Anwendungen der Differentialrechnung

Anwendungen der Differentialrechnung
K.-H. Schild
22. November 2012
• Quiz zu Anwendungen der Differentialrechnung
Philipps-Universität Marburg, Fb. 02, Abt. Statistik
Anwendungen der Differentialrechnung
S. 1
Ist die 3. Wurzel aus 3 kleiner oder größer als die 4. Wurzel aus 4?
Wir wollen diese Frage etwas allgemeiner angehen, indem wir fragen, ob die x-te Wurzel aus x,
f (x) :=
√
x
1
x = xx = e
ln(x)
x
eine monoton fallende oder wachsende Funktion ist, bzw. für welche x ∈ R+ sie fallend bzw. wachsend ist.
a) Berechnung von f 0 (x): Notieren Sie über den Gleichheitszeichen die angewandten Ableitungsregeln:
0
f (x)
(P): Produktregel;
( ),( )
=
ln(x) ( ),( ) x· 1x −1·ln(x) ln(x)
d ln(x)
·e x
=
·e x
dx x
x2
(Q): Quotientenregel;
(K): Kettenregel;
1−ln(x)
·
x2
=
(E):
deu
du
f (x)
= eu ;
(L):
d ln(x)
dx
=
1
x
b) Für welche x ∈ R+ ist f monoton wachsend?
für alle x ∈ R+ ;
für kein x ∈ R+ ;
für x > 1 ;
für x < 1 ;
für x > e ;
für x > 1/e ;
für x < e ;
für x < 1/e ;
√
√
√
√
√
√
4
3
Ist demnach 3 kleiner oder größer 4 ?
3 3 < 4 4;
3 3 > 4 4;
√
√
√
√
√
√
√
2
4
2
2
3
3
2 > 3 3;
Was ergibt sich bzgl. der Relation zwischen 2 (= 4) und 3 ? 2 < 3 ;
n.a. .
n.a. .
c∗ ) Berechnung von f 00 (x): Notieren Sie wieder über den Gleichh.Zeichen die verwendeten Regeln bzw. a):
00
f (x)
∗
( ),( )
=
(1−ln(x))2
d 1−ln(x)
+ x4
dx
x2
00
·e
ln(x) ( ),( ) x2 · −1 − 2x·(1−ln(x))+(1−ln(x))2
x
x
x4
d ) Vorzeichen von f in ausgewählten Punkten:
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=
f 00(1) < 0 od.
f 00(1) > 0 ?
·e
ln(x)
x
=
x (2 ln(x)−3)+(ln(x)−1)2
x4
f 00(e) < 0 od.
f 00(e) > 0 ?
· f (x)
f 00(e3/2) < 0 od.
f 00(e3/2) > 0 ?
K.-H. Schild
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S. 2
Wie lautet der Grenzwert?
Die Grenzwerte lassen sich entweder über ein Stetigkeitsargument oder über die Regel von l’Hospital bestimmen.
3
•
2
−2x−2
lim x x+x
3 −2 x2 −x =
x→1
12 ;
0;
3
•
−1;
32 ;
− 32 ;
2;
−2.
12 ;
− 12 ;
1;
−1;
32 ;
− 23 ;
2;
−2.
12 ;
− 12 ;
1;
−1;
32 ;
− 23 ;
2;
−2.
− 12 ;
1;
−1;
32 ;
− 23 ;
2;
−2.
2
x→1
ln(x)
lim ln(2−x)
=
x→1
0;
•
1;
−2x
lim x3x−2+xx2−x+2
=
0;
•
− 12 ;
lim ln
x→1
x
2−x
0;
=
12 ;
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K.-H. Schild
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S. 3
Ist die Regel von l’Hospital anwendbar?
Welche der folgenden Grenzwerte kann man mit
S: einem Stetigkeitsargument;
H: der Regel von l’Hospital;
n.a.: keinem von beiden
berechnen? (Falls S oder H anwendbar ist: Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils?)
(links ist a, rechts x ein Parameter; vom jeweiligen Parameter nehmen wir an, dass er positiv ist. )
ax − 1
lim
via
x→0
a
ax − 1
lim
via
x→0
x
xa − 1
lim
via
x&0
a
xa − 1
lim
via
x&0
x
S;
S;
S;
S;
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H;
H;
H;
H;
n.a.
ax − 1
lim
via
a&0
a
S;
H;
n.a.
n.a.
ax − 1
lim
via
a&0
x
S;
H;
n.a.
n.a.
xa − 1
lim
via
a→0
a
S;
H;
n.a.
n.a.
xa − 1
lim
via
a→0
x
S;
H;
n.a.
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S. 4
Welcher mathem. Sachverhalt entspricht der ökonom. Sprechweise?
Im funktionalen Zusammenhang y = f (x) steht x für eine Menge (z.B. produzierte oder konsumierte Menge), y für eine davon abhängige Ertragsgröße (z.B. Gewinn, Wert, Nutzen usw.).
• Welche Äquivalenzen bestehen zwischen den Einträgen in den drei Spalten der Tabelle?
a) Funktion konvex
b) Funktion monoton wachsend
c) Funktion konkav
d) Funktion monoton fallend
e) Funktion linear
i)
ii)
iii)
iv)
v)
f 0(x) ≥ 0
f 0(x) ≤ 0
f 00(x) ≥ 0
f 00(x) ≤ 0
f 00(x) = 0
1) negativer Grenzertrag
2) positiver Grenzertrag
3) fallender Grenzertrag
4) wachsender Grenzertrag
5) konstanter Grenzertrag
• Was bedeutet ein positiver, aber mit x fallender Grenzertrag?
Die nächste Einheit x bringt einen kleineren;
ihr Ertrag(szuwachs) ist aber noch kleiner;
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größeren Ertrag(szuwachs);
größer
Null.
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S. 5
Was ist die korrekte Nachfragefunktion?
Für die Nachfrage D(p) als Funktion des Preises p sollen folgende Szenarien modelliert werden:
1. Wenn der Preis um einen Euro steigt, sinkt die Nachfrage um 0.3 Stück.
2. Wenn der Preis um ein Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um 3 Prozent.
3. Wenn der Preis um 10 Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um 3 Prozent.
4. Wenn der Preis um einen Euro steigt, sinkt die Nachfrage um 30 Prozent.
5. Wenn der Preis um einen Cent steigt, sinkt die Nachfrage um 3 Prozent.
6. Wenn der Preis um ein Prozent steigt, sinkt die Nachfrage um 0.03 Stück.
Welche der folgenden Nachfragefunktionen1 beschreibt jeweils das Szenario (näherungsweise)?
a) D(p) = −0.3 p + A
b) D(p) = −0.3 ln(p) + B
c) D(p) = C e−0.3 p
d) D(p) = D p−0.3
e) D(p) = −3.0 p + A
f) D(p) = −3.0 ln(p) + B
g) D(p) = C e−3 p
h) D(p) = D p−3
i) D(p) = −30 p + A
j) D(p) = −30 ln(p) + B
k) D(p) = C e−30 p
l) D(p) = D p−30
1 Preis p in Euro, Nachfrage D(p) in Stück des betrachteten Produktes;
A, B,C, D sind Konstanten mit folgender Bedeutung: A,C = Nachfrage beim Preis von 0 Euro, B, D = Nachfrage beim Preis von 1 Euro.
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S. 6
Arithmetisches und geometrisches Mittel
Arithmetisches und geometrisches Mittel zweier positiver Zahlen x, y mit Gewicht a auf x und
1 − a auf y (0 ≤ a ≤ 1) definiert man als:
arithmetisches Mittel
:= a x + (1 − a) y,
geometrisches Mittel
:= xa y1−a.
Die beiden Mittel liegen immer zwischen den Zahlen x und y, aber welches ist das größere?
Wir beweisen, dass das arithmetische Mittel stets größer gleich dem geometrischen ist:
ln a x + (1 − a) y
⇒ ln a x + (1 − a) y
⇒ ln a x + (1 − a) y
⇒
a x + (1 − a) y
≥ a ln(x) + (1 − a) ln(y)
≥ ln(xa) + ln(y1−a)
≥ ln(xa y1−a)
≥ xa y1−a
Begründung: ( )
Begründung: ( )
Begründung: ( )
Begründung: ( )
Welches ist die korrekte Begründung des jeweiligen Schritts?
Auswahl aus folgender Liste:
(1) Logarithmus ist monoton wachsend;
(2) Exponentialfunktion ist monoton wachsend;
(3) Exponentialfunktion ist konvexe Funktion; (4) Logarithmus ist konkave Funktion;
(5) Funktionalgl. des Logarithmus;
(6) Funktionalgl. der Exponential-Funktion
(7) Basiswechselformel des Logarithmus;
(8) log(Potenz) = Exponent × log(Basis)
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