Übungsblatt 1 - Mathematik - Heinrich-Heine

Mathematisches Institut
der Heinrich-Heine-Universität
Düsseldorf
SS 06
31.07.2006
Prof. Dr. K. Janßen / C. Jonek
Übungen zum Kompaktkurs 2006
Aufgabe 1: Ein fairer Würfel wird dreimal nacheinander geworfen. Für i = 1, 2, 3 bezeichne Ai das Ereignis, dass beim i-ten Wurf eine 6 geworfen wird; für k = 0, 1, 2, 3
bezeichne Bk das Ereignis, dass genau k Sechsen geworfen werden.
a) Beschreiben Sie formal die Menge Ω der möglichen Versuchsergebnisse, und geben Sie
die folgenden Ereignisse als Teilmengen von Ω an:
Ai (i = 1, 2, 3), Bk (k = 0, 1, 2, 3), A1 ∩ A2 , A1 ∩ B2 , A2 ∩ A3 ∩ B1 .
b) Stellen Sie die folgenden verbal formulierten Ereignisse E1 , E2 , E3 als Verknüpfungen
der Ereignisse Ai , (i = 1, 2, 3), und Bk , (k = 0, 1, 2, 3), dar:
E1 =
ˆ im 1. oder 2. Wurf wird eine Sechs geworfen
E2 =
ˆ nur im 2. Wurf wird eine 6 geworfen
E3 =
ˆ es wird mindestens eine Sechs geworfen
c) Beschreiben Sie verbal die Ereignisse
Ac1 ∩ Ac2 ∩ A3 , Ac1 ∩ Ac2 ∩ Ac3 , B0 ∪ B1 ∪ B2 .
Aufgabe 2: Bei einem Volleyballturnier mit 16 Mannschaften zu je 6 Spielern wird von
jeder Mannschaft ein Spielführer gewählt. Wieviele Möglichkeiten gibt es,
a)
b)
c)
d)
die Spielführer zu wählen?
dass in keiner Mannschaft der älteste Spieler gewählt wird?
dass in genau einer Mannschaft der älteste Spieler gewählt wird?
dass in mindestens zwei Mannschaften der älteste Spieler gewählt wird?
Aufgabe 3: In den Übungen zu einer Vorlesung zur Stochastik werden 45 leichte und
5 schwere Aufgaben gestellt. Ein Student beschliesst, 80% der Aufgaben zufällig auszuwählen und zu bearbeiten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er insgesamt
a) keine schwere Aufgabe bearbeiten muss?
b) genau drei schwere Aufgaben bearbeiten muss?
c) mindestens drei schwere Aufgaben bearbeiten muss?
Aufgabe 4: Betrachten Sie das Zahlenlotto 6 aus 49“. Bestimmen Sie die Wahrschein”
lichkeit dafür, dass das Ergebnis der Ziehung der 6 Zahlen
a) keine gerade Zahl beinhaltet,
b) eine Differenz zwischen der größten und der kleinsten gezogenen Zahl in Höhe von d
(für festes d mit 5 ≤ d ≤ 49) aufweist.
Aufgabe 5: Ein fairer Würfel wird n-mal nacheinander geworfen. Wie groß muss n sein,
damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 50% mindestens eine Augenzahl doppelt
vorkommt?
Aufgabe 6: Aus einer Urne mit N Kugeln wird n-mal mit Zurücklegen mit Beachtung
der Reihenfolge gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis An,N ,
welches als
An,N : “Mindestens eine Kugel wird mehrfach gezogen”
definiert ist.
Aufgabe 7:
a) Sei Ω = {1, 2, . . . , 12} und P die Laplace-Verteilung auf Ω. Seien A, B, C ⊂ Ω mit
A ∩ C = ∅, P (A ∪ B) = 7/12, P (A \ B) = 1/4, P (A ∩ B) = 1/12, P (B ∪ C) = 1/2
und P (B ∩ C) = 1/6. Bestimmen Sie P (A), P (B) und P (C) sowie P (C \ B) und
P (A ∪ B ∪ C).
b) Bestimmen Sie Teilmengen A, B, C ⊂ Ω, so dass a) gilt.
c) Bestimmen Sie alle möglichen Werte für P (C), wenn P (B ∩ C) nicht vorgegeben ist.
Aufgabe 8: Ein Haus hat 10 Stockwerke. Es steigen r = 7 Personen in einen Lift. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 2 Personen in demselben Stockwerk
aussteigen?
Aufgabe 9: (Ziehen ohne Zurücklegen)
Wir betrachten 2-faches zufälliges Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit N Kugeln,
von denen R rot sind (2 ≤ R < N ). Wir betrachten folgende Ereignisse:
A : die erste gezogene Kugel ist rot,
B : die zweite gezogene Kugel ist rot,
Ck : es werden k rote Kugeln gezogen (k = 0, 1, 2).
Wie groß sind P (A), P (B) und P (Ck ) für k = 0, 1, 2 ?
Aufgabe 10: Hinter drei Türen A, B oder C verbirgt sich ein Auto; die anderen beiden
Türen enthalten Nieten. Der Spielablauf gestaltet sich wie folgt: Der Spieler rät, wo sich
das Auto befindet. Danach öffnet der Spielleiter eine der verbleibenden Türen, die eine
Niete enthält. Der Spieler hat dann die Chance, seinen Tipp zu ändern und sich neu
zwischen den beiden verbliebenen Türen zu entscheiden.
1. Strategie: Der Spieler bleibt bei seinem Tipp.
2. Strategie: Der Spieler wechselt systematisch; d.h., wenn er gefragt wird, entscheidet er
sich für die andere Tür, die noch geschlossen ist.
Welche Strategie ist besser?