Stochastik

Mathematik für Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 2. Semester
Apl. Prof. Dr. G. Herbort – Dipl.-Math. T. Pawlaschyk
SoSe16, 12.04.16
Stochastik
Stochastikaufgabe Blatt 1. Es wurden 200 Disketten auf Bruchfestigkeit und Oberflächenhärte getestet. Das Ergebnis ist folgendes:
Oberf lächenhärte
hoch
niedrig
Bruchf estigkeit
hoch niedrig
170
15
8
7
Wir untersuchen die Beschaffenheit einer willkürlich herausgegriffenen Diskette bezüglich der beiden oben
genannten Merkmale. Was ist der richtige Ergebnisraum? A sei das Ereignis ” hohe Oberflächenhärte”
und B stehe für ”hohe Bruchfestigkeit”.
a) Was sind die Elementarereignisse?
b) Wieviele Elementarereignisse enthalten A ∩ B, A ∪ B und Ac ∪ B c ?
c) Welche W’keitsverteilung ist auf diesem Ergebnisraum nahegelegt?
Lösung . a) Das Zufallsexperiment besteht in dem Test einer einzelnen Diskette. Die möglichen Ergebnisse
sind dann:
Oberflächenhärte hoch, Bruchfestigkeit hoch ≈ (1, 1) , Oberflächenhärte hoch, Bruchfestigkeit niedrig
≈ (1, 0) , Oberflächenhärte niedrig, Bruchfestigkeit hoch ≈ (0, 1) und Oberflächenhärte niedrig, Bruchfestigkeit niedrig ≈ (0, 0)
b) A = {(1, 1), (1, 0)} und B = {(0, 1), (1, 1)}.
A ∩ B = {(1, 1)}, A ∪ B = {(1, 0), (0, 1), (1, 1)}, Ac ∪ B c = {(1, 0), (0, 1), (0, 0)}
c) P ({(0, 0)}) = 7/200 = 0.035, P ({(1, 0)}) = 15/200 = 0.075
P ({(0, 1)}) = 8/200 = 0.04, P ({(1, 1)}) =
170/200 = 0.85
Stochastikaufgabe Blatt 2. Ein Steuerpult besteht aus 4 Schaltern, von denen jeder 3 Stellungen haben
kann. Jede Kombination der Stellungen dieser Schalter habe die gleiche W’keit. Mit welcher W’keit haben
je zwei benachbarte Schalter verschiedene Stellungen?
Lösung . Als Ergebnisraum nehmen wir Ω = {a, b, c}4 , wobei a, b, c die Schalterstellungen bezeichnet.
Folgende Ereignisse sind relevant
E1 = {(x1 , ..., x4 ) ∈ Ω | x1 = x2 } ≈ Schalter 1 und 2 in gleicher Stellung,
E2 = {(x1 , ..., x4 ) ∈ Ω | x2 = x3 } ≈ Schalter 2 und 3 in gleicher Stellung,
E3 = {(x1 , ..., x4 ) ∈ Ω | x3 = x4 } ≈ Schalter 3 und 4 in gleicher Stellung,
Dann beschreibt A := E1 ∪ E2 ∪ E3 das Ereignis, dass es 2 benachbarte Schalter in gleicher Stellung gibt.
Gesucht ist die W’keit P (Ac ) = 1 − P (A).
Nun ist |Ω| = 34 = 81 und P (A) = |A|/81. Wir bestimmen also |A|. Dann gilt
|A| = |E1 | + |E2 ∪ E3 | − |E1 ∩ (E2 ∪ E3 )|
= |E1 | + |E2 | + |E3 | − |E2 ∩ E3 | − |(E1 ∩ E2 ) ∪ (E1 ∩ E3 )|
= |E1 | + |E2 | + |E3 | − |E2 ∩ E3 | − (|E1 ∩ E2 | + |E1 ∩ E3 | − |E1 ∩ E2 ∩ E3 |)
= |E1 | + |E2 | + |E3 | − |E2 ∩ E3 | − |E1 ∩ E2 | − |E1 ∩ E3 | + |E1 ∩ E2 ∩ E3 |
Nun ist
|E1 | = 3 · 32 = 27, genauso |Ej | = 27, j = 2, 3.
Weiter ist E1 ∩ E2 = {(x1 , ..., x4 ) | x1 = x2 = x3 }, also
1
|E1 ∩ E2 | = 9.
Genauso wird |Ej ∩ Ek | = 9, für j < k.
Als nächstens haben wir E1 ∩ E2 ∩ E3 = {(x1 , ..., x4 ) | x1 = x2 = x3 = x4 }, somit ist |E1 ∩ E2 ∩ E3 | = 3.
Das ergibt uns
|A| = 3 · 27 − 3 · 9 + 3 = 57
und daher |Ac | = 81 − 57 = 24. Es folgt P (Ac ) =
24
81
=
8
27
= 0.296.
Stochastikaufgabe Blatt 3. Man weiß, dass die in einem Betrieb hergestellten CDs mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05 unabhängig voneinander defekt sind. Das Unternehmen verkauft die CDs im
Zehnerpack und bietet eine Geld-zurück-Garantie an, wenn mindestens 2 der CDs defekt sind.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine Packung zurückgegeben ?
b) Angenommen, jemand kauft 5 Packungen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt er genau 2 Packungen
zurück?
Lösung . (i) a) Die Anzahl X der im Zehnerpack defekten CDs ist B10,p -verteilt mit Parameter p = 0, 05.
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 der CDs defekt sind, ist dann
q
=
=
1 − P ({X ≤ 1})
1 − (1 − p)10 − 10p(1 − p)9
=
1 − 0, 9510 − 0, 05 · 0, 959
=
0, 086
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 der 5 Packungen reklamiert werden, ist
w=
5
2
q 2 (1 − q)3 = 10 · 0, 0862 · (1 − 0, 086)3 = 0, 056
Stochastikaufgabe Blatt 4. a) Angenommen, in einer Firma seien erfahrungsgemäß jeden Tag 10 %
der Belegschaft krank oder in Urlaub. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind an irgendeinem festen Tag
sogar ≥ 20 % der Belegschaft nicht da, wenn die Firma 75 Mitarbeiter hat ?
b) Der Fragebogen einer Führerscheinprüfung enthalte 25 Fragen, wobei bei jeder Frage 4 Antworten
angeboten werden und genau eine richtig ist. Der Test gelte als bestanden, wenn mindestens 15 Antworten
richtig sind. Jemand macht bei jeder Frage willkürlich ein Kreuz bei einer der 4 Antworten. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit besteht er?
Lösung . a) Das Fehlen
eines
Mitarbeiters tritt mit W’keit p = 0, 1 ein, dass es k Mitarbeiter sind, hat
75
die W’keit f (k) :=
pk (1 − p)75−k . Die gesuchte W’keit ist dann
k
P0 =
75
X
k=16
f (k) = 1 −
15
X
f (k) = 0, 002 = 0, 2%
k=0
b) Eine Frage wird mit W’keit q = 0, 25 richtig beantwortet, und k Fragen mit W’keit
14
X
25
g(k) =
q k (1−q)25−k . Die W’keit durchzufallen ist dann P1 =
g(k) = 0.99978 und zu bestehen
k
k=0
somit P2 = 1 − P1 = 0, 02%.
Stochastikaufgabe Blatt 5. Ein Ganove zahlt bei einer Bank fünfzig 100-Euro-Scheine ein, von denen
10 seiner eigenen Produktion entstammen. Die Bank prüft 4 der eingezahlten Scheine auf Echtheit.
a) Mit welcher W’keit sind höchstens 2 der 4 Scheine echt?
b) Mit welcher W’keit sind alle 4 echt?
Lösung . Wir haben nun die hypergeometrische Verteilung zu verwenden: Es ist N = 50 , d = 10 und
n = 4. Die W’keit, dass k der geprüften Scheine Blüten sind, ist dann
10
40
k
4−k
pk :=
50
4
2
a) Die W’keit, dass höchstens zwei der 4 Scheine echt sind, ist dann
10
40
10
40
10
40
+
+
2
2
3
1
4
0
p2 + p3 + p4 =
50
4
10
40
10
10
+
· 40 +
2
2
3
4
=
50
4
45 · 780 + 120 · 40 + 210
=
= 0.174
230300
Mit W’keit
p0 =
10
0
50
4
40
4
40
4
= 0.396
=
50
4
sind alle 4 Scheine echt.
Stochastikaufgabe Blatt 6. a) Auf einem bestimmten Autobahnabschnitt sei die Anzahl X der Unfälle
poissonverteilt mit λ = 4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ereignen sich auf dieser Strecke mindestens 3
Unfälle?
b) Sind X und Y unabhängig voneinander (d.h.: Es sei P (X = a, Y = b) = P (X = a)P (Y = b) für
a, b ∈ N0 ) und poissonverteilt mit Parametern λ und µ, so bestimmen Sie, welcher Verteilung dann
X + Y unterliegt.
c) Die Anzahl N der Alphateilchen, die von einem radioaktiven Präparat pro Sekunde ausgesandt werden, sei poissonverteilt mit λ = 3, 8. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden in 2 Sekunden höchstens 5
Alphateilchen emittiert?
Lösung . a) P (X ≥ 3) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − e−4 (1 + 5 +
25
2 )
= 1 − 18, 5 e−4 = 0, 66.
b) Es gilt für k ∈ N0 :
P (X + Y = k)
=
k
X
P (X = `)P (Y = k − `)
`=0
k
X
1
λ` µk−`
`!(k − `)!
`=0
k 1 X k
= e−λ−µ
λ` µk−`
`
k!
= e−λ−µ
`=0
= e−λ−µ
(λ + µ)k
k!
Also ist X + Y poissonverteilt mit Parameter λ + µ.
c) Ist X die Anzahl der in der 1. Sekunde und Y die Anzahl der in der 2. Sekunde emittierten Teilchen,
so ist X + Y poissonverteilt mit λ0 = 2λ = 7, 6. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann
p = e−7,6 (1 + 7, 6 +
7, 62
7, 63
7, 64
7, 65
+
+
+
) = 0, 23
2
6
24
120
3