Mathematik für Informatiker I 9. Übungsblatt

Prof. Dr. D. van Straten
Oliver Labs
Konrad Möhring
Blatt 9
7. Januar 2002
Mathematik für Informatiker I
9. Übungsblatt
1. Beschreibe die Menge aller Lösungen für die folgenden Systeme von Kongruenzen:
-'*.
(0)5
6,'2+2+
6
"!#%$&
(')*,+
/)*0
%$&
-21)3+4
74
%$&
('89:(';
.,+<.64
22',+2+
.=+<.<4
>';6?#('6;?(('<4
2. Multipliziere
mit
, indem Du erst die Reste von
mit
modulo der Primzahlen
>'2@
6,',+6+&A#.,+<.64
und
ausrechnest, damit die Restklassen des Produkts
bestimmst, und dann mit dem Chinesischen
Restklassensatz die Lösung bestimmst.
Bemerkung: Das mag jetzt zwar umständlich erscheinen, aber wenn Computer mit großen Zahlen rechnen sollen,
ist diese Methode effektiver als die ‘normale Multiplikation’.
3. In dieser Aufgabe sollen
?B=?C!=?BD
immer so gewählt werden, dass sowohl
?BM?B!=?CDONP
E
GFHJI
als auch
E
!KFLD2I
E
ungleich
ist.
.RQSFLTIU#!VFLD2IW
(a) Finde ganze Zahlen
, so dass
ist.
QYZF[JIW!\F
(b) Finde zwei weitere Primzahlen X , die sich als Produkt X
?BM?B!=?CDN[P
4GQYSFHJIW!VFLD2IW
, so dass
ist?
(c) ] Gibt es ganze Zahlen
4.
E
D6IW
mit
(' a
?JM?C!=?BDN[P
Qd26efeg
schreiben lassen.
(a) Zeige, dass es für jede natürliche Zahle ^ zwei Zahlen der Form _-`aTb\c
gibt, die modulo
gleichen Rest haben.
(' a Q22egeg('2'8efe '
hat.
(b) Zeige, dass jede natürliche Zahl ^ eine Vielfaches der Form _ `aTbih
^
den
5. ] RSA (Maple-Aufgabe)
?Cj=SQk4>.2<45>;?C154,2'26
Der öffentliche Schlüssel von Alice ist ^
. Bob verschlüsselt damit den Geheimcode zu
seinem Tresor und schickt das Ergebnis an Alice. Chris fängt die Botschaft ab. Er liest: “3435132”. Was ist der
Geheimcode für Bobs Tresor?
6. Wiederholungsaufgabe
?J
Wende jeweils den Euklidischen Algorithmus
an und bestimme den größten gemeinsamen Teiler ggT
und das
?B
kleinste gemeinsame Vielfache?Cmn
kgV
.
N[P
?BoQ
SFpm
Finde jeweils Koeffizienten l
, so dass ggT
l
gilt.
Q@6;?8Q7(082?qQ-.,'8>?;Q54M+<1rQ/06020;?;Q(12@8e
7. Wiederholungsaufgabe
Qt22?(>;?#>.
und ^
Berechne s ^ für ^
Q-6uM.2v
.
8. Wiederholungsaufgabe
;>,3
-4,'6
12+6
Finde eine Lösung der Gleichung
modulo
.
9. Wiederholungsaufgabe
Finde alle Lösungen von
('28wxy,
$
Fz{|F/>VQ}
modulo X für X
Q}?C8?B.
.
10. Standard-Textaufgabe
Zwei Speere sind soviel wert wie drei Angelhaken und ein Messer. Fünfundzwanzig Kokosnüsse sind soviel wert
wie drei Speere, zwei Messer und ein Angelhaken. Wenn der Wert eines Angelhakens, eines Messers und eines
Speeres jeweils eine gewisse Anzahl ganzer Kokosnüsse ist, wieviele Kokosnüsse muss man dann jeweils für einen
Angelhaken, ein Messer bzw. einen Speer bezahlen?
11. ] Freizeitvergnügen:
Drei Idioten namens Carl, Heinrich und Georg beschliessen, sich wegen einer Frau gegenseitig aus dem Weg zu
räumen. Da sie dies als sogenannte Ehrenmänner tun wollen, treffen sie folgende Vereinbarung:
Zuerst ziehen sie Lose, um zu entscheiden, in welcher Reihenfolge sie schiessen dürfen. Dann stellen sie sich im
Dreieck auf. Sie schiessen reihum, bis zwei von Ihnen kampfunfähig bzw. tot sind. Auf welchen der beiden anderen
man schießt, 16
wenn
man dran ist, darf man sich selbst
aussuchen. Alle drei wissen, dass Carl sein Ziel immer trifft,
'
.,'
Heinrich mit %-iger Sicherheit und Georg mit %-iger Sicherheit. Wenn alle drei immerhin so schlau sind, ihre
Überlebenschancen bei diesem Spielchen zu optimieren, wer hat dann
die besten Überlebenschancen?
~
Abgabe Staudingerweg 9, Raum 04-124, bis zum 14. Januar 2002 um
>
Uhr.