Wissenslogik - ETH E

Research Collection
Doctoral Thesis
Atome und Präfixe in der Wissenslogik
Author(s):
Scherer, Beat Georges
Publication Date:
1995
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-001435623
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ETH Library
DISS. ETH Nr. 10975
Atome
Pranxe
una
in
der
Wissenslogik
ABHANDLUNG
Zur
Erlangung
des Titels
DOKTOR DER MATHEMATIK
der
EIDGENOSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE
ZURICH
vorgelegt
von
BEAT GEORGES SCHERER
Dipl. Math. ETH
geboren am 16. Februar 1962
von Ziirich/ZH und Meggen/LU
Angenommen auf Antrag von:
Prof. Dr. H. Lauchli, Referent
Prof. Dr. E. Specker, Korreferent
1995
Memem Patenhnd Ramona gewidmet,
das wahrend den Abschlussarbeiten
fur
die
vorhegende
Dissertation
das Licht der Welt erbhckte.
lnnaltsverzeicnnis
Abstract
iii
Zusammenfassung
V
Kapitel
1
I.
Einleitung
1.
Eigenschaften
2.
Common
3.
Atome
4.
Die
Bedeutung
5.
Die
Aussagekraft
Kapitel
des Wissens
Knowledge
3
4
4
von
Prafixen
von
II. Modelle der
Prafixen
Wissenslogik
5
5
7
1.
Axiomatisierung
2.
Kripke-Strukturen
10
3.
Modellkonstruktionen
12
Kapitel
III.
7
Algebraische Wissenslogik
1.
Die
2.
Atome der modalen
3.
Die
Kapitel
Algebra
Algebra
IV.
der
Wissenslogik
17
17
Logik
20
mehrerer Individuen
22
Prafixe der
Wissenslogik
25
1.
Aquivalente Prafixe
25
2.
Erfiillbarkeit
28
von
Prafixformelmengen
3.
Schlichte Prafixe
32
4.
Die Normalform der Prafixe
34
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel V. Komplexitat
von
Prafixformelkonjunktionen
39
1.
Das
Speckersche Textproblem
39
2.
Die
Prafiximplikation
41
Anhang
45
Lebenslauf
47
Dank
49
Abbildungsverzeichnis
51
Literaturverzeichnis
53
Abstract
The focus of the present thesis is a
(cf Hughes and Cresswell
system S5
logic
of the multi-modal type based on the
Its modal operators are interpreted
[HC78])
knowledge operators of a given class of individuals which is why the logic
knowledge logic
The complexity of deciding the satisfiability of knowledge formulae is of partic¬
ular interest As Ladner [Lad77] showed it is NP-complete for a modal logic It
still increases essentially, when two or more copies of a modal logic are combined
to a knowledge logic (cf Halpern and Moses [HM85]) The first half of this thesis
explains how this fact is reflected in the corresponding boolean algebras for a
fixed finite set of prepositional variables the algebra of a modal logic is finite and
thus atomic For knowledge logic, on the other hand, the algebras are atomless,
hence countably infinite As a conclusion, the algebras of knowledge logic are all
identical up to isomorphism since there is only one countable atomless algebra
Although deciding satisfiability of knowledge formulae is a hard problem there
are many formulae whose satisfiability can be decided easily, 1 e
in polynomial
as
is
the
called
time
The second half of this thesis
of such
formulae,
is
dedicated to the study of
a
certain class
the conjunctions of so-called
prefix formulae First it will be
demonstrated that there is a computable normal form for prefixes
It is com¬
putable not only in polynomial time but also by hand due to an easy graphic
description of the algorithm
Furthermore, it will be shown that the provability of an implication of prefix
formulae is polynomially decidable This result can be extended by the use of
an astonishing property of prefix formulae
in every inconsistent conjunction of
prefix formulae there are two contradictory clauses 
->ip is
provable The satisfiability of a conjunction of prefix formulae can hence be
decided by testing every possible contradiction of two clauses which can be done
in polynomial time
—>
Leer
-
Vide
-
Empty
Zusammeniassung
In dieser Arbeit wird eine Art multimodaler
Logik untersucht, die auf dem moHughes und Cresswell [HC78]). Die
modalen Operatoren werden als „Wissensoperatoren" einer gegebenen Menge von
Individuen interpretiert; entsprechend wird die Logik auch Wissenslogik genannt.
Fiir jedes einzelne Individuum ist es eine normale, modale Logik.
In jeder Logik ist die Komplexitat der Entscheidung, ob eine Formel erfiillbar
ist, von besonderem Interesse. Ladner [Lad77] zeigte, dass das Erfullbarkeitsproblem der modalen Logik NP-vollstandig ist. Die Entscheidung wird viel schwieriger, wenn mehrere Kopien einer modalen Logik zu einer Wissenslogik kombiniert
werden (siehe Halpern und Moses [HM85]). Wie im ersten Teil der vorliegenden
Arbeit gezeigt wird, ist dieser Sachverhalt auch an den zugehorigen, booleschen
Algebren erkennbar: fur eine feste, endliche Menge von Aussagenvariablen ist
die Algebra der modalen Logik endlich und damit atomar. Fiir die Wissenslogik
hingegen sind die Algebren atomlos und damit abzahlbar unendlich. Da es nur
eine abzahlbare, atomlose, boolesche Algebra gibt, stimmen sogar alle bis auf
Isomorphie uberein. Damit ist die algebraische Struktur jeder Wissenslogik mit
endlich vielen Aussagenvariablen und mehr als einem Individuum bestimmt.
Obschon das Erfullbarkeitsproblem der Wissenslogik schwierig ist, gibt es viele
Wissensformeln, deren Erfullarkeit einfach, d.h. in polynomialer Zeit, entschieden werden kann. Der zweite Teil dieser Dissertation ist der Untersuchung einer
dallogischen System
S5 aufbaut
(siehe
dazu
gewissen Klasse solcher Formeln, den Konjunktionen von sogenannten Prafixformeln, gewidmet. Zuerst wird bewiesen, dass es fiir Prafixe eine berechenbare
Normalform gibt. Diese ist nicht nur in polynomialer Zeit berechenbar, sondern
kann sogar anschaulich beschrieben werden. Es ist also
Hand" in Normalform zu bringen.
Ausserdem wird
moglich,
gezeigt werden, dass die Beweisbarkeit
einer
ein Prafix „von
Implikation
von
Prafixformeln in polynomialer Zeit entschieden werden kann. Prafixformeln besitzen zudem die erstaunliche Eigenschaft, dass sich in jeder nicht-erfullbaren Kon-
junktion
von
ist beweisbar.
Prafixformeln zwei Klauseln <j> und ip widersprechen, d.h. <j>
Daher kann die Eriullbarkeit einer solchen
den werden, indem
Damit ist
—»
->^
entschie¬
jeder mogliche Widerspruch zwischen zwei Klauseln abgeklart
obigen Resultat ist das aber in polynomialer Zeit durchfiihrbar.
gezeigt, dass das Erfullbarkeitsproblem fiir diese Formeln polynomial
wird. Dank dem
ist.
Konjunktion
Kapitel I
hinleitung
„D Mane weissed ales."
Carla, 3;11
—
Jeder Leser wird die Situation
Durchgang gegenuberstehen
Dieses meist
kennen,
wo
sich zwei Personen
an
einem schmalen
und darauf warten, dass der andere zuerst
passiert.
Sekunden dauernde Problem wird mit ein paar entschuldigenden
Worten oder durch einen Blickwechsel gelost. In jedem Fall findet aber Kommunur
nikation in irgend einer Form statt
vorausgesetzt, die Beteiligten mochten
eine Kollision vermeiden. Selbst umfassende Regelwerke wie von Knigge [vK77]
—
vermogen solche Probleme nicht ohne Kommunikation
lich auch niclit ihr Ziel
das
ist); geregelt
Kommunikationsprotokoll.
als Deadlock bekannt und
entwickelt,
um
sie
zu
es
wird
aber,
zu
wie sie
(was ja eigenterfolgen hat, also
losen
zu
In der Informatik ist die beschriebene Situation
wurden schon
einige
Protokolle fur verteilte
erkennen und aufzulosen. Dabei stellt sich
jeweils
Systeme
die Frage,
jeder Deadlock erkannt und gelost werden kann.
Untersuchung solcher Fragen ist die Wissenslogik ein geeignetes Werkzeug. Sie bietet einen Fonnalismus, in dem fiber das Wissen einzelner Individuen
gesprochen werden kann. Dies soil nun an einem alten Ratsel erlautert wer¬
den, das schon in den verschiedensten Formulierungen publiziert wurde. Man
betrachte dazu etwa die folgende Situation:
ob wirklich
Fur die
An einer
setzen.
Party
mochte der
Leider sind nicht
Gastgeber den Gasten weisse Hiite aufgeniigend weisse vorhanden, so dass er
noch
einige schwarze hinzunehmen muss. Er mochte aber trotznicht, dass sich jemand benachteiligt fuhlt und setzt sie daher
so auf, dass keiner den eigenen Hut, wohl aber jene der anderen
sieht. Anschliessend fordert er die Gaste wiederholt auf, sich sofort
zu beklagen, sobald einer weiss, dass er selber einen schwaxzen Hut
tragt.
dem
In der Hektik hat der
Gastgeber dabei iibersehen, dass sich trotz der Vorsichtsselbst dann, wenn kei¬
beklagen werden
iiber zusatzliche Informationen verfiigt. Dies bedeutet, dass mindestens ein
massnahmen schwarz behiitete Gaste
ner
—
1
I
2
Gaste, noch hellseherische Fahigkeiten, noch
Gast weder Hmweise der anderen
Spiegel braucht,
emen
urn
die Farbe
wissen, dass alle Gaste die
zu
seines
Es genugt lhm
kennen, aufmerksam sind und
Hutes herauszufinden
Ausgangslage
genau
Schlusse Ziehen konnen
logische
Ein wohlbekanntes, emfaches
Gastgebers braucht,
gen des
Argument zeigt,
emzelnen,
schaft schon
schwarzen Hutes einzusehen
[Bar81]
Am einfachsten ist dies
Bei
Fur
und drei
zwei
versierten Denkern bestehen und ab
aus
ohne Induktion auskommen
Barwise
es gleichviele Aufforderunhat, bis die betroffenen Gaste
dass
schwarze Hute
wie es
auf die Farbe lhres Hutes schliessen konnen
ernes
EINLEITUNG
wird
vier
muss
im
Falle
die Gesellkaum mehr
man
auf die Arbeiten
derartige Analyse sei
und Halpern [MDH86]
eine
von
verwiesen
Moses, Dolev
Innerhalb der Wissenslogik lasst sich das zeithche Moment dieser Uberlegung
mcht modelheren Dagegen kann nach einem Vorschlag von E Specker gezeigt
werden, dass sich unabhangig von den wiederholten Aufforderungen des Gastge¬
bers mindestens ein Gast beklagen wird
Diese etwas schwachere Behauptung
soil nun mit Hilfe der Wissenslogik prazisiert werden
Zuerst wird die beschnebene Situation in der Sprache der Wissenslogik formuhert, wozu die Gaste mit den Zahlen 1 bis m numenert werden In dieser
sowie
Sprache stehen neben den ubhchen Junktoren
) folgende Elemente zur Verfugung
Aussagenlogik (-i, A, V,
der
—>,
etc
Fur
•
jeden
Gast
schwarzen Hut
i
bezeichne das
Symbol 5,
Aussage „Gast
die
i
tragt
emen
"
Fur
jeden Gast i gibt es einen Operator K,, welcher jeder Aussage A
Aussage KXA zuordnet mit der Bedeutung „Gast i weiss, dass A gilt
•
die
"
Damit konnen
obige
nun
Reihe
eine
von
Aussagen angegeben werden,
welche die
Situation beschreiben
(1) S1VS2V
vSm „Mindestens
entspncht
(2) S,
K3S, (fur
—>
em
der Tatsache, dass mcht
schwarzen Hut,
je
zwei
Gast tragt
emen
genugend
weisse
verschiedene Gaste
so wissen
^ j)
1
dies die anderen Gaste
"
schwarzen Hut
"
Dies
Hute vorhanden sind
„Tragt
Das 1st
em
Gast
emen
erfullt, da jeder
die Hute der anderen sehen kann
(3) K,S%
—»
wissen
der
KjKtS, „Weiss
Aufforderung,
dass
er emen
j, dass
er
das
ein
Gaste,
die anderen
Gast,
dass
dass
das
er
dass sich Gast
schwarzen Hut tragt
er
sofort
1
einen
weiss
Damit
"
schwarzen Hut tragt,
Diese
Eigenschaft folgt
beklagen soil,
wissen
wenn
er
so
aus
weiss,
automatisch alle Gaste
weiss
Zusammen mit einigen defimerenden Annahmen uber die Sprachelemente bilden
diese Formeln die Menge der Axiome Daraus lasst sich nun mit wissenslogischen
Regeln (also
V
KtSt erfullt
und
mit Modus Ponens und der
KmSm herleiten,
1st
es
gibt
Demnach
Wissensregel)
daher mindestens
weiss
jener
einen
Gast, dass
er
die
Aussage K^S^VK^SiV
Aussage
Gast 1, fur den die
emen
schwarzen Hut tragt
Aussage
Anhang auf Seite 45
Dieses Beispiel zeigt, wie beschrankt die Mittel sind, die uns die UmgangsspraSchon Aussagen mit 3
che zur Verfugung stellt, um uber Wissen zu sprechen
verketteten Wissensoperatoren, ob negiert oder mcht, lassen sich nur umstandhch formulieren Hier bringt der Formalismus der Wissenslogik erne entscheidende
er
wird sich sicher audi sofort
findet sich
im
beklagen
Ein formaler Beweis dieser
EIGENSCHAFTEN DES WISSENS
3
Vereinfachung. Aber auch im Umgang mit solchen Ketten von Operatoren, sogenannten Prafixen, konnen mit den Methoden der Wissenslogik einige Probleme
einfach, d.h. in polynomialer Zeit, gelost werden. Solche Probleme sollen im folgenden beschrieben werden, wozu im nachsten Abschnitt erlautert wird, welche
Annahmen iiber das Wissen getroffen werden.
Eigenschaften
1.
Wie schon
erwahnt, wird
mit Axiomen
des Wissens
den Operatoren verlangt, dass sie
einige grundlegende Eigenschaften erfiillen. Der Begriff „Wissen", wie er in der
Wissenslogik zu verstehen ist, wird durch diese Axiome definiert und entspricht
dem Begriff „Notwendigkeit" der modalen Logik. Jener wird jedoch nur fur einen
einzelnen Beteiligten untersucht
sei dies nun ein Prozessor oder die gesamte
Menschheit. Im Unterschied dazu gibt es in der Wissenslogik fur jeden Beteiligten
je einen solchen Wissensbegriff, wobei keine zusatzlichen Annahmen iiber die
Interaktion dieser Begriffe getroffen werden. Die Ausfuhrungen in den nachsten
Abschnitten betreffen daher immer Systeme mit mindestens zwei Beteiligten.
In der modalen Logik gibt es eine Vielzahl von mSglichen Axiomensystemen,
welche alle in die Wissenslogik iibertragen werden konnen. Die vorliegende Arbeit
beschrankt sich auf die Untersuchung jenes Axiomensystems mit den starksten
Annahmen, was die Anwendbarkeit auf Modelle mit einigen wenigen Grundaussagen einschrankt. Es ist sicher nicht geeignet, um menschliches Wissen zu modellieren, findet hingegen durchaus Verwendung als Werkzeug in der theoretischen
von
—
Informatik.
Die
wichtigste Eigenschaft ist,
dass die
Beteiligten
nur
giiltige Aussagen
wissen
konnen:
KtA
Halt
denn
eine falsche
jemand
von „Wissen". Umgekehrt
sagen
wissen, da
Erst die
sie
zu
man
Moglichkeit,
an
A.
so spricht man eher von „Glauben"
Beteiligten aber nicht alle giiltigen Aus¬
Wissenslogik eine reine Aussagenlogik erhalt.
sollen die
sonst statt
dass einzelne Individuen etwas nicht wissen
einer interessanten
Ein Minimum
-
Aussage fur wahr,
Wissen
muss
-»
KiKiA
werden, weshalb
aber vorausgesetzt
Beteiligten angenommen wird, dass sie
Aussagen wie auch ihr eigenes Wissen
wie folgt ausgedriickt werden:
K,A
konnen,
macht
Erweiterung.
sowohl alle
von
den
aus
den Axiomen herleitbaren
genau kennen.
Das letztere kann formal
und
^KtA
->
K^KiA.
Als dritte Eigenschaft wird gefordert, dass die Beteiligten schon alle moglichen
logischen Schliisse aus ihrem Wissen gezogen haben; es soil also abgeschlossen sein
unter Modus Ponens1. Auch diese Eigenschaft kann formal ausgedriickt werden:
{KtA
A
Ki{A
-
B))
-
KtB.
'Das Wissen ist nicht abgeschlossen unter der Wissensregel, da sonst alles, was ein Mitglied
Systems weiss, alien anderen Mitgliedern ebenfalls bekannt sein miisste. Es ware daher
des
sinnlos, mehrere Mitglieder
entsprechen.
zu
unterscheiden und die
Wissenslogik
wiirde der modalen
Logik
4
I
2.
Common
Knowledge
diesen Axiomen also noch einige
obigen Beispiel
zugenommen, welche die konkrete Situation beschreiben Das tont
Im
wurden
EINLEITUNG
zu
Aussagen
zwar
hm-
harmlos,
Wissenslogik aber weitreichende Konsequenzen, da die Wissensregel
jeder Beteiligte sowohl die Axiome als auch samtliche FolgerunDamit Axiom (1) der Party erfullt ist, genugt es also mcht,
gen daraus weiss
dass es zuwenig weisse Hute hat, sondern es muss auch jeder Gast dies wissen
und jeder Gast muss wissen, dass jeder Gast dies weiss und jeder Gast muss wis¬
sen, dass jeder Gast weiss, dass jeder Gast dies weiss und so weiter ad infinitum
Formal bedeutet das fur jede Folgerung A aus den Axiomen, dass alle Aussagen
der Form K,iK,2
K,nA erfullt sem mussen Die Aussage A muss also „comDies
mon knowledge", zu Deutsch etwa „Allgememwissen", des Systems sein
ist eine sehr starke Annahme, die sich anschaulich kaum erfassen lasst, da man
kemen gefuhlsmassigen Zugang zu solchen langeren Ketten von Operatoren hat
Die Herleitbarkeit von unerwarteten Aussagen wie der obigen mag aber em Indiz
hat
in
der
postuhert,
dafur
dass
sem
Wissenslogik ist die Starke des common knowledge daran erkennbar,
Aussage nur durch Hinzunahme entsprechender Axiome zu AllgememDies wird in KoroUar 3 4 auf Seite 15 namlich in folgender
wissen werden kann
Form gezeigt jede Situation, die statt mit zusatzlichen Axiomen durch endhch
viele Aussagen beschneben ist, kann so modelliert werden, dass ausser den wissenslogischen Axiomen kem Allgememwissen im System vorhanden ist Damit ist
auch der wohlbekannte Satz bewiesen, dass in einem System, wo Kommumkation
In der
dass
erne
wo die Beteihgten mcht wissen, dass sie garantiert ist,
Mitteilungen kem neues Allgememwissen entstehen kann
In einem solchen System kann em Individuum 1 mcht sicher sem, dass die
Mitteilung A, welche es an Individuum 2 abgeschickt hat, auch wirklich ankommt
Die erfolgreiche Ubermittlung wird also vollstandig durch die Aussage
mcht garantiert ist oder
mit endhch vielen
K2K^A
Endhch viele Mitteilungen werden demzufolge durch eine endhche
Menge von Aussagen beschneben, woraus gemass dem zitierten KoroUar kein
neues Allgememwissen folgen kann
Im Gegensatz dazu wurde im obigen Beispiel angenommen, dass alle Gaste
merken, wenn sich em Gast uber semen schwarzen Hut beklagt Diese Form von
Kommumkation ist also an jener Party garantiert, was beispielsweise ausschhesst,
dass emer der Gaste schlaft oder anderweitig mcht aufnahmefahig ist
beschneben
3.
Atome
Eng verknupft
Frage,
Allgememwissen mit endhch vielen Aussagen
dargestellt werden kann, ist die Frage, ob uberhaupt eine konkrete Situation mit
endhch vielen Aussagen vollstandig beschneben werden kann Naturhch ist dies
mcht moglich, wenn sie neben den Axiomen weiteres Allgememwissen enthalt Im
Kapitel uber algebraische Wissenslogik wird aber zusatzhch gezeigt, dass kerne Si¬
tuation vollstandig endhch darstellbar ist Aus emer solchen Beschreibung konnte
durch Konjunktion aller darin enthaltenen Aussagen erne maximale Aussage Amax
gewonnen werden Diese hatte die Eigenschaft, dass jede Aussage entweder aus
mit der
ob
DIE BEDEUTUNG VON PRAFIXEN
5
AmBX folgt oder nicht gleichzeitig mit Amhx erfiillbar ist. Sie ware also insofem
maximal, als ihre Aussagekraft nicht mehr verstarkt werden konnte. In Kapi¬
tel III, Abschnitt 3 auf Seite 22 wird jedoch zu jeder Aussage
also auch zu
eine unabhangige Aussage B konstruiert, d.h. es gibt sowohl ein Modell
Amax
fiir Amax, in welchem B gilt, als auch eines, worin B nicht gilt. Die Beschreibung
der Situation durch Amax ist demnach nicht vollstandig.
—
—
In der zur Wissenslogik gehorenden booleschen Algebra nimmt AmBX die Stellung eines Atoms ein. In Kapitel III wird also gezeigt, dass diese boolesche
Algebra atomlos ist. Da sie ausserdem abzahlbar ist, wird sie durch diese Eigenschaft bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Insbesondere sind die Algebren
aller Wissenslogiken mit mindestens zwei Beteiligten isomorph.
Demgegeniiber ist die Algebra der Wissenslogik mit nur einem Beteiligten (also
der modalen Logik) endlich und damit atomar. Die Atome werden in Kapitel III,
Abschnitt 2 auf Seite 20 explizit angegeben, womit die ganze Algebra bekannt
ist. Dies zeigt sehr klar, dass der grosste Schritt jener von der modalen Logik
zur Wissenslogik mit zwei Beteiligten ist. Das Hinzunehmen weiterer Individuen
andert die zugehorige Algebra nicht mehr.
Die
4.
Aus den ersten beiden
Prafixe K\ und K\K\ in
Fiir alle
Es
gibt
Aussagen
Bedeutung
von
Prafixen
Eigenschaften des Wissens erhalt
folgendem Sinne Equivalent sind:
A
gilt K±A
genau
dann,
wenn
man, dass die beiden
KiK^A gilt.
also unterschiedliche Prafixe mit derselben
Bedeutung und es stellt sich
sofort die Frage, wie entschieden werden kann, ob zwei gegebene Prafixe dieselbe
Bedeutung haben. Dabei ist das obige Beispiel das einfachste aller moglichen.
Seine
einen
konsequente Anwendung fiihrt zu der Erkenntnis,
eindeutigen sogenannten schlichten Begleiter gibt,
selben
Bedeutung,
in dem keine zwei
dass
es zu
jedem Prafix
d.h. ein Prafix mit der¬
aufeinanderfolgende Operatoren
das Wissen
desselben Individuums betreffen.
Es gibt aber auch Beispiele von aquivalenten
Prafixen mit verschiedenen, schlichten Begleitern. Das einfachste ist allerdings
schon von einer Komplexitat, wie sie in unserem normalen Sprachgebrauch kaum
je
anzutreffen ist:
Fiir alle
Aussagen
A
gilt K\^Kz-^K\KiA genau dann,
wenn
K\KiA
gilt.
Gemass H. Lauchli
[Lau86] gibt
Systemen mit zwei Individuen zu jedem
Bedeutung, welches eindeutig bestimmt
ist. Diese sogenannte Normalform kann nicht nur effizient berechnet, sondern
auch anschaulich beschrieben werden. Im vierten Kapitel dieser Arbeit wird
Lauchlis Resultat auf Systeme mit beliebig vielen Wissern verallgemeinert. Damit
wird ein schneller Test fiir die Aquivalenz von Prafixen moglich: zwei Prafixe
haben genau dann die gleiche Bedeutung, wenn ihre Normalformen zeichenweise
es
in
Prafix ein kiirzestes Prafix mit derselben
iibereinstimmen.
5.
Die
Wie oben schon bemerkt
K\. Dies gilt sicher
Aussagekraft
wurde,
von
nicht fiir das Prafix
Prafixen
K\K\ dieselbe Bedeutung wie
K^K^, da beispielsweise Gast 1 wissen
hat das Prafix
I
6
kann, dass 2
emen
rung aber ist
em
schwarzen Hut tragt, ohne dass jener
Axiom und
es
EINLEITUNG
Die Umkeh
weiss
demzufolge allgememgultig, KiK\
1st
diesem
in
aussagekraftiger als K\ Die beiden Prafixe smd zwar mcht aquivalent
aber vergleichbar, formal geschneben als K2Ki -£- K\
Hier stellt sich wiederum die Frage, wie von zwei gegebenen Prafixen entschieden werden kann, ob
Sie wird 1m funften Kapitel
sie vergleichbar smd und welches aussagekraftiger 1st
zuerst anhand des einfacheren Textproblems untersucht, welches von E Specker
formuhert und gelost wurde
Sem Losungsalgonthmus wird anschhessend auf
dieses Problem ubertragen, wobei die Grundidee dieselbe bleibt
Die polynomiale Entscheidbarkeit der Prafiximphkation ermoghcht es auch,
die Erfullbarkeit emer endhchen Menge von Prafixformeln in polynomialer Zeit
Nach Satz 2 4 auf Seite 31 1st eine solche Menge genau dann
zu entscheiden
erfullbar, wenn je zwei lhrer Aussagen A und B gleichzeitig erfullt werden konnen,
Smne
wenn
also A
Imphkationen
moghch 1st
—»
zu
->S mcht bewiesen werden kann
untersuchen,
was
naturlich
immer
Damit 1st gezeigt, dass die Erfullbarkeit endhcher
formeln
demzufolge,
polynomialer
Es genugt
noch
in
Konjunktionen
von
\Vj
Zeit
Prafix¬
offen, ob
diese Formelklasse so erweitert werden kann, dass das Erfullbarkeitsproblem po¬
lynomial bleibt Mogliche Kandidaten waren die Mengen der Konjunktionen von
Fur die Aussagenlogik weiss man,
n-fachen Disjunktionen von Prafixformeln
2 polynomial, 1m Fall
dass das entsprechende Erfullbarkeitsproblem 1m Fall n
Es 1st nahehegend, dass sich dieses Resultat
n > 2 hmgegen NP-vollstandig 1st
auf Prafixformeln verallgemeinern lasst
Eine ganz andere Frage, die auch noch offen 1st stellt sich 1m Zusammenhang mit obiger Behandlung des Allgemeinwissens (common knowledge) welche
zusatzhchen Axiome ermoglichen es zu beweisen, dass in emer beschriebenen Si¬
tuation neben den Axiomen zusatzliches Allgememwissen vorhanden sem muss7
Ein Beispiel fur em solches Axiom 1st die Garantie emer gewissen Form von Kommumkation, wie sie in der Beschreibung der Party vorkommt
in
polynomialer
Zeit entschieden werden kann
Es 1st noch
=
K,S,
Dank diesem Axiom
gehort
in
schwarzen Hut tragt, dies sofort
-
KjK.S,
jeder Situation, wo Gast
zum Allgememwissen
1
weiss,
dass
er
emen
Wie man sieht, gibt es noch einige ungeloste Probleme in diesem Bereich der
Wissenslogik Da aber Allwissende, wie 1m ersten Abschmtt beschneben, kerne
mteressanten Beitrage zur Wissenslogik leisten konnen, bm ich froh, dass das
die Realitat demnach mcht ganz
Zitat am Anfang
so schon es auch 1st
—
tnfft
—
Kapitel II
Modelle der Wissenslogik
Das formale
System der Wissenslogik, wie es vor ungefahr dreissig Jahren entwurde, bildet die Basis der vorliegenden Arbeit. Ein Uberblick der Entwicklungen in diesem Gebiet findet sich in Halpern [Hal86]. Dieses Kapitel ist
eine Zusammenstellung einiger der wichtigsten Begriffe und Eigenschaften der
Wissenslogik. Im ersten Abschnitt wird ein Axiomensystem eingefiihrt, welches
auf Hintikka [Hin62] zuriickgeht. Es ist eine korrekte und vollstandige Axiomatisierung der Theorie, wie sie durch Hintikkas Semantik der moglichen Welten
entwickelt wird. Die Kripkestrukturen, welche im zweiten Abschnitt behandelt
werden, bilden eine formale Beschreibung jener Semantik. So werden komplexe
Konstruktionen moglich, welche gegebene Modelle derart modifizieren, dass darin
neue Formeln giiltig sind. Die Methode wird im dritten Abschnitt anhand eines
Beweises eingefiihrt.
wickelt
1.
Axiomatisierung
Wissenslogik ist ein Hilfsmittel, um den Informationsfluss innerhalb eines
Systems zu untersuchen. Erhalt ein Mitglied eines solchen Systems neue InforDie
mationen,
neuer
so
kann
es
Wissensstand
dern auch
mochte
von
mit seinem Vorwissen weitere Schliisse daraus ziehen. Sein
hangt
also nicht
nur von
seinem Vorwissen und seiner
den
neuen
Fahigkeit,
Informationen ab,
Schliisse
zu
son-
ziehen. Dies
Beurteilung des Informationsflusses beriicksichtigen. DesWissenslogik auf der klassischen Aussagenlogik auf, welche einen
Schlussbegriff enthalt. Ihre Sprache wird so erweitert, dass besprochen werden
kann, welches Mitglied welche Aussagen weiss. Dazu fiihrt man fur jedes Mit¬
glied i einen modalen Operator K, ein mit der Bedeutung „Mitglied i weiss, dass
gilt". So erreicht man gleichzeitig, dass auch Informationen iiber das Wissen
anderer Mitglieder erfasst werden konnen.
man
bei der
halb baut die
...
DEFINITION 1.1. Sei
ist
m
> 1 eine
jene der Aussagenlogik
Individuum 16
(1)
den
{1,... m}
,
natiirliche Zahl. Die
erweitert
des
um
Systems.
Aussagenvariabeln,
7
Sprache der Wissenslogik
Operator K, fur jedes
einen modalen
Die
Menge
der Formeln Cm besteht
aus
8
II. MODELLE PER WISSENSLOGIK
(2)
den
aussagenlogischen Verkniipfungen
etc., fur zwei Formeln <fr,
(3)
den
Wissensjormeln K,4>
Die Axiome der
Wissenslogik
Individuen. So soil in
von
Formeln
(z.B. -xj>, (f>/\ip, ipVip,
ip),
L,4>
und
=
^K,^4> (i
ein
Wisser, <j>
eine
Formel).
beruhen auf idealisierenden Annahmen fiber die
erster Linie ihr Wissen
abgeschlossen
sein unter Schlussfol-
gerungen mit Modus Ponens (Axiom 2). Zudem soil es korrekt sein (Axiom 3),
was bedeutet, dass sie nur wahre Formeln wissen konnen. Diese
Forderung unter-
scheidet das Wissen
genau kennen.
vom
Glauben. Schliesslich sollen die Individuen ihr Wissen
sowohl wissen,
Zwei Axiomenschemata stellen dies sicher:
(Axiom 4),
ein Individuum soil
als
auch, was es nicht weiss (Axiom 5).
Dieses letzte Axiom unterscheidet das in der vorliegenden Arbeit untersuchte,
wissenslogische System S5m vom System S4m. Eine Untersuchung von S4m findet sich in Vardi [Var85]. Im Falle eines einzelnen Individuums entsprechen diese
Systeme den modallogischen Systemen S5 bzw. S4.
was es
weiss
Die klassische Aussagenlogik wird durch die Axiome unter (1), den aussagenlogisch giiltigen Formeln, in die Wissenslogik eingebracht. Diese Formeln entstehen aus aussagenlogischen Identitaten mittels gleichzeitigem Ersetzen von Aussagenvariablen durch wissenslogische Formeln. So gilt beispielsweise die Formel
K,<t> V -iK,<f> unabhangig von den Eigenschaften des modalen Operators K, dank
der Aussagenlogik, hingegen K,(<f> V -xj>) nur dank der Idealisierung der Indivi¬
duen.
Definition 1.2. Die Axiome der
Formeln der
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
alle
Wissenslogik,
ein
i
Wissenslogik S5m sind (<j>
beliebiges Individuum):
aussagenlogisch giiltigen
A K^-> i,))
K,tP
(Kt -»<j>
K,4>
K,Kt<t>
Kt-*K,<j>
-*K,4>
-»
->
Eine weitere Annahme iiber die Individuen findet sich in den
Die
Wissensregelpostuliert,
weiss. Dies
gilt insbesondere
DEFINITION 1.3. Die
und die
dass
Wissensregel,
Schlussregeln.
jedes Individuum alle allgemeingiiltigen Formeln
fur die Axiome.
Schlussregeln
von
S5m sind
der Modus
Ponens,
*
^,
-$-.
Definition 1.4. Ein Beweis
Jiir <j> ist eine endliche Folge i/>i,i/>2,
,i>n
$
Formeln, sodass jede dieser Formeln entweder ein Axiom ist oder mit einer
Schlussregel aus friiheren Formeln der Folge erhalten werden kann. Eine Formel
4> ist beweisbar, h <j>, falls es einen Beweis fur ip gibt; sie ist konsistent, falls es
keinen Beweis fur -i0 gibt: H -^<j>. 1
•
•
•
=
von
Als Beispiel sollen die folgenden Propositionen bewiesen werden, welche einfache, aber grundlegende Sachverhalte der Wissenslogik S5m darstellen.
'Mit diesem Beweisbegriff wird das Axiom 4 eine Folgerung
Trotzdem wird
S5m eine
als
eigenstandiges
Erweiterung von S4m ist.
es
Axiom
aufgefuhrt,
um zu
aus
den anderen Axiomen.
betonen, dass das Axiomensystem
AXIOMATISIERUNG
9
Proposition 1.1. Set </>
\-
KtO,<fi
«-
Formel und 0
behebige
erne
und
0,(j>
Beweis. Der formale Beweis
K,K,4>
von
L,O,0
I<->
K oder L. Dann
=
gilt:
0,0
<-*
Kt<j> beginnt
mit der
aussagenlo-
gisch giiltigen Formel
(K.K.0
und den Axiomen
Anwendungen
Im Falle 0
L
((#,0
-
-»
A-,*-,*) -»(#,#,0
tf,0))
~
#,0 (Ax. 3) und K,(j> — K,K,cj> (Ax. 4). Mit zwei
ergibt sich die behauptete Formel.
wird Axiom 5 in der Form L,0
A,L,0 anstelle von Axiom 4
K,K,<f>
von
=
K,4>)
-»
—
Modus Ponens
—
verwendet.
Die rechte Seite entsteht
implikation
<-; im Falle O
K also mit der
(KxL,^<fi
und einer weiteren
«
Anwendung
Proposition 1.2. Fur
\-K,(cj>V O.V)
der linken durch
aus
=
(Kt<t>
*->
L.-.0)
von
V
V
<-»
Kt(j>)
Modus Ponens.
0,ip)
und
und O
L, (0
h
A
=
K oder L
O.V)
*-»
gilt:
(£.0
A
0,V>)
0,^
(0 Oti/i) folgt mit
(0 0,1/;)
Aussagenlogik die Formel (Kt(f>\/K,0,ip)
0,tp). Gemass Proposition 1.1 ist dies aquivalent zur einen Richtung der
Wissensregel,
K%(<j>
(L,K,<j>
behebige Formeln 0, i>
Beweis. Aus den Identitaten 0
der
-*
Negieren beider Seiten der Biaussagenlogisch giiltigen Formel
-»
V
und
V
-»
Axiom 2 und etwas
—>
linken Seite.
Aus Axiom 2 ist die Formel
was
aussagenlogisch
zu
K,(<j>
K,(->0,ip
0)
0,^)
(K,(t>
—>
V
—»
—
V
K,4>) herleitbar,
(K,->0,il]
L,0,ip) aquivalent ist. Diese
—>
Richtung
der
Negieren beider Seiten
der
Formel entspricht wiederum gemass Proposition 1.1 der anderen
linken Seite.
Auch hier folgt die
Biimplikation.
rechte Seite
Proposition 1.3. In der
aus
der linken durch
Wissenslogik S5m
kann das Axiom 2 durch
(2') Kt{<t>A^)~(Kt<t>AK,iP)
ersetzt werden.
2
aussagenlogischen Identitat 0 — (ip
(0 A ip)) folgt mit
Wissensregel und Axiom 2 die Formel K,<f>
(K,ip — Kt(<f> A ip)), welche
aquivalent ist zu (K,<f> A K,ip)
K,(<f> A ip).
ip wiederum
Umgekehrt folgen aus den Identitaten (0A^/>) ~+ <f> bzw. [<p/\ip)
mit Wissensregel und Axiom 2 die Formeln K,( K,<j> bzw. Kt(<j> A ^) —
K\Vi zusammen also K,(0 A ip) —> (K,0 A K,i/>).
Damit ist bewiesen, dass die Formeln von Axiom 2' beweisbar sind. Es bleibt zu
zeigen, dass auch aus den Axiomen 1 und 2' die Formeln von Axiom 2 hergeleitet
Beweis. Aus der
—»
der
—»
—
—*
werden kSnnen.
Dazu bemerke
valent
zu
man
K,(
zuerst, dass gemass 2' die Formel K, —> ip) aqui¬
ip))
(0 A ip) und
A
<->
2Da im Beweis jeweils nur die Axiome 1 und 2 bzw 1 und 2' verwendet werden, gilt die
Aussage fur alle Axiomensysteme, welche diese Formeln enthalten
II
10
Axiom 2' ist dies aquivalent
tp))
K,ip
—»
aus
zu
K,<j>
A
MODELLE DER WISSENSLOGIK
Insgesamt
Ktip
ist also
(Kt(f>
A
K,{(j>
1 und 2' herleitbar
—
D
Aus der
Wissensregel und dem Axiom 3 folgt mit Modus Ponens die Aquiva(j> und h Kt<j> Ist also <f> beweisbar, so wissen dies alle beteiligten
Individuen Hmgegen soil erne nicht-beweisbare Formel ip m einem Modell gelten
konnen, ohne dass die Individuen dies wissen Aus ip soil also mcht unbedmgt
K,il> hergeleitet werden konnen Die Herleitbarkeit aus evner Formelmenge muss
dementsprechend wie folgt defimert werden
lenz
von
h
Definition 15
Sei $
herleitbar, $ h ip,
^ $' —»ijj beweisbar ist,
<J>
aus
Menge
erne
falls
Formeln
Die Formel tp ist
aus £m
Teilmenge $' C $ gibt, fur welche
/^ $' die Konjunktion aller Formeln in
von
endliche
es eine
dabei bezeichne
$'
Die
Formelmenge
$ ist
konsistent,
die Formel ^ $' konsistent ist
2.
Die Semantik der
durch die
Angabe
Y-
->
wenn
fur alle endlichen
Teilmengen $'
C $
fl\ $'
Kripke-Strukturen
moglichen
Welten beschreibt das Wissen der Individuen
zu der „wahren" Welt, welche mit diesem
beispielsweise em Richter mcht, ob der Angeklagte schuldig ist, solange die Unschuldsvermutung konsistent ist mit semem
Wissen Er halt also mindestens erne Welt fur moglich, in welcher der Angeklagte
unschuldig ist Hmgegen wird meistens der Angeklagte in alien alternativen Wel¬
von
Alternativen
Wissen konsistent sind
So
ten des Richters wissen,
ob ihn
weiss
eine
Schuld tnfft
Mit anderen
Worten, der
Richter weiss, dass der
Angeklagte weiss, ob er schuldig ist oder mcht
Dieser Sachverhalt kann mit Knpkestrukturen modelhert werden Dabei wird
auf emer Menge von Welten fur jedes Individuum i die Moglichkeitsrelation P,
angegeben Sie besteht zwischen zwei Welten s und t genau dann, wenn das
Individuum in der emen Welt s die andere Welt t fur moglich halt
Erne Knpkestruktur M ist em Tupel (S, n, Pu
Pm), wo
Menge der Welten ist Fur jede Welt s £ S ist 7r(s) eine Menge von
Aussagenvanablen und fur jedes i e {1,
m} ist P, eine zweistelhge Rela¬
tion auf den Welten in S Erne Knpkewelt w ist ein Paar (M, s), wobei M erne
Knpkestruktur ist und seS eine Welt aus M
Definition 2 1
,
bei S die
,
Eine solche
jede
Welt
s
Knpkestruktur
S
ein
lasst sich anschaulich als
Knoten ist und mit den
gultigen
Graph darstellen,
wobei
Literalen beschnftet wird
jede Aussagenvanable p gehort also die Formel p, falls p 6 7r(s), oder sonst
Beschnftung von s Die Relationen P, werden durch numenerte Kanten
dargestellt Em Beispiel findet sich in Abbildung II 1
In diesen Knpkestrukturen wird nun die Gultigkeit so defimert, dass jede einzelne Welt s 6 S em Modell der Aussagenlogik ist Das Wissen der Individuen
ist durch die Moghchkeitsrelationen zwischen diesen Modellen festgelegt Dabei
sind die Eigenschaften dieser Relationen verantwortlich fur die Gultigkeit der
wissenslogischen Axiome (Axiome 3, 4 und 5)
Fur
->p
zur
11
KRIPKE-STRUKTUREN
p9-
-
\2
2
Av.'
Ein Graph fur jene Struktur, welche gemass
Vollstandigkeitssatzes fur die Formel KipA->K2Kip
Abbildung II. 1.
dem Beweis des
konstruiert wurde.
Definition 2.2. Die
w
t=
Giiltigkeit
emer
<f>, wird rekursiv nach dem Aufbau
(M,s)l=p
(M.s)MAx
(M, s) 1= ->V
(M, s) 1= K,V>
gdw
gdw
gdw
gdw
Formel <j> in der
von
Kripkewelt
w
(M, s),
=
<p definiert:
ir(s) fiir Aussagenvariable p
(M,s) l= ip und (M,s)l=x
(M, s) ¥ ip
(M, *) 1= ^ fiir alle t e 5 mit (s, t)
p 6
e
P,
Die letzte Bedingung entspricht der Intuition, dass ein Individuum
dann i/i weiss, wenn ip in alien Welten gilt, die i fiir moglich halt.
i
genau
Um nun die Axiome von S5m erfiillen zu konnen, miissen alle Relationen einer
Kripkestruktur reflexiv (Axiom 3), transitiv (Axiom 4) und euklidisch (Axiom 5),
insgesamt also Aquivalenzrelationen sein.3
aus jenen Kripkewelten w
(M, s),
Kripkestruktur M
(S,ir,Pi,... ,Pm) Aqui¬
valenzrelationen sind. Eine Formel (j> aus Cm ist allgememgiiltig, 1= <p, falls sie in
alien Kripkewelten aus Mm gilt; sie ist erfiillbar, wenn es eine Kripkewelt in Mm
Definition 2.3. Die Klasse Mm besteht
=
fiir welche alle Relationen P, der
gibt,
in welcher
=
<j> gilt.
Begriffe giiltig und erfiillbar werden auch fiir Formelmengen verwendet, wogleichzeitige Giiltigkeit bzw. ErfuUbarkeit aller Formeln der Menge
gemeint ist. Die Formelmenge $ ist also genau dann erfiillbar, wenn es eine
Kripkewelt w G Mm so gibt, dass fiir alle .
Die
bei damit die
Lemma 2.1. Jede konsistente
Formelmenge
ist
erfiillbar.
Ein ausfiihrlicher Beweis dieses Lemmas mit den iiblichen Methoden der
mo-
Halpern und Moses [HM85] bzw. [HM92] als Teil des
Beweises des Vollstandigkeitssatzes fiir S5m, welcher eine direkte Folge daraus
dalen
Logik
findet sich bei
ist:
Satz 2.2. Die Wissenslogik S5m ist
sierung der Theone der
eine
Knpkestrukturen
h
<j>
gdw.
in
vollstandige und
Mm:
1=
korrekte Axiomati-
<j>
3Jede reflexive, euklidische Relation ist transitiv. Dies entspricht der Tatsache, dass Axiom
Folgerung aus den anderen Axiomen von S5m ist.
eine
4
II
12
MODELLE DER WISSENSLOGIK
Fur gewisse Konstruktionen ist es von Nutzen, wenn erne gegebene Knpkewelt
mit (M, s) 1= 0 modifiziert werden kann, ohne dass dabei die Gultigkeit von
(M, s)
<j> verloren geht Zu diesem Zweck wird untersucht, welche Telle von M Emfluss
Gultigkeit haben
Ist <f> erne rem aussagenlogische Formel, so hangt lhre Bewertung nur von s
selber ab Die Gultigkeit von K,<f> hmgegen hangt von der Bewertung von <f> in
den i-Nachbarn von s ab, d h in jenen Welten t, welche in Relation P, zu s stehen
Entsprechend hangt die Gultigkeit von KtlK,2
Kln<f> in s von der Bewertung
der i„-Nachbarn von s ab, also von
von <f> in den ii-Nachbarn der i2-Nachbarn
jenen Welten, welche hochstens n Schntte von 5 entfernt sind
auf diese
Definition 2 4. Seien M
Welten
zwei
aus
aus
S
S so, dass so
Em
=
Weg
=
der
und sn
s
(sjt, Sfc+i) e P,
Abstand d(s, i) ist die
=
Pm)
{S,-k,Pu
Lange
t ist,
Knpkestruktur und s, t
Folge (s0, si,
,s„)
erne
nach t ist
n von s
erne
fur alle 0 < k <
sowie
{1,
G
n em i
,
m}
existiert mit
Der
klemste naturhche Zahl n,
Lange n von s nach t gibt, er ist oo,
em Symbol mit der Eigenschaft n <
Das
genau,
kemen
es
Kln(j>
KtlK,2
lasst sich aber einfach auf alle Formeln
Abstand wird dann durch die
Definition 2 5
Quantorentiefe
Quantorentiefe q(if>)
Die
dass
so
Weg
von s
Weg der
gibt (oo ist
es emen
nach t
fur alle naturlichen Zahlen
oo
Knterium fur die Formel
obige
es
falls
n)
ist naturlich etwas
verallgemeinern
zu un-
Der maximale
der Formel bestimmt
Formel
emer
1>)
q{K,ip)
Die
ten
Bewertung
=
=
=
0
fur
max(q(ip),q{x))
q{ip)
1 + q(i>)
fur alle
(j>
von
in
s
„Kreisscheibe"
erne
deren Abstand
5"),
,Pm
n
Satz 2 3
(5'
Fur
x
von
hochstens
s
S')),
wobei S'
Dieser Satz wird
mi
M
{t
=
in
Parikh
um
e
S
und
bestehe
emgefuhrt,
bewiesen werden konnen
auf Seite 22 entwickelt
aus
<j> erfullt
jenen Welten
(S',7r \ S',Pi
Bn(M,s)
\ d(s,t) < n} ist
=
n
aus
(S"
x
jede Formel <f> gilt
bzw
[Par9l]
mittels
eines
Spiels bewiesen
verwendet werden
Modellkonstruktionen
In diesem Abschnitt wird anhand des Beweises
konstruktion
,m}
s, welche in s immer noch
Folgenden fur mehrere Modellkonstruktionen
3.
{1,
(BqW{M, s),s))=<t>
gdw
[Par84]
G
ist, also
jede Knpkewelt (M, s)
(M, s)^4>
Er wird
n
%
p
aus
Knpkestruktur Bn(M, s)
Die
DEFINITION 2 6
von
Aussagenvanable
unabhangig von weit entfernten Wel¬
der Knpkestruktur elimmiert werden
ist somit
Diese konnen daher ohne weiteres
Zuruck bleibt
M,
=
von
folgendem
Satz
erne
Modell-
mit welcher auf sehr konkrete Art Erfullbarkeitsresultate
Sie wurde
hauptsachlich
fur den Beweis des Satzes 3 1
MODELLKONSTRUKTIONEN
Satz 3.1. Seien <j> und ip
>
fur alle
n >
q((j>)
13
zwei
erfiillbare Formeln. Dann
LiL2Li ...Ltij),
A
+
ist
1
falls
n
ungerade
2
falls
n
gerade
q(il>) erfiillbar.
Im Beweis werden zwei Modelle
<f> und ip
von
entsprechenden Welten nicht
Modell ein Punkt ausgezeichnet, der
in den
so „verklebt", dass
gehen kann. Dazu
verloren
zwar
ihre
Giiltigkeit
jedem
wird in
weit genug davon entfernt aber doch
erreichbar ist. Zwischen diesen beiden Punkten wird dann eine
neue
Kante hin-
Die Existenz solcher weit entfernten, erreichbaren Punkte ist nicht
zugefugt.
garantiert. Deshalb werden die Modelle
Konstruktion
folgender
zuerst mit
„auf-
geblasen".
Kripkestruktur
Definition 3.1. Die
N,
jede Welt
indem
von
N durch eine
w
® N entsteht
Kopie
der
aus
Kripkewelt
der
w
Kripkestruktur
=
(M, s)
ersetzt
wird:
^"({t, u))
=
pw®N
nM(t)
SM
fiir alle t 6
und alle
jgt ^gj, transitive Abschluss der
{ ((*!,«), (t2,u)) |
(tuU)
6
u
G
SN
Vereinigung
P,M
und
u
6
SN
{((s,Ml),(s,tt2)) |
Von der
Kripkestruktur
N wird in w® N
nur
(engl. Frame;
die Konstruktion wird also
[HM92],
siehe
Seite
335).
Fiir
(«1,«2)
P,N}
Grundmenge mit den MoglichAussagenvariablen, vN, hat keine
die
keitsrelationen ubernommen; die Bewertung der
Bedeutung. Fiir
}u
nur
m >
das Geriist
2 kann
von
N verwendet
beispielsweise
N iiber
dem Geriist der natiirlichen Zahlen IN mit den Relationen
Pi
=
P2
=
P,
=
{ (n, n) |
{ (n, n) I
{ (n, n) |
so
Sie ist in
II.2
Abbildung II.2.
vielen
Kopien
6 IN
n
e IN
}
}
n
£ IN
}
U
U
{ (2n, 2n + 1) | n e IN }
{ (2n + 1,2n + 2) | n IN }
fiir 2 < i <
m
entstehende Struktur u;®N wird hier mit w bezeichnet.
gewahlt werden. Die
Abbildung
n
der
dargestellt.
Die Kripkestruktur mIN, welche aus abzahlbar
Kripkewelt w
(M, s) konstruiert wird.
=
II
14
PROPOSITION 3 2
gilt fur
Dann
Sei
w
(M, s)
=
erne
Knpkewelt und N
(t, u)
alle Formeln <j> und alle Welten
{w®N,(t,u))\=(f>
Beweis
(AM)
gdw
erne
Knpkestruktur
® N
von w
1=
0
wird mit Induktion nach dem Aufbau der Formel be-
Aussage
Die
MODELLE DER WISSENSLOGIK
wiesen
Fur die
w
meln,
Aussagenvanablen entspncht die Behauptung der Definition von n fur
hmgegen erne aussagenlogische Kombmation von einfacheren For¬
folgt sie direkt aus der Induktionsvoraussetzung Der emzige interessante
Ist <j>
® N
so
Fall ist also <fi
K,tp
=
(t,u) gilt K,tp
gilt Ist aber (t',u')
In
genau dann
(t, s) ^ PtM
Falls
Kopien
von
ist,
so
haben
w
Symmetrisch
(t,f)
PtM,
G
von
kann
(t, u)
dann,
i\)
wenn
Fall,
dann der
wenn
Die Konstruktion
bar vielen
von
Kopien
in
da
von
von w
i
in
muss
PtM
nun
von
erne
Aquivalenzrelation
auch
(£', u)
ein
alien i-Nachbarn
in
i
von
gilt
unverandert
ein
Insbesondere bleibt
Modell
Es bleibt
„Verklebung"
erfullt wird
Dies wird mit der nachsten
—
Weg (s0,Si,s2,
zu
Modelle
zweier
w
von
in
Beweis
aus
erfullt
von
von
tp und
der Satz sofort
Mit
w
und
v
=
Modell
lm
von
<j>
Formel
gibt
tp erfullt
aus
LtlLl2
mit
Ltnip
G
P,k fur
fur
wenn
G
dann,
genau
(s»_i,St)
alle
{1,2,
alle
Wege
,n}
die
ist
Behauptungen folgen mit
Gultigkeit in Kripkestrukturen
Satz 3 1
n
(M, s)
klar
Die beiden dualen
der Definition der
Beweis
dell
sn
=
<f> und ip die gewunschte Formel
von
Proposition
=
Formel tp
w
4>
zeigen, dass mit der welter oben be-
(M,s) gilt die
,sn) von s
{1,2,
den abzahl-
in
Modell
em
,n}, so dass sn die Formel
Inw
(M, s) gilt die Formel KHK,2
K,nip genau dann,
(so,Si,S2,
,sn) von s aus mit (sk-i,Sk) G Plk fur alle k
k G
von
fur alien 6 IN
schnebenen
In
(t, u)
(t, w)
von
(t',u')
Dies wiederum ist genau
weit entfernten aber erreichbaren Punkten
PROPOSITION 3 3
t
ist
i-Nachbar
w®1 lasst also die Bewertung der Formeln
garantiert werden
wenn es emen
von
anderen
in
=
(w,{s,n))*F auch nach dem „Aufblasen"
Die Existenz
em
aus
alien i-Nachbarn t'
K,ip
t'
ist auch
so
keine j-Nachbarn
Umgekehrt ist fur jeden i-Nachbarn t' von t
Nach Induktionsvoraussetzung gilt daher ij>
genau
(t',u')
alien i-Nachbarn
in
(t,u),
v! und (t, t') G PtM gelten
u
(t',s) $ PtM', dass (t',t) G P,M gilt
PtM, also
gilt (t,s) e PtM und (t',s)
Also
folgt
dazu
In alien anderen Fallen
ebenfalls
wenn
z-Nachbar
em
q(<p)
Sei
+
w
q(tp)
=
+ 1
(M, s)
ein
Modell
der Reflexivitat der P,
wird
die Struktur O als
^(^,0,0))
von
<f>,
v
Fur alle grosseren Werte
aufgrund
nun
Induktion nach
und
Vereimgung
=
(N, t)
von
n
direkt
Mo¬
em
folgt
der Strukturen
BqW(vm,(t,n))
n
dann
15
MODELLKONSTRUKTIONEN
aus der Vereinigung der beiden (disjunkten!) Grundjeweiligen Relationen und Belegungen der Aussagenvariablen.
In O gibt es also zwei nicht-zusammenhangende Teile, welche nun mit einer wei2 sonst sei
1 falls q(<j>) gerade und fc
teren Kante verknupft werden: fur k
P° der transitive Abschluss der Vereinigung der Relationen Pk auf beiden Teilen
konstruiert,
d.h. O besteht
mengen mit ihren
=
—
mit der
Einermenge
lasst sich wie in
{((s,g(<£)),(t,g(<£)4- I))}-
Abbildung
Abbildung II.3.
Die
Kripkestruktur O,
Satzes 3.1 konstruiert wird. Hier ist
Entsprechend
die Formel
Die
so
entstehende Struktur O
II.3 veranschaulichen.
dieser Konstruktion
gilt
q(<j>)
nun
=
wie sie im Beweis des
5 und
(s, 0)
in
Weg
4.
=
die Formel <j> und in
(t, n)
ip. Ausserdem ist
((8,0),(S,l),...,(s,(/W),(t,5W + l)
ein
q(ip)
von
(s, 0)
nach
(t, n),
so
(s, 0)
dass in
(t,n))
auch die Formel
LjL2Li... L, j>
n
gilt.
Damit ist die
Behauptung bewiesen.
KOROLLAR 3.4. Sei ip
erfiillbaren,
endhchen
eine
D
mcht-beweisbare Formel.
Formelrnenge
$
erne
Dann
natiirhche Zahl n,
gibt
so
es
dass
zu
jeder
gilt
$!SKlK2K1...Kti>.
J
>-
r
n
Beweis. Der Beweis ist eine direkte
Anwendung
von
Satz 3.1 mit <j> =lf\ $.
D
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Kapitel III
Algebraiscne Wissenslogik
Im ersten Abschnitt wird die
delt
von
beschrieben und die Exi-
angegeben,
die Kardinalitat der
woraus
Algebra berechnet
bewiesen,
Fiir zwei und mehr Wisser wird im dritten Abschnitt
werden kann.
es
Wissenslogik
der
Subalgebra
Sie werden explizit
dass
Algebra
fur jedes Individuum gezeigt. Der zweite Abschnitt handen Atomen der Wissenslogik mit einem Wisser, der modalen Logik S5.
stenz einer
keine Atome
gibt.
1.
Die
Algebra
der
Wissenslogik
Mm von S5m zu bekommen, kann
Algebra der Wissenslogik untersuchen. Dazu wird mit Klassen von
aquivalenten, wissenslogischen Formeln eine boolesche Algebra An gebildet. Die
Operationen sind durch Konjunktion, Disjunktion und Negation der Reprasentanten gegeben. Ein Modell der Wissenslogik ordnet nun jeder Aquivalenzklasse
einen Wahrheitswert zu. Dies geschieht in einer Weise, die konsistent ist mit den
Axiomen der booleschen Algebra. Es ist also ein Homomorphismus von Am in
die zweipunktige boolesche Algebra. Umgekehrt gibt es zu jedem solchen Homo¬
morphismus ein entsprechendes Modell in Mm. Die Untersuchung von An ist
allein schon wegen dieser Beziehung zwischen Homomorphismen und Modellen
Um einen Uberblick iiber die Modelle
man
w
6
die
interessant.
Definition 1.1. Zwei Formeln
falls sie in denselben Modellen
Kripkewelte
w
e
Mm gelten,
dass
w
Mit
[0]
wird die
Nach der Definition der
<t>
*-*
t=
Aquivalenzklasse
M
1=
ip,
4>,ijj e Cm sind aquivalent in Mm, <j>
Mm giiltig sind. Es muss demnach fiir jede
~
aus
=
<j>
gdw.
von
w
t=
ip.
<j> in Cm bezeichnet:
{VG£m|V'~0}
Giiltigkeit
ist diese
Bedingung gleichbedeutend
mit
ip. Aus dem Vollstandigkeitssatz (Satz 2.2 auf Seite 11) folgt sodann, dass
zwei Formeln
aquivalent sind,
wenn
ihre
(logische) Aquivalenz
17
beweisbar ist.
III. ALGEBRAISCHE WISSENSLOGIK
18
Definition 1.2. Die
(Am, U, n,c 0,1),
meln
aus
Algebra
wobei Am
,
Cm ist und fur <j>, ip
Die Definitionen
Wissenslogik -4m ist eine Struktur der Form
die Menge der Aquivalenzklassen von ForCm gilt:
der
£m/~
=
hangen nicht von
folgende Proposition
U, n, c, 0 und 1
von
ab. Ein Beweis dafur wie auch fur die
Reprasentanten
den
findet sich in Sikor-
[Sik69].
ski
Proposition 1.1. Am ist
Den
eme
boolesche
aussagenlogischen Verkniipfungen
Algebra.
-i,
und V
A
entsprechen
also die boo-
leschen Operationen c (Komplement), n (Durchschnitt) und U (Vereinigung).
Auch zu den modalen Operatoren K, existieren entsprechende Operationen in
der Algebra. Um dies einzusehen muss gezeigt werden, dass die Wirkung von K,
auf eine Aquivalenzklasse von Formeln nicht von der Wahl des Reprasentanten
abhangt.
Proposition 1.2. Aus 4*
i> folgt K,(f>
K,tp.
~
Kripkewelt
(M,s) l= Kx<j>. Dann gilt fiir alle
P„ dass (M,t) \= 
und ip auch (M, t) 1= i>. Somit gilt also (M, s) N Ktip.
Beweis. Sei
Welten t
Die
eine
(s,t)
M mit
von
mit
G
Operatoren Kt definieren
der Vorschrift
Durchschnitt,
/et([0])
nicht
*(an»)
Die Formel
{Kip
(M,s)
~
V
Ki~<p)
Abbildungen «, : Am
Abbildungen kommutieren
Vereinigung und Komplement:
[Kt<j>].
jedoch
V
demnach
mit
-ip) beispielsweise
ist in alien
«,(Am)
von
=
Am und
{ K,(a) |
seme
a
£
Am
i
},
e
Kripkewelten erfiillt, hingegen
i Trotz•
{1,... ,m}
.
Algebren.
ist der Bildbereich der
mit den mduzterten
Elemente sind die
mit dem
Kripkestruktur
in keiner der beiden Welten der
PROPOSITION 1.3. Fiir alle
Am gemass
zwar
^^IjJ ^ ^
aber
dem sind die Bildbereiche der k, wiederum boolesche
Kt,
—>
Diese
*(a)n,,(*)
=
Ki(p
=
Fixpunkte
von
Operationen
eme
Abbildung
Subalgebra
«:,.
K,<j> (siehe Proposition 1.1)
K,K,<j>
gilt «,(k,([0]))
«,([</>]). Alle Bildpunkte sind also
[KtK,<j>}
[Kt<j>]
Fixpunkte von k,. Umgekehrt ist jeder Fixpunkt a
k,(o) e K,(Am) Bildpunkt
Zu zeigen bleibt, dass diese Punkte eine Subalgebra von Am
von sich selber.
Beweis. Fiir alle Formeln <p e Cm ist
und somit
=
~
=
=
=
bilden.
Dazu
n
muss
gezeigt werden, dass die Fixpunktmenge abgeschlossen ist unter U,
Proposition 1.1 folgt sofort, dass
Fixpunkten mit U, n und vertauschbar ist:
und c, sowie die Punkte 0 und 1 enthalt. Aus
Kz auf seinen
«,([</>])
U
K,([V])
c
=
«,([0])
U
k,(k,(M))
=
[K,(<t,
V
=
[K,<t>
K^)]
=
V
K.Krf]
«,($
U
=
«,([$))
=
kM
U
M)
DIE ALGEBRA DER WISSENSLOGIK
*c(M)
«,(M)
n
k,([0]c)
=
=
19
[K,4> a K.i>\
k,(k,([<A])c)
=
=
[Kt(<j>
[A,--*,*]
a
V)]
«,([*]
=
[-ff.0]
=
=
n
[V])
«,(M)C
Vereinigung, Durchschnitt und Komplement von Fixpunkten sind daher wiederum Fixpunkte von «,. Ausserdem folgt mit der Wissensregel aus h 0 V ->(f>
sofort h K,(0 V ->4>) und somit
m(l)
Dies
=
«,([* V -0])
=
dass 1 und damit auch 0
zeigt,
Die Funktionen
k,
[ATt(0 V -0)]
=
=
[0 V -.0]
=
1
Fixpunkte sind.
lc
D
projizieren also Am auf ihre Fixpunktalgebren. Als Beispiel
findet sich in Abbildung III.4 die Algebra Ai mit einer Aussagenvariablen.
K-ip v(p
a
-\Kp)
(
Kp
v
(
-,pvKp
pvK-,p
)
K-ip
-.K-ip
-ip
p
(
)
Die boolesche Algebra
Aussagenvariablen und einem Wisser.
mente sind die Fixpunkte von k\.
Abbildung III.4.
zweier
)
( -,Kp A —i/sT—ip ) Xp v (-,p a -iX-ip)
einer
Satz 1.4. Der Durchschnitt
-,Kp
verschiedener
der
Wissenslogik
mit
Die umrahmten Ele-
Fixpunktalgebren enthalt
nur
die Punkte 0 und 1.
Beweis. Der Satz wird fiir zwei
Aus 4>
~
Kifi
~
beliebige
Individuen 1 und 2 bewiesen:
Ki§ folgt, dass
(j> -»K.KiK, ...K%] i1
0 und
[<p] ^
1
ist, dann sind sowohl
als auch -<<t> erfullbar und somit gemass Satz 3.1 auf Seite 13 auch
A
i
fiir
n >
oder
[<f>]
q(<j>)
=
1
+
L\L2Li. ..L,
q{ip).
gelten
Deshalb
muss.
K^KiKi ...K,<
c
folgt
aus
(j>
~
Ki<j>
~
K2(f>,
dass entweder
[<j>]
=
0
ALGEBRAISCHE WISSENSLOGIK
III
20
Atome der modalen
2.
Logik
Algebren werden Atome genannt Dies smd
Elemente, welche in jedem beliebigen anderen Element
entweder ganz enthalten oder zu lhm disjunkt smd In der Algebra aller Teilmengen emer gegebenen Menge beispielsweise smd dies die einpunktigen Teilmengen
Auf die Logik ubertragen bezeichnet der Begnff Atom eine konsistente Formel sol¬
dier Art, dass jede beliebige Formel entweder aus lhr folgt oder lhr widerspricht
Das bedeutet, dass die Gultigkeit ernes einzelnen Atoms den Wahrheitswert aller
Formeln festlegt
Die AussaDie Existenz solcher Atome ist mcht von vornherein gesichert
genlogik ist mit endhch vielen Aussagenvanablen atomar, mit abzahlbar vielen
hmgegen atomlos In den folgenden Abschmtten soil gezeigt werden, dass die
Wissenslogik auch mit endhch vielen Aussagenvanablen nur fur ein emzelnes Individuum atomar ist, fur zwei und mehr Individuen hmgegen atomlos
Die klemsten Elemente boolescher
0 verschiedenen
von
jene
Definition 2 1
a
e
A ist
em
a
n
b
gilt
=
0
Atom,
Sei A
von
=
{A, U, n,c 0,1)
,
A, falls
a
^
boolesche
erne
0 und fur alle b
Algebra Em Element
A entweder
a
n b
=
oder
a
In der Potenzmengenalgebra einer Menge X beispielsweise sind die Atome empunktige Teilmengen von X In der Algebra der Aussagenlogik mit endhch vielen
Variablen sind es Formeln, welche bei genau emer Belegung der Vanablen wahr
werden, also z B Konjunktionen von nichtnegierten und negierten Variablen, so
dass jede genau emmal vorkommt Diese Atome erzeugen die ganze Algebra In
der Algebra der Aussagenlogik mit abzahlbar vielen Vanablen hmgegen gibt es
Fur die beiden Extremfalle werden die Begnffe atomar und
gar kerne Atome
atomlos verwendet
Definition 2 2
ment ft
^
0
em
Die boolesche
Atom
a
b
<
Jede endliche boolesche
em
kleinstes Element
a >
gibt
Algebra A
Sie ist
ist
atomlos,
atomar, falls
falls
sie
somit
22"
2
jedem
Algebra ist atomar, da es unter jedem Element
gibt Dieses Element a 0
Algebra der Wissenslogik mit emem Individuum
Aussagenvanablen ist endhch In lhr gibt es 2" 22"-1 Atome
Elemente, wobei n > 0 die Anzahl der Aussagenvanablen ist
und
und
aussagenlogischen Atome konnen wie oben beschneben als Konjunktionen
Aussagenvanablen in negierter oder unnegierter Form dargestellt werden
smd beispielsweise folgende Formeln Reprasentanten von Atomen
Die
aller
So
zu
0
Satz 2 1. Die boolesche
endhch vielen
es
kerne Atome enthalt
A
p,
A
p2
A
A
p„_!
^p0 A
pi
A
p2
A
A
pn_i
A -.pi A
p2
A
A
pn_!
ft
Pa
-ipo A --pi A ^p2 A
A -ip„_i
oder kurzer
A
Pk A
A
"'Pfc
fur 'Cn,
ATOME DER MODALEN LOGIK
wobei 7C die
Formeln
Menge n\I
(A,)t2n,
21
bezeichnet.
Insgesamt gibt es 2" nicht-aquivalente solche
reprasentieren.
welche die 2" Atome
In der Wissenslogik muss nun ein Atom nicht nur die Wahrheitswerte der Aussagenvariablen festlegen, sondern auch das Wissen des Individuums. Dazu wird
auf analoge Weise formuliert, welche Modelle der Aussagenlogik der Wisser fur
moglich halt:
fur / C 2",
B,= /\ L(Ak) A A ->L(Ak)
kel
wobei hier 7C
=
\
2"
kSI"
Zusammen mit einem
7 ist.
muss
Im Beweis des Satzes
also gezeigt werden, dass die Aquivalenzklassen der Formeln
WtJ
Atome sind und die
notig,
Atom be-
aussagenlogischen
stimmt ein Bj den Wahrheitswert samtlicher Formeln.
=
A,
A
Bj
fur i e 7 C 2"
Algebra der Wissenslogik erzeugen.
jedes Individuum die aktuelle
da gemass Axiom 3
Bedingung i 6 7 ist
moglich halten
Die
Welt fur
muss.
Lemma 2.2. Seien 7i C 72
V
Indexmengen.
C 2n zwei
Bj
~
(
A L(Ak)
A ~-L{Ak)
A
\kh
hCICh
gilt:
Dann
*S/|
Beweis. Mit Induktion iiber die Anzahl Elemente in 7i \ 72 kann die Bewie folgt gezeigt werden: jedes Element j e I\ \ 72 teilt die Men-
hauptung
gen 7 zwischen
Ii und 72 in zwei Klassen ein, namlich jene, die j enthalten
und jene, die j nicht enthalten. Es
7i U {j} c 7 C 72 oder h C 7
If
=
diese Bj ist somit
aquivalent
zu
72
\ {;}
=
jede
72".
Menge I
Disjunktion
solche
entweder
Die
iiber alle
der Formel
V
V
ftv
itcich
Gemass
also fur
gilt
C
B'-
hcici;
Induktionsvoraussetzung lasst
sich aber die
Behauptung
dieser Formel anwenden. Sie ist daher wiederum aquivalent
A £(40
\ki+
ausser
L(A3)
V
J
kei%
Die beiden Teile stimmen
kann alles
^L(Ak)\
A
A
A
A
*e/|
-L(Ak))
Da die rechte Seite beweisbar ist, wurde
V
hCICh
genau der
^L(Ak)\
.
j
jetzt bis auf das Vorzeichen von L(Aj) iiberein. Deshalb
-iL(A}) ausgeklammert werden:
A L(Ak)
was
A
*<=/-"
bzw.
/be/!
gezeigt,
a £(^)a
\keh
auf beide Teile
zu
Br
~
A
/
(L(A3) v-L(A,)).
insgesamt
A L(^)
\kh
A
A ^HAk)
<=/£
Behauptung des Lemmas entspricht.
22
III. ALGEBRAISCHE WISSENSLOGIK
KOROLLAR 2.3. Fur alle
i(A)~ V
i
£ 2n
gilt:
V ^V
->L(A,)~ V
rarf
J2"j/C2"
Beweis. Die drei
Aussagen
konnen mit Hilfe
werden. Als Beispiel wird die Darstellbarkeit
V
V
w,,j
U
V
~
j2»j£JC2"
~
V
a
\
J2»
V
W,,.,.
;S2"jeJC2"
{.j}C/C2»
Bj)
von
von
Lemma 2.2
nachgerechnet
L(A,) gezeigt:
~
/
\Z(A,/\ L(A.) 1(71,))
A
~
L(A.)
A
J2"
V ^
-^(A).
~
;62"
D
Damit sind
die
W,j
nun
genfigend Mittel beisammen,
Reprasentanten
um zu
zeigen, dass die Formeln
der Atome sind.
Beweis von Satz 2.1. Seien W,
j
und
W3
j
zwei verschiedene solche
Formeln,
(t,I)*U,J). Esgilt:
d.h.
WtjAW3,j
Fur
i
gilt
I
^
^
j ist
A,
A
A,
~
A,
A
A,
A
A 1(A)
L(Ak)
und
/\
-nL(A*).
unerfiillbar und damit auch
J. Sei also z.B.
7\
J nicht-leer und k e
als auch in 7° U Jc enthalten und die Formel
dass die
A
-iL(Aic) gleichzeitig.
Aquivalenzklassen
W,j A W^j. Ist jedoch i
j, so
I\J. Dann ist fc sowohl in IUJ
W,j A Whj enthalt die Klauseln
=
Sie ist demnach unerfiillbar. Damit ist
zweier verschiedener Formeln
W,j
und
gezeigt,
Whj disjunkt
sind.
Hughes und Cresswell [HC78] ist jede Formel aus £i zu einer Formel
modaler, konjunktiver Normalform aquivalent, d.h. zu einer Konjunktion von
Disjunktionen, wobei jedes Disjunkt entweder von der Form 0, L<j> oder K<p ist (0
eine aussagenlogische Formel). Es geniigt also zu zeigen, dass jede Formel dieser
Form zu einer aussagenlogischen Kombination der W,j aquivalent ist.
Nun ist aber eine aussagenlogische Formel 0 zu einer Disjunktion von Atomen
A, aquivalent und damit nach Korollar 2.3 als Disjunktion V(i,/)eiW«,/ darstellbar. Daraus folgt auch, dass L0
VVnez L (Wtj) ebenfalls so darstellbar ist,
denn L (W,,/) ist gemass Proposition 1.2 auf Seite 9 aquivalent zu L(A) A Bj.
Es bleibt noch K(p
-iL-xj). Hier ist aber -xj> als aussagenlogische Formel zu
einer Disjunktion V(,,j)gj W,j aquivalent, und damit ist K(p
V(,,j)ej' L (W,,/)
darstellbar. Die Formeln WhI erzeugen also die ganze Algebra.
Nach
in
~
~
~
3.
Die
Satz 3.1. Die boolesche
viduen ist atomlos.
Algebra
->
mehrerer Individuen
Algebra jeder Wissenslogik
mit mindestens
zwei
Indi¬
DIE ALGEBRA MEHRERER INDIVIDUEN
23
gilt insbesondere auch fur Systeme mit endlich vielen Aussagenvalediglich eine einzige Variable benotigt.
Fur den Beweis des Satzes wird zu jeder erfiillbaren Formel 0 eine Formel ip
konstruiert, so dass sowohl 0 A tp als auch 0 A ->V erfuUbar sind. Dabei kommt
die folgende Abkiirzung zur Anwendung:
Dieser Satz
riablen. Im Beweis wird
L
Sie hat die
Eigenschaft,
dass die
LiL2.. .Lm.
=
einer Formel der Form
Giiltigkeit
LL^JjP
L>
=
n
anhand der Abstande zwischen den Welten einer
Kripkestruktur
entschieden
wer¬
den kann ohne genauere Kenntnisse der Relationen P,.
Proposition 3.2. Set 0
w
(M, s)
=
eine
((M,t)
<j> erfiillt
erne
Knpkewelt.
<t>),
\=
behebige Formel,
Falls
dann
M
es in
0J,
in
M alle Welten t mit
dann
n
> 0
eine
Welt t mit
naturhche Zahl und
d(s, t)
<
n
gibt, welche
gilt:
(M, s)
Falls
eine
d(s, t)
l=
Ln0.
<n-m die Formel
0 nicht erfullen
l(M,i) ¥
gilt:
(M,s)PLn<j>.
Diese
Proposition folgt direkt
Beweis
rentiefe
von
und
n
aus
Proposition
3.3 auf Seite 14.
Satz 3.1. Sei 0 eine
w
=
(M, s)
eine
beliebige, erfiillbare Formel der QuantoKripkewelt, welche 0 erfiillt. Nun werden zwei
Modelle N+ und N~ konstruiert, welche beide auf der Struktur Af° aufbauen.
Diese entsteht
pien
von s
aus
S°
=
Da N" in einer
gilt
nach wie
wenn
iV°
w,
indem ausserhalb des Kreises
Bn(wm, (s,0)J
nur
die Ko-
belassen und alle anderen Welten entfernt werden:
geniigend
vor
nun
schaulichung
{ (t, fc) e S xIN | d((t, fc), (s, 0))
grossen
(iV°,(s,0)J
1=
0.
Umgebung
<n
von
(s, 0)
oder
t
=
s)
mit w1* iibereinstimmt,
Dies andert sicb natiirlich auch dann
ausserhalb des Kreises noch weiter modifiziert wird.
der Struktur N° findet sich in
Abbildung
III.5.
B>N,(i>0))>
\(*,n+I)
(J,0)
Abbildung III.5.
Die
Kripkestruktur N°,
Satzes 3.1 konstruiert wird
(hier
ist
n
=
5).
nicht,
Eine Veran-
welche im Beweis des
III. ALGEBRAISCHE WISSENSLOGIK
24
Fiir N+ wird
fiir k
> n so
nun die Belegung der Aussagenvariablen ir° in den
modifiziert, dass p0 in all diesen Welten wahr wird:
7r+((s, fc))
Von
jedem
=
{po}
fflr alle A; >
[N+, (s, 0) J
Punkt innerhalb des Kreises Bn
Welten
(s, k)
n.
kann in hochstens 2n + 1
Da dort iiberall p<j wahr ist,
Welt innerhalb wie auch ausserhalb des Kreises.
Schritten ein Punkt ausserhalb erreicht werden.
gilt
die Formel
Insbesondere
L2n+1p0
jeder
in
(s, 0)
in
gelten
die Formeln
KiK2K1...K2L2n+1p0
=
(K^L^+'po,
fiir /
IN.
21
In N~
soil p0 iiberall ausserhalb des Kreises falsch werden:
hingegen
n~((s, k))
=
0
fiir alle k >
n.
Innerhalb des Kreises kann po durchaus noch in einigen Welten mit wahr belegt
werden. Sobald aber eine Welt genugend weit ausserhalb des Kreises liegt, ist
dort die Formel
L2n+1po
nicht mehr erfiillt:
(AT", (s, k)) P L2n+1po
Insbesondere
gilt
in
m)/2 nicht mehr, da
L2n+1po nicht gilt.
Fiir die Formeln
die
(s, 0)
es
Vi
fiir k
die Formel
einen
(2n
(K1K2)'L2n+1p0
entsprechenden Weg
(KlK2)l'L2n+1pa
=
> n +
mit I >
von
(n
+
1)
+
•
m.
(n + (2ra + 1)
(s, 21) gibt, wo
fiir I >
(s, 0)
(2n
•
nach
+
1) m)/2
•
sind also
Giiltigkeiten
(iV+,(s,0))
t<j>Aipi
erfiillt, womit gezeigt ist,
Algebra atomlos.
dass
[<t>]
und
(AT,(s,0))l=(/>A-^|.
kein Atom ist. Da
[<j>] ^
0
beliebig
war, ist die
D
Kapitel IV
Prafixe der Wissenslogik
jeder Logik stellt sich die Frage, ob die Erfullbarkeit einei Formel entschieden
wenn ja, wie komplex dieses Problem ist. Fiir die Wissenslogik
ist es zwar entscheidbar, aber von recht hoher Komplexitat.
In
werden kann und
Die Entscheidbarkeit erhalt man,
satzes genauer untersucht.
endliche
den Beweis des Vollstandigkeitsjede beliebige, erfiillbare Formel eine
wenn man
Dort wird fiir
Kripkestruktur konstruiert, welche diese erfiillt. Fiir die Grosse der
angegeben werden, die exponentiell in der
Struktur kann eine obere Schranke
der Formel ist.
Lange
Schranke,
so
endlicher Zeit
Gilt eine Formel in keiner Struktur unterhalb dieser
ist sie nicht eriullbar.
nachpriifen lassen,
Da sich diese endlich vielen Strukturen in
ist das Problem also entscheidbar.
Erfiillbarkeitsproblem der klassischen Aussagenlogik ist nach Cook [Coo71]
NP-vollstandiges Problem. Da die Aussagenlogik in der Wissenslogik eingebettet ist, muss das Erfiillbarkeitsproblem der Wissenslogik mindestens NP-hart
sein. Ladner [Lad77] zeigte, dass es fur S5 mit einem einzelnen Individuum in
NP, insgesamt also NP-vollstandig ist. Fiir den Fall von zwei und mehr Individuen bewiesen Halpern und Moses [HM85] sogar, dass das Erfiillungsproblem
Das
ein
PSPACE-vollstandig
Da
ist.
keinen effizienten
Algorithmus fiir den gesamten Formalismus gibt, ist es
Teilprobleme auf ihre Komplexitat hin zu untersuchen. So soil
in diesem Kapitel gezeigt werden, dass es fiir Ketten von modalen Operatoren,
sogenannten Prafixen, eine anschauliche, einfach berechenbare Normalform gibt.
es
sinnvoll,
einzelne
Aquivalente
1.
Prafixe
Die Axiome 3, 4 und 5 sind Implikationen, deren Allgemeingiiltigkeit nicht
von der Formel <f> abhangt, sondern rein eine Folge der modalen Operatoren vor
<j>
ist.
Durch Kombination dieser Axiome konnen Ketten U, V
Operatoren gebildet werden,
U und V
sodass fur alle Formeln <t>
gilt:
von
modalen
U<j>
V<j>. Wie
beschaffen sein miissen, damit sie diese Eigenschaft haben, soil in den
h
—»
nachsten Abschnitten untersucht werden.
Definition 1.1. Die
Menge der Prafixe Vm ist die kleinste Menge, welche das
jedem U Vm auch KiU und £;£/ fiir alle Wisser
leere Prafix A enthalt und mit
25
PRAFIXE DER WISSENSLOGIK
IV
26
{1,
l
,m}
Definition 1 2
den
folgenden
zweistelhge
Die
Prafixen
(bzw -^+)
Relation -^r*
besteht zwischen
Vm
aus
UKtV-^UV
UV-^UL.V
I
l^bzW
ULtO,V -^ UO,V
UO,V -^
wobei C, V
\
UK,0,v)
K oder L und is{l,
beliebige Prafixe aus Vm sind, O
Vereimgung dieser beiden Relationen, -p-> U -p+*, wird mit -p-»
Die
Wie
=
sehen wird, setzt der reflexiv-transitive Abschluss
man
,
m}
ist
bezeichnet
-£-+ der
Relation
-?+ jene Prafixe £/, V in Beziehung, fur welche U<f> —> V0 fur alle Formeln
0 beweisbar ist Die Vollstandigkeit von -J-+ wird erst lm nachsten Abschnitt
gezeigt werden (Korollar
2 5 auf Seite
31),
die Korrektheit
hmgegen
kann einfach
emgesehen werden
PROPOSITION 1 1
U
Beweis
(K,(j>
—>
-£-
V
dann
Mit Hilfe der
K,tp)
beliebige Prafixe U,V gilt
Fur
konnen die
fur
—>
Vcp
fur
alle Formeln </>
K.ip
-
Axiom 3
L,<j>
(K,<f>
—
<j>)
->
—>
L.ip
sofort ersichtlich, dass UKtV(j>
Prafixe U, V und Formeln <f> beweisbar ist
beliebige
Axiom 4
aus
U(j>
Wissensregel und Axiom 2 in der Form K,(<j> —»ip)
folgenden Regeln hergeleitet werden
K%4>
Dank ihnen ist
h
UV<f>
Entsprechend folgt aus
—»
(L,Kt(j> —» K,<j>) die Herleitbarkeit von
Behauptung fur -^r> und dual dazu auch
fur -p+* bewiesen
Fur den reflexiv transitiven Abschluss -£-» folgt sie aus der
Reflexivitat und Transitivitat der Imphkation
D
in
ULtOtV4>
der Form
—*
UOtV(j>
LxLt
—>
und 5
Damit ist die
Gemass
V<f> automatisch auch die Kontraposition
Aussagenlogik ist mit U beweisbar Diese Duahtat spiegelt sich bei den Prafixen wieder,
mdem es zu jedem Prafix U ein duales Prafix U gibt, so dass -iU<j> zu U->4>
aquivalent ist Mit der Relation U -J-> V soil daher auch die duale Beziehung
V -$r> U gelten
->V<j>
—>
—
DEFINITION 1 3
Prafix
Das duale
(1) A,Msl/ A,
(2) K,V, falls U LXV
(3) LtV, falls U K,V
U
U ist definiert als
von
=
=
und
=
Proposition 1 2
(1) -V4> U-i</>
(2) U -f* V gdw
Fur
beliebige Prafixe U,
V und Formeln <j>
gilt
~
Beweis
Die erste
des Prafixes bewiesen
_
V
_
-$+
U
Aussage
wird mit
Die zweite
U -^ V
welche
aus
folgt
einer
aus
emfachen Induktion nach der
der Duahtat
gdw
Definition 1 2 sofort ersichtlich ist
V -*?
U,
von
-^r* und -p+»
Lange
AQUIVALENTE PRAFIXE
Zwei Prafixe U
Ui
-?-> Un
V werden durch eine Kette U
-%-*
V
=
27
Produktionen in
von
benachbarte Prafixe
jeweils
um
Satz 1.3. Die Relation
abnimmt,
ist die
-J-»
wobei sich zwei
hochstens ein Zeichen unterscheiden.
solchen Kette konnen die Produktionen
des Prafixes zuerst monoton
U0 -j-> Ui -p-+ U2 -?*
=
Beziehung gebracht,
anschliessend monoton
um
In einer
angeordnet werden, dass
so
zu
die
der Relationen
Zusammensetzung
Lange
wachsen.
-£?
und
'
p+
'
v
-p-1
=
°
•
v+
Zu zwei
beliebigen Prafixen U, V mit U -Jr> V gibt es
-£? W -$? V. Um dies zu beweisen, wird zuerst
dieser Eigenschaft gezeigt. Daraus folgt dann die Behauptung
Rosserschen Argument.
mit
U
Fur den reflexiven Abschluss
nung
-fz*
(bzw. -fi?)
von
-pr*
(bzw. -^*)
also ein Prafix W
die lokale Version
mit einem Church-
wird wie tiblich die Bezeich-
verwendet.
Lemma 1.4. Die Relation -?-? o -^ ist in -f? o -jp enthalten, d.h. zu drei
W mit U -^* W -?-? V existiert em Prafix W mit
beliebigen Prafixen U, V,
U -f? W -f? V
Beweis. Die Relationen -&? und -pr* konnen als
aufgefasst
werden:
-p-f
ein, -pr+ entfernt einen solchen.
Die
Reihenfolge
kann ohne weiteres vertauscht werden
Hier setzt
man
W
U
=
U
=
=
U
Operationen
gemass Definition einen
fiigt
ausser
zweier
in den
AL,B -^ AL.L.B -^ AL,B
AK,B -rf AKXKXB -^ AKtB
=
V
wohingegen
in alien
auf Prafixen
modalen
Operator
derartiger Operationen
beiden folgenden Fallen:
neuen
iibrigen
=
V
=
V
Fallen die
Vertauschung
auf ein W mit U -^ W -^ V fiihrt.
Beweis von Satz 1.3. Sei U -%-* V, d.h. es gibt eine Kette U
U0 -p->
V mit n > 0. Mit Induktion nach der Lange n wird
U\ —£+ U2 -p*
-p-* Un
V und ein
gezeigt, dass es eine Kette U
-g-> U'l
(7q -f-> U" H=-> U2 -£-»
=
=
•
•
=
k £
{0,1,... n) gibt
,
U?+1
fflr alle 0 <
i<
[/," -f? U?+1
fur alle k <
i < n.
If" -f?
(*'
Mit W
=
U'{ folgt
•
=
•
Eigenschaft
mit der
daraus die
Behauptung
Die Idee des Induktionsbeweises wird in
k,
U -f? W -fc V.
Abbildung IV.6 anhand
eines
Beispiels
graphisch dargestellt.
Fur
n
{0,1}
ist nichts
duktionsvoraussetzung
{1,2,... ,n}
zu
beweisen.
eine Kette
Im Falle
U\ -f-> U2 -$*
n
>
-£+
2
gibt
U'n
es
nach In-
V und ein
=
Eigenschaft (*). Gilt nun UQ -£+ Ui oder U\ -f? U2,
-£- U'n mit demselben k diese
U2 -f-»
Eigenschaft. Ansonsten gilt U0 -^ U\ -^> U2 und gemass Lemma 1.4 gibt es ein
Prafix U" mit (70 ~f? U" -jj* U2. Die Induktionsvoraussetzung liefert nochmals
eine Kette [/{' -f* U% -p-»
V und ein I e {1,2,... n} mit (*).
-p-» U%
Zusammen mit Uq
Uq und demselben / bildet sie eine Kette der geforderten
k e
so
mit der
hat auch die Kette Uq -$* Ui -fr*
•
•
•
•
•
•
=
,
=
Art.
28
IV. PRAFIXE DER WISSENSLOGIK
ABBILDUNG IV.6.
Der Beweis
von
Satz 1.3
dem Lemma 1.4
aus
Beispiel. Hier wird -^> durch \, -^ durch / und
durch
dargestellt. Gestrichelte Ketten erhalt man mit der
Induktionsvoraussetzung.
einem
an
—>
=
Entsprechend der Aquivalenz von Formeln kann fiir Prafixe die Relation
-£-> n <-J- eingefiihrt werden. Fiir beliebige Prafixe U, V gilt also:
UyV
Da
-J->
gdw.
reflexiv und transitiv
ist,
und
U-$r>V
erhalt
man
-*-*
V
mit y eine
^
=
U.
Aquivalenzrelation
auf
den Prafixen.
In der Aqmvalenzklasse
em behebiges Prafix.
emdeuhg beshmmtes, kiirzestes Prafix U.
Satz 1.5. Sei U
y
gtbt
es
em
BEWEIS. Seien W± und W2 zwei kiirzeste Prafixe in der
von
U modulo
Aquivalenzklasse
von
U:
W\ y U r$ W2. Es gilt also insbesondere W\ -£-> W2 und gemass Satz 1.3
existiert ein Prafix W mit Wi -^r+ W -£? W2. Dieses Prafix ist wegen U -£->
Wi -J-+ W und W -£-> W2 -J-* U wieder Equivalent zu U und kann daher nicht
kiirzer sein als W\ und W2. Es bleibt nur die Moglichkeit W\
W
D
W2.
=
DEFINITION 1.4. Die
welches
zu
U
Equivalent
2.
Normalform
=
U eines Prafixes U ist das kiirzeste Prafix,
ist: U y U.
Erfiillbarkeit
Wie bereits in
von
Prafixformelmengen
Proposition
gezeigt wurde, besteht die Relation -£+ nur
V
jenen Prafixen U und V, fiir welche U§
beweisbar ist. In diesem Abschnitt wird man sehen, dass sie zwischen alien
1.1
zwischen
—>
solchen
Prafixpaaren besteht. Zu U ~t+ V sind namlich die Formeln Up A -Vp
U-ip A -iV-ip fiir jede Aussagenvariable p erfiillbar. Es gibt also Formeln 0,
fiir die U<j>
V<f> nicht beweisbar sein kann.
und
—»
Definition 2.1. Die
und den
Menge der Literate besteht aus den Aussagenvariablen
negierten Aussagenvariablen, jene der Prafixformeln, VTm, aus Formeln
der Form Ux, wobei U ein Prafix und
x
Fiir zwei Prafixe U, V und ein Literal
Formelmenge {Ux, -^Vx)
schwache Form
von
ein Literal ist.
x
soil
erfiillbar ist, sofern U
Konsistenz und wird im
nun
-£->
also
gezeigt werden,
V. Diese
Folgenden
fiir
dass die
Bedingung ist eine
beliebige Mengen von
ERFULLBARKEIT VON PRAFIXFORMELMENGEN
29
Prafixformeln
verallgemeinert. Satz 2.4 besagt sodann, dass sie mit dem normalen
Konsistenzbegriff tibereinstimmt. Da ->Vx zu einer Prafixformel aquivalent ist,
folgt somit aus dieser schwachen Konsistenz der Formelmenge {Ux, ->Vx} ihre
Erfiillbarkeit und damit als Korollar die Vollstandigkeit von -£->.
Zu diesem Zweck wird zunachst eine Relation zwischen Prafixformeln
welche
-£+ zwischen
den Prafixen
definiert,
entspricht:
Definition 2.2. Die Relation -$? zwischen Prafixformeln ist die kleinste Re¬
so dass fur alle Prafixe U, V und alle Literale x gilt:
lation,
Ux -j^» Vx
U
gdw.
-£-»
V.
Der Einfachheit halber bezeichne ->Ux in diesem Abschnitt die aquivalente
Prafixformel U-<x.
Definition 2.3. Eine
Menge $ von Prafixformeln aus VTm ist V-konsistent,
Teilmengen mit hochstens zwei Elementen {0, tp} c $ 'P-konsistent
). Sie ist V-inkonsistent, wenn
alle
wenn
sind:
sie nicht P-konsistent ist.
Proposition 2.1. Sei $
eine
V-konsistente Formelmenge. Dann gilt
fur
alle
Prafixformeln tp:
$ U
{-•tp}
ist V-mkonsistent
4> -j^» tp
fur
em
<f>
6 $
dann
<p ~vr* tp
dann
$ U
Beweis. Jede einzelne Prafixformel ist erfullbar
punktigen Kripkestruktur
Definition der
(M, s)
Daher
gelten
M
=
fur alle Pormeln x:
1=
gdw.
(M, s)
1= x
moglich,
ir
am
so zu
wahlen,
wenn
tp
$
einfachsten in einer einHier
(M, s)
gdw.
Prafixformeln Ux in M genau dann,
Es ist aber immer
{tp}
em
ist V-konsistent.
({s}, n, {(s, s)},... ,{(s, s)}V
Giiltigkeit
K,x
—
/w"
1=
ihr Literal
gilt
gemass
L,\.
x
dass ein einzelnes Literal
gultig
x
ist.
und mit
ihm also auch Ux in M wahr wird.
Da
-vip erfullbar ist, kann tp und damit auch -up
tp nicht beweisbar sein.
gilt -<tp -4? tp, womit gezeigt ist, dass die Formelmenge
{~} 'P-konsistent ist. Entsprechend ist auch die Menge {tp} P-konsistent.
Nach dieser Vorbereitung konnen nun die beiden Behauptungen bewiesen werden: In $ U {-<ip} gibt es eine P-inkonsistente Teilmenge {<p, x}, d.h. tp} je P-konsistent sind, kann diese Teilmenge in keinem dieser
beiden Teile enthalten sein und es muss daher <j> -^> tp fur ein ,
gen {<j>, tp} fur alle 
Nach Proposition 1.1
werden:
Sei (p -jy»
tp und (j> -&> -up. Dann sind nach Proposition 1.1 die
—> tp und (p —» -up beweisbar.
Daraus folgt aber I—*j>,
Erfiillbarkeit einzelner Prafixformeln widerspricht.
Formeln -$£> -njj, dass (j>
-up und somit
In jeder 'P-mkonsistenten Menge von Prafixformeln
gibt es daher erne inkonsistente, endliche Teilmenge, womit die Formelmenge
selbst ebenfalls mkonsistent ist
Um zu zeigen, dass umgekehrt 'P-konsistente
Formelmengen konsistent sind, wird erne spezielle Knpkestruktur eingefuhrt, deren Welten maximal V-konsistente Mengen von Prafixformeln smd
Dies sind
P-konsistente Formelmengen $ mit der Eigenschaft, dass sie bei Hmzunahme
auch
-i($
tp)
A
Prafixformel P-mkonsistent werden
einer neuen
Definition 2 4
fur
wenn
jede
Erne
so
Beweis
htat
von
Menge
^
Prafixformel 0
PROPOSITION 2 2
meln ist,
—*
beweisbar ist
Falls $
$
Prafixformeln ist maximal V-konsistent,
von
$ die
Sei -<(j) nicht
$ enthalten
in
Nach
{<f>}
'P-inkonsistent ist
maximal V konsistente
erne
gilt fur alle Prafixformeln <fi
$ P-inkonsistent
<3> U
Menge
Menge
-><j>
entweder <j> e $ oder
Dann ist $ U
Proposition
{-xj>}
von
Prafixfor¬
6 $
wegen der Maxima-
2 1 ist dafur die
Menge
$ U
{</>}
P-konsistent, weshalb wiederum wegen der Maximahtat $ die Formel 4> schon
enthalten
muss
Definition 2 5
Knpkestruktur Mw
Die
=
(5,7r,P1?
,Pm)
sei
gegeben
durch
S
tt($)
(*, tt)
wobei
tf.,4
=
{
=
{p |
$ C VT
p e
P,
e
{ Kt<)> | 0
|
$ ist maximal 'P-konsistent
}
$}
* n
-<=)•
tf.P.F
=
* n
KJ>T,
}
£ A
In der Knpkestruktur Mv:F
Lemma 2 3
meln
=
gilt fur
alle $65 und alle
Prafixfor¬
4>
(Mpj:, $)
BEWEIS
bewiesen
Die
Aussage wird
gilt
N
mit
<f>
gdw
(j>
e $
Induktion nach der
Lange
des Prafixes
von
4>
Fur Literale
(M-pr, $)
(Mjy, $)
1= p
gdw
1= -ip
gdw
p e
7r($)
(M^r, $)
£ p
Fur Formeln der Form if,^ werden die beiden
gdw
p e $
gdw
gdw
-ip £ $
p
^
$
Richtungen getrennt bewiesen
beliebiger j-Nachbar von $ (d h ($, \P) e P,)
Nach der Definition von P, ist Kt<j> e $ n K.PJF
* n KtVT und somit enthalt *
die Formel Kt<t> Mit Kt<j> -$£> 4> folgt nach Proposition 2 1 aus der Maximahtat
Gemass Induktionsvoraussetzung
von ty, dass auch 4> in ^ enthalten sein muss
gilt also (M-pp, \t) 1= <£ Da "t ein beliebiger j-Nachbar von $ war, ist damit
(Mjy, $) N K,0 bewiesen
Fur die andere Richtung muss {M-pf, $) ^ K.0 gezeigt
Sei jetzt K,
£ $ und *
em
=
X
=
$ n
{K,VF
U
L,7>F)
ERFULLBARKEIT VON PRAFIXFORMELMENGEN
Als
Teilmenge
X U
{->0}
von
31
K,<j> £ $ folgt sogar, dass auch
Kontraposition wie folgt bewiesen
Aus
$ ist X 'P-konsistent.
P-konsistent ist. Dies kann in der
werden:
{-<4>} P-inkonsistent, so gibt es nach Proposition 2.1 eine
X C $ mit 0,tp -^* <j>, wobei O
K oder L.
0,ip
Dann gilt aber auch K,Otip -jj* K,<j>. Mit O,^ -^* KtO,i> und
der Transitivitat von -^+ folgt daraus Otip -&* K, wegen der Maximalitat in $ enthalten
Ist X U
Formel
=
sein.
Da jede P-konsistente
Menge
umfasst. In dieser
fur
Menge
erweitert werden
beliebige
Menge
von
Prafixformeln
kann, gibt
es
Prafixformeln
ip gilt:
(Mvr, *)
Zuletzt
1=
-»j>,
X U
$,
in
{->$}
denn
K,ip in $ enthalten, so auch in X und damit
enthalten, dann ist dafiir nach Proposition 2.2
ist
->K%ip
also ein i-Nachbar
S, welche
K,ip wie
$ 6
\P sind dieselben Formeln der Form
\P; ist jedoch K,ip nicht in $
bzw. L,->ip ein Element von $ und somit
in
einer maximal P-konsistenten
zu
Menge
eine
von
Die
X c 9.
Menge
* ist
$, welcher ->4> enthalt. Nach Induktionsvoraussetzung gilt
(Mrf, $) J* A-,^ zur Folge hat.
von
was
muss nun
die
Aussage
Da $ maximal P-konsistent ist,
noch fur Formeln der Form
gehort L,<t>
genau dann
(Proposition 2.2).
aber genau dann der Fall, wenn (Mkf, $)
genau dann, wenn {M-p?, $) 1= Lt<p.
nicht in <£> enthalten ist
Satz 2.4. Eine Menge $
V-konsistent ist.
von
zu
Lt
Kt->cp
~
Nach dem oben Bewiesenen ist das
K,-xj>
die Formel
Prafixformeln
nicht
ist genau dann
erfullt,
konsistent,
also
wenn
sie
Beweis. Wie schon erwahnt bleibt nur zu zeigen, dass eine P-konsistente Formelmenge $ konsistent bzw. erfullbar ist. Da $ zu einer maximal P-konsistenten
Formelmenge $max erweitert werden kann, wird sie gemass Lemma 2.3 in der
Kripkewelt (M-pp, <3>max) erfullt.
Aus diesem Satz
folgt
letzten Abschnitt schon
Korollar 2.5. Fur
\-
Ucf>
Beweis. Sei U
menge
Vollstandigkeit
x
ein
Richtung
beliebiges
U
gdw.
KOROLLAR 2.6. Set $
2.4 ist eine
Proposition
-J-»
konsistente
folgt
Menge
zum
von
ip
gdw.
\-
(j>
—>
ip
fur
J't/i-t Vx.
der
Q
Prafixformeln,
Ausdruck kommt:
Prafixformeln.
fiir jede Prafixformel ip:
<t>\-
V.
1.1 bewiesen.
spezielle Eigenschaft
besonders pragnant
eine
die im
Literal. Dann ist die Prafixformel-
des Korollars wurde in
Folge aus Satz
folgendem Korollar
-f+,
gilt:
V
fur alle Formeln 
-£*
{Ux, -<Vx}
Die andere
—>
nun
angekiindigt
em
<f>
$.
Dann
gilt
32
IV. PRAFIXE DER WISSENSLOGIK
Beweis. Sei $ h ip. Dann ist <5>u{->V} inkonsistent und somit 'P-inkonsistent.
Nach Proposition 2.1 gilt 4> -?? 4> und somit h <j> —»ip fiir ein <j>
$.'
Die andere Richtung der Behauptung folgt sofort aus der Definition von <3> h V>
(Def.
10).
1.5 auf Seite
3.
Wissenslogik S5m
Die
Schlichte Prafixe
stellt sehr strenge
Anforderungen
an
die
Individuen,
indem diese genau wissen mussen, welche Fakten sie wissen und welche nicht. Die
Axiome 4 und 5 stellen dies sicher. Es macht daher keinen Sinn, Aussagen iiber
das Wissen der Individuen iiber ihr eigenes Wissen zu untersuchen. Natiirlich
kann diese Einsicht auch auf die Prafixe iibertragen werden. Nach Proposition 1.1
gilt
namlich fiir O
=
K oder L:
UK.O.V y UOtV y UL,0,V.
Zu jedem Prafix gibt
vielen Fallen ist
es
daher einen aquivalenten schhchten Begleiter,
ausreichend, Untersuchungen auf schlichte Prafixe
es
und in
zu
be-
schranken.
Definition 3.1. Ein Prafix ist
verschiedene Indizes haben. Die
<Sm bezeichnet.
wird mit
PROPOSITION 3.1. Zu
Us
Sm,
Fiir die Definition
Einschrankung
UO'&OtV
UK,V
sind,
i,j
so
e
em
aqmvalentes Prafix
U.
zweistellige
von
-£+
auf S
Relation -^z*
zu
suchen.
(bzw. -^*)
besteht zwischen
schlichten Prafixen:
UK,V -jz> UL,V
wobei
existiert
von
1.2 auf Seite
Relationen fiir die
folgenden
Vm
£
Begleiter
-^r* und -$? werden Prafixe gebraucht, welche nicht
26). Es drangt sich also auf, andere erzeu-
von
(Definition
DEFINITION 3.2. Die
den
jedem Prafix U
der sogenannte schlichte
schlicht sind
gende
schhcht, wenn je zwei benachbarte Operatoren
Menge der schlichten Prafixe fiir m Individuen
-j=>
UK,V -j^ UL,V
(
UO,V
UOtV -j?
bzw.
1
-5T* UV
UV s?
{1,... ,m} verschieden, 0,0'
dass die betroffenen
Satz 3.2. Fiir
e
beliebige schlichte Prafixe
\]
U und U
U -£?U
dann
U -&> U
U
gdw.
U-f*U.
hat: V
beliebige
Prafixe
gilt
U
Im Beweis werden die
i
und U, V
dann
-Ir+U
UL,V
schlicht sind.
-fU
~t>U,
Sprechweisen „V endet mit i" und „W beginnt mit i"
Operator in V bzw. der erste Operator
V'O, bzw. W
0,W fiir ein O 6 {K, L}.
verwendet. Dies bedeutet, dass der letzte
in W den Index
{K, L}
Zusammensetzungen
UO^LjO.V
=
=
SCHLICHTE PRAFIXE
33
Beweis. Sei zuerst U
~v?
Uh
U.
-f?
gibt
Dann
eine Kette U
es
Vm nicht schlicht
U, wobei die Uk
=
AufzaMung aller moglichen Falle wird gezeigt,
Uk t? I4+i die Beziehung t/jf -f? C/jf+1 folgt.
Falls Uk
=
(VO%W)s.
=
In diesem Fall
Ws,
so
(1)
dass
gibt
gilt
falls W mit
ein
es
=
=
=
V$W5
=
=
(VW)S,
falls V mit i endet:
falls
ein
es
j #
i
gibt,
(VK,Wf
(4)
aus
beginnt:
i
(VK,W)S
(3)
Durch eine
dass fiir alle 0 < fe < JV
Ansonsten hat
(VKtW)s
(2)
U0 -?? U\ T?
I4+1 ist, dann gilt fiir die schlichten Begleiman Uk
VK,W -^ VW
Uk+l.
Anfangsstiick Vj[ von Vs und ein Endstiick W§ von
VL.O.W ^r* VO.W
(VL&Wf
ter
=
sein miissen.
=
so
V%K,WS
-f?
V%OtWs
(VW)S,
=
dass V mit j endet und W mit j
VfO'^OjWl -s=» K/0^|
=
=
beginnt:
(VW)5,
in alien anderen Fallen:
{VK,W)S
Die zweite
ist dual
Behauptung
dem bereits Bewiesenen
V5/^5
=
gilt
zur
ersten:
daher U
-£+
VSWS
tt*
aus
U
=
-£?
(VW)S.
U
folgt
U
-£?
U. Mit
U und mit der Dualitat erha.lt
man
V-frU.
Aus den ersten beiden
tung. Es bleibt also
Dies lasst sich aber fiir
die
Aussagen folgt die eine Richtung der dritten Behaup¬
zeigen, dass mit U -f* U auch U -%* U gelten muss.
nur zu
jeden einzelnen
Schritt
von
-§-» einfach nachpriifen,
wie
folgenden Beispiele zeigen:
VKtW -j? VLtW
VLxK,OtW
-sr* VO,W
dann
VKtW -^ VW -^ VLXW
dann
VL,K30,W
-^ VL.O.W -^ VO.W
D
In den
kommt sehr schon
eine starkere
-f*
Ausdruck,
K,<t>
Regem
Aussage ist als £,</>. Grob betrachtet kann ein Prafix abgeschwacht werden, indem
darin einige K durch L ersetzt werden, mindestens soviele K wie L entfernt
werden oder mindestens soviele L wie K hinzugefiigt werden. Die Diffexenz der
von
dass
zum
Anzahl K und der Anzahl L in diesem Prafix wird also kleiner und ist daher ein
Mass fiir die Starke des Prafixes.
Definition 3.3. Die Funktion A
Proposition 3.3. Fiir
:
Vm
-»
Z ist definiert als
A(A)
=
0,
A{K.U)
=
A{U)
+
1,
A(L,U)
=
A(U)
-
1.
zwe%
U-£+U
schhchte
dann
Prdfixe
U und U
A(U)
>
gilt:
A(U).
PRAFIXE DER WISSENSLOGIK
IV
34
Beweis. Diese
Eigenschaft
wird
jeder der Regeln fur -jr+ und -5+* erfullt
von
n
Fur aquivalente Prafixe U und U
daher
A({7)
bleiben
A((7)
=
Diese Differenz
Die emzigen
smd aber
folgenden
also
in
von -jr* und
-^ LOtV und UO,V -&
Die
zweistellige
Relation
UK^O.V
j£? (bzw it?)
besteht zwischen
schhchten Prafixen
(bzw
UL.KfrV -fc LO.V
KOROLLAR 3 4. Zu
V
-§-» U als auch U -§-+ U und
jedem Schntt von -§-> erhalten
-^*, welche dieser Bedmgung genugen,
sowohl U
muss
Regeln
UL,K}OxV
Definition 3 4
den
gilt
UO.V -£?
UK.Lfi.V)
aqmvalenten schhchten Prafixen U, U
zwei
exzstiert
em
eSmmitU -±>V it?U
Die Normalform der Prafixe
4.
wurde, ist die Normalform U ernes Prafixes U das kurzeste
aquivalent ist U ~^z* U -g? U Da die schhchten Begleiter
hochstens gleichlang smd, muss die Normalform schlicht sein und
Wie bereits gezeigt
Prafix, welches
aquivalent und
es gilt
U
zu
Us -£>
wobei Us der schlichte
chung
von
nun
U und U die
Man kann sich daher
V ist
in
der Untersu-
also schlicht
an
Nach Korollar 3 4
gilt
wegen der
Aquivalenz
Beziehung
-jjf?
U
U
it?
Damit kann sofort das einfache
welches die Existenz
Etwas
von
-^ Us
der Normalform auf schlichte Prafixe beschranken
Sei U
von
Begleiter
U
von
U
oder kurz
U
^
U
Beispiel L1K2L1O2 ^ L1O2
schhchten Prafixen zeigt, die nicht
konstruiert werden,
in
Normalform smd
smd die Prafixe der Formen
allgememere Beispiele
(*)
sowie
LvlLv2
LvnKvti+lKvn
KylLylL^
LvnQ)vn+\,
beliebige Vektoren aus {1,
m}+1 smd Ihre Normalformen
if„«0,»+i bzw L„iL„2
L,.0,.ti In diesem Abschmtt wird
gezeigt, dass jedes schlichte Prafix, welches nicht in Normalform 1st, em Teilstuck
wobei
smd
u
und
v
,
KuiKui
der Form
(*)
enthalt
DEFINITION 4 1
Enthalt
reduzierbar, andernfalls
1st
em
es
Prafix
em
Teilstuck der Form
(*),
so
heisst
es
reduziert
Ein Prafix U
Q1Q2
Q„ erfullt die Indexbedingung, falls
Q1Q2
Q, und U}
Q1Q2
Anfangsstucke Ut
Qj mit A(Ut)
,n— 1})
A(U3) gilt, dass Q,+i und Q3+x denselben Index haben (i,j G {0,
DEFINITION 4 2
fur je
zwei
=
=
=
=
DIE NORMALFORM DER PRAFIXE
35
Wie man sofort sieht, erfiillen Prafixe der Form (*) die Indexbedingung. So
K\ und U$
gilt beispielsweise fiir die Anfangsstiicke Ui
K1K2K3L4L3 des
Prafixes U
KlK2KzULzL2KxK2KiO<i: die Gleichung A(C/X)
A(U2), dafur
hat der zweite Operator (K2) denselben Index wie der sechste (L2).
Umgekehrt ist jedoch nicht jedes Prafix, das die Indexbedingung erfullt, von
der Form (*), denn sie ist z.B. auch in jedem Teilstuck eines solchen Prafixes
erfullt. Dieser lokale Charakter der Indexbedingung macht deutlich, dass sie erst
mit einer globalen Eigenschaft zusammen die Existenz eines Teilstiicks der Form
(*) und damit die Reduzierbarkeit garantieren kann.
=
=
=
=
PROPOSITION 4.1. Jene
Prafixe,
welche die
Indexbedingung erfiillen und
em
Teilstiick der Form
K,iK,2... tf.nijiZy
...
LrKkiKk,... Kk»Oi
oder
(**)
LtlLt2
.
.
.
LtnKjlKj2
.
.
.
KjnLklLk2
•
•
LknOi
•
enthalten, smd reduzierbar.
Beweis. Sei U ein solches Prafix.
so
auch das Teilstuck
V,
denn
aus
Erfullt U
U'VU" die Indexbedingung,
=
A(V,)
A(Vj) fiir die Anfangsstiicke V, und
A([/'V^) und damit miissen die den beiden
=
V3 von V folgt sofort A(U'Vt)
Anfangsstiicken folgenden Operatoren denselben Index haben. Ist V
Form (**), so folgt aus dieser Bedingung, dass V von der Form (*) und
=
von
der
U damit
reduzierbar ist.
Lemma 4.2. Zu
xen
U
streng
=
zwei
Prdfixen U,
V0Wq -^f ViWx -j&?
monoton wachst bis
Vjv
=
U mit U
j£f
-j^f VNWN
U
(und
damit
U
=
W^
gibt
es erne
U,
so
=
K)
Kette
dass die
und
fiir
von
Ldnge
alle 0 <
Prdfider V,
1 <
N
gilt:
V,W, -a? V,Kk,L,W,
=
Vl+1W,+1.
beliebige -^-Kette der Lange 2 lasst
bringen. Der einzige, kritische Fall ist V0
Beweis. Eine
wiinschte Form
sich immer in die ge=
\\:
VoW0 7^ VoK^Wo & VoK^LhK^^Wo.
Die zweite
Beziehung gilt
nur, falls
k0
WoWWii^o
Nach Church-Rosser
ten
folgt
nun aus
k\
=
-is*
diesem
gilt
aber auch
V0KkoLhKkoLl0W0.
Spezialfall
die
Behauptung
fiir Ket-
beliebiger Lange.
Prafixe U',
V mit:
uv
Beweis. Dieses Korollar
& U'V £? U'V
folgt direkt
-j£g W, in
Existenz einer Kette fiir UV
das
ist. Dann
Anfangsstiick U' unverandert
bleibt.
aus
=
w.
Lemma 4.2, denn
es
garantiert
die
der zuerst das Endstiick V und danach
D
36
IV. PRAFIXE DER WISSENSLOGIK
Satz 4.4. Jedes reduzierte
Prafix
Beweis. Mit Induktion nach der
ist
in
Normalform.
Lange
wird fur alle Pranxe U
sie entweder reduzierbar oder in Normalform sind.
Prafixe der
daher
werden^
Lange
U
wenn
Im Induktionsschritt miissen
=
U reduzierbar bzw. in Normalform ist,
U'LrOk und
dass
U'L,Ok bzw. U
U'K,Ok untersucht
zueinander, denn mit U ^ U gilt auch
=
Die beiden Falle sind dual
U ^ U und
Sei
1 sind schon in Normalform.
noch Prafixe der Form U
nur
gezeigt,
Das leere Prafix A wie auch
U die Normalform
gilt
so
dies auch fur U.
^ U. Aus U -fi? U
folgt, dass auch U mit LtOk endet und daher von der Form U'LgOk ist, wobei
U' nicht mit einem L endet und Lg das Prafix LuiLu2... Lu» bezeichnet. Nach
Korollar 4.3 gibt es dann zwei Prafixe U', U" mit
nun
=
0
Falls U"
eine Kette
kann Ok
ist
U'Lg
U'LgOk *f* U'LgOk,
ist
=
U'Lg ^ U'Lg
werden:
aber
gilt
also U
U.
=
wobei in beide
Richtungen
das Endstiick LgOk unverandert lasst. Insbesondere
(womit
entweder reduzierbar
form. Dann
U,
U'LgOk -fc U'LaOk -fc U'U"
=
LgOk gilt, so
existiert, welche
weggelassen
von
U'Lg
=
U'Lg
und nach
Induktionsvoraussetzung
ist)
auch U reduzierbar
und somit auch U
=
oder in Normal-
U, d.h.
U ist ebenfalls
in Normalform.
also U" ^ LgOk. Gemass Lemma 4.2 gibt es eine Kette von Prafixen
U" mit den dort beschriebenen
V0W0 -^f ViWi -g[£
-%£? VfiWff
Eigenschaften, wobei N > 0 gilt. Da U zu U Equivalent ist, sind wegen
Sei
LgOk
nun
=
=
U
-it? U'LgOk -£? U'V,W, -& U'U"
U'VlWl
auch alle Prafixe
U
=
Equivalent und haben deshalb dieselbe Normalform
also U'V,W, *=* U.
Mit Induktion nach i wird nun gezeigt, dass W, ein Endstiick von LgOk ist,
dass VtW, ^ LgOk gilt und dass nach jedem Anfangsstiick V von VtW, der
folgende Operator den Index u^v">+1 hat.
U. Fur alle
i
Fur i
nun
e
zu
U
{0,... N} gilt
,
0 sind die drei
=
Aussagen trivialerweise
V,W, W V,KkxL,Wt
wobei W,
tion
erfiillt.
also fur ein i > 0 erfiillt. Gemass Lemma 4.2
von
=
Lu,... LunOk fur ein j G
-fig ist
k,
=
das Endstiick
L^L^
Endstiick
LgOk
von
u3. Ausserdem
..
=
Vt+lWl+u
{1,... n}.
,
muss.
Nach der Defini¬
gilt l/'V1+1W,+1 -j%? U,
.LunOk unverandert
sein
Seien sie
gilt:
Das bedeutet j > 1 und /,
Die Indizes k, und /, sind also durch die
worin
bleibt und somit ein
=
u]~l.
Induktionsvoraussetzung
festgelegt.
Da
von
nun
noch
L^Wt
Aus V;L„j
V,+i langer
muss als V„ ist W,+1
LgOk.
L„nOj, -£± LgOk folgt die Beziehung:
und damit
...
Vt+1Wt+1
=
sein
ein Endstiick
von
VlKv,Lv>-lLv>...Lu~Oh
TJ"^ Lu\
...
Luj~iivuJZvUj-iLu.j
...
Lun Ojt
DIE NORMALFORM DER PRAFIXE
Schliesslich
gilt
37
1 und
Induktionsvoraussetzung A(V%)
j
2 sowie A^K^L^-i)- Da die entsprechenden Folgeoperatoren K^, L„j-i bzw. L^ die richtigen Indizes
haben, gilt die dritte Behauptung auch fiir V,+iW,+i.
damit
Die drei
und
nach
A(V,Kyj)
=
j
=
Aussagen gelten insbesondere auch fiir i
Eigenschaften folgt,
=
der letzten dieser drei
aus
dingung
-
-
Daher ist U" ^ LsOk
N.
dass U" zudem die Indexbe¬
erfiillt.
Da U"
^ LsOk ist, zerfallt U"
U
Aus U" 7^? LgOk
folgt,
in mehrere Blocke
gleichartiger Operatoren:
L^K^Lns... K$M_1LvM0it.
=
dass
Kn,
hochstens
gleichlang
wie
L^
Analog folgt
ist.
LaOk ik? U", dass K^M_X hochstens gleichlang ist wie LaM. Es gibt daher ein
i mit 1 < i < M, so dass v, kiirzer oder gleichlang ist wie seine beiden Nachbarn
tf,_i und vl+i. Dies bedeutet, dass in U" ein Teilstiick der Form (**) enthalten
ist, und mit Proposition 4.1 folgt die Reduzierbarkeit von U". Damit ist aber
aus
auch U reduzierbar.
Aus diesem Satz
folgt
als
Spezialfall
H. L&uchlis
[Lau86]
sehr anschauliche
Normalform fiir Prafixe zweier Individuen:
Korollar 4.5. Em schhchtes
malform,
mum im
wenn
die
Folgt
der
Prafix zweier Individuen ist genau dann in Nor¬
Langen seiner Operatorenblocke kem lokales Mini¬
Innern besitzt.
Beweis. Die
Operatoren
eines schlichten Prafixes zweier Individuen sind al-
ternierend indiziert, womit die
erfiillt ist. Gibt
es
torenblock mit zwei mindestens
Prafix die
Indexbedingung
automatisch fiir das ganze Prafix
also ein solches lokales Minimum im Innern, d.h. einen
Voraussetzungen
gleichlangen Nachbarblocken,
von
Proposition
4.1.
so
Demzufolge
Opera-
erfiillt damit das
ist
es
reduzierbar
und somit nicht in Normalform.
Gibt
es
umgekehrt
kein lokales Minimum im
nach Satz 4.4 in Normalform.
Innern,
so
ist
es
reduziert und
Leer
-
Vide
-
Empty
Kapitel V
Komplexitat
In
Kapitel IV,
von
rranxiormelkonjunktionen
Abschnitt 2 wurde eine
spezielle Eigenschaft der Prafixformeln beErfullbarkeitsproblem der Konjunktionen von Prafix¬
formeln polynomial auf das Entscheidbarkeitsproblem der Prafiximplikation -%*
zuriickgefiihrt werden. In diesem Kapitel wird nun ein polynomialer Entscheidungsalgorithmus fiir Prafiximplikationen angegeben. Zusammen mit der oben
erwahnten Eigenschaft kann damit geschlossen werden, dass auch die Erfiillbarkeit von Prafixformelkonjunktionen polynomial entscheidbar ist.
Bevor das Problem der Prafiximplikation angegangen wird, soil die Grundidee
anhand eines einfacheren Problems erlautert werden, welches von E. Specker
wiesen. Dank ihr kann das
formuliert wurde.
1.
Fiir die
die
Beschreibung
zusammen
voneinander
Das
Speckersche Textproblem
dieses Problems seien
Alfred
und Bertrand zwei
Dies geschieht so, dass sie
Teile formulieren und nur von Zeit zu Zeit ihre
einen Text entwerfen.
neue
Autoren,
unabhangig
Unterlagen
synchronisieren.
Dabei verwenden sie verschiedene Farben, um fiir jedes Wort
konnen, ob es von Alfred oder Bertrand stammt. Die Situation
zu Beginn jedes Treffens ist also wie folgt:
vom Resultat des letzten Treffens
liegen zwei Kopien vor, wobei jede Kopie vom jeweiligen Autor erweitert worden
ist. Nun stellt sich die Frage, wie schwierig die Rekonstruktion der gemeinsamen
Quelle dieser beiden Kopien ist.
Dieses Speckersche Textproblem soil nun im Folgenden untersucht werden.
Dazu wird es erst noch einmal vereinfacht, indem die Worte von Alfred durch
das Symbol 0 ersetzt werden und jene von Bertrand durch I. Es liegen also zwei
O-I-Folgen vor, fiir die eine gemeinsame Quelle konstruiert werden soil (falls eine
entscheiden
'
solche
zu
existiert).
Definition 1.1. Die
den
zweistellige
folgenden O-I-Folgen:
Relation *^-
(bzw.
AOB *^r AB
wobei
A,
B
beliebige O-I-Folgen
sind.
39
(bzw. -j^*)
AB -^
AlB)
besteht zwischen
40
KOMPLEXITAT VON PRAFIXFORMELKONJUNKTIONEN
V
Zwei
Definition 1 2
falls
es eine
O-I-Folge
C
O-I-Folgen A und B besitzen
gibt, fur welche gilt
A
Andernfalls heissen A und B
Sei
C
1-/
o+
i+
erne
gememsame
B
quellenfremd, qi(A, B)
nicht-leere gememsame Quelle der O-I-Folgen A und
Texte A und B entstehen also aus C durch Hmzufugen weiterer O bzw I
nun
erne
Q der Folge C geht bei diesem Prozess
Die drei Folgen werden also
ernes von B uber
Endstuck zerlegt
Glied
A
Em
Beispiel
=
A°QA\
findet sich
in
Quelle,
B
=
in
B°QB1
Abbildung
Q
in
und
je
C
em
=
Folge A und m
Anfangs- und ein
CaQCl
V 7
A"
Q
A
OOI
I
0
B
.1
0
I.
I
Jedes
Glied der
em
von
B, die
0
A1
I
I
.
.
0
0
.1
Q
Abbildung V 7
Em erster Schritt zur Losung des Speckerschen
Textproblems qf(OOIIOIOO, IIOOIIIO) Symbole von A und B,
welche demselben Symbol der gemeinsamen Quelle entsprmgen,
smd durch
erne
Lime verbunden
Ubergang von C zu A bzw B werden schnttweise neue Symbole emgefugt In jedem Schritt geschieht dies entweder im Anfangsstuck vor Q oder im
Endstuck hmter Q
Da sie in behebiger Reihenfolge emgefugt werden durfen,
konnen diese Anfangs- und Endstucke getrennt betrachtet werden, und man
Beim
erhalt
Die Paare
A0*£rC° -£ B°
und (A1^1) smd
(A°,B°)
und
^-i-C1^
B1
demnach nicht quellenfremd
Umgekehrt folgt aus der Existenz von gemeinsamen Quellen fur (A°,B°) und
dass die Zusammensetzungen (A°QA1,B°QB1)
{A,B) nicht quellen¬
fremd sind, denn sie besitzen die gememsame Quelle C°QC1 Damit ist die nun
folgende Aquivalenz bewiesen
(A1^1),
=
PROPOSITION 1 1
Zwei O-I-Folgen A und B haben genau dann eine gemem¬
Quelle, wenn entweder A «^r- A -^* B gilt, oder wenn es em Q
{0,1}
und Zerlegungen A
AaQAl und B
BaQBl gibt, so dass (A0, B°) und (A1, B1)
nicht quellenfremd smd
same
=
=
Mit dieser
Proposition kann das Problem qf (A, B) auf kurzere Probleme der
qf (A', B') zuruckgefuhrt werden, wobei A' und B' Anfangs- und Endstucke
Im resultierenden rekursiven Algorithmus mussen von A' und
von A bzw B smd
B' wiederum Anfangs- und Endstucke untersucht werden, welches nun Teilstucke
Es genugt also nicht, nur Anfangs- und
im Innern von A und B sem konnen
In emer Folge der Lange n gibt es
Endstucke von A und B zu untersuchen
Art
dennoch
nur
(n
+
2)(n
+
l)/2
=
0(n2)
solche
Teilstucke,
smd die Langen
von
A
DIE PRAFIXIMPLIKATION
41
und B hochstens n, so gibt es daher hochstens 0(n4) Paare von Teilstiicken in A
bzw. B. Der Algorithmus terminiert demzufolge in polynomialer Zeit.
In der
Formulierung in Abbildung V.8 wird die Menge I aller nicht quellenfremA\Ai... Ai bzw. B
(A1, B') von Teilstiicken von A
B1B2 ...Bj
berechnet. Dabei werden A' und B' als Paare von Indizes dargestellt:
den Paare
=
—
((n,n + l),(ri,ri + l'f)
stellt das Paar
[An+iAn+2... A„+i, Bn'+iBni+2... Bn'+c)
Menge 1 in
Berechnung der
Die
Sei 1
diesem
fur
dem Pascalschen Dreieck bei der
Binomialkoeffizienten.
:=
Fur Ze
Algorithmus entspricht
dar.
0.
{0,1,... ,/}:
Z'
{0,1,... J}:
fur ne {0,1,... ,/ -Z}:
fur ri e {0,1,.. ,J-l'}
,
sei A'
=
B'
=
An+1An+2
An+i und
Bnt+iBn'+2
B„'+i';
falls entweder A' <^r A -£+ B' gilt
•
oder ein q mit
q1
ein
so
n <
mit
dass
Falls
((0,/),(0,J))
6
dann ist die Antwort
sonst ist sie
Abbildung V.8.
:==
g'
<
n' + Z' existiert,
B^,
((». ?-!),«?'-l))el
Aq
==
((«•
JU{(( re,
n
dann sei J
g <n + l und
<
n
+
Z),(g',n'
n
+
+
Z), (n',n
Z'))
+ ''))}•
e 2"
und
ist,
J,
„ja",
„nein".
Entscheidungsalgorithmus
2.
Der
Die
fiir das
Speckersche Textproblem.
Prafiximplikation
fiir das
Entscheidungsalgorithmus
Speckersche Textproblem soil nun auf
Prafiximplikation -%* iibertragen werden. Gemass Satz 1.3 auf Seite 27 gibt
es zu zwei Prafixen U und V mit U -%+ V ein Prafix W, so dass U -£* W
•£? V
gilt. Dieses Prafix W iibernimmt hier die RoUe der gemeinsamen Quelle von U
die
und V.
An die Stelle der Relationen
<^r
und
-fc*
treten somit die etwas kom-
plizierteren Relationen -f? bzw. -£?. Dadurch ergeben
des Algorithmus die folgenden zwei Probleme:
(1)
Kann fiir alle Prafixe
U
(2)
-jfc*
Kann
U
-jh*
U, V in polynomialer Zeit
-$? V7
das Entscheidungsproblem U -f-» V fiir
sich fiir die
Ubertragung
entschieden
werden,
ob
A
A oder A -*+ V ahnlich wie in
Teilprobleme zerlegt werden?
alle Prafixe U, V mit
Proposition
1.1 in zwei kleinere
KOMPLEXITAT VON PRAFIXFORMELKONJUNKTIONEN
V
42
Beantwortung der ersten Frage wird gezeigt, dass es zu jedem Prafix U
eindeutiges, kurzestes Prafix Umm mit U -0? Umm gibt Wegen der Dualitat
existiert dann auch zu jedem Prafix V em eindeutiges, kurzestes Prafix Vmm mit
Fur die
ein
PROPOSITION 2 1
Set U
Falls V
V
£U, so gibt
gilt U'U" -£+ V
Dann
Beweis
Un
V
=
em
behebiges Prafix und V
kurzestes Prafix U' mit
Fur U
em
U
kurzestes mit U
U'QU"
=
-£z*
-^r> U'U"
U0 -^ Ut -^r*
-$z> V existiert eine Kette U
-jrr*
Proposition wird fur solche Ketten mit Induktion nach der Lange
Im Falle N
U, ist nichts zu beweisen
0, also V
JV > 0 und U' das kurzeste Prafix mit U
U'QU" -pz* U'U" Es gilt
=
Die
bewiesen
Sei
em
es
nun
=
=
=
also entweder
U0
womit
U'QU"
=
-^ U'U"
Vi^?V,
=
U'U" -^r* V bewiesen ware, oder
U0
=
U'QU"
-^
U'QU'l
=
UX^V
U'QU"
Prafix, so dass erne Zerlegung U\
U'QU" -^r* U'U" Da ausserdem V das kurzeste Prafix ist mit
(fur jedes Prafix V mit Ui -^r* V ist auch U -f? V erfullt), gilt nach
In diesem Fall ist U' auch das kurzeste
=
existiert mit
Ui -$? V
Induktionsvoraussetzung U'U" -0z*
U'QU"
folgt
-tt+
daraus U'U"
U'QU'l
-fr>
Zusammen mit der
V
Sdw
U"-^U'I
Eigenschaft
U'U" -^
gdw
U'U'{
V
D
Ein kurzestes Prafix V, welches von U aus mit -£? erreicht werden kann, ist
demzufolge auch dann noch erreichbar, wenn in U der erste mogliche Operator
V,
U0 -p-> Ui -^z*
gestrichen wird Es existiert also erne Kette U
-^z* UN
Da diese Kette
wo in jedem Schritt der erste mogliche Operator entfernt wird
=
eindeutig
bestimmt ist, gibt
zudem mit der Funktion V
=
DEFINITION 2 1
ein
Prafix
genau
V-(U)
em
in
kurzestes Prafix V
polynomialer
Jedem Prafix U wird durch die
Dieses lasst sich
Zeit berechnen
folgende,
rekursive Vorschnft
V-(U) zugeordnet
7>_(A)
Dual dazu wird
mit U
=
V-(VK,)
=
V-(VL,)
=
jedem Prafix
KOROLLAR 2 2
(7mln
es
=
Fur
-fz> Umm
A
V-{V)
W
falls
V-(V)
sonst
V-(V)
V-(V)
falls
V-{V)L,
sonst
U auch
jedes Prafix
em
Prafix
U ist
WL„
=
=
V+(U)
V-(U)
das
=
WL„
V-(U) zugeordnet
emdeutige,
kurzeste
Prafix
43
DIE PRAFIXIMPLIKATION
Fur zwei Prafixe U und V
V-(U)
V in
A
=
=
gilt also U
Eigenschaft
entschieden werden,
V+(V).
polynomialer
Zeit
A
-f?
V genau
-f?
dann,
wenn
kann demnach fiir alle Prafixe
Diese
womit die erste
Frage
U,
beantwortet
ware.
Der
als Ersatz fiir die Proposition 1.1 gedacht ist und
wird, gibt Antwort auf die zweite Frage:
folgende Satz, welcher
auch ganz
analog
bewiesen
Satz 2.3. Fiir
U
-^r*
sowie
A
V
zwei Prafixe U und V gilt U -J-+ V genau dann, wenn entweder
[/"Qt/1
gilt, oder wenn es einen Operator Q und Zerlegungen U
VQV1 gibt, so dass U°Q -$+ V°Q und U1 -f* V1 gilt.
V
-£?
=
=
Beweis. Sowohl
aus
U
folgt
die Relation U
Sei dazu U
-£-»
U
-%-*
V.
-it*
A
V. Es bleibt
solchen
Richtung
Operator
V iiber. Die drei Prafixe werden also
aus
ein Endstiick
V
=
-£? V, so muss nichts
der Eigenschaft U -^r*
W entstammt dabei einem
von
aus
die andere
nur
Gilt U -£* A
Andernfalls existiert ein W ^ A mit
Operator Q
V als auch
-£?
U°QUl -$* V^QU1 -ir+ V°QVl
=
von
aus
zu
zeigen.
bewiesen werden.
-$? V. Jeder
geht in einen
je ein Anfangs- und
W
U bzw.
Q
in
W
=
zerlegt:
U
Da ausserdem
=
U°QU\
Q
V
nicht entfernt
=
V°QV1
wird, gilt
und
sowohl
W°QW1
U°Q —jr* V°Q
als auch U1
-Jr+
v1.
Im
a
Gegensatz
Proposition 1.1 kann hier
Teilproblemen weggelassen
zu
einfach in beiden
tion
U°Q -f-» V°Q
der trennende
durchaus eine wesentliche Rolle
Operator Q nicht
Er kann in der Rela¬
werden.
spielen,
wie das
Beispiel
L\L\ -£-> K\L\ zeigt. Demzufolge miissen die Prafixe dieses Teilproblems nicht
zwangsweise kiirzer sein als jene des ganzen Problems. Damit die Rekursion trotzdem terminiert, muss ein solcher Fall getrennt behandelt werden. Die folgende
Proposition garantiert,
dass auch dies in
Proposition 2.4. Fur
lation UQ
-^N Q -£? VQ
V+{VQ)e{Q,A}
zwei
polynomialer
Prafixe U,
genau
dann,
V und
wenn
Zeit
einen
sowohl
moglich
ist.
Operator Q gilt
V-{UQ)
{Q, A}
die Re¬
als auch
ist.
Beweis. Wegen der Dualitat wird nur gezeigt, dass UQ -£? Q genau dann
gilt, wenn V-{UQ) e {Q, A} ist. Dabei folgt aus UQ -£? Q einerseits V-(UQ)
K,.
Q, falls Q
L„ und andererseits V-(UQ)
A, falls Q
Es bleibt zu beweisen, dass auch aus V-(UQ)
A die Relation UQ -£? Q
K, und V-(U) e {L„ A} ein (i
folgt. Dieser Fall tritt nur fiir Q
{1,... m}
D
beliebig). Dann gilt aber UK, -jt? LtK, -^r* K, bzw. UK, -£? K,.
=
=
=
=
=
=
,
Somit kann
nun ein Entscheidungsalgorithmus fiir U -£* V formuliert werden,
QiQi-.-Qi und V
Q[Q'2.. .Q'j. Er entspricht jenem fiir das
Textproblem bis auf einige wenige Anpassungen. Seine Laufzeit ist ebenfalls
polynomial beschrankt. Eine Formulierung findet sich in Abbildung V.9.
wobei U
=
=
Satz 2.5. Die
Erfullbarkeit
mial entscheidbar.
emer
Konjunktion
von
Prafixformeln
ist
polyno¬
V
44
KOMPLEXITAT VON PRAFIXFORMELKONJUNKTIONEN
Sei I =0
Fur le
,/}
{0,1,
J}
{0,1,
fur n e {0,1,
,/ -1}
furn'g {0,1,
,J-l'}
fur I' e
,
sei
U'
=
Qn+iQn+2
V
=
Q'n, flVn'+2
falls entweder U'
oder
oder
Qn+i
-0?
A
und
Qn'+V<
~0? V
Q„ +i
Q'nl+ii und
U' jfc* Qn+l ~¥? v' gilt
=
eiB
fc mit
em
fc' mit n'
dass
so
Qk
k <
<
n
<
n
+ I und
k! < n! + /' existiert,
<%<,
it) (n\
=
((n
k'))
e
dann
((0,-0,(0,./))
Falls
sei
sie
Klauseln
Sei
von
tj>
und
„ja",
„nem"
Abbildung V 9
Beweis
=
-
+
el,
dann ist die Antwort
sonst ist
I
1,
({k,n l),(k',n' l'j) 6 J
(k,k')^(n + l,n' + l') ist,
IU
{((n,n + i),(n',n' + /' ))}
+
eine
Entscheidungsalgonthmus
Konjunktion
von
fur die
Prafiximplikation
Prafixformeln und $ die Menge aller
(j>
Die Formel
<j> ist genau dann erfullbar, wenn die Formelmenge $ konsistent ist,
also nach Satz 2 4 auf Seite 31 genau dann, wenn sich keine zwei Klauseln i/j und
X
aus
$
widersprechen
Wie soeben gezeigt
lynomialer
untersuchen
werden
wurde,
kann
erne
Zeit entschieden werden
gibt,
Implikation
Da
kann die ErfuUbarkeit
es
aber
von
<p
zwischen Prafixformeln
nur
in
('2')
solche
in
po¬
Imphkationen
zu
polynomialer Zeit entschieden
Ank
ang
Um den Kreis
gegeben,
schliessen wird hier noch ein Beweis fur die
zu
dass sich
an
mindestens ein Gast
jener Party,
beklagen
werden,
wobei das
Einleitung
Behauptung anwurde,
beschrieben
wird. Es soil also die Formel
KA
bewiesen
wie sie in der
V
K2S2
V
...
V
KmSm
Axiomensystem S5m
um
folgende
Formeln erweitert
wurde:
V Sm
(1) Si V S2 V
(2) S,
KjS, fiir alle i ± j
(3) K,S,
KjK.S, fiir alle i, j
...
->
-
Dieser Satz wurde erstmals
von E. Specker mit modelltheoretischen Methoden
folgenden wird ein formaler Beweis dafur angegeben.
Fiir alle i ^ j sind also sowohl die Formeln S, und K3St wie auch KtS, und
KJKlSl beweisbar aquivalent. Diese beiden Aquivalenzen fiihren zu folgendem
bewiesen. Im
Lemma,
woraus
mationen
die Behauptung sofort ersichtlich wird.
0, der Behauptung verwendet (i
4>,=
6
Beweis. Nach
und
A^S,
durch
kann fiir j-
ersetzt werden.
K,(
m
Dazu werden
+
^
~
</>t+i.
Kt<t>, also S}
Afs0, ist damit
i in
Die Formel
1.2 auf Seite 9 ist dies wiederum
V K,K3S3VK,StV V K's3
i<j<m
1<j<i
Ersetzungen riickgangig gemacht
werden konnen:
V K^VK&V V
^1<J<«
Damit ist die
Behauptung
durch
K,Sj
zu
V K.KjSjVS.V V #.£,
aquivalent. Gemass Proposition
worin die
Approxi-
1}):
i<j<m
{1,2,... ,m} gilt K%<j>t
obiger Bemerkung
KJi^Sj
,
V KtS,V V Sr
l<Ji
=
Si
V
S2
V
V
Sm
sensregel hergeleitet werden
V KmSm)
(i^iSi V K2S2 V
sen
Ki(j>i
~
man
die
Aquivalenz
4>m+1
Axiom ist, kann die lmke Seite mit der WisDamit ist aber auch die rechte Seite 0m+i s
em
und somit die
Behauptung
der
Emleitung
bewie-
Lebenslaui
Am 16. Februar 1962 wurde ich als Sohn
in Zurich
geboren. Ab dem
thurn) auf, wo ich auch von
an war
ich
an
6.
von
Lebensjahr
Louis und Marcelle Scherer-Pinaton
wuchs ich in Lostorf
(Kanton
Solo-
1969 bis 1974 die Primarschule besuchte. Von 1974
der Kantonsschule in
Olten,
wo
ich erst das
Progymnasium und
(Naturwissenschaftlich-Mathematisches Gymnasium)
Matura (Typus C) erwarb.
spater die Oberrealschule
besuchte und 1981 die
begann ich das Mathematikstudium an der Abteilung IX der
Zurich, wo ich im Herbst 1986 das Diplom in Mathematik mit einer Diplomarbeit bei Prof. Hans Lauchli iiber entscheidbare Fragmente der Arithmetik
erwarb. Danach war ich bis im September 1994 als Assistent am Mathematikdepartement der ETH Zurich tatig. Neben den ublichen Assistentenpflichten war
ich als Informatik-Koordinator der Assistentengruppe fiir Installation und Unterhalt unserer Computer, sowie fiir die Unterstutzung der Beniitzer verantwortlich.
Wahrend einigen Jahren habe ich die zeitliche Koordination der Mathematikvorlesungen an der ETH ubernommen und deshalb auch an den Departementskonferenzen teilgenommen. Dabei lernte ich einige organisatorische Probleme des
Hochschulbetriebs kennen. Im Sommersemester 1994 hatte ich die Gelegenheit,
die Vorlesung Algebra II iiber diskrete Mathematik an der Abteilung IIIC fiir
Im Oktober 1981
ETH
Informatik
minar
zu
halten. Wahrend meiner ganzen Assistentenzeit habe ich das Se¬
„Axiomatik und Logik" der Professoren Hans Lauchli und Ernst Specker
erst besucht und
spater betreut und dabei viele Anregungen fiir die
nun
vorlie-
gende Dissertation erhalten.
Im
Mai/September
1985 habe ich meine Frau Susanne
geb. Schultes geheiratet.
Wahrend meiner Assistentenzeit kamen in den Jahren 1986, '88, '90 und '92
unsere vier Kinder zur Welt.
47
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Dank
an der ETH Zurich, wo diese Arbeit entstanden ist, habe
Unterstiitzung, Aufmunterung und Preundschaft erfahren. Ich mochte
dieser Stelle alien Beteiligten dafiir danken
ohne sie ware die Arbeit nicht
Wahrend meiner Zeit
ich viel
an
—
vollendet worden.
dieser „Helfer" mochte ich besonders erwahnen. Zuallererst natflrlich
Referenten, Prof. Hans Lauchli, und meinen Korreferenten, Prof. Ernst
Einige
meinen
Specker. Sie haben sich nicht nur viel Zeit genommen, um mit mir zusammen
die vorliegenden Resultate zu entwickeln und kommentieren, sondern sie haben
mich auch in viele der schonsten Zweige der Logik eingefiihrt. Im Rahmen ihres
familiaren Montagsseminars
das ja schon von Paul Bernays gegriindet wurde
—
habe ich sowohl fachlich als auch personlich viel
—
Seminar
war
einer
jener
Orte der
ETH,
an
von
ihnen lernen konnen. Das
denen ich mich heimisch fuhlte.
war mein Biiro, das G34. Ich gehorte dort zu ei¬
Gruppe von Assistenten, die ein angenehmes und anregendes Umfeld fiir diese
Arbeit geschaffen haben. Zu den vielen Freunden, die dazu beigetragen haben,
gehoren vor allem Rolf Riedi, der mir mit seiner offenen und warmen Herzlichkeit
viel Mut gegeben hat, sowie Marcel Leupp, der mir unter anderem die Biirde der
Stundenplankoordination abgenommen hat, und naturlich Norbert „N6bi" Hungerbiihler, der mit seiner fachlichen Kompetenz, seinem Organisationstalent und
seinem unkonventionellen Humor meine Zeit an der ETH wesentlich mitpragte
und dies fast immer positiv!
Von all den Lehrern meiner Schulzeit gehort zweien ein spezieller Dank: Roland
Kamber, der mich auf die Schonheiten der Mathematik aufmerksam machte, und
Ruth Bienz, die mir nicht nur das Gitarrenspielen beibrachte, sondern auch mit
ihrer Preundschaft und ihrem unerschiitterlichen Glauben an das Gelingen dieser
Der andere dieser beiden Orte
ner
—
Arbeit manches Tief iiberwinden half.
Daneben mochte ich aber auch jene nicht vergessen, die konkret an der Entstehung dieses Biichleins mitwirkten. Hier sind vor allem meine Lektoren zu
erwahnen, welche die Miihe auf sich genommen haben, meine Druckfehler zu suchen: Regula Bucher, Thomas Lenggenhager, Rolf Riedi, Christian Schleiffer und
Ruedi Thaler.
All die Jahre hindurch wurden meine Miihen
von
meiner Familie
geduldig
mit-
getragen. Ich bin meinen Eltern und meinen Schwiegereltern dankbar fiir ihre
Unterstiitzung, die es mir ermoglichte, Familie und Doktorat zu kombinieren.
Vor allem aber danke ich meiner Frau Susanne, welche die Eigenheiten eines
49
50
DANK
Mathematikers ertragen muss und trotzdem wahrend meiner Zeit an der ETH
unsere vier Kinder zur Welt brachte. Sie hat es zusammen mit David, Kathrin,
Pranziska und Andreas immer verstanden, meinen Blick auf das Wesentliche
richten.
zu
A b bildungs verzeicnnis
11.1
Beispiel
11.2
Konstruktion der
11.3
Kripkestruktur
Kripkestruktur w
Konstruktion einer Kripkestruktur, welche
einer
11
13
zwei
vorgegebene
For-
meln 0 und ip erfiillt
111.4 Die boolesche
15
Algebra der Wissenslogik
mit einer
Aussagenvaria-
blen und einem Wisser
111.5 Konstruktion der
senslogik
N°
,
welche
zeigt, dass
die Wis¬
atomlos ist
IV.6
Darstellung
V.7
Losung
V.8
Entscheidungsalgorithmus
V.9
19
Kripkestruktur
23
eines Church-Rosserschen
Arguments
Speckerschen Textproblems
fur das Speckersche Textproblem
Entscheidungsalgorithmus fur die Prafiximplikation
des
51
28
40
41
44
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Empty
Literaturverzeicnnis
[Bar81]
Jon Barwise. Scenes and other situations.
The Journal
of Philosophy, 78(7) :369-
397, July 1981.
[Coo71]
Samuel A. Cook. The
Proceedings of the
[Hal86]
[HC78]
[Hin62]
[HM85]
[HM92]
complexity of
3rd Annual ACM
theorem proving procedures. In Conference
Symposium on Theory of Computing, pages
151-158,1971
Joseph Y. Halpern. Reasoning about knowledge, an overview. In Joseph Y. Halpern,
editor, Proceedings of the Conference on Theoretical Aspects of Reasoning about
Knowledge, pages 1-17. Morgan Kaufmann, March 1986.
G. E. Hughes and M. J. Cresswell. Einfuhrung m die Modallogik. Walter de Gruyter,
Berlin, 1978
J. Hintikka. Knowledge and Belief. Cornell University Press, 1962.
Joseph Y. Halpern and Yoram Moses. A guide to the modal logics of knowledge
and belief: Preliminary draft. In Joshi [Jos85], pages 480-490.
Joseph Y. Halpern and Yoram Moses. A guide to completeness and complexity for
modal logics of knowledge and belief. Artificial Intelligence, 54(3):319-379, April
1992
[Jos85]
[Lad77]
Joshi, editor Proceedings of the Ninth International Joint Conference on
Artificial Intelligence, August 1985.
Richard E Ladner The computational complexity of provability in systems of
modal propositional logic. SIAM Journal on Computing, 6(3):467-480, September
Aravind
1977.
[Lau86]
[MDH86]
Hans L&uchli. UnverBffentlichtes
Manuskript Uber Wissenslogik. 1986
Moses, Danny Dolev, and Joseph Y Halpern. Cheating husbands and other
stories: A case study of knowledge, action, and communication. Distributed Com¬
Yoram
puting, 1:167-176, 1986.
[Par84]
Rohit Parikh. Logics of
knowledge, games and dynamic knowledge. In Joseph MaShyamasundar Rudrapatna, editors, Foundations of software technology
and theoretical computer science: proceedings of the fourth conference, number 181
in Lecture Notes in Computer Science, pages 202-222. Springer-Verlag, December
thai and
1984.
[Par91]
Rohit Parikh. Monotonic and non-monotonic logics of knowledge. Fundamenta In-
[Sik69]
[Var85]
formaticae, 15(3,4):255-274, December 1991.
Roman Sikorski. Boolean Algebras. Springer-Verlag, third edition, 1969.
Moshe Y. Vardi. A model-theoretic analysis of monotonic knowledge.
[Jos85],
[vK77]
Adolph
pages 509-512.
Preiherr von Knigge
Nummer 273.
In Joshi
Ober den Umgang mit Menschen. Insel-Taschenbuch,
Insel-Verlag Frankfurt, Main, 1977. Folgt dem Text der 3. Auflage,
Hannover 1790.
53
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Empty
Index
A-10
!-(/>, 8
Abstand, 12
M, 11
w 1=0, 11
Algebra der Wissenslogik, 5,
allgemeingiiltig, 11
Allgemeinwissen, 4, 6
Anfangsstiicke, 34
oo, 12
atomar, 5, 20
(Am,U,n,c,0,l), 18
(Af,s), 10
(S,*,Pi,...,Pm), 10
Atome, 5, 20
atomlos, 5, 20
aufblasen, 13
Aussage
$H ip, 10
~,
17
¥,28
maximale, 4
[<*], 17
Aussagen, 2, 7
Aussagenlogik, 3, 7,
aussagenlogische
34
,34
8
Identitaten, 8
,6,26
Verkniipfungen,
-p?*,29
8
Axiome
der
5-1
S+
1
0£l
B„(M,s),
tu
®
Barwise, J.,
30
8
32
Carla, 1
Church-Rosser, 27,
35
knowledge, 4, 6
Cook, S.A., 25
Cresswell, M.J., iii, v, 22
common
12
An, 17
£m, 7
Mm, 11
Vm,25
VFm,2S
V-(U), V+(U),
2
beginnt mit i,
beweisbar, 8
AT, 13
Deadlock, 1
Dolev, D., 2
Dualitat, 26
endet mit i, 32
42
endlich
darstellbar, 4
Entscheidbarkeit, 6
erfiillbar, 11
Erfullbarkeit, 6, 25
Erfullbarkeitsproblem, 25,
euklidisch, 11
<Sm,32
A(i7),
Party, 2
Wissenslogik,
12
#,, 2, 7, 8,
i„8
L, Ln, 23
M-rf, 30
54, S4m, 8
55, S5m, 8
U, 26
d(s,t),
der
**9
*
33
k„ 18
Abschluss
reflexiv-transitiver,
reflexiver, 27
26
Fixpunktalgebra,
55
18
39
17-18
56
INDEX
Fotmeln,
7
P-konsistent, 29
maximal, 30
Pr&fixe, 3, 5
aquivalente, 5
duale, 26
Menge der, 25
schlichte, 32
Squivalente, 17
Frame, 13
gemeinsame Quelle, 40
Gerust, 13
Glaube, 3,
Gultigkeit,
8
11
Halpern, J., iii, v, 2, 7,11,
herleitbar, 10
Hintikka, J., 7
Hughes, G.E., iii, v, 22
idealisierende Annahmen,
Indexbedingung, 34
Prafixformeln, 28
Prftfiximplikation, 6
PSPACE-vollstSndig,
25
'
25
Quantorentiefe, 12
quellenfremd, 40
8
Ratsel, 1
reduzierbar,
reflexiv, 11
34
Ketten
von
Operatoren, 4,
Pr&fixen, 35
von
Produktionen, 27
von
von
Knigge,
25
schlichter
Begleiter, 5,
Schlussregeln, 8
Semantik, 7
1
Kommunikationsprotokoll,
Komplexitat, 25
Konsistenz, 8, 10
schwache, 29
Korrektheit, 8, 26
Kreisscheibe, 12
Kripkestruktur, 7,
Kripkewelt, 10
Sikorski, R., 18
Specker, E., 2, 6, 39, 45
Speckersches Textproblem,
1
Sprache der Wissenslogik, 2,
Teilstflcke, 34
Textproblem, 6,
10
transitiv,
Logik, 3, 5
modale, konjunktive Normalform,
Modell der Wissenslogik, 17
Modellkonstruktion, 12
Modus Ponens, 2-3, 8
mogliche Welten, 7, 10
Moglichkeitsrelation, 10
Moses, Y., iii, v, 2, 11, 25
28
3
7
Parikh, R., 12
Party, 1, 4, 6, 45
Pascalsches Dreieck, 41
TMnkonsistent,
29
39-41
11
Obermittlung,
4
Umgangssprache,
modale
Operator, 2
modaler,
siehe
blem
Ladner, R.E., iii, v, 25
Lauchli, H., 5, 37
Lauchlis Normalform, 37
Literale, 10, 28
Nachbarn, 12
Normalform, 5,
Notwendigkeit,
32
22
2
Vardi, M., 8
verkleben, 13
verteilte Systeme, 1
Vollstfindigkeit, 26, 31
Vollstandigkeitssatz, 11,
Weg, 12
Wissensbegriff,
3
Wissensformeln, 8
Wissenslogik S5m, 7-8
Wissensregel, 2, 3, 8
zeitliches Moment, 2
25
7
Textpro¬