Riemannsche Flächen

Riemannsche Flächen
ein Seminarvortrag
Sven Grützmacher
Betreut von Dr. Kasten
Inhaltsverzeichnis
1 die ersten Schritte - Mannigfaltigkeiten und Struktur
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2 Riemannsche Flächen
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3 Funktionen, Abildungen und Sätze
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4 Quellen
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DIE ERSTEN SCHRITTE - MANNIGFALTIGKEITEN UND STRUKTUR
1 die ersten Schritte - Mannigfaltigkeiten und Struktur
Bevor wir uns dem eigentlichem Thema zuwenden muss klar sein mit was wir uns befassen. Dazu sind je nach Vorbildung ein paar Begriffe nötig die ich hier noch einmal kurz
wiederholen will.
Definition 1. Sei X eine Menge und F ⊂ P (X). Man nennt das Mengensystem F eine
Topologie falls gilt:
• X ∈ F und ∅ ∈ F
• F ist abgeschlossen bzgl endlichem Schnitt und beliebiger Vereinigung
Eine Menge X zusammen mit einer Topologie F heißt topologischer Raum (X,F).
U ∈ F nennt man offene Mengen.
Definition 2. Ein Hausdorfraum ist ein topologischer Raum X mit folgender Eigenschaft:
∀x 6= y ∈ X ∃ offene disjunkte Umgebungen U (x), V (y)
Definition 3. Eine n-dim Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorfraum X so dass:
∀a ∈ X ∃U (a) offen so dass U (a) homöomorph zu einer offenen Teilmenge des Rn ist.
Dies sind erst einmal die wichtigsten Begriffe die man wenigstens schon einmal gehört
haben sollte. Nun kommen wir langsam unserem Thema schon näher - komplexen Mannigfaltigkeiten. Es sei noch angemerkt dass die oben genannte definition reelle Mannigfaltigkeiten definiert. Analog kann man auch komplexe Mannigfaltigkeiten definieren.
Im folgenden seien alle Mannigfaltigkeiten 2-dimensional(reell) bzw. 1-dimensional(komplex).
Definition 4. Sei X eine Mannigfaltigkeit. Eine Karte ist ein homöomorphismus ϕ :
U → V mit U ⊂ X, V ⊂ C offen.
2 Karten ϕi : Ui → Vi i = 1, 2 heißen biholomorph verträglich falls:
ϕ2 ◦ ϕ−1
1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) → ϕ2 (U1 ∩ U2 ) biholomorph
Ein Atlas auf X ist ein System G = {ϕi : Ui → Vi , i ∈ I} paarweise biholomorph
verträglicher Karten, die X überdecken.
Zwei Atlanten heißen biholomorph verträglich, falls jede Karte des einem mit jeder Karte
des anderen biholomorph verträglich ist.
Bemerkung 1. Die biholomorphe verträglichkeit von Atlanten ist eine Äquivalenzrelation.
Definition 5. Eine komplexe Struktur auf einer Mannigfalitigkeit X ist eine Äquivalenzklasse
biholomorph verträglicher Altlanten auf X.
Für jede komplexe Struktur Σ auf X existiert ein eindeutiger maximaler Atlas Υ∗
in folgender Weise:
Sei Υ ein beliebiger Atlas aus Σ, so besteht Υ∗ aus allen Karten, die mit jeder Karte
von Υ biholomorph verträglilch sind.
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RIEMANNSCHE FLÄCHEN
2 Riemannsche Flächen
Nun haben wir uns praktisch unser Baumaterial für die Riemannschen Flächen zurecht
gelegt. Steigen wir also in das Thema ein:
Definition 6. Eine Riemannsche Fläche ist ein Paar (X, Σ) bestehend aus einer
Mannigfaltigkeit X und einer komplexen Struktur Σ auf X.
Um die Notation zu vereinfachen gelte im folgenden:
• statt (X, Σ) schriebt man nur X, wenn klar ist welche Struktur vorhanden ist
• unter einer Karte verstehen wir immer eine Karte des maximalen Atlas von Σ
Das schöne an Riemannschen Flächen ist, dass sie lokal dem Cn gleichen. Dies ermöglicht
das übertragen vieler Sätze und Erkenntnisse aus der komplexen Analysis und Funktionentheorie. Es kommt jedoch immer vor, dass einige Punkte auf X in vielen Karten
enthalten sind und es keine eindeutige Karte gibt die diesen Punkt abbildet. Von daher
folgt:
Bemerkung 2. Man kann nur solche Begriffe aus der Funktionentheorie auf Riemannsche Flächen übertragen, welche invariant unter biholomorphen Abbildungen sind. Dort
entfällt die festlegung auf eine spezielle Karte.
Widmen wir uns nun 4 Beispielen:
Beispiel 1 (Gaußsche Zahlenebene C). Durch einen Atlas, dessen einzige Karte idC ist
wird die gaußsche Zahlenebene trivialer Weise zu einer Riemannschen Fläche.
Beispiel 2 (Gebiete). Sei X eine Riemannsche Fläche und Y ⊂ X ein Gebiet. Definiere
Ψ = {ϕ : U → V |ϕ Karte , U ⊂ Y }. Durch Ψ wird Y auf natürliche Weise zu einer Riemannschen Fläche.
Somit sind nach Beispiel 1 auch Gebiete in C Riemannsche Flächen
Beispiel 3 (Riemannsche Zahlenkugel). Sei P1 := C∪ {∞}. Durch die aus der Funktheo
bekannten Topologie erhält man einen zur S2 homöomorphen kompakten Hausdorfraum.
Betrachte nun ϕi : Ui → C, i = 1, 2 mit:
• U1 = C
ϕ1 = idC
(
• U2 = P1 \{0}
ϕ2 :=
1
z
0
z ∈ C∗
z=∞
Somit ist P1 eine Mannigfaltigkeit. Bleibt noch zu zeigen, dass die Karten biholomorph
verträglich sind.
Beweis. ϕ1 (U1 ∩ U2 ) = ϕ2 (U1 ∩ U2 ) = C∗
1
∗
∗
ϕ2 ◦ ϕ−1
1 : C → C , z 7−→ z biholomorph
Beispiel 4 (Tori).
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RIEMANNSCHE FLÄCHEN
Um zu zeigen, dass Tori Riemannsche Flächen sind gehen wir einen Umweg. Sei dazu:
Γ := Zω1 + Zω2 = {nω1 + mω2 : n, m ∈ Z}
mit ω1 , ω2 linear unabhängig über R. Γ nennt man das von den ωi aufgespannte Gitter.
z,z’ heißen äquivalent mod Γ ⇔ z − z 0 ∈ Γ
Sei C/Γ die Menge aller Äquivalenzklassen und π : C → C/Γ die kanonische Projektion.
Um Γ zu einer Mannigfaltigkeit zu machen müssen wir erst einen Hausdorfraum daraus
machen. Dazu führt man folgende Topologie ein:
U ⊂ C/Γ heißt offen ⇔ π −1 (U ) ⊂ C offen
Dadurch wird π stetig, denn Urbilder offener Mengen sind per Definition offen und
wir erhalten einen kompakten Hausdorfraum da C/Γ unter π das Bild des kompakten
Parallelogramms
P := {λω1 + µω2 |λ, µ ∈ [0, 1]}
ist. Nun wollen wir zeigen, dass π offen ist, also auch offene Mengen auf offene Mengen
schickt.
Beweis. Sei V ⊂ C offen. Um zu zeigen, dass π(V ) offen ist genügt es zu zeigen das
V̂ := π −1 (π(V )) offen ist. Es gilt:
V̂ = {z ∈ C | ∃v ∈ V : π(z) ∈ [v]}
= {z + ω | z ∈ V, ω ∈ Γ}
= {ω + V | ω ∈ Γ}
[
=
(ω + V )
ω∈Γ
Da (ω + V ) offen ist weil V offen ist, ist auch V̂ offen.
Um eine Manigfaltigkeit zu erhalten benötigen wir jetzt noch eine Komplexe Struktur
auf C/Γ. Sei dazu V ⊂ C mit:
• V offen
• ∀x ∈ V 6 ∃y 6= x ∈ V : π(x) = π(y)
Somit ist U := π(V ) offen und π|V → U ein homöömorphismus. Die Umkehrabbildung
ϕ : U → V ist somit eine Karte auf C/Γ.
Sei U die Menge aller Karten die sich so für geeignete V ⊂ C finden lassen. Bleibt zu
zeigen, dass je 2 Karten ϕ1 , ϕ2 biholomorph verträglich sind.
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RIEMANNSCHE FLÄCHEN
Beweis. betrachte ψ := ϕ2 ◦ ϕ−1
1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) → ϕ2 (U1 ∩ U2 )
∀z ∈ ϕ1 (U1 ∩ U2 ) : π(ψ(z)) = ϕ−1
1 (z)
= π(z)
(1)
(2)
wobei (1) gilt da π homöömorph und somit lokal gilt: π = ϕ−1
2 . Analog bei (2). Somit
folgt ψ(z) = z modΓ also ψ(z) − z ∈ Γ.
Da ψ und somit auch ψ(z) − z stetig ist und Γ diskret muss ψ(z) − z auf jeder
Zusammenhangskomponente von ϕ1 (U1 ∩ U2 ) konstant sein. D.h. ψ(z) = z + ω, ω ∈ Γ
Somit gilt:
lim
h→0
ψ(z+h)−ψ(z)
h
= lim
h→0
z+h+ω−z−ω
h
=1
Also sind ψ und ψ −1 holomorph.
Somit erhalten wir also einen Atlas U und C/Γ wird zu einer Mannigfaltigkeit.
Sei nun
ξ : C/Γ → S1 × S1 : λω1 + µω2 7−→ e2πiλ , e2πiµ
ξ ist offensichtlich ein Homöömorphismus von unserem Gitter auf den Torus S1 × S1 .
Somit wird unser Torus wie folgt auch zu einer Mannigfaltigkeit:
ξ
U
S1 × S1 →
− C/Γ −
→C
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FUNKTIONEN, ABILDUNGEN UND SÄTZE
3 Funktionen, Abildungen und Sätze
Nun haben wir also Riemannsche Flächen. Allerdings können wir bisher noch nicht viel
mit ihnen anfangen. Um etwas tun zu können schauen wir uns im folgenden Funktionen und Abbildungen auf Riemannschen Flächen an und widmen uns 2 Sätzen aus der
Funktionentheorie.
Definition 7. Sei X eine RF und Y ⊂ X offen. eine Funktion f : Y → C heißt
holomorph genau dann, wenn ∀ϕ : U → V auf X die Funktion
f ◦ ϕ−1 : C ⊃ ϕ(U ∩ Y ) → C
holomorph ist. Die Menge aller auf ϕ(U ∩ Y ) holomorphen Funktionen wird mit O(Y )
bezeichnet.
Bemerkung 3. (a) Summe und Produkt holomorpher Funktionen sind wieder Holomorph. Ebenfalls die konstanten Funktionen. Damit ist O(Y ) eine C-Algebra.
(b) Es genügt die Bedingung für eine Familie von Karten die Y überdecken zu zeigen.
Für die anderen Karten ist dies dann automatisch wegen der biholomorphen verträglichkeit erfüllt.
(c) Ist ϕ : U → V eine Karte auf X, so ist ϕ insbesondere eine holomorphe Funktion
auf U. Man nennt ϕ auch die lokale Koordinate oder Ortsuniformisierende. (U,ϕ)
ist die Koordinatenumgebung jedes Punktes a ∈ U .
Nun kommen wir zu einem wichtigen Satz aus der Funktionentheorie. Es dreht sich
um die Frage wann man Funktionen eindeutig fortsetzen kann.
Satz 1 (Riemannscher Hebbarkeitssatz). Sei X eine RF und U ⊂ X offen, sowie a ∈ U .
Ist f ∈ O(U \{a}) in einer gewissen Umgebung von a beschränkt, dann lässt sich f
eindeutig zu einer Funktion f˜ ∈ O(U ) fortsetzen.
Beweis. Sei also f beschränkt und holomorph auf einer punktierten Umgebung D.h.
∀ϕ : V → C Karte : f ◦ ϕ−1 : ϕ(V ∩ (U \{a})) → C beschr.&holomorph
(in C) ⇒f ◦ ϕ−1 hebbar in a
(in C) ⇒f ◦ ϕ−1 holomorph f ortsetzbar
⇒∃f˜ : f˜ ◦ ϕ−1 : ϕ(V ∩ U ) → C holomorph
⇒Beh.
Bisher haben wir Funktionen auf Riemannschen Flächen betrachtet, also Abbildungen
von X nach C. Nun kann man aber auch Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen
charakterisieren:
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FUNKTIONEN, ABILDUNGEN UND SÄTZE
Definition 8. Seien X,Y RF. Eine stetige Abbildung f : X → Y heißt holomorph,
falls für jedes Paar von Karten ϕ1 : U1 → V1 auf X und ϕ2 : U2 → V2 auf Y mit
f (U1 ) ⊂ U2 die Abbildung
ϕ2 ◦ f ◦ ϕ−1
1 : V1 → V2
holomorph ist.
2 RF heißen isomorph wenn es eine biholomorphe Abbildung zwischen ihnen gibt.
Bemerkung 4. (a) Für Y = C sind holomorphe Abbildungen das selbe wie holomorphe
Funktionen.
(b) Die komposition holomorpher Abbildungen ist wieder holomoprh.
(c) Eine stetige Abbildung f : X → Y zwishcen RF ist genau dann holomoprh, wenn für
jede offene Menge V ⊂ Y und jede Funktion ϕ ∈ O(V ) die ßurückgeliftete”Funktion
ϕ ◦ f : f −1 (V ) → C in O(f −1 (V )) liegt. Vereinfacht also:
f holo. ⇔ ϕ ◦ f holo.
Die holomorphe Abbildung f induziert deshalb einen Ringhomomorphismus
f ∗ : O(V ) → O(f −1 (V )), f ∗ (ϕ) = ϕ ◦ f
für ein g : Y → Z, W ⊂ Z offen, V = g −1 (W ) gilt:
(g ◦ f )∗ : O(W ) → O(f −1 (V )),
(g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗
Nun widmen wir uns einem weiteren starken Satz aus der Funktionentheorie
Satz 2 (Identitätssatz). Seien X,Y RF und f1 , f2 : X → Y 2 holomorphe Abbildungen, die auf einer Teilmenge A ⊂ X, welche einen Häufungspunkt a ∈ X besitzt,
übereinstimmen. Dann sind f1 und f2 identisch.
Beweis. Sei G die Menge aller Punkte x ∈ X, die eine Umgebung W besitzen mit
f1 |W = f2 |W . G ist nach Definition offen, denn da W offen ist gilt: ∀w ∈ W ∃U (w) :
U (w) ⊂ W . Daher sind f1 und f2 auch auf U (w) identisch und somit w ∈ G. D.h. G ist
die Vereinigung all dieser Umgebungen.
Wir zeigen nun noch, dass G auch abgeschlossen ist:
Sei dazu b ∈ G ein Randpunkt von G. Da f1 und f2 stetig sind folgt: f1 (b) = f2 (b).
Darum existieren Karten ϕ : U → V und ψ : U 0 → V 0 mit b ∈ U und fi (U ) ⊂ U 0 . Wir
dürfen annehmen, dass U zusammenhängt(sonst betrachte eine Einschränkung). Aus der
holomorphie der fi wissen wir, dass die
gi := ψ ◦ fi ◦ ϕ−1 : V → V 0 ⊂ C
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FUNKTIONEN, ABILDUNGEN UND SÄTZE
holomorph sind. Da U ∩ G 6= ∅ stimmen die gi nach dem Identitätssatz auf Gebieten in
C überein. Also gilt f1 |U = f2 |U . Da U offen ist folgt b ∈ G also die Abgeschlossenheit
von G. Da X zusammenhängend ist folgt G = ∅ oder G = X. Ersteres ist nicht möglich
da a ∈ G. Also ist G = X.
Definition 9. Sei X eine RF und Y ⊂ X offen. Unter einer meromorphen Funktion
auf Y versteht man einer auf einer offenen Teilmenge Y 0 ⊂ Y definierte holomorphe
Funktion f : Y 0 → C mit folgenden Eigenschaften:
(i) Y \Y 0 besteht nur aus isolierten Punkten
(ii) ∀p ∈ Y \Y 0 : lim |f (x)| = ∞
x→p
Die Punkte in Y \Y 0 heißen Polstellen von f. Die Menge aller auf Y meromorphen Funktionen werde mit M(Y ) bezeichnet
Beispiel 5. Sei n ≥ 1 und
F (z) = z n + c1 z n−1 + · · · + cn , (ck ∈ C)
ein Polynom. Dann ist F eine holomorphe Abbildung F : C → C. Sieht man C als
Teilmenge von P1 auf, so gilt lim |F (z)| = ∞. Also ist F ∈ M(P1 ).
x→∞
Ab sofort können und werden wir also meromorphe Funktionen als holomorphe Abbildungen auf der Riemannschen Zahlenkugel interpretieren.
Und nun zum Abschluss noch:
Satz 3. Sei X eine RF und f ∈ M(X).Für eine Polstelle von f definiert man f (p) = ∞.
Dann erhält man eine holomorphe Abbildung f : X → P1
Ist umgekehrt f : X → P1 eine holomorphe Abbildung, so ist f entweder konstant
∞ oder f −1 (∞) besteht nur aus isolilerten Punkten undf : X\f −1 (∞) → C ist eine
meromorphe Funktion auf X.
Beweis. Wir zeigen zuerst den ersten Teil:
Sei also f ∈ M(X) und P die Polstellenmenge von f. Die Abbildung f : X → P1 ist stetig
per VAS. Seien nun ϕ : U → V und ψ : U 0 → V 0 Karten auf X bzw P1 mit f (U ) ⊂ U 0 .
Es gilt zu zeigen, dass
g := ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : V → V 0
holomorph ist. f ist auf X\P holomorph per VAS. Daraus folgt, dass g auf V \ϕ(P )
holomorph ist. Da V offen und ϕ(P ) ⊂ C aus isolierten Punkten besteht gilt:
∀q ∈ ϕ(P )∃δ > 0 : Uδ (q) ⊂ V
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QUELLEN
g ist auf Uδ (q) beschränkt, da sonst ψ unbeschränkt und somit kein homöomorphismus
nach C wäre. Also ist g nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz holomorph auf ganz V.
Die Umkehrung bzw der zweite Teil folgt aus dem Identitätssatz. Ist f konstant ∞
so sind wir fertig. Angenommen f ist nicht konstant ∞ und f −1 (∞) besteht nicht nur
aus isolierten Punkten. Dann existiert um einen Urbildpunkt eine offene Umgebung
U so dass f (U ) = ∞. Wählt man nun eine Folge in U liefert der Identitätssatz den
Widerspruch.
Bemerkung 5. Mit Hilfe des obigen Satzes folgt, dass der Identitätssatz auch für Funktionen auf Riemannsches Flächen gilt. Somit haben Funktionen f ∈ M(X), die nicht
identisch Null sind, nur isolierte Nullstellen. Also ist 1/f ∈ M(X). Mit der Tatsache
dass Summen und Produkte meromorpher Funktionen wieder meromorph sind ergibt sich:
M(X) ist ein Körper!
4 Quellen
• Forster: Riemannsche Flächen - Kapitel 1 - Abschnitt 1
• Dr. Kasten - Funktionentheorie 1 Skript, SS 2012
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