Ferienkurs Experimentalphysik III

Ferienkurs Experimentalphysik III
Vorlesung Dienstag - Spiegel, Linsen und optische Geräte
Monika Beil, Michael Schreier
28. Juli 2009
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegrie
2
2 Spiegel
2
3 Linsen
3
3.1
Brechung an Sphärischen Oberächen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3.2
Dünne Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.2.1
5
3.3
Dicke Linsen
3.3.1
Vorzeichenkonvention
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Linsensyteme und Hauptebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4 Optische Instrumente
7
4.1
Vergröÿerung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.2
Bildhelligkeit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.3
Schärfentiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.4
Die Lupe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.5
Brillen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.6
Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.7
Teleskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.8
Auösungsvermögen optischer Geräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1
1 Grundbegrie
Bevor wir uns weiter mit dem Thema befassen ist es sinnvoll einige Begriichkeiten
einzuführen
•
Die optische Abbildung
Die optische Abbildung bezeichnet die Erzeugung eines Bildes durch Spiegel, Linsen
und andere optische Geräte.
Man spricht von einem
reellen Bild
wenn an dessen Ort tatsachlich Lichstrahlen
auftreen.
Als ein
virtuelles Bild bezeichnet man hingegen den gedachten (interpolierten) Ort
an dem das Objekt zu stehen scheint.
•
Brennweite
Als Brennweite
f
bezeichnet man diejenige Gröÿe eines abbildenden Systems die
angibt an welchem Ort parallel eintreende Strahlen fokussiert werden.
2 Spiegel
Für einen reektierten Strahl gilt bekanntermaÿen Ausfallswinkel=Einfallswinkel. Die
Behandlung ebener Spiegel hat sich mit dieser einen Gesetzmäÿigkeit eigentlich erledigt,
komplizierter wird es aber für gekrümmte Flächen. Hier hängt der absolute Reexionswinkel zusätzlich vom Ort der Reexion ab. Einen häugen Spezialfall stellen dabei die
sphärischen Spiegel dar.
2
Für parallel einfallendes Licht gilt wegen der Gleichschenkligkeit des Dreieck
MFS
R 1
2 cos α
OF = R − M F
1
=R 1−
2 cos α
p
h
cos α = 1 − sin2 α, sin α =
R
R
OF = f = R 1 − √
2 R2 − h2
MF =
es gilt
Für achsennahe Strahlen (h
R)
ist also
f=
R
2
Für den Fall eines auf der Achse liegenden, nahen Objekts gilt nun
tan γ =
h
h
h
, tan β = , sin δ = , γ + β = 2δ
g
b
R
tan α ≈ sin α ≈ α
2
1
1 1
+
≈
≈
g
b
R
f
Mit der Näherung für kleine Winkel
folgt
Wie sich zeigen wird gilt dieser Zusammenhang auch für Linsen, die wir im Anschluss
behandeln werden.
3 Linsen
3.1 Brechung an Sphärischen Oberächen
Wie wir schon beim sphärischen Spiegel gesehen haben haben gekrümmte Flächen die
Eigenschaft Licht zu fokussieren. Um diesen Eekt näher zu untersuchen betrachten wir
zunächst die Brechung von Licht an einer Sphärischen Grenzschicht.
3
Für parall einfallendes Licht entnehmen wir der Zeichnung den Zusammenhang
h =R sin α = f sin γ
sin α
sin α
γ=α−β
f =
R=
R
sin(α − β)
sin α cos β − cos α sin β
n1 sin α = n2 sin β, cos ≈ 1
n2
R
f≈
n2 − n1
Liegt das Objekt auf der optischen Achse und nah an der Grenzäche, so gilt
α = δ + , β = δ − γ
h
tan ≈ ≈
g
h
sin δ ≈ δ ≈
R
h
tan γ ≈ γ ≈
f
n1 sin α = n2 sin β → n1 α = n2 β → n1 (δ + ) = n2 (δ − γ)
n1 n2
n2 − n1
n2
⇒ +
=
=
g
b
R
f
3.2 Dünne Linsen
Die Behandlung von Linsen gestaltet sich nach dieser Vorarbeit relativ einfach, jedoch
müssen wir zwischen zwei Typen von Linsen unterscheiden. Für dünne Linsen gilt dass
deren Dicke
d
vernachlässigbar gegenüber deren Krümmungsradien
Nehmen wir die vorherigen Ergebnisse zu Hilfe so gilt
n1 n2
+
g
b1
g2
n2 n3
− +
b1
b
n1 n3
⇒
+
g
b
n2 − n1
R1
= −b1
n3 − n2
=
R2
n2 − n1 n3 − n2
=
+
R1
R2
=
4
R1 , R2
ist.
n1 = n3 = 1, n2 = n,
1
1
1
−
=
R1 R2
f
Meist bendet sich die Linse in Luft, so dass gilt
1 1
+ = (n − 1)
g
b
womit folgt
Für die Brennweite einer dünnen Linse gilt also
1
f=
n−1
R1 R2
R2 − R1
3.2.1 Vorzeichenkonvention
Bie allen Rechungen in der Optik ist jedoch zu beachten dass viele Gröÿen Richtungsabhängig sind. So gilt für den Radius einer Linse, dass dieser positiv für konvexe und
negativ für konkave (aus Sicht der Durchlaufrichtung) ist.
Für einen von links nach rechts durch ein System laufenden Strahl gilt überdies
Gröÿe
g
fg
b
fg
Gegenstandsweite
gegenstandsseitige Brennweite
Bildweite
bildseitige Brennweite
+/−
+
+
+
+
Ort des Objekts relativ zur Linse/Spiegel
links
links
rechts
rechts
Da Spiegel den Lichtstrahl reektieren gelten für sie umgekehrte Vorzeichen bei den Radien und alle Abstände (b und
g)
vor der Linse werden positiv gerechnet.
3.3 Dicke Linsen
Bei dicken Linsen muss man den Wegunterschied den das Licht zwischen der ersten
und der zweiten Grenzäche zurücklegt mitberücksichtigen. Die Rechnung ändert sich
dadurch aber nur quantitativ
n1 n2
+
g
b1
g2
n2
n3
+
−
b1 − d
b
n1 n3
⇒
+
g
b
n2 − n1
R1
= −(b1 − d)
n3 − n2
=
R
2
n2 − n1 n3 − n2
n2 d
=
+
+
R1
R2
b1 (b1 − d)
=
5
Für eine dicke Linse in Luft ergibt sich so nach etwas Rechnerei
1 1
+ = (n − 1)
g
b
1
(n − 1)d
1
−
+
R1 R2
nR1 R2
=
1
f
3.3.1 Linsensyteme und Hauptebenen
Werden mehrere Linsen hintereinander durchleuchtet, so ist es im allgemeinen deutlich
schwerer den Lichtweg zu konstruieren und zu berechnen. Als Hilfe können dabei die
Hauptebenen dienen. Hat man die Hauptebenen bestimmt so kann man rechnerisch und
für Konstruktionen davon ausgehen dass das Licht nur an ihnen gebrochen wird.
Der einfachste Weg die Lage der Hauptebenen in einem System zu bestimmen besteht
H1 mit g und
g → ∞ (b → ∞) mit
darin das Licht parallel einfallen zu lassen. Wegen der Identikation von
H2
mit
b
kan man für parallel einfallendes Licht von links (rechts)
1
1 1
= +
f
b g
g → ∞ ⇒ b = fb
b → ∞ ⇒ g = fg
die Lage der Hauptebenen bestimmen. Für eine dicke Linse folgt also(vgl. Zeichnung)
(n − 1)f d
nR2
(n − 1)f d
h2 = −
nR1
h1 = −
Mit diesen beiden Orten als Bezugspunkte (anstatt der Linsenmitte) wird auch für dicke
Linsen die Linsengleichung zu
1
f
=
1
b0
+
1
g0 .
Für die Kombination zweier Linsen gilt bei parallel einfallendem Licht
D − f1 ⇒ b2 =
(D−f1 )f2
D−f1 −f2 .
Die Gesamtbrennweite des Systems ergibt sich also zu
f=
f1 f2 D
f1 + f2 − D
6
b1 = f1 ⇒ g2 =
was sich umformen lässt in
Für
D f1,2
1
D
1
1
+
−
=
f
f1 f2 f1 f2
gilt dass sich die reziproken Brennweiten
Di =
1
fi der Linsen addieren.
4 Optische Instrumente
Für die Behandlung von optischen Instrumenten essenziel ist die deutliche/konventionelle
Sehweite
s0
deren Wert man aus einer Betrachtung des menschlichen Auges erhält.
s0 = 25cm
4.1 Vergröÿerung
Da in aller Regel das von einem optischen System erzeugte Bild nicht die selbe Gröÿe wie das Original besitzt betrachten wir nun die vergröÿerneden bzw. verkleinernden
Eigenschaften von Linsen.
Man unterscheidet hierbei zwischen transversaler Vergröÿerung
Vergröÿerung
VL . B 0
und
G0
VT
und longitudinaler
bezeichnen im Folgenden die Gröÿe der Objekte.
B0
b
=−
0
G
g
f2
VL = −
(g − f )2
VT =
Die transversale Vergröÿerung gibt also die naiv interpretierte Vergröÿerung an, während
VL
die Verbreiterung des Objekts Beschreibt. Zusätzlich dazu gelten die Zusammenhän-
ge
VL =
db
dg
= −VT2 ⇒ − gb =
f
f −g .
Analog zu diesen beiden Gröÿen gibt es noch die Winkelvergröÿerung
Es gilt
V ·
b
g
= VT .
7
V =
Sehwinkel mit Instrument
.
Sehwinkel 0 ohne Instrument
4.2 Bildhelligkeit
Der Durchmesser einer Linse oder auch vorgeschaltete Blenden haben entscheidenden
Einuss auf die Lichtstärke optischer Instrumente.
Für die Helligkeit
H
gilt folgender Zusammenhang
D
g
β2
H ∼ 02
B
tan β ≈ β =
gilt nun
g f → B 02 =
f2
folgt für die Helligkeit
g2
H∼
D2
f2
Besonders in der Fotographie wird hier häug von der Blende oder F-Zahl gesprochen
1
D
1
=
→H∼ 2
F
f
F
wobei
F
die Werte
n
22
annimmt. Mit jeder höheren Blende halbiert sich also die Bildhel-
ligkeit.
4.3 Schärfentiefe
Da eine Linse für nur an einem Ort ein scharfes Bild darstellt, gilt auch umgekehrt der
Zusammenhang, dass für einen festen Abstand Schirm-Linse nur Objekte bestimmten
Abstands von der Linse scharf dargestellt werden. Die Schärfentiefe bezeichnet dabei das
Verhältnis des scharf dargestellten Bereichs zu dessen mittleren Abstand von der Linse.
8
Zur leichteren Rechnung führen wir noch die Gröÿen
∆b = bv − b
und
∆g = g − gv
ein.
Aus dem Strahlensatz folgt nun der Zusammenhang
u/2
D/2
D/2
=
≈
∆b
b + ∆b
b
D
⇒ u = ∆b
b
Mit der longitudinalen Vergröÿerung und der Nähernug
gf
ergibt sich somit
2
f
∆g|VL | = ∆b, |VL | ≈
g
2
2
g
g ub
∆g = 2 ∆b = 2
wegen g f → b ≈ f
f
f D
∆g
ug
ugF
=
= 2
g
Df
f
Oft ist
u
vorgegeben durch z.B. die Körnigkeit
B0
folgt
des verwendeten Films.
4.4 Die Lupe
Das wohl einfachste optische Instrument stellt die Lupe dar. Mit einer einzelnen Linse
werden hier Objekte vergröÿert.
9
Für die Vergröÿerung einer Lupe gilt
tan B/b
s0
=
=
tan 0
G/s0
g
V =
Liegt das zu betrachtende Objekt zudem in der Brennebene gilt
V =
s0
f
Aus Abbildungsgründen spricht man hier auch von einer Betrachtung mit entspanntem
Auge
4.5 Brillen
Brillen stellen ebenfalls eines der einfacheren optischen Instrumente dar. Für die hier oft
verwendete Gröÿe Dioptrin gilt
•
D :=
1
f . Generell unterscheidet man zwischen
Kurzsichtigkeit: Die Brille entwirft von einem Gegenstand im Unendlichen ein virtuelles Bild in der Entfernung
smax ,
in der ein Kurzsichtiger gerade noch scharf
sehen kann
g→∞⇒
•
1
smax
=
1
D<0
f
Weitsichtigkeit: Die Brille muss einen nahen Gegenstand
nung
smin
g
auf eine Mindestentfer-
abbilden
1
1
1
+
=
D>0
g smin
f
4.6 Mikroskop
Bei einem Mikroskop wird eine Linse mit kurzer Brennweite (Objektiv) mit einer Linse
mit hoher Brennweite (Okular) kombiniert. Für ein scharfes Bild muss der Gegenstand
vom Objektiv in die Brenebene des Okulars abgebildet werden.
10
Für die Vergröÿernug des Objektivs gilt
VOb
(Streng genommem gilt
b
= =b
g
VOb = − gb ,
1
1
−
fOb
b
=
b − fOb
fOb
dies wird aber meist nicht berücksichtigt) Hier wird
t verwendet, der den Abstand der beiden
t = b − fOb . Damit wird unsere Formel zu
nun häug der Begri der Tubuslänge
weiten voneinander angibt. Hier also
⇒ VOb =
Brenn-
t
fOb
Für das Okular gilt wegen der Abbildung in das Auge
VOk =
s0
fOk
Die Gesamtvergröÿerung des Systems ergibt sich durch Multipliaktion der Einzelvergröÿerungen zu
VM = VOb · VOk =
fOb meist sehr klein ist ⇒ t ≈ b
Ok )s0
VM = (d−f
fOb fOk , d = b + fOk .
Da
ts0
fOb fOk
ndet man dies auch in der äquivalenten Form
4.7 Teleskop
Bei einem Fernrohr tauschen Objektiv und Okular im Vergelich zum Mikroskop ihre
Rollen
11
Als Vergröÿerung erhalten wir nach
4.1
VF =
Wegen
sin ≈ =
B
f2 und
0
B
f1 ergibt sich
sin 0 ≈ 0 =
VF =
f1
fOb
=
f2
fOk
Als Okular kann auch eine Zerstreulinse dienen, dann geht
fOk
in
|fOk |
über.
Fernrohre erhöhen dabei auch die Lichtintensität der abzubildenden Objekte. Es gilt
dann für die Intensität pro Fläche
I∝
D1
D2
I
2
=
Dein
Daus
2
=
fOb
|fOk |
2
= VF2
4.8 Auösungsvermögen optischer Geräte
Unter dem Auösungsvermögen versteht man den minmalen Winkel
α
unter dem man
zwei Punkte gerade noch trennen kann. Wichtig hierfür sind neben der Geometrie der
Anordnung, die betrachtete Wellenlänge
λ und die Gröÿe des Lichteinlasses (Durchmesser
der Pupille, Linse,. . . ). Man unterschiedet hier zwischen zwei Kriterien
λ
α = arcsin D
≈
•
Dawes-Kriterium
•
Reyleigh-Kriterium
λ
D
λ
λ
α = arcsin 1.22 D
≈ 1.22 D
Das häuger verwendete Reyleigh-Kriterium wird auch bei Spaltversuchen verwendet,
D
bezeichnet dann die Spaltbreite.
Bilder entnommen aus Wolfgang Demtröder - Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik
12