1. Plenum - Statistische Physik II

1. Plenum - Statistische Physik II - 16.03.2015
1. Leiten Sie eine Reihenentwicklung für Integrale der Form
Z ∞
dεg(ε)f− (ε)
I(T ) =
−∞
ab. Hierbei ist f− (ε) die Fermi-Dirac Verteilungsfunktion.
Die Ableitung der Fermifunktion
f−0 (ε) =
βeβ(ε−µ)
(1 + eβ(ε−µ) )2
ist nur in einem kleinen Bereich um die Fermi-Kante merklich von null verschieden.
Daher integrieren wir I(T ) partiell
Z ∞
∞
dεG(ε)f−0 (ε)
I(T ) = G(ε)f− (ε)|−∞ −
−∞
wobei G die Stammfunktion von g sei,
Z
x
G(x) =
dεg(ε).
−∞
Wir fordern g(ε → −∞) = 0, g(ε → ∞) < εn mit n endlich, und g(ε) regulär um
µ. Damit verschwindet der Randterm in der partiellen Integration. Wir können nun
G(ε) im Punkt µ Taylor-entwickeln,
X
n 1 n−1
(ε − µ)
G(ε) = G(µ) +
∂ε g(ε)
n!
ε=µ
n
und erhalten eine Reihenentwicklung
Z ∞
Z ∞
X 1
0
n−1
I(T ) = −G(µ) ·
dεf− (ε) +
∂ε g(ε)
(ε − µ)n f−0 (ε).
n!
−∞
ε=µ −∞
n
Das erste Integral ist gleich −1. Einsetzen und umformen der Integrale in der Reihe
liefert mit ξ = β(ε − µ)
Z ∞
X 1
eξ
n−1
n
ξn ξ
I(T ) = G(µ) +
∂ε g(ε)
β
.
n!
(e + 1)2
n
ε=µ
−∞
Da f 0 (ε) eine gerade Funktion um µ ist, verschwinden alle Terme mit ungeradem n
in obiger Reihenentwicklung. Für gerade n läßt sich das Integral auf die RiemannZetafunktion zurückführen, die tabelliert vorliegt. Man erhält die Sommerfeld-Entwicklung
Z µ
π2
7π 2
I(T ) =
dεg(ε) + (kB T )2 g 0 (µ) +
(kB T )4 g 000 (µ) + . . .
6
360
−∞
2. Betrachten Sie ein ideales Fermigas bei endlicher Temperatur. Berechnen Sie das
Tieftemperaturverhalten des chemischen Potentiales und der Energie mit Hilfe der
Sommerfeld-Entwicklung in Ordnung (kB T )2 /EF2 .
Die Teilchenzahl ist gegeben durch
Z
N (T ) = dεD(ε)f− (ε),
D = (2s + 1)
√
V 2m 3
( 2 ) 2 = d0 ε
2
4π ~
mit der Zustandsdichte D. Wir setzen in die Sommerfeld-Entwicklung ein und erhalten
"
2 #
Z µ
2
p
3
1
π
π2
2
k
T
B
N (T ) ≈
dεd0 (ε) + d0 (kB T )2 √ = d0 µ 2 1 +
6
2
µ
3
8
E
F
−∞
wobei im O(T 2 ) Term µ durch EF ersetzt wurde. Für T = 0 ergibt sich damit
2 3
N (T = 0) = d0 EF2
3
Gehen wir nun von zB einem Elektronengas im Festkörper aus, so ist die Teilchenzahl
N erhalten, und wir können N (T = 0) und N (T ) gleichsetzen
"
2 #
2 32
2 3
π 2 kB T
N (T = 0) = d0 EF = N (T ) = d0 µ 2 1 +
3
3
8
EF
"
π2
EF = µ 1 +
8
kB T
EF
2 # 23
"
→
µ = EF
π2
1−
12
kB T
EF
2 #
Analog verwenden wir für die Energie
Z
E(T ) = dεD(ε)εf− (ε).
Wir setzen wieder in die Sommerfeld-Entwicklung ein und erhalten
"
2 #
Z µ
2
p
5
3
π2
2
5
π
k
T
√
B
E(T ) ≈
dεd0 ε (ε) + d0 (kB T )2
µ = d0 µ 2 1 +
6
2
5
2
4
E
F
−∞
wobei wieder im O(T 2 ) Term µ durch EF ersetzt wurde. Für T = 0 ergibt sich damit
2 5
3
E(T = 0) = d0 EF2 = N EF .
5
5
Wir sehen also dass die Energie des Fermi-Gases pro Teilchen im Schnitt 3/5 der
Fermi-Energie sind. Bei endlichen Temperaturen
"
5
2 #
µ 2 5π 2 kB T
+
E(T ) = E(T = 0)
EF
8
EF
hier muß man nun die Temperaturabhängigkeit von µ berücksichtigen,
"
"
2
2 #
2 #
2
2
2
5 π
kB T
kB T
5π
kB T
5π
E(T ) = E(T = 0) 1 − ·
= E(T = 0) 1 +
+3
2 12 EF
2 12 EF
12
EF
Die Wärmekapazität des Fermi-Gases ∂T E(T ) ist damit weit kleiner, als klassisch
erwartet (klassisch: Dulong-Petit, cV = 3/2 · N kB ).