¨Ubungen zur homologischen Algebra

SS 2007
Übungen zur homologischen Algebra
Blatt 2
Abgabe bis Freitag, 30.3.2007, 12:00
Aufgabe 1
Sei C eine Kategorie.
/B
nnn
n
n
vn
p7 AO NNNN
NNNu
ppp
p
p
/D
NNN
t
pp
C
p
NNN
p
pp v
p
w
o
o 7' D
o
o
B NNN
C
d
p
NNN x
pp
z ppp
NNN
/F
y
p
p
E
n
NNN
n
p
wnnnnn
vnnnnn
N' pppp
/
H
E
G
a) In C bestehe das links gezeichnete “Würfeldiagramm”, wobei d ein Monomorphismus ist und der
“Boden” und die vier “Seitenflächen” kommutieren. Zeigen Sie, dass dann auch der “Deckel” kommutiert.
b) In C bestehe das rechts gezeichnete Diagramm. Dabei seien w ein Monomorphismus und v ein Epimorphismus, und es gelten s ◦ v = t, x ◦ v = y und u ◦ t = z ◦ y. Zeigen Sie, dass dann u ◦ s = z ◦ x.
A
nnn
wnnn
s
Aufgabe 2
Seien n ∈ N0 und (Ai )ni=1 eine Familie in Ob(Ab). Wir sagen, ein Paar (P, (pi )ni=1 ) mit P ∈ Ob(Ab) und
einer Familie (pi : P → Ai )ni=1 in Mor(Ab) erfülle die Eigenschaft (1), falls für jedes B ∈ Ob(Ab) und
jede Familie (bi : B → Ai )ni=1 in Mor(Ab) genau ein b ∈ MorAb (B, P ) so existiert, dass pi ◦ b = bi für
jedes i ∈ {1, . . . , n}; wir sagen, ein Paar (Q, (qi )ni=1 ) mit Q ∈ Ob(Ab) und einer Familie (qi : Ai → Q)ni=1
in Mor(Ab) erfülle die Eigenschaft (2), falls für jedes B ∈ Ob(Ab) und jede Familie (bi : Ai → B)ni=1 in
Mor(Ab) genau ein b ∈ MorAb (Q, B) so existiert, dass b ◦ qi = bi für jedes i ∈ {1, . . . , n}.
Sei (P, (pi )ni=1 ) ein Paar mit der Eigenschaft (1). Zeigen Sie, dass es eine Familie (qi : Ai → P )ni=1
in Mor(Ab) so gibt, dass (P, (qi )ni=1 ) die Eigenschaft (2) erfüllt. Verwenden Sie dazu keine allfälligen
Konstruktionen.
Aufgabe 3
Seien n ∈ N0 und A eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Zeigen Sie:
a) Aut(A) ist eine Abelsche Gruppe.
b) Es besteht ein Isomorphismus von Gruppen zwischen Aut(A) und der Gruppe (Z/n)∗ der bezüglich
der Multiplikation invertierbaren Elemente von Z/n.
Aufgabe 4
Sei K ein Körper, und es bezeichne K-mod die Kategorie der endlichdimensionalen K-Vektorräume.
a) Zeigen Sie, dass durch die folgenden Daten eine Kategorie C definiert wird: Die Objekte von C seien
die nichtnegativen ganzen Zahlen; für m, n ∈ N0 sei MorC (m, n) die Menge K n×m der n × m-Matrizen;
die Verknüpfung sei durch die Matrizenmultiplikation gegeben.
b) Zeigen Sie, dass durch die folgenden Daten ein kovarianter Funktor F : C → K-mod definiert wird: Für
m ∈ Ob(C ) sei F (m) := K m (versehen mit der kanonischen K-Vektorraumstruktur); für m, n ∈ Ob(C )
und A ∈ MorC (m, n) sei F (A) die bezüglich der kanonischen Basen von K m und K n durch die Matrix
A dargestellte K-lineare Abbildung.
Aufgabe 5
Für eine Menge X bezeichne P(X) die Potenzmenge von X. Für zwei Mengen X und Y und eine
Abbildung f : X → Y besteht bekanntlich eine Abbildung P(f ) : P(Y ) → P(X), U 7→ f −1 (U ).
a) Zeigen Sie, dass durch
P(f )
f
P : Set → Set, X −→ Y 7→ P(Y ) −→ P(X)
ein kontravarianter Funktor definiert wird.
∼
=
b) Es sei 2 eine zweielementige Menge. Zeigen Sie, dass eine natürliche Äquivalenz P → MorSet (•, 2)
existiert.