1 Die reellen Zahlen und Vollständigkeit 2 Die Komplexen Zahlen

Ferienkurs Analysis I - Multiple-Choice-Fragen
1 Die reellen Zahlen und Vollständigkeit
wahr
falsch
(1 + x)n ≥ 1 + nx
Jede injektive Abbildung einer Menge auf sich ist auch surjektiv.
Seien A, B endliche Mengen, f : A → B surjektiv, dann ist f
bereits bijektiv.
Für f : R → R, f (x) = x3 + x, gilt:
f −1 ({0}) = {0}.
wahr
falsch
Sei z2 die komplex Kunjugierte zu z1 , dann ist z1 · z2 reell.
Die Komplexen Zahlen bilden einen angeordneten Körper.
Weil man die komplexen Zahlen nicht anordnen kann, ist es sinnlos
von Konvergenz von komplexen Zahlenfolgen zu sprechen.
Die Polarkoordinatendarstellung einer komplexen Zahl z lautet:
z = r cos(φ) + i sin(φ)
Sei K ein Körper, jedes Element besitzt zwei nicht notwendigerweise verschiedene inverse Elemente, eins bzgl. der Addition und
eins bzgl. der Multiplikation.
Jede nach oben beschränkte Menge besitzt ein Maximum.
Jede beschränkte nichtleere Menge M ⊆ N enthält ein Maximum.
Sei M ⊆ R beschränkt und nichtleer. Dann existiert ein m ∈ M
mit m = sup M .
Sei (In )n∈N eine Folge von Intervallen, mit:
(i) In+1 ⊆ In
(ii) |In+1 | ≤ |In |.
Dann ist (In )n∈N eine Intervallschachtelung.
Sei x ∈ R, n ∈ N, dann gilt:
2 Die Komplexen Zahlen
23. März 2010
1
Kristof Schröder, Katia Nédélec
Ferienkurs Analysis I - Multiple-Choice-Fragen
3 Folgen und Konvergenz
wahr
falsch
Jede streng monoton wachsende Folge hat mindestens einen Häufungswert.
Jede streng monoton wachsende Folge besitzt höchstens einen
Häufungswert.
Folgen ohne Häufungswert können nicht beschränkt sein.
Folgen ohne Häufungswert können nicht monoton sein.
Streng monoton fallende Folgen sind garantiert keine CauchyFolgen.
Jede konvergente Folge ist monoton.
Seien {an }n∈N , {bn }n∈N konvergent mit an < bn , ∀n ∈ N.
Dann gilt auch lim an < lim bn .
Ist die Menge {an : n ∈ N} beschränkt, so konvergiert die Folge
Es gibt streng monoton wachsende Folgen, bei denen der Abstand
zwischen zwei aufeinanderfolgenden Folgengliedern immer kleiner
wird, die aber nicht konvergent sind.
Wenn eine Folge zwei der Eigenschaften monoton, beschränkt,
konvergent besitzt, dann auch die dritte.
wahr
falsch
wahr
falsch
n→∞
n→∞
(an )n∈N .
4 Normierte Räume
Jede Cauchyfolge (an )n∈N in einem metrischen Raum (X, d) ist
konvergent.
Ist (an )n∈N eine konvergente Folge in einem metrischen Raum
(M, d) so ist {an : n ∈ N} beschränkt.
Sei (an )n∈N eine Folge in einem metrischen Raum (X, d).Sei a ∈
X .Existiert eine Teilfolge (ank )k∈N in X die gegen a konvergiert,
so heiÿt a Häufungswert der Folge (an )n∈N .
Jede beschränkte Folge (an )n∈N reeller Zahlen besitzt genau einen
Häufungswert.
Es gilt immer lim inf an < lim sup an .
n→∞
n→∞
5 Reihen
Sei
∞
P
k=1
an eine Reihe mit | aan+1
| < 1 für alle k , dann konvergiert
n
die Reihe.
23. März 2010
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Kristof Schröder, Katia Nédélec
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wahr
falsch
k! kann mit dem Quotientenkriterium nach-
gewiesen werden.
Bei konvergenten Reihen ist der Grenzwert der Quotientenfolge
)n∈N gleichzeitig Grenzwert der Reihe.
( aan+1
n
Die Reihe 2 + 1 + 23 + 24 + 25 + 26 + ... divergiert.
Es gibt Reihen, bei denen das Wurzelkriterium anschlägt, das
Qoutientenkriterium aber nicht.
Es reicht den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu gehen, um
für jeden Entwicklungspunkt eine Aussage über Konvergenz oder
Divergenz zu treen.
(−1)k z2k! konvergiert absolut ∀z ∈ C.
Ist bk eine Nullfolge, so konvergiert die alternierende Reihe
∞
P
(−1)k bk .
wahr
falsch
Sei f : [a, b] → R stetig. Dann: Zu jedem x0 ∈ [a, b] und jedem
> 0 existiert ein δ > 0 mit: |f (x) − f (x0 )| < für alle x ∈ [a, b].
Sei f : [a, b] → R stetig. Dann: Zu jedem x0 ∈ [a, b] und jedem
> 0 existiert ein δ > 0 mit: |f (x) − f (x0 )| < für alle x ∈ [a, b]
mit |x − x0 | < δ .
Sei f : [a, b] → R stetig. Dann: Zu jedem x0 ∈ [a, b] existiert > 0
und δ > 0 mit: |f (x)−f (x0 )| < für alle x ∈ [a, b] mit |x−x0 | < δ .
Sei f : [a, b] → R stetig. Dann: Zu jedem > 0 existiert ein δ > 0
mit: |f (x) − f (x0 )| < für alle x, x0 ∈ [a, b] mit |x − x0 | < δ .
Sei f : [a, b] → R stetig. Dann: Es existieren x0 ∈ [a, b], > 0 und
δ > 0 mit: |f (x) − f (x0 )| ≥ für alle x ∈ [a, b] mit |x − x0 | < δ .
Die Divergenz von
∞
P
k=1
Die Reihe
∞
P
sin(k)
k2
k=1
divergiert.
Sei (X, k·k) ein normierter
Raum,wenn gilt:
P
n
ak < ∀∃N ∈ N : k=m+1 ∀n > m ≥ N
dann konvergiert die Reihe.
Sei (ak )k∈N eine Folge in C.Gilt
∞
P
|
lim sup |a|ak+1
<
1
,
dann
konvergiert
die
Reihe
ak .
|
k
k→∞
k=1
Sei (ak )k∈N eine Folge in K, gilt:
∞
P
√
lim sup k ak ≤ 1, dann konvergiert die Reihe
ak absolut.
k→∞
Die Reihe
k=1
P
2k
k∈N
k=1
6 Stetigkeit
23. März 2010
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Kristof Schröder, Katia Nédélec
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Sei f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen metrischen Räumen. (yn )n ∈ N konvergente Folge im Bild von f . Dann ist die
Folge der zugehörigen Urbilder ebenfalls konvergent.
Sei f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen metrischen Räumen. (xn )n ∈ N konvergente Folge im Urbild von f . Dann ist die
Folge der zugehörigen Bilder ebenfalls konvergent.
Komposition erhält Stetigkeit.
Lineare Verknüpfungen erhalten Stetigkeit.
Punktweise Mulitplikation erhält Stetigkeit.
Punktweise Division erhält Stetigkeit.
Polynome sind stetig.
Potenzreihen sind stetig.
Jede stetige, reellwertige Funktion hat eine Nullstelle.
Sei f : [a, b] → R eine Funktion mit f (a) < f (b) und c ∈
]f (a), f (b)[. Dann existiert ein x0 ∈]a, b[ mit f (x0 ) = c.
Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion mit f (a) < f (b). Dann
existiert ein x0 ∈]a, b[ mit f (x0 ) = x0 .
Jede streng monotone Funktion ist bijektiv und ihre Umkehrabbildung ist stetig.
Sei f : [a, b] → R streng monoton wachsend und p ∈ [a, b]. Dann
existieren f (p + 0) und f (p − 0)
Sei f : [a, b] → R monoton fallend und p ∈]a, b[. Dann existieren
f (p + 0) und f (p − 0) und es gilt f (p + 0) ≤ f (p − 0)
Jede streng monotone Funktion nimmt ihr Maximum und Minimum an.
Jede stetige Funktion nimmt ihr Maximum und Minimum an.
Jede stetige Funktion über einem abgeschlossenen Intervall ist beschränkt (d.h. die Wertemenge ist beschränkt).
Jede gleichmäÿig stetige Funktion über einem abgeschlossenen Intervall ist beschränkt (d.h. die Wertemenge ist beschränkt).
Jede gleichmäÿig stetige Funktion ist stetig.
Jede stetige Funktion ist gleichmäÿig stetig.
Jede stetige Funktion über einem abgeschlossenen Intervall ist
gleichmäÿig stetig.
Jede stetige Funktion ist Lipschitz-stetig.
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wahr
falsch
Kristof Schröder, Katia Nédélec
Ferienkurs Analysis I - Multiple-Choice-Fragen
7 Dierentiation
wahr
falsch
Eine Funktion f , die auf einem Intervall I dierenzierbar ist, ist
es auch für jedes x ∈ I
Eine Funktion f : I → K heiÿt in x ∈ I dierenzierbar, wenn
(x)
lim f (t)−f
existiert.
t−x
Die Ableitung kann man nur für reell- oder komplexwertige Funktionen denieren.
Jede dierenzierbare Funktion ist stetig.
Jede stetig dierenzierbare Funktion ist stetig.
Die Ableitung jeder dierenzierbaren Funktion ist stetig.
Die Ableitung jeder stetig dierenzierbaren Funktion ist stetig.
Es gibt stetige Funktionen, die nirgend dierenzierbar sind.
Die Abbildung f 7−→ f 0 ist linear.
Ich kann die Produktregel beweisen.
Selbst wenn man mich um Mitternacht aus dem Tiefschlaf reiÿt,
kann ich Quotienten- und Kettenregel sofort aufsagen.
Dierenzieren ist leichter als integrieren.
Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion mit f (a) = f (b). Dann
gibt es ein x ∈]a, b[ sodass f in x ein lokales Maximum annimt.
+
+
Man kann
√ mit dem Satz von Rolle zeigen, dass f : R0 → R0
x 7−→ x keine lokalen Extrema hat.
Sei f : [1, 2] → R stetig dierenzierbar. Dann existiert ein x ∈]1, 2[
mit f 0 (x) = x22 (f (2) − f (1))
Udo fährt die 5km durch die Stadt zum Supermarkt mit dem
Auto und kommt nach 5 min an. Er hat also die 50 km/h Grenze
irgendwann überschritten.
Eine monoton wachsende Funktion kann nicht konstant sein.
Eine monoton wachsende Funktion muss nicht streng monoton
wachsend sein.
Die Stammfunktion einer Funktion f ist nicht eindeutig.
Die Dierentialgleichung f 0 (x) = λf (x) ist für stetig dierenzierbare Funktionen über einem abgeschlossenen Intervall lösbar.
t→x
23. März 2010
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Kristof Schröder, Katia Nédélec
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8 Integration
wahr
falsch
f (x)dx mit a, b ∈ R ist für alle Treppenfunktionen
f (x)dx mit a, b ∈ R ist für alle Regelfunktionen
(R([a, b]), ||.||∞ ) ist ein Banachraum.
Die Rechenregeln für das Regelintegral unterscheiden sich von denen für Treppenfunktionen.
Für
a < b < c reelle Zahlen gilt:
R
Jede Regelfunktion ist stetig.
Es gilt a f (x)dx = F (b) − F (a) für jede Stammfunktion F von
f.
Jede stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion.
Jede Treppenfunktion ist integrierbar
Zu jeder Treppenfunktion f : [a, b] → K gibt es eindeutige
a0 , . . . , an mit a = a0 < a1 < . . . < an = b und f |]ak−1 , ak [= ck
für alle k = 1, . . . n
Das Integral einer Treppenfunktion ist unabhängig von der Partition a = a0 < a1 < . . . < an = b
Wenn f (t) ≤ g(t) ∀x ∈ [a, b] dann gilt:
Das Integral
endlich.
Rb
Das Integral
endlich.
Rb
c
b
a
a
Rb
a
Rc
a
f (x)dx <
f (x)dx =
Rb
a
Rb
a
g(x)dx
f (x)dx +
f (x)dx
Rb
Das Integral
Rb
f (x)g(x)dx lässt sich vereinfachen wenn man
a
Stammfunktionen F und G zu den Funktionen f und g kennt.
Auf das Integral
gel anwenden.
23. März 2010
Rb
f (g(x))f 0 (x)dx kann man die Substitutionsre-
a
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Kristof Schröder, Katia Nédélec