4.¨Ubungsblatt zur Mathematischen Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Prof. Dr. J. Beran
WS 2008/09
4. Übungsblatt zur Mathematischen Statistik
Abgabe: Donnerstag, 20.11.2008 bis 16:00 Uhr (Briefkasten Nummer 19 oder Büro F406)
Aufgabe 1 (6 Punkte): Gegeben seien n unabhängige Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn . Jedes
Xi sei U (0, ϑ)-verteilt1 . Es sei ϑ ∈ (0, ∞) unbekannt. Man setzt
n
X = (X1 , . . . , Xn ), T (X) = max Xi und S(X) =
i=1,...,n
2X
Xi .
n
i=1
(a) Zeigen Sie, dass E(S(X)) = ϑ und berechnen Sie Var(S(X)).
(b) Zeigen Sie, dass T (X) suffizient für ϑ und vollständig ist.
(c) Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert E(Xi |T (X) = t) und geben Sie den MVUE
für ϑ an. Anleitung: Bestimmen Sie eine Funktion g, so dass
Eϑ g(T (X)) = ϑ
∀ϑ ∈ Θ.
(d) Berechnen Sie die Varianz des MVUE.
Aufgabe 2 (Bonusaufgabe, 4 Punkte): Für zwei reelle Zufallsvariablen Y und Z erfüllt
die bedingte Verteilungsfunktion FY |Z=t folgende Gleichung:
Z z
Z z Z y
FY,Z (y, z) =
FY |Z=t (y)dFZ (t) =
dFY |Z=t (u)dFZ (t)
(1)
−∞
−∞
−∞
Dabei bezeichne FY,Z die gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y . Zum bedingten Erwartungswert besteht folgender Zusammenhang:
Z
E(Y |Z = t) =
u dFY |Z=t (u)
(2)
R
(a) Berechnen Sie die bedingte Verteilungsfunktion FXi |T (X)=t . Es seien Xi und T (X) wie in
Aufgabe 1 gewählt. Anleitung: Berechnen Sie zunächst die gemeinsame Verteilungsfunktion und lösen Sie anschließend Gleichung (1).
(b) Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert aus Aufgabe 1, Teil (c) erneut.
Aufgabe 3 (2 Punkte):
(a) Seien P1 und P2 zwei Familien von W-Maßen auf Rn so dass P1 ⊂ P2 und P2 << P1 .
Zeigen Sie, dass jede für P1 vollständige Statistik auch für P2 vollständig ist.
(b) Für ein festes n ∈ N sei P1 = {B(n, p)|0 < p < 1} die Menge der Binomialverteilungen
mit Parameter n und p. Es sei P2 = P1 ∪ {P (1)}, wobei P (1) die Poissonverteilung mit
Parameter 1 bezeichne. Zeigen Sie, dass T (x) = x vollständig für P1 aber nicht vollständig
für P2 ist.
1
U (0, ϑ) bezeichne die gleichmäßige Verteilung im Intervall (0, ϑ).
Aufgabe 4 (5 Punkte):
Es seien X1 , . . . , Xn iid Zufallsvariablen mit der Dichte
fXj (x) = exp(ϑ − x) · 1[ϑ,∞[ (x).
Der Parameter ϑ ∈ R sei unbekannt. Man setzt X = (X1 . . . , Xn ).
(a) Zeigen Sie, dass S(X) = X1 − 1 ein erwartungstreuer Schätzer für ϑ ist.
(b) Zeigen Sie, dass T (X) = minj=1,...,n Xj eine suffiziente Statistik für ϑ und vollständig ist.
(c) Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert E(S(X)|T (X) = t) und geben Sie den
MVUE für ϑ an. Anleitung: Bestimmen Sie eine Funktion g, so dass
Eϑ g(T (X)) = ϑ
∀ϑ ∈ θ.