funktionswerte annimmt, d.h. der Bereich,
in dem die Parabel unterhalb der x-Achse verläuft. Du kannst diese Ungleichung grafisch
lösen:
Zeichne den Graphen von
f
und berechne mit
2nd → TRACE (CALC) → Zero die Nullstellen von
f . Sie sind die Grenzen deines Intervalls.
hier anfangen
Der GTR liefert die Werte p1 = 0, 3326 und p2 = 0, 3823.
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=⇒Damit folgt: der tatsächliche Anteil p derjenigen, die die Abendsendung als wichtigste Informationsquelle des Tages ansehen, liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % im Intervall [0, 3326 ; 0, 3823].
2. Spätausgabe wichtigste Informationsquelle
Nun ist es deine Aufgabe, bei einer erneuten Sicherheitswahrscheinlichkeit von 90 % ein
Vertrauensintervall zu bestimmen, für den Anteil der Personen, die die Spätausgabe als
wichtigste Informationsquelle angeben würden. Sei dazu Zufallsvariable X2 die Anzahl jener Personen, die die Spätausgabe als wichtigste Informationsquelle angeben würden. X2
kann dabei wieder näherungsweise als binomialverteilte Zufallsgröße angenommen werden, ebenfalls mit n = 1000 und p unbekannt. Das heißt, hier liegt die gleiche Situation wie
oben vor, wobei der einzige Unterschied bei der betrachteten relativen Häufigkeit liegt.
Hier ergibt sich diese zu:
42
X2
=
= 0, 042
n
1000
Die restliche Rechnung ergibt sich hier analog zu 1.
Nach graphischem Lösen des Problems mit deinem GTR
ergeben sich die unten stehenden Grenzen.
hier anfangen
Der GTR liefert die Werte p1 = 0, 0327 und p2 = 0, 0537.
=⇒Damit folgt: der tatsächliche Anteil p derjenigen, die die Spätausgabe als wichtigste
Informationsquelle ansehen, liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % im Intervall
[0, 0327 ; 0, 0537].
3. Abendsendung oder Spätausgabe wichtigste Informationsquelle
Nun ist es deine Aufgabe, bei einer erneuten Sicherheitswahrscheinlichkeit von 90 %
ein Vertrauensintervall zu bestimmen, für den Anteil der Personen, die entweder die
Abendsendung oder die Spätausgabe als wichtigste Informationsquelle angeben würden.
Sei dazu Zufallsgröße X3 die Anzahl jener Personen, die die Spätausgabe oder die
Abendsendung als wichtigste Informationsquelle angeben würden. X3 kann dabei wieder näherungsweise als binomialverteilte Zufallsgröße angenommen werden, ebenfalls mit
n = 1000 und p unbekannt. Das heißt, hier liegt die gleiche Situation wie oben vor, wobei
der einzige Unterschied bei der betrachteten relativen Häufigkeit liegt. Hier ergibt sich diese zu:
X3
357 + 42
399
=
=
= 0, 399
n
1000
1000
Die restliche Rechnung ergibt sich hier analog zu 1 und 2.
Nach graphischem Lösen des Problems mit deinem GTR
ergeben sich die unten stehenden Grenzen.
hier anfangen
Der GTR liefert die Werte p1 = 0, 3739 und p2 = 0, 4247.
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=⇒Damit folgt: der tatsächliche Anteil p derjenigen, die die Abendsendung oder die
Spätausgabe als wichtigste Informationsquelle ansehen, liegt mit einer Wahrscheinlichkeit
von 90 % im Intervall [0, 3739 ; 0, 4247].
(2) ◮ Vergleichen der Intervalle
Nun sollst du das Intervall, welches du eben bestimmt hast, mit dem Intervall vergleichen,
das sich durch Addition der jeweiligen Intervallsgrenzen der beiden zuvor bestimmten
einzelnen Vertrauensintervallen ergibt. Addiere also die obere und untere Grenze des Vertrauensintervalls für die Personen, welche die Abendsendung als ihre wichtigste Informationsquelle ansehen, zu der oberen und unteren Grenze des Vertrauensintervalls für die
Personen, die die Spätausgabe als ihre wichtigste Informationsquelle ansehen.
Vergleiche anschließend das resultierende Intervall mit dem Vertrauensintervall für die
Personen, welche die Abendsendung oder die Spätausgabe als ihre wichtigste Informationsquelle ansehen.
Aus Addition resultierendes Intervall:
[0, 3326 + 0, 0327; 0, 3823 + 0, 0537] = [0, 3653 + 0, 0327; 0, 436].
=⇒Vergleichst du nun die beiden Intervalle, so kannst du erkennen, dass das Vertrauensintervall für die Personen, welche die Abendnachrichten oder die Spätausgabe als ihre
wichtigste Informationsquelle ansehen, in dem eben bestimmten Intervall liegt. Das bedeutet, dass das Vertrauensintervall für die Personen, welche die Abendnachrichten oder
die Spätausgabe als ihre wichtigste Informationsquelle ansehen, nicht aus der Addition
der Grenzen des Vertrauensintervalls für die Personen, die die Abendnachrichten als ihre
wichtigste Informationsquelle ansehen und der Grenzen des Vertrauensintervalls die Personen für die die Spätausgabe als ihre wichtigste Informationsquelle ansehen, entstanden
sein kann.
(3) ◮ Beurteilen der Aussage des Senders
Hier geht es nun darum, die Aussage des Senders auf Basis der Sicherheitswahrscheinlichkeit von 90 % zu beurteilen. Dieser behauptet, dass für 43 % der Bevölkerung die Abendsendung oder Spätausgabe als wichtigste Informationsquelle des Tages gelten. Beim Beurteilen dieser Aussage kann es sinnvoll sein, wenn du dir die Bedeutung der Sicherheitswahrscheinlichkeit für Vertrauensintervalle vor Augen führst.
Die Sicherheitswahrscheinlichkeit gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der tatsächliche
Anteil, welcher untersucht wurde, im ermittelten Vertrauensintervall liegt.
=⇒Die Sicherheitswahrscheinlichkeit gibt hier also an, dass mit einer 90 % Wahrscheinlichkeit der tatsächliche Anteil der Personen, die die Abendnachrichten oder die Spätausgabe
des Senders als wichtigste Informationsquelle des Tages ansehen, im oben bestimmten Vertrauensintervall liegt. Das heißt, der tatsächliche Anteil p liegt mit einer Wahrscheinlichkeit
von 90 % im Intervall [0, 3739 ; 0, 4247]. Damit ist die Aussage des Senders auf der Basis der
Sicherheitswahrscheinlichkeit von 90 % mit dem ermittelten Resultat nicht verträglich, da
deren Anteil mit 43 % nicht im bestimmten Intervall liegt.
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Block 1 − Analysis − Aufgabe 1A

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