Magnetfeld

5. Das stationäre magnetische Feld
1
5.1 Grundgrößen und Grundgesetze
Die Ablenkung von Kompassnadeln in
der Nähe eines stromführenden Drahtes
zeigt das Vorhandensein und die
Richtung des Magnetfeldes.
2
Die magnetischen Feldlinien
3
Dünne Eisenspäne machen die magnetischen
Feldlinien in der Umgebung eines
Stabmagneten sichtbar.
4
Das Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule
(mit Eisenfeilspänen)
5
als Feldbild
6
Einige Eigenschaften des Magnetfeldes
7
Magnetflussdichte und Lorentzkraft

F ~Q
 
F ~v

F ~ sin α ( Feldlinie,v )
F
I
B
Magnetflussdichte

 
F = Q (v × B)


F ~ Q ⋅ v ⋅ sin α ( Feldlinie,v )
Lorentz (Laplace)-Kraft
8
Magnetflussdichte und magnetischer Fluss
- die Einheit der Magnetflussdichte
Nm
[F]
N
VAs
Vs
m
[ B] =
=1
=1
=1
= 1 2 = 1T
m
[Q][v ]
Am
Am2
m
As
s
- der Magnetfluss
Φ
 
Φ = ∫∫ B ⋅ dA
N
S
magnetischer Knotensatz
Vs 2
[ Φ ] = [ B][ A] = 1 2 m = 1Vs = 1Wb
m
∑Φ
i vorzeichen
=0
i
9
Magnetische Spannung
dWmag ~ dΦ
+ dΦ
+ dΦ
dWmag = V dΦ
[Wmag ]
Ws
VAs
=1
=1
= 1A
[V ] =
Vs
Vs
[Φ ]
die magnetische Spannung
10
Magnetische Feldstärke
dV = H dl
die magnetische Feldstärke
[V ] A
=
[ H] =
[l ] m
allgemein gilt:
V =
∫
 
H dl
l
11
Das Durchflutungsgesetz
I1
I2
I3
I4
l
Vumlauf =
∫
 
H dl =
∑I
i umfaßt vorzeichen
=Θ
i
12
Die Rechte-Hand-Regel als Merkregel
für das positive Vorzeichen des
umfassten Stromes:
Wenn die Finger der rechten Hand in
die Richtung des umfassenden Weges
zeigen, gibt der Daumen die Richtung
der positiv zu zählenden umfassten
Ströme an.
13
Beispiele:
Θ L1 = I 2 − I 3
Θ
L2
= wI
14
Magnetischer Widerstand
Φ
V
Φ
V
V = Rm Φ
Rm
V
Rm =
Φ
15
Der Zusammenhang zwischen Flussdichte und Feldstärke
(B-H-Kennlinie)
B
magnetisch lineare Stoffe
- diamagnetische Stoffe
- paramagnetische Stoffe
Φ=B A


B= µH
H
V = H ⋅l
µ = µr µ0
Permeabilität des Vakuums
(absolute Permeabilität)
Vs
µ0 = 4π 10
Am
−7
Permeabilität
µ < 1 für diamagnetische Stoffe
r
µr > 1 für paramagnetische Stoffe
16
Bemessungsgleichung des magnetischen Widerstandes
V
Rm =
Φ
im homogenen Feld gilt
V = Hl
Φ = BA
und
damit wird
Hl
Hl
Rm =
=
BA µHA
Rm =
l
µ A
17
Ferro- und ferrimagnetische Stoffe
Magnetisierungsmechanismus
Weißsche Bezirke
Blochwände
18
Barkhausen Effekt
Barkhausensprünge bei Magnetisierung
Barkhausen-Sprung – Verschiebung
einer Bloch-Wand über eine Störstelle
19
B - H - Kennlinie
Br: Remanenzflußdichte
Hk: Koerzitivfeldstärke
Neukurve
Hystereseschleife
20
Hart- und weichmagnetische Werkstoffe
21
- die Kommutierungskennlinie
22
- die Kommutierungskennlinie einiger Werkstoffe
ß
23
Fortlaufende Hystereseschleifen während der Entmagnetisierung.
24
Vergleich elektrisches – magnetisches Feld
U = R*I
U
−
−
U = ∫E *dl
−
I
−
I = ∫∫ J * dA
−
E
J =γ *E
J
v
V = R m *Φ
φ
V = ∫ H * dl
H
−
Φ = ∫∫ B * dA
B = µ*H
B
Elektrisches
Strömungsfeld
(Materialparameter:
γ - spezifische elektrische
Leitfähigkeit)
Magnetisches
Feld
(Materialparameter:
μ – Permeabilität)
25
5.2 Anwendung des Durchflutungsgesetzes zur Berechnung einfacher
Magnetfelder
- Beispiel: Magnetfeld eines langen geraden Leiters
H lumfassend =
∑I
umfaßt vorz
i
a)
P
I
r
H
R≤ r≤ ∞
H 2π r = I
I
H=
2π r
R - Drahtradius
26
H lumfassend =
∑I
umfaßt vorz
i
b) 0 ≤ r ≤ R
r
H 2 π r = I umfaßt vorz
P
H=
H
I
J=
π R2
I umfaßt vorz
2π r
I umfaßt vorz = J Aumfaßt = J π r 2
I
2
H=
2 π r
2π r π R
1
H=
I
r
2 π R2
27
Feldstärkeverlauf
0≤r ≤ R
I
H=
2 r
2π R
I
R≤r ≤∞ H=
2π r
H(r)
R
r
28
- Feldstärkeverlauf einer Doppelleitung
H(r)
r
3
2
1
r
-0.2
0.2
0.4
0.6
-1
-2
-3
29
5.3 Berechnung einfacher technischer Magnetkreise
- Grundbegriffe
magnetischer Knotensatz
∑Φ
i vorzeichen
=0
i
magnetischer Maschensatz
∑V
i vorzeichen
i
=
∑
I i umfaßt vorzeichen
i
V = Rm Φ
30
- typische Magnetkreisformen
31
- Streufaktor
ΦG = Φ L + Φσ
Streufaktor
Φσ = σ ΦG
ΦG = ΦL +σΦG
RmL
ΦL
ΦL=ΦG(1-σ)
ΦG
Rmσ
Φσ
32
- Wirkung des Streufaktors:
RmL
ΦG
ΦL
V
Rmσ
Φσ
RmL
ΦG
=
RmL || Rmσ Φ L
Φ L = Φ G (1 − σ )
RmL
ΦG
=
RmL || Rmσ Φ G (1 − σ )
RmL || Rmσ = RmL (1 − σ )
33
magnetischer Knotensatz
- ungesättigte (lineare) Magnetkreise
∑Φ
ivorzeichen
=0
i
Φ1 = Φ2 + Φ3
magnetischer Maschensatz
Φ1
Φ2
i
Φ3
Θ1
∑V
Θ2
i vorzeichen
=
∑
I i umfaßt
vorzeichen
i
Θ 1 = I 1 w1 = Rm1Φ 1 + Rm3 Φ 3
Rm1
Rm3
R m2
Θ 2 = I 2 w2 = Rm2 Φ 2 − Rm3 Φ 3
34
- gesättigte (nichtlineare) Magnetkreise
1. Syntheseaufgabe
φFe
φL
φσ
RFe
RL
Θ
Rσ
Gegeben:
A, d, AFe, lFe, w, φ, BFe(HFe), BL
Gesucht:
benötigter Strom I
35
Lösungsweg:
1. Bestimmen der notwendigen magnetischen Spannung am Luftspalt
VL = H L d
BL
HL =
µ0
VL =
BL
µ0
⋅d
36
2. Bestimmen der magnetischen Feldstärke im Eisen
BFe
HFe
Φ L = Φ Fe (1 − σ )
BFe =
BL AL
(1 − σ ) AFe
Φ = B⋅ A
Φ Fe=
Φ L BL AL
=
= BFe AFe
1− σ 1− σ
37
3. Bestimmen des notwendigen Erregerstromes
BFe
HFe
I ⋅ w = VFe + VL = H Fe ⋅ lFe + VL
H Fe ⋅ lFe + VL
I=
w
( mit
VL =
BL
µ0
⋅d)
38
2. Analyseaufgabe
φFe
φδ
φσ
RFe
RL
Θ
Rσ
gegeben z.B.:
A, d, AFe, lFe, w, I, Φ, BFe(HFe)
gesucht z.B.:
magnetischer Zustand, z.B. BL
39
Lösungsweg:
d
ΦFe
Φ in mWb
B in T
ΦL+Φσ
0,2
1,4
0,7
0,1
12020
40
240
60
360
80
480
H
Vin
inA/cm
A
1. Transformation der Bfe(HFe) - Kennlinie in die ΦFe(VFe) - Kennlinie
Φ Fe =
BFe AFe
VFe = H Fe lFe
40
d
Φ in mWb
0,2
σ
ΦFe ΦL+Φ0,1
lFe, AFe
120
240
360
480
V in A
2. Ermitteln der Kennlinie des Luftspaltwiderstandes unter Berücksichtigung der
Streuung
RmL ,σ= (1 − σ ) RmL= (1 − σ )
d
µ0 A
41
3. Ermitteln der Summenkennlinie und des Arbeitspunktes:
d
Φ in mWb
0,2
ΦFe
Φ
Φ +Φ Fe
L
Summenkennlinie
σ
0,1
lFe, AFe
120
Vfe
Vges ( Φ ) = VL (Φ ) + V fe (Φ )
Φ L= (1 − σ ) Φ Fe
360
240
VL
Vges
ΦL
BL =
AL
480
V in A
Iw
42
43
- Dauermagnetkreise
1. Analyseaufgabe
ΦD
lD
ΦD= BD A
BD
AP
Br
DAP
N
VD
Vδ ΦL
Φσ

S
A
gesucht:
Φ
L ,σ
=Φ
ΦL
D
VD= HD lD
V L + VD = 0
VD = − V L
0
-H
HD
RmL,σ = (1 − σ )
Φ
L
δ
µ0 A
= (1 − σ ) Φ DAP
44
2. Syntheseaufgabe
gesucht: lD
gegeben: BL
BD
lD
D
AP
Br
L

VD
N
V
S
BL
, 
AL=AD
HD
Φ L = (1 − σ ) Φ D
V L + VD = 0
H Lδ =
µ0
δ = − H D lD
-Hk
HD
0
BL
BD =
(1 − σ )
B L AL = (1 − σ ) BD AD
BL
BD
lD
BL
= −
δ
µ0 H D
45
4. Die elektromagnetische Induktion
49
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
- der verkettete Fluss
1
2
3
L1
Ψ =
∑Φ
i umfaßt vorzeichen
Ψ = 2Φ 1 − Φ 2
i
50
verallgemeinerter Maschensatz
(t)
uR(t)
u(t)
i(t)
ui
∫ E dl = −
dΨ
= ui
dt
das Faradaysche Induktionsgesetz
dΨ
ui = −
dt
51
Beispiel:
(t)
uR(t)
i(t)
u(t)
ui
dΨ
dΦ
= −w
− u( t ) + R i ( t ) = −
dt
dt
andere Schreibweise des Induktionsgesetzes:
∑u
j
jvz
dΨ
+
=
0
dt
und mit der
Abkürzung
erhält man wieder die bekannte Form des
Maschensatzes
u Kind
∑u
i
i
dΨ
= +
dt
=0
52
- das Faradaysche Induktionsgesetz in Zusammenfassung
Das Faradaysche Induktionsgesetz unter
Benutzung der induzierten Spannung ui
dΨ
ui = −
dt
Das Faradaysche Induktionsgesetz unter
Benutzung der induzierten Klemmenspannung
uKind
u Kind
dΨ
=
dt
Dann gilt der Maschensatz in der
Form:
∑u
j vz
j
dΨ
= ui = −
dt
Dann gilt der Maschensatz in der
ursprünglichen Form:
∑u
j vz
=0
j
53
- Induktionserscheinungen:
Unterscheidung nach Art der Änderung des verketteten Flusses
Ruheinduktion :
Magnetfeld ändert seine Größe und/oder
seine Richtung als Funktion der Zeit,
Induktionsweg und Magnetfeld befinden
sich relativ zueinander in Ruhe.
Bewegungsinduktion :
Magnetfeld ändert seine Größe und/oder
seine Richtung als Funktion der Zeit nicht,
Induktionsweg und Magnetfeld bewegen
sich relativ zueinander.
54
Unterscheidung nach Ort der Ursache (Entstehung des Magnetfeldes) und
der Wirkung (induzierte Spannung):
Selbstinduktion :
Die induzierte Spannung entsteht in der
gleichen Schleife, in der der Strom fließt,
der das Magnetfeld verursacht.
Gegeninduktion :
Die induzierte Spannung entsteht nicht in der
gleichen Schleife, in der der Strom fließt, der
das Magnetfeld verursacht.
55
- Das Bewegungsinduktionsgesetz
dΨ
ui = −
dt
B
 
dΨ = dΦ = B dA
 

dA = dh × dl
dh
dl
v
dA

 
d Ψ = B(dh × dl )
v
dui = −
  
B dh × dl
(
dt
)

dh 
(
= v)
dt
  
  
du i =
− B v × dl =
v × B dl
(
u i = ∫ (v × B ) dl
) (
)
Vorzeichenwechsel wegen antizyklischer
Vertauschung Spatprodukt!
56
- Berechnungsbeispiele
1. Netzdrossel
lfe, Afe, Φfe
u(t)
Φ(t)
i(t)
dΨ
ui = −
dt
Ψ (t ) = w Φ (t )
wi (t )
Φ (t ) =
Rm
Rm =
i (t ) = I sin ω t
w2
ui = −
µ fe AfeωIˆ cos(ωt )
l fe
Ψ (t ) =
l fe
µ fe A fe
w2 µ fe A fe
l fe
i (t )
di (t )
w2
µ fe Afe
ui = −
l fe
dt
57
  
u i =∫ v × B dr +
Ra
2. Unipolarmaschine
(
)
Ri
u i = ∫ (v × B ) dl
∫(
  
0 × B dr
)
grün
Ra
  
u i =∫ v × B dr =∫ ( v ⋅ B ) dr
Ra
ω
(
Ri
)
Ri
v= ωr
v
V
 Ra2 Ri2 
ω r B dr 2 π n B  − 
=
u i ∫=
2 
 2
Ri
Ra
B
Ri - Radius der Achse
Ra - Außenradius der Scheibe
=
u i n Bπ ( Ra2 − Ri2 )
u=i c Φ Luftspalt n
58
Weitere Anwendungen des Induktionsgesetzes
Vereinfachte schematische Darstellung
eines Generators
Der Strom zum Erzeugen des
Magnetfelds im Elektromagneten (dem
Rotor) wird durch durchgehende
Schleifringe verbunden. Manchmal,
wie in Fahrraddynamos, wird anstelle
des Elektromagneten ein
Permanentmagnet verwendet.
59
60
Wassergetriebene Generatoren
am Fuße des BoulderStaudamms in Nevada.
61
Turbine und Generator in einem Kraftwerk
62
63
Bei der Übertragung der elektrischen Energie von Kraftwerken zu den Haushalten
kommen in verschiedenen Abschnitten Transformatoren zum Einsatz.
64
Schematische Darstellung eines Mikrofons, das mittels Induktion arbeitet.
65
66
6.2 Selbstinduktion und Induktivität
- Grundbegriffe
II →→ HH→ B → Φ → Ψ
Ψ = LI
I
Ψ
Induktivität:
Ψ
L=
I
[ Ψ ] Vs
[ L] =
=1
= 1H
[I]
A
67
- Schaltzeichen für Induktivitäten
i
u
i
i
u
L
u
L
L
nichtlineare Spule
lineare Spule
- Strom - Spannungsgleichung
u= +
dΨ
dt
für L konstant :
u= +L
di
dt
68
L konstant
Ψ
Ferromagnetika
I
differentielle oder dynamische Induktivität:
dΨ
Ld =
dI
69
- die in Induktivitäten gespeicherte magnetische Energie
i
∞
Wm =
∫p
el
∞
dt =
0
u
0
L
für L konstant :
Ψ
∫ ui dt
di
u= +L
dt
Wm
∞
I
L 2
di
Wm = ∫ i L dt = ∫ i L di = I
dt
2
0
0
I
70
- das Schaltgesetz an Induktivitäten
Wm, i
L 2
Wm =
I
2
u
für L konstant :
di
u= +L
dt
t
i L ( t − 0) = i L ( t + 0)
71
- Anschalten einer Induktivität an Gleichspannung – Berechnung des Stromes:
0=
Uq
R1 + R2
dΨ
+ R2i + R1i − U q
dt
=
Ψ = LI
di
L
* +i
R1 + R2 dt
di
I∞ = τ ∗ + i
dt
L
L
τ=
=
Rers R1 + R2
Lineare DGL 1. Ordnung
und 1. Grades,
Lösung:
−
t
x (t ) = X ∞ (1 − e τ ) + X 0e
Mit der Anfangsbedingung I(t=0) = 0 wird:
i (t ) =
Uq
R1 + R2
−
t
(1 − e τ )
72
−
t
τ
- Anschalten einer Induktivität an Gleichspannung – Berechnung der Spannung:
Anfangsbedingung: i(0) = 0
0 = −U q + uL + i (0)( R1 + R2 )
u L ( 0) = U q
Endbedingung:
uL = L
di
=0
dt
−
t
x (t ) = X ∞ (1 − e τ ) + X 0e
uL ( t ) = U q e
−
−
t
τ
t
τ
73
- Anschalten einer Induktivität an Gleichspannung – Zeitverlauf von Strom und Spannung:
i (t ) =
Uq
R1 + R2
−
t
(1 − e )
τ
uL ( t ) = U q e
−
t
τ
74
- Abschalten einer Induktivität bei Gleichspannung – Berechnung des Stromes:
Anfangsbedingung:
I ( t = −0 ) =
I (t=-0) = I(t=+0)
Uq
R1 + R2 || R3
∗
R3
R2 + R3
I (t = 0) = 11,994 A
I∞ = 0
Endbedingung:
Werte: Uq=24V R1=R2=1Ω R3=1kΩ
L=1H
Uq
−
t
x (t ) = X ∞ (1 − e τ ) + X 0e
−
t
τ
t
−
R3
i (t ) =
∗
∗e τ
R1 + R2 || R3 R2 + R3
75
- Abschalten einer Induktivität bei Gleichspannung – Berechnung der Spannung:
Anfangsbedingung:
I (t=-0) = I(t=+0)
0 = U L (t = 0) + I (t = 0) ∗ ( R2 + R3 )
U L (t = 0) = − I (t = 0) ∗ ( R2 + R3 )
I ( t = 0) =
Werte: Uq=24V R1=R2=1Ω R3=1kΩ
L=1H
Uq
R1 + R2 || R3
U L ( t = 0) = −
∗
R3
R2 + R3
Uq
R1 + R2 || R3
∗ R3
U L (t = 0) = −12006V
Endbedingung:
U L (t → ∞) = 0
−
t
x (t ) = X ∞ (1 − e τ ) + X 0e
−
t
τ
uL ( t ) = −
Uq
R1 + R2 || R3
∗ R3 ∗ e
−
t
τ
76
- Abschalten einer Induktivität bei Gleichspannung – Zeitverlauf von Strom und Spannung:
t
Uq
−
R3
i (t ) =
∗
∗e τ
R1 + R2 || R3 R2 + R3
uL ( t ) = −
Uq
R1 + R2 || R3
∗ R3 ∗ e
−
t
τ
I (t = 0) = 11,994 A
L
L
τ=
=
= 0,999ms
Rers R2 + R3
U L (t = 0) = −12006V
15
10
5
i in mA
0
0
1
2
3
4
5
6
u in kV
-5
-10
-15
77
-Induktivitätsberechnung
Anwendung der Definitionsgleichung
Ψ
L=
I
Lösungsweg:
1. Annahme eines Stromes durch die Leiterschleife oder Spule, deren
Induktivität zu berechnen ist.
2. Ermitteln des mit der Leiterschleife bzw. Spule verketteten Flusses.
3. Division des so berechneten verketteten Flusses durch den verursachenden Strom.
78
- Beispiel: äußere Induktivität einer Paralleldrahtleitung
- Berechnung des Magnetflusses zwischen den Leitern
H = H1 + H 2 =
I 1
1 
+


2π  r d − r 
H(r)
3
2
1
R
l
-0.2
0.2
0.4
0.6
-1
-2
-3
I
H1
r
R
I
d


Iµ1
1 
µH =
−
B=
 +
 ez
2π  r d − r 
 
Φ = ∫ B dA
H2
A
I
H1 =
2πr
H2 =
I
2π ( d − r )
−Iµ  1
1   
 +
 ez dA
Φ = ∫
π
r
d
r
−
2


A
79
r
R
l
H1
r
I
d
I
−Iµ  1
1   
 +
 ez dA
Φ = ∫
π
r
d
r
−
2


A
R


dA = − dr l ez
H2
d −R
Φ
∫
R
d −R
Iµ1
1 
Iµ
Iµ
d − R I µl d − R
1 
1
l
dr
=
ln
+
=
+
l
dr
l
=
∗
2
ln


∫


2π  r d − r 
π
R
2π R  r d − r 
2π
R
Ψ Φ
µl d − R
L=
=
=
ln
R
π
I
I
80
die Induktivitätsbemessungsgleichung
=
L
Φ1
Φ3
Φ2
wΦ1 w Θ
w wI
=
=
I
I Rm ers
I Rm ers
w2
L=
= w2 Λ ers
Rmers
- Beispiel: Trafokern
Rers = Rm1 +
Ψ
L=
I
L=
wΦ 1
I
1
1
1
+
Rm2 Rm3
w2
L=
=
Rm ers
Rm 1
= Rm1 +
Rm2 Rm3
Rm2 + Rm3
w2
Rm2 Rm3
+
Rm2 + Rm3
81
6.3 Gegeninduktion und gegenseitige Induktivität (Gegeninduktivität)
6.3.1 Grundbegriffe
→ BB→→ΦΦ1111→ Φ 21
III111→→→HH→H
I1
Ψ 21 = L21 I 1 = M I 1
Gegenseitige Induktivität (Gegeninduktivität)
Ψ 21
L=
M
=
21
I1
[ Ψ ] Vs
[ M] =
= 1 = 1H
[I]
A
82
Umgekehrt ergibt sich:
I 2 → H → B → Φ 22 → Φ12 → Ψ12
Ψ=
L12 =
I2 M I2
12
In diesem Fall erhält man für die gegenseitige Induktivität (Gegeninduktivität)
I2
Ψ12
L=
M
=
12
I2
Ψ 21 Ψ12
L=
M
=
=
Austauschsatz: L=
12
21
I1
I2
83
- Schaltzeichen für Gegeninduktivitäten
i1
u1
uu1212 L1
L21
dΨ
u= +
dt
i2
L2 u21
- Strom - Spannungsgleichung
u2
- Gegeninduktivität in Stromkreisen
d i11
d i2
= + L11
u1 =
+ L12
dt
dt
d i1
d i2
u1 =
+ L1
− L12
dt
dt
für Ljk konstant :
d ik
u jk = L jk
dt
d i2
d i1
u2 =
+ L2
+ L21
dt
dt
d i2
d i1
u2 =
+ L2
− L21
dt
dt
84
6.3.2 Gegeninduktivitätsberechnung
- Anwendung der Definitionsgleichung
L21
Ψ 21
=
I1
 
 
Ψ 21 = Φ 21 = ∫ B dA = ∫ µ H dA
A
A
l
a +b
Ψ 21 = Φ 21 =
r
B
∫
a
I1 µ 1
I1 µ l a + b
ln
l dr =
a
2π r
2π
I1
a
b
Ψ 21 Φ 21 µ l a + b
L21 =
=
=
ln
I1
I1
a
2π
85
- die Gegeninduktivitätsbemessungsgleichung
Φ
11
Rm1
Ψ 21
L21 =
I1
Φ21
Rm3
Rm2
w2 Φ 21
L21 =
I1
L21
w2 k 21Φ 11
w2 k 21 Θ 1
=
=
I1
I 1 Rm ers1
L21
w2 k 21 w1 I 1
w1 w2
=
= k 21
Rm ers1
I 1 Rm ers1
w2
w1 w2
w1 w2 w1
L1
L 21 = k 21
= k 21
= k 21
Rm ers1
Rm ers1 w1
w1
w12
L1 =
Rmers1
86
w2
L21 = k21
L1
w1
φ12
11
Rm1
Ψ 12
L12 = L21 =
I2
φ 21
22
Rm3
L21 = k12
2
Rm2
w1Φ 12
L21 =
I2
w1 k12 Φ 22 w1 k12 Θ 2
=
L21 =
I 2 Rm ers2
I2
w1 w2
w1 k12 w2 I 2
L21 =
= k12
I 2 Rm ers2
Rm ers 2
w1 w2
w1 w2 w2
w1
L2
= k12
= k12
w2
Rm ers 2
Rm ers 2 w2
87
w2
L21 = k21
L1
w1
w
L21 = k12 1 L2
w2
L221 = k 12 k 21 L1 L2
Rm1
L21 =
Rm3
k12 k 21 L1 L2 =
k =
k12 k 21
Rm2
k12 k 21 L1 L2
L21 = k
L1 L2
88