Graphen, (Adjazenz-)Matrizen und Eigenwerte - Martin

(Multi-)Graphen, (Adjazenz-)Matrizen und Eigenwerte
Ludwig Staiger
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
Institut für Informatik
Februar 2017
Graphen und Matrizen
(Multi-)Graph
Knoten: V = {1, . . . , n}
(Adjazenz-)Matrix
AG = (aij )1≤i ,j ≤n
Kanten
aij = Anzahl der Kanten von i nach j
(`)
A`G = (aij )1≤i ,j ≤n
(`)
aij
GA = ({1, . . . , n}, E )
E = {(i , j ) : aij 6= 0}
= Anzahl der Pfade der Länge ` von i nach j
A = (aij )1≤i ,j ≤n
Graphen und Matrizen
Zusammenhang und (Un-)Zerlegbarkeit
Graph
GA = ({1, . . . , n}, E )
Matrix
A = (aij )1≤i ,j ≤n
E = {(i , j ) : aij 6= 0}
GA stark zusammenhängend
A unzerlegbar (irreduzibel)
A nicht-negativ
⇔ (I + A)n ist positiv
der größte gemeinsame Teiler
A primitiv
aller Längen von Kreisen in GA ist 1
⇔ ∃`(` ≤ n2 − 2n + 2 ∧ A` ist positiv)
Graphen und Matrizen
(azyklischer) Graph der Zusammenhangskomponenten GA
und (obere) Blockdiagonalform A
Graph
Matrix
Umordnung der Matrix A → A
GA ergibt
neue Reihenfolge der Knoten
(Zeilen und Spalten)

A1
 O

A=
 O
A1,2
A2

. . . A1,κ
. . . A2,κ 

.. 
..
.
. 
O
O
O
O
Aκ
Aι unzerlegbar oder Aι = (0), 1 ≤ ι ≤ κ
Matrizen und Eigenwerte
Definition (Eigenvektor ~x zum Eigenwert λ)
~x 6= ~o
∧
A ·~x = λ ·~x
Definition (Charakteristisches Polynom χA (t ))
χA (t ) := det |t · I − A| (I - Einheitsmatrix)
Theorem
λ ist genau dann Eigenwert von A, wenn χA (λ) = 0.
Theorem (Cayley & Hamilton)
Es gilt χA (A) = O.
(O - Nullmatrix)
Eigenwerte und rekurrente Beziehungen
Theorem (nochmals Cayley & Hamilton)
(`)
Es seien A eine n × n-Matrix, A` = (aij )1≤i ,j ≤n und
1
k
χA (t ) = t n − ∑kn−
=0 qk · t . Dann gilt
(`+n)
aij
n−1
(`+k )
= ∑k =0 qk · aij
.
Theorem (Einfache Nullstellen)
χA (t ) habe nur einfache Nullstellen λ1 , . . . , λn , λk 6= 0. Dann gilt
(`)
aij
n
= ∑k =1 cij ,k · λ`k
für geeignete Konstanten cij ,k .
Eigenwerte und rekurrente Beziehungen
Theorem (Mehrfache Nullstellen)
χA (t ) habe die Nullstellen λ1 , . . . , λm−1 , λk 6= 0, mit den Vielfachheiten
κ1 , . . . , κm und λm+1 = 0 mit der Vielfachheit κm+1 . Dann gilt
(`)
aij
m
= ∑k =1 pij ,k (`) · λ`k
für geeignete Polynome pij ,k vom Grade κk − 1 und für ` ≥ κm+1 .
Bemerkung
κ1 · λ1 + · · · + κm · λm + κm+1 · λm+1 = n
Nicht-negative Matrizen
Die Theorie von Oskar Perron und Ferdinand Georg Frobenius
Theorem
â Jede nicht-negative n × n-Matrix A hat einen Eigenwert λmax ≥ 0
maximalen Betrags, zu dem ein nicht-negativer Eigenvektor ~xmax
gehört.
â λmax = lim`→∞
p
p
`
||A` || = inf{ ` ||A` || : ` ∈ IN}
â Ist darüber hinaus A unzerlegbar, so sind λmax einfacher
Eigenwert, ~xmax >~o, und alle anderen Eigenwerte maximalen
Betrags sind ebenfalls einfach und haben die Form
√
λmax · e2πi·k /m , 1 ≤ k < m, für geeignetes m ≤ n. (i = −1)
Bemerkung
lim`→∞
p
`
p
||A` || = inf{ ` ||A` || : ` ∈ IN} ist der Spektralradius von A.
Anzahl der Pfade in Graphen
Lemma
Es seien G ein Graph, AG seine Adjazenzmatrix und λmax der maximale
Eigenwert mit der Vielfachheit κ. Dann gibt es für beliebige Knoten i , j
höchstens O(`κ−1 · λ`max ) Pfade der Länge ` vom Knoten i zum Knoten j.
Lemma
Ist ein Graph G stark zusammenhängend und λmax der maximale
Eigenwert von AG , so gibt es für beliebige Knoten i , j stets
Θ(λ`max ) Pfade der Länge ` vom Knoten i zum Knoten j.
Nicht-negative Matrizen
Die Theorie von Oskar Perron und Ferdinand Georg Frobenius
Theorem
Es seien A eine nicht-negative n × n-Matrix σ(max) und σ(min) ihre
maximale bzw. minmale Zeilen- (Spalten-)summe. Dann gelten
â σ(min) ≤ λmax ≤ σ(max) und,
â ist A unzerlegbar und σ(min) < σ(max) , so ist σ(min) < λmax < σ(max)
Theorem
â Ist A eine nicht-negative n × n-Matrix und O ≤ B ≤ A, dann ist
(B )
(A)
λmax ≤ λmax .
(B )
(A)
â Ist darüber hinaus A unzerlegbar und B 6= A, so gilt λmax < λmax .
Illustration: Fraktale

2
 2
1
1
1
0

1
1 
1
χ(t ) = t (t 2 −
√4t + 2)
λmax = 2 + 2
S1
S2
S3
= (0, 1) · S3 ∪ (0, 0) · S1 ∪ (1, 1) · S1 ∪ (1, 0) · S2
= (0, 1) · S2 ∪ (0, 0) · S1 ∪ (1, 1) · S3 ∪ (1, 0) · S1
= (0, 1) · S1
∪ (1, 0) · S3
Illustration: Fraktale

2
 2
1
1
1
0

1
0 
1
χ(t ) =
(t − 1)(t 2 − √
3t − 1)
3
λmax = 2 + 213
S1
S2
S3
= (0, 1) · S3 ∪ (0, 0) · S1 ∪ (1, 1) · S1 ∪ (1, 0) · S2
= (0, 1) · S2 ∪ (0, 0) · S1
∪ (1, 0) · S1
= (0, 1) · S1
∪ (1, 0) · S3
Illustration: Fraktale

2
 2
1
1
0
0

1
1 
1
χ(t ) = t 3 − 3t√2 − t + 1
λmax < 32 + 213
S1
S2
S3
= (0, 1) · S3 ∪ (0, 0) · S1 ∪ (1, 1) · S1 ∪ (1, 0) · S2
=
(0, 0) · S1 ∪ (1, 1) · S3 ∪ (1, 0) · S1
= (0, 1) · S1
∪ (1, 0) · S3
Illustration: Fraktale

2
 1
1
1
1
0

1
1 
1
χ(t ) = t 3 − 4t 2 + 3t − 1
S1
S2
S3
= (0, 1) · S3 ∪ (0, 0) · S1 ∪ (1, 1) · S1 ∪ (1, 0) · S2
= (0, 1) · S2 ∪ (0, 0) · S1 ∪ (1, 1) · S3
= (0, 1) · S1
∪ (1, 0) · S3
Fraktale: maximale Eigenwerte = maximale Nullstellen
t (t 2 − 4t + 2)
(t − 1)(t 2 − 3t − 1)
t 3 − 3t 2 − t + 1
t 3 − 4t 2 + 3t − 1
Literatur
â Peter Lancaster & Miron Tismenetsky: The theory of matrices
Academic Press, 1996
â Eugene Seneta: Non-negative matrices and Markov chains
Springer, 1981
â Feliks R. Gantmacher: Matrizentheorie
Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1986
â Alexej I. Markuschewitsch, Rekursive Folgen
Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1955
Für ungerichtete Graphen
â Andries E. Brouwer & Willem H. Haemers: Spectra of graphs
Springer, 2012
http://members.upc.nl/w.haemers/home.html