Prof. Dr. Bernd Dreseler 5 Folgen 5.1 Konvergenz von Folgen Definition: Eine Folge a n heißt konvergent, wenn es eine Zahl a mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem 0 existiert ein N so, daß an a für alle n>N Die Zahl a heißt Grenzwert oder Limes der Folge, und man schreibt lim an a n oder an a für n Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Nullfolge. www.bernd-dreseler.de Vorlesung Analysis I Prof. Dr. Bernd Dreseler Wichtige Folgen und ihre Grenzwerte: 1 1. lim s 0 n n für jedes positive s . 2. lim n a 1 für jedes reelle a > 0. n 3. lim n n 1. n 4. lim q 0 für jedes q mit q 1. nk 5. lim n 0 n z für jedes k und z n n www.bernd-dreseler.de Vorlesung Analysis I mit z 1. Prof. Dr. Bernd Dreseler 5.2 Rechenregeln Regel I: Für die Folgen an und bn gelte an a und bn b. Dann gilt : a) an bn a b , b) an bn a b . an a c) Ist b 0, so sind fast alle bn 0, und es gilt . bn b www.bernd-dreseler.de Vorlesung Analysis I Prof. Dr. Bernd Dreseler Regel II: Für die Folge an gelte an a. Dann gilt auch an a , an a, Re an Re a, Im an Im a . Insbesondere sind Grenzwerte reeller Folgen reell. Ferner folgt lim an lim Re an i lim Im an www.bernd-dreseler.de Vorlesung Analysis I Prof. Dr. Bernd Dreseler Regel III: Es gelte an a und bn b, ferner an bn für fast alle n. Dann gilt auch a b. Folgerung: Liegen alle Glieder einer konvergenten Folge an in dem kompakten Intervall A, B , dann auch ihr Grenzwert. Einschließungsregel (Sandwich-Theorem) Zur Folge an gebe es konvergente Folgen An und Bn mit An an Bn für fast alle n und mit lim An lim Bn . Dann ist auch an konvergent, und es gilt lim an lim An . www.bernd-dreseler.de Vorlesung Analysis I Prof. Dr. Bernd Dreseler Asymptotische Gleichheit. Zwei Folgen an und bn von Zahlen 0 heißen an asymptotisch gleich, falls die Folge gegen 1 konvergiert, bn an lim 1; n b n www.bernd-dreseler.de in Zeichen: an bn Vorlesung Analysis I für n Prof. Dr. Bernd Dreseler www.bernd-dreseler.de Vorlesung Analysis I Prof. Dr. Bernd Dreseler www.bernd-dreseler.de Vorlesung Analysis I Prof. Dr. Bernd Dreseler 5.3 Monotone Folgen Eine Folge an heißt beschränkt,wenn es eine Zahl s gibt, so daß für alle Glieder an s gilt. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Definition: Eine Folge an reeller Zahlen heißt a) monoton wachsend , wenn an an1 für alle n, b) monoton fallend , wenn an an1 für alle n gilt. www.bernd-dreseler.de Vorlesung Analysis I Prof. Dr. Bernd Dreseler Satz: Jede beschränkte, monotone Folge an konvergiert, und zwar a) eine wachsende gegen sup A, wobei A : {an : n }; b) eine fallende gegen inf A. 5.4 Eine Rekursionsformel zur Berechnung von Quadratwurzeln Satz: Bei beliebig gewähltem Startwert x0 0 konvergiert die durch 1 a xn 1 xn definierte Folge gegen a . 2 xn www.bernd-dreseler.de Vorlesung Analysis I Prof. Dr. Bernd Dreseler 5.5 Der Satz von Bolzano-Weierstraß Häufungswerte: h heißt Häufungswert der Fo lg e(an ), wenn jede Umgebung K (h) von h unendlich viele Folgenglieder an enthält, d.h., wenn gilt: h an für unendliche viele n. www.bernd-dreseler.de Vorlesung Analysis I Prof. Dr. Bernd Dreseler Satz von Bolzano-Weierstraß, 1.Fassung: Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt einen Häufungswert. Jede beschränkte Folge an reeller Zahlen hat einen größten Häufungswert h* und einen kleinsten h* ; diese haben die Eigenschaft, daß für jedes 0 gilt: (6* ) an h* für fast alle n, (6* ) an h* für fast alle n. h* heißt Limes sup erior , h* Limes inf erior von (an ). h* : limsup an bzw. h* : lim inf an . www.bernd-dreseler.de Vorlesung Analysis I Prof. Dr. Bernd Dreseler Teilfolgen: Ist (an ) eine Folge komplexer Zahlen und (nk ) eine streng monoton wachsende Folge von Indizes, so heißt die durch k definierte Folge ank k ank , k , Teilfo lg e von (an ). Lemma: h ist ein Häufungswert einer Folge an genau dann, wenn h der Grenzwert einer konvergenten Teilfolge ank ist. www.bernd-dreseler.de Vorlesung Analysis I Prof. Dr. Bernd Dreseler Satz von Bolzano-Weierstraß, 2. Fassung Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge. 5.6 Das Konvergenzkriterium von Cauchy. Nochmals die Vollständigkeit von Konvergenzkriterium von Cauchy: Eine Folge an komplexer Zahlen konvergiert genau dann, wenn es zu jedem >0 ein N gibt, so daß gilt: an am , falls n und m N sind. www.bernd-dreseler.de Vorlesung Analysis I Prof. Dr. Bernd Dreseler Definition: Eine Folge an komplexer Zahlen heißt Cauchy Fo lg e oder Fundamentalfo lg e, wenn es zu jedem >0 ein N gibt, so daß an am , falls n und m N . Vollständigkeit von : Das Intervallschachtelungsprinzip folgt aus dem Cauchyschen Konvergenzkriterium. Intervallschachtelungsprinzip (V) Satz von Bolzano-Weierstraß Cauchy-Kriterium Intervallschachtelungsprinzip (V) www.bernd-dreseler.de Vorlesung Analysis I Prof. Dr. Bernd Dreseler 5.7 Die erweiterte Zahlengerade Zur Bildung von Grenzwerten ist es zweckmäßig, um zwei ideelle Elemente und - zu erweitern: : {, }. Dabei setzt man - x x . Man definiere ferner wie in 2.3 Intervalle in a, : {x : a x }, a, : {x , z.B. : a x } und analog weiter. Die Intervalle K, , , K heißen auch Umgebungen von bzw. -. www.bernd-dreseler.de Vorlesung Analysis I Prof. Dr. Bernd Dreseler Definition: Für eine Folge an reeller Zahlen setzt man lim an : , falls jede Umgebung K , fast alle an enthält, lim an : , falls jede Umgebung -,K fast alle an enthält. Die Folge heißt dann bestimmt divergent oder auch uneigentlich konvergent. Ferner setzt man limsup an : , falls jede Umgebung K , unendlich viele an enthält; liminf an : , falls jede Umgebung -,K unendlich viele an enthält. www.bernd-dreseler.de Vorlesung Analysis I