Bandüberlappung

8.4 Elektronische Struktur von Festkörpern
331
8.5: Die Berechnung der Madelung-Konstante für eine dreidimensionale Kristallstruktu . . t . •
alJgemeinen recht chwierig. Für eine eindimensionale unendliche lange Kette VOn Io~~s ~m
Abstand d. die abwechselnd die Ladung +e beziehungsweise -e haben, kann die elektrostati:c:
Gesamtenergie jedoch leicht berechnet werden. Zeigen Sie, daß dies auf (8.2) mit Q == 21n 2
führt.
Hinweis:
s gilt die Reihenentwicklung In(l
+ x) = x -
x 2 /2
+ x 3 /3 -
x4/4 + ..
'.
8.4 Elektro· ehe Struktur von Festkörpern
8.4.1
Metalle, Halbleiter, Isolatoren
Um die elektronischen Eigenschaften von Festkörpern zu verstehen und damit etwa auch die
Ursache für die Existenz von leitenden und isolierenden Materialen aufzuklären, hat sich das
Bändermodell als äußerst fruchtbar erwiesen. Dan.ach lassen sich die erlaubten Energieniveaus
der Elektronen in einzelne quasi kontinuierliche Energiebereiche zusammenfassen, die sicb gegenseitig überlappen können oder die voneinander durch energetisch nicht erlaubte Bereiche
getrennt ein können.
E
-----,/'
-----,
/'
-----,
./ '
~--- }f~lQdI~~~ ~
Bandüberlappung
~
verbotene Zone
~
verbotene Zone
~}--
-----, -}-~
/'
Atom
Bild 8.6
Molekül
(2atomig)
Festkörper
Entstehung von Energiebändem beim Zusammenschluß von Atomen zu einem Festkörper
Wie man sich die Entstehung solcher Energieblinder und Energielücken vorstellen kann,
veranschaulicht Bild 8.6. ähern sich zwei Atome und bilden ein Molekül, so kommt es infolge ihrer gegen eitigen Wechselwirkung zu einer Aufspaltung jedes atomaren Niveaus in zwei
benachbarte Molekülniveaus. Verbinden sich N Atome. so resultieren entsprechend AufspaIrungen in N benachbarte Niveaus. Da sich zu einem Festkörper eine Zahl ~on AtOI~e~ in. der
Größenordnung von 1023 vereinigen, kann man sich die Aufspaltung als eme kontInUIerliche
Verteilung von iveau vorstellen. Au jedem atomaren Niveau entsteht ein Energieband, wobei
332
e tkörperphysik
sich verschiedene iveaus durchaus in ein m and v nni h n
der Elektronenstruktur deT beteiligten Atome und d r atur r
verschiedene Bänder nun eben durch En rgielü k n (m n pri ht u h on erbotenen Zonen)
voneinander getrennt sein; weiterhin kann zu Bandüberl ppun n komm n. Die in ge amt für
jeden Festkörper charakteristische Lage der Bän er bild tein
r i b
tru tar.
Allgemein läßt sich feststeHen daß die eoerg ti h tie i
n n "' nd r ehr chmal sind,
da die atomaren Rumpfniveaus von den ben hbart n t men nur w ni g tört werden und
dadurch nur wenig aufspalten. Höher liegende Bänd r unterJieg n d ge en taT: den EinHü sen
der chemischen Bindung und sind daher deutlich breiter.
Wie werden die Energiebändernun von den EIe teonen be tzt? Im t m rfolgt die Be etzung
der Niveaus unter Beachtung des Pauli-Prinzip . Beginn nd mit d m energeti eh am tiefsten
liegenden Zustand werden die einzelnen iveau oa heinander mit I kuonen aufgefüllt und
dabei so besetzt. daß sich aUe Elektronen minde teD in einer Quant nzahl unter cheiden. Jeder
Zustand kann dabei zwei Elektronen (Spin auf. pin ab) aufnehm n. Di
Verhalten ist nun für
Elektronen allgemeingültig. Wlf haben am Ende on Ab ehnitt 7.2.4.3 b r i darauf hingewiesen,
daß Elektronen und aUe anderen Elementarteilchen mi halbzahtigem pin ermionen sind, die
sich auf die energetisch möglichen Zu tände eine
y tern nach einer be onderen Statistik
verteilen. Diese Fermi-Dirac-Statistik ist durch die folgende erteilung funktion charakterisiert:
(8.3)
Man nennt f (E) die Fermi-Verteilung und E F das Fermi- iveau.
it Hil e von f (E) berechnet sich die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Elektron mit einer Energie zwi ehen E und E + dE
feE) dEo Dies ist völlig analog zum Fall der aus der Therzu finden, gemäß W(E) dE
modynamik bekannten Boltzmann-Verteilung (3.14), in die übri gens die ermi-Verteilung für
E - EF » kBT übergebt. Man kann unter dieser Vorau etzung nämlich die Eins gegen den
Exponentialterm vernachlässigen.
=
feE)
1 ~---111:::""-----.
-
T=OK
1
T>OK
Bild 8.7
Fermi-VeneilungfUrkBT
o leV
= OeVundkBT=
Bild 8.7 zeigt die Fermi-Verteilung im Grenzfall T = 0 und für eine endliche Temperatur. Wie
man sieht. werden im ersten Fall alle Zustände unterhalb von EF be etzt, während alle Zustände
oberhalb von EF leer sind. Das Fermi-Niveau EF, welches auch als chemisches Potential
bezeichnet wird, ist die Energie, bei der die Zu tände mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 besetzt
8.4 Elektronische Struktur von Festkörpern
333
sind (vgl.. die fol~enden Übung~~). Für endliche Temperaturen weicht die Fermi-VeneiJung um
EF auf emer BreIte von der Großenordnung kBT auf. Wie wir am Beispiel des Halbleiters im
nächsten Abschnitt sehen werden, erfolgt die Festlegung des Fenni-Niveaus aus der Forderung
nach Ladungsneutralität im Festkörper.
Die Bandstruktur und die Besetzung der einzelnen Bänder mit Elektronen entscheidet nun ob
ein bestimmter Festkörper ein Metan, ein Halbleiter oder ein Isolator ist. Bild 8.8 zeigt lin die
Situation in einem Metall, wie etwa Al oder Cu. Dargestellt sind die heiden obersten noch mit
Elektronen besetzten Bänder. Ein Metall ist nun dadurch charakterisiert, daß das ober te die er
Bände nur teilweise besetzt ist. Legt man nämlich an einen Festkörper eine elektrische pannung
an, so können Elektronen der WIrkung des elektrischen Feldes nur folgen und sich von Zu tand
zu Zustand durch ein Energieband bewegen, wenn für den Stromtransport in dem entsprechenden
Band noch freie Zustände zur Verfügung stehen. Alle voll besetzten Bänder liefern daher keinen
Beitrag zum Strom tran sport. Ist nun das oberste Band nur teilweise besetzt, so ind die dort
,e nthaltenden Leitungsbandelektronen leicht beweglich - der entsprechende Festkörper i t ein
Metall.
Metall
Halbleiter
Isolator
••••••••••
••••••••••
••••••••••
Bild 8.8
g
E
•• •••••••••
•••••••••
""
10
1
1
•••••••••
• •
• ••••••••••••
Vergleich der EJektronenstrokturen von Metallen, Halbleitern und Isolatoren
Für Ha1bleiter und Isolatoren hingegen ist im Grenzfall T = 0 die folgend Situation char teristisch: Das oberste besetzte Band - das VaJenzband - ist voll tändig mit -lektronen gefüllt.
Das energetisch nächsthöhere Band - das Leitungsband - ist leer und durch eine Energie ticke
Ea (engl. energy gap) vom Va1enzband getrennt. Während in Halbleitern, z. B. in Si, G oder
GaAs, diese Lücke allerdings in der Größenordnung von 1 eV ist, be itzen olatoren wie i02,
wesentlich größere LOcken. Dieser quantitative Unterschied führt dazu, daß bei endlichen Temperaturen in Halbleitern Elektronen wenigstens mit einer geringen Wahr cheinlichkeit thennisch
ins Leitungsband angeregt werden! in Isolatoren jst die WahrscheinHchkeit dafür aber prakti ch
Null.
Aus der Zahl der Valenzelektronen seiner Atome kann man mit einer gewis eo Wahrscheinlichkeit die elektronischen Eigenschaften eines Festkörpers vorher agen: Fe tkörper mit nur
einem freien Elektron pro Element.a:rzelle sind stets Metalle. wie die AI alimetalle Li,
oder
a.. die aUe ein halbbesetztes obefes Band haben. Auch Festkörper mit einer ungeraden nzabl
von freien Elektronen, wie Al oder Oa mit 3 Elektronen sind meistens Metalle; infolg von
Bandüberlappungen können aber auch sogenannte Halbmetalle entstehen wie
,Bi oder Sb
mit 5 Elektronen. Bei einer geraden Anzahl von Elektronen pro lementanelle ind infol e von
Bandüberlappungen viele Varianten möglich.
334
Wir wollen unsere bisherigen Erkenntni se über die 1 ktron n truktur v n
sammenfassen.:
tkörpern zu-
In (idealen) Festkörpern bilden die erlaubten E"ergienivea14s EnergiebtJndem. die
entsprechend der Fermi-Verteilung mit Elektronen be etzt sind. Bei Metallen ist
das energetisch höchste Band, welches noch Elektronen enthlilt, "ur teilweise besetzt; bei Halbleitern und Isolatoren ist dieses Balld voll Uindig besetzt uild durch
eine Energielücke vom ersten leeren Band getrennt. Die besetzten Bilnder werden
als Valenzbänder bezeichnet und die teilw,eise besetztet' so~ ie die unbesetzten als
Leitungsbänder.
Das Bändermodell: Will man ein tieferes Verständni der Eie tronen truktur von Festkörpern
erreichen, so ist eine Präzisierung des Begriff ,,Bandstruktur unb dingt e orderlich. Es ist z. B.
von außerordentlichem Interesse zu wissen, wie die erlaubten Zustände innerhalb eines Bandes
verteilt sind.
Für die quantenmechanische Berechnung von solchen Bandstru ruren hat sich als sehr erfolgreich erwiesen, das tatsächlich vorliegende Vielektronenproblem durch das Modell ,,Elektron
in einem gitterperiodischen Potential" zu ersetzen. F. Bloch (1928) folgend löst man dazu die
stationäre Schrödinger-G]eichung (vgl. auch (7.38) und (7.42»
n?
- 2m Jl.1j;(T)
+ V(rj1j;(T)
= E1j;(T) ,
(8.4)
wobei das Potential gemäß
V(r)
= Ver + R)
die Periodizität des Kristallgitters besitzt.
I
-4
E/eV -6 -8
-10
-12
r
LI
XK
l:
rA
Ausbreitungsvektor
l
Bild 8.9
Berechnete Bandstruktur von i (M. T. Yin, M. L. Cohen,
Phys. Rev. B26, 5668. 1982)
Es 2jeigt sich nun, daß die Existenz von Energiebändern in Festkörpern eine unmittelbare Folge
der Gitterperiodizität der atomar-geometrischen Struktur ist. Die Lösungen dieser Gleichung
7/Jn(k) und die entsprechenden Eigenwerte En(k) lassen sich nämlich durch die Quantenzahlen
kund n charakterisieren. Mit k wird der Wellenvektor bezeichnet. Er ist uns schon von der
de Broglieschen Materiewelle und der quantenmechanischen Beschreibung freier Elektronen
bekannt. Sein Betrag bestimmt gemäß (7.35) die Energie eines freien Elektrons zu
~
~
8.4 Elektronische Struktur von Festkörpern
335
(8.5)
Die diskrete Zahl n heißt Bandindex und numeriert die einzelnen Bänder. Innerhalb eine Bandes
hängt die Energie dann noch. vo~ Wellenvektor k ab. Aufgrund der Gitterperiodizität genügt e
dabei den Wellen vektor nur 10 emem beschränkten Bereich (Brillouin-Zone) variieren zu las en.
Grafisch veran chaulicht ~ sich solche Bandstrukturen, indem man En(k) für au gewählte
Symmetrierichtungen über k darstellt (Bild 8.9). An der Bandstruktur von i er ennt man, daß
sich in dieser Substanz die Größe der Energielücke als Differenz zwischen den Energiewerten am
Minimum des unteren Leitungsband in}er Nähe des Symmetriepunktes X und am aximum
des oberen Valenzbandesin dem mitr (k = Ö) bezeichnetenSymmetriepunktergibt. Man prichl
von einem indirekten Halbleiter. Für GaAs liegt auch das Minimum des Leitungsbande bei ,
d. h. direkt über dem Valenzbandmaximum. In diesem Fall haben wir einen direkten Halbleiter
vor uns.
An solchen Symmetriepunkten besitzt die Funktion E n (k) lokale Extremwerte und ann daher
durch eine Reihenentwicklung beschrieben werden. In der Umgebung von r läßt ich oft in guter
Näherung eine Darstellung der Form
(8.6)
verwenden. Ein Vergleich mit (8.5) zeigt daher: Die Elektronen verhalten ich in d r Umgebung
der Bandkanten wie freie Elektronen, jedoch mit einer gegenüber mo veränderten fli ti en
Masse.
Übung:
8.6: Zeigen Sie, daß sich die Fermi-Verteilung für T
wenn E > EF; feE) = 0,5, wenn E = EF, und feE)
= 0 wie folgt angeben läßt: J(E)
= 1,
= 0. wenn E < E
8.4.2 EJektronenstruktur von Halbleitern
Unter den Festkörpern haben die Halbleiter in den letzten Jahrzehnten eine überragend edeutuog erlangt. Zu ihnen gehören die Elementhalbleiter C, Si, Ge und Sn der 4. Spalte d Periodensystems, aber auch Verbindungshalbleiter, wie GaA GaP oder auch ZnSe. En pr h nd der
Stellung der beteiligten Komponenten einer solchen Verbindung im Perioden y lern, pricht man
in den ersten beiden Fällen von 3-5-Verbindungen und im letzten ' all von einer 2-6-Verbindung.
Neben diesen binären Verbindungen untersucht die modeme Halbleiterphysik auch ternäre und
sogar quaternäre Verbindungen, wie AlGaAs oder GaInA P. Die außergewöhnlich n rfolg
der Halbleitertechnologie beruhen dabei auf den be onderen elektronischen Eigen chaften von
Halbleitern und insbesondere auf der Möglichkeit, diese gezielt zu beeinflussen. Ir wollen die
Eigenschaften nun eingehender diskutieren.
Betrachten wir zuerst einen reinen Halbleiter, so ist - wie wir oben ge ehen haben - bei
T
0 K sein Valenzband vollbesetzt und sein Leitungsband leer. Es bedarf vergleich wei e
hober Temperaturen, um eine merkliche EigeoJeitung eines solchen Halbleiter hervorzurufen.
Bei Zimmertemperatur liegen die Werte für die elelctri che Leitfarugkeit etwa im Bereich 10- 2 109 n- 1 cm- I . Die Eigenleitung wird dadurch hervorgerufen daß Elektronen thenni ch au
dem Valenzband ins Leitungsband angeregt werden. Die e Elektronen können i h nun frej
durch das Leitungsband bewegen. Die angeregten Elektronen chaffen gleichzeitig fr ie hitz
im Valenzband, so daß nun auch die Valenzelektronen der Wirkung eines eIe tri eh n Felde
=
336
folgen können. Bei ihrer Bewegung füllen die
lektr nen Cr i
n in B wegun srichtung
und verscrueben dabei die Lücken in die Gegenrichtung. • al b die Lücken po itiv geladen
wären. Das Verhalten der Gesamtheit der Elektron n ine f t gefüllten hlenzbande kann man
sich daher ersetzt denken durch das Verhalten von weni eh po iti en 1i ileh n die man in der
HaJbleiterphysik Defektelektronen oder urz LOCher nennt. 3 . Ir t n n ~ t:
In Halbleitern erfolgt der Ladungstransport im Leitun sband durch . lekJronen und.
im Valenzband durch Defektelektronen (Löcher).
Entscheidend für die praktische Anwendung von Halbleitern i t nun die Ta ache, daß man ihre
elektronischen Eigenschaften in weiten Grenzen gezielt eränderi rann. Die gelingt dadurch,
daß sich in die Halbleiterstruktur kontrolHert Fremdatom einbring n I
n. Man nennt olche
Fremdatorne auch Störstellen und den Prozeß dontrollierten Einb u von Fremdatomen
Dotierung.
E
j j jlE:
L
• 0 • 0 • 0 • Ev
•••••••
•
•
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Bild 8.10
•••••••
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•
Zur Entstehung von Elektronen und Löchern in reinen und dotierten Halbleitern und ihre
Auswirkung auf die Energiebandstruktur
Nehmen wir den Elementbalbleiter Silicium, de en ko a1ente Bindung durch die Elektronenpaare zwischen einem Si-Atom und seinen vier nächsten achbarn charakteri iert ist. Im linken
Teil von Bild 8.10 ist die Erzeugung von Elektronen und Defektelektronen für reines Silicium
veranschaulkht Man erkennt, daß· der Übergang von lektronen vom VaJenzband ins leitungsband gerade dem Prozeß des Autbrechens von chemischen Bindungen entspricht. Elektronen und
Defektelektronen treten dadurch im idealen Halbleiter te paarwei e auf.
Bringt man nun an die Stelle eines Siliciumatom ejn Atom au der 5. Spalte des Periodensystems, wie etwa ein Phosphoratom, so werden vier einer fünf Valenzelektronen für die
chemische B.indung verbraucht, während das überzäh1ige Elektron nur noch schwach an das
Phosphoratom gebunden ist und sehr leicht freigesetzt werden kann. ies liegt daran, daß die
Coulomb-Anziehung zwischen Phosphorkem und die em Elektron durch die Anwe enheit der
anderen Elektronen im . estkörper stark reduziert wird. Aus der Elektro tatik wissen wir, daß
J Im Sinne dieser Interpretation wird klar, daß Löcher ,,Dur" ein zweckmäßiges Hilf: mittel ind, um die Eigenschaften
fast mit Elektronen gefüllter Valenzbändel' darzusreUen.
8.4 Elektronische Struktur von Festkörpern
37
sich in einem Medium ~~e C~ulomb-Kr~ um den Faktor Cr verringert. Die Bindung energie
des betrachteten Atoms läßt sIch andererseIts gemäß (7.30) abschätzen wenn man dort c durch
c~cr ersetzt. In Silicium hat man e~e Dielektrizitätskonstante von Er ~ 12 und dami~ ergibt
sIcb unter Beachtung von Z
1 (die Ladung von 4 Protonen wird durcb die 4 Jektronen der
Bindung nach außen kompensiert!)
=
Im Bändermodell rnüs en sich die Energienivau eines oIehen Störstellenelektron dah r d'cht
unterhalb der Leitungsbandes befinden (Bild 8.10, Mitte), Um das Elektron in Leitung band
anzuheben ist nur die im Vergleich zur Energie der verbotenen Zone kleine loni ierung en rgie
Ev nötig. Sie steht bei Zimmertemperatur und darübe~.fast immer als thermi che Energie zur
Verfügung. Atome der 5. Spahe srellen also im Silicium UberschußeIektronen zur Verfügung und
werden Donatoren genannt (lat. donare - geben). Dadurch erhöbt ich di Zahl der EI ktronen.
sie ist dann größer als die Zahl der Löcher und das Material wird n-Ieitend.
Analog läBt sich der Einbau eines Atoms aus der 3. Spalte de Perioden y tern ver t en
(Bild 8.10, rechts). Ersetzt z. B. ein Boratom ein SiIiciumatom. dann fehlt ein lektr n in der
chemischen Bindung. Atome der 3. Spalte stellen damit dem Siliciumatom Defekt lektron n zu
Verfügung. Sie befinden sich in Niveaus dicht oberhalb des Valenzbande ,n hmen damit licht
von dort Elektronen auf und werden Akzeptoren genannt (lal accipere - aufnehmen). In inem in
dieser Weise dotierten Material überwiegt der Ladungstran port durch Löcher, e wird pe l i nd .
Wrr wollen die Besetzungsstatistik der Bänder in den oeben di kutieTte Fällen unte uchen:
In einem reinen Halbleiter erwartet man das Fenni-Niveau irgend wo zwi ch n aIenz- und
u
Leitungsband. Elektronen im Leitungsband haben damit Energien die so eil om Fermi- j
entfernt sind, daß man wegen IE - EFI 2> kBT die Fermi-Verteilung durch di B ItzmannVerteilung ersetzen kann. Durch Entwicldung in eine Taylor-Reihe erhält man
f(E) == [ 1 + exp (
E - EF)]-l
kBT
(E - EF
~ exp -
kBT
Die Ladungsträgerkonzentration n für Elektronen im Leitung band (E ~
tional zu F(E L ) ein und läßt sicb damit schreiben aJ
)
.
Ed muß dann pr
r-
( .7)
N L ist dabei eine materialspezifische Größe, die die effektive Dichte der Zu tände an der Unt {kante des Leitungsbande beschreibt
Die Statistik der Defektelektronen wird durch die Verteilungsfunktion (1 - f( )) b timmt,
denn überall, wo im Valenzband (oder in einem AkzeplOmiveau) ein Elektron fehlt, da i tein
Loch. Da für ihre Energien im Valenzband (EF - E) 2> kBT i t, kann man chreib n
1- f(E) =
(E-E
).
kBT
~ exp
kaT
[1 +exp ( E-EF)]-l
Die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Loch im Abstand EF - E unterhalb on Ep zu finden i l
gleich der Wahr cheinlichkeit dafür, ein Elektron im Ab tand E -: E ~ oberha~b von E F zu fi nden .
Für die Ladungsträgerkon~entration p der Defektelektronen ergibt Ich darrul
338
e. tkörperphysik
p=Nv exp ( -
EF-EV)
kBT
. '
(8.8)
N v beschreibt dabei nun die effektive Dichte der Zu tände an der Ob rk nte de VaJenzbandes.
Für die wichtigen Halbleitermaterialien Si, Ge und GaA ind di Werte für L und N v sowie
einige andere Daten in Tabelle 8.1 angegeben.
Tabelle 8.1
Einige Daten für die Halbleiter Si, Ge und Ga.
5
G
GaAs
Diamant
Diamant
Zinkblende
0,543095
0.564613
326,7
0,66
0,56533
5320
2,24 . 1013
2,00 '106
Halbleiter
1
Kri stallstruktur
Gitterkonstante a in nm
Dichte {] in kg m- 3
Energielücke EG in eV
Ejgenleitungsdichte 1'l.i in cm- 3
Leitungsbanddichte N L in em- 3
Valenzbanddichte N v in cm- 3
Elektronenbeweglichkeit j.J.n in cm 2 V- I 5- 1
Löcherbeweglichkeit J.Lp in cm 2 V-I 8- 1
rel. Dielektrizitätskonstante s,.
2328
l,ll
1,14. 10 10
3, 22.10 19
I, 3.10 19
1350
1 04.10
1,43
19
4,55. 10 17
6 03.10 18
8,86· 1018
8500
3900
1900
16
480
118
435
12,9
Da in einem reinen Halbleiter die Zahl der ins Leitungsband angeregten Elektronen gleich der
Zahl der Löcher im Valenzband sein muß (Ladungsneutralität!) d. b. n ~ p = ni, folgt durch
Gleichsetzen von (8.7) und (8.8) und anschließendes Logarithmieren für das Fenni-Niveau
EF=EL;E!'
+k~Tln(~~).
(8.9)
=
Wie (8.9) zeigt, liegt EF im GrenzfaU T
0 K genau in der Mitte der verbotenen Zone und
verschiebt sich für endliche Temperaturen nur unwesentlich (vgI. Übungen).
b) n- Halbleiter
a) Eigenhalbleiter
E
E
1\
EL
E
EL
~
Ev
c) p- Halbleiter
---....
Ev
••••
•••• ••
l
0.5
Bild 8.11
1.0 f(E)
EL
• J ED
BT
•••
•
••• •
0.5
Ev
1.0 f(E )
e-+ -&-&.
-
-
. 0 •• 0
lE
i
A
• •• •
0.5
1.0 f(E)
Zur Lage des Fermi-Niveaus in reinen und dotierten Halbleitern
=
Da das Fermi-Niveau bei T
0 K die besetzten von den unbesetzten Zuständen trennt. muß
es in einem n-dotierten Halbleiter bei tiefen Temperaturen irgendwo zwischen Donatorniveau
E D und Leitungsbandkante E L liegen. Für p-dotierte Halbleiter liegt es bei tiefen Temperaturen
8.4 Elektronische Struktur von Festkörpern
339
entsprechend zwischen Akzeptorniveau E A und VaLenzbandkante Ev. Mit zunehme d .,.. _
. h d' S ..
11 .
n er lern
peratu~ en11.eeren SIC
le torste e~veau~ und das Fermi-Niveau verschiebt ich in Richtung
der Mitte der verbote~en Zone. Dabei passiert das Fermi-Niveau das Störstellenniveau, bleibt
aber, solange elektrorusche Anregungen aus dem Valenzband unwesentlich sind in de äh' d
· 'd'
,
r
e er
entsprechen den B an dkante. D lVI Jert man (8.7) und (8.8) durcheinander, so erhält man
Ep = EL ;Ev
+ (k~T) In
(~~) + C~T) In (;)
.
Die ersten beiden Summanden bestimmen das Fermi-Niveau Ep. im Fall eines reinen Halbleite
da in diesem Fall der letzte Term wegen n = p verschwindet Damit gilt
Ep
= Ep; + (k~T) In (;)
.
I
(8 .10)
Bild 8.11 veranschaulicht die Besetzungsstatistik der Energieniveaus für reine und dotierte Halbleiter für den Fall tiefer Temperaturen.
Um die EigenJeitungsdichte ni zu berechnen, multipliziert man die Ladung trägerkonzentrationen n und p und findet wegen E L - E v = Ea die wichtige Beziehung
(Ba) .
.
np = n i2 = NL' Nv
' exp - kBT
(8.11 )
Die Eigenleiwngsdichte eines Halbleiters hängt also nur von der Größe der Energielücke und
der Temperatur ab, während die Lage des Fenni-Niveaus keinen Einfluß hat. Die Gültig eit von
(8.1l) ist deshalb nicht auf den Fall der Eigenleitung beschränkt, sondern gilt auch für dotiert
Halbleiter. Während im reinen Halbleiter damit nun
n
= p = J N L . Nv exp (_
Ea )
2kBT
(8.12)
gilt, sind im dotierten Halbleiter allerdings n und p voneinander ver chieden. 0 lehrt ( .11)
z. B., daß eine Erhöhung von n infolge Dotierung eine Abnahme von p nach ich ziehen muß.
Eine Erklärung dieses auf den ersten Blick verblüffenden Resultats werden wir er t im folgenden
Abschnitt kennenIemen.
Unsere Überlegungen gestatten es nun auch, die in Abschnitt 4.2.1 bereits erwähnt unterschiedliche Temperaturabhängigkeitdes elektrischen Wider tandes für Metalle und Halbleiter zu
erklären: Prinzipiell führt eine Temperaturerhöhung zu einer Zunahme der thermi chen Energie
des Festkörpers, was sich in einer Verstärkung der Gitterschwingungen äußert. Damit nimmt
aber die Zahl der Stöße zwischen Ladungsträgern und diesen Gitterschwingungen zu, wa d n
Widerstand erhöht. Während nun in Metallen dieser Effekt dominiert, ihr Widerstand daher
mit zunehmender Temperatur steigt, spielen in dotierten Halbleitern die thenni eh bedingten
Änderungen der Ladungsträgerkonzentrationen eine weit größere Rolle. Wir wollen von einer
hinreichend tiefen Temperatur ausgehen, bei der noch die meisten Stör tellenniveaus be etzt
sind. Eine Erhöhung der Temperatur gestattet eine zunehmende Ionisierung der Störstellenniv·e aus und läßt gemäß (8.7) oder (8..8) die Ladungsträgerkonzentration anwachsen. Dabei nimmt
der Widerstand ab. In diesem Temperaturbereich liegt Störstellenleitung vor. Schließlich ind alle Störstellenniveaus ionisiert, und eine weitere Temperaturerhöhung kann vorerst eine weiteren
Ladungsträger erzeugen. In diesem Bereich der Störstellenerschöpfong hängt R nur cbwach
von T ab. Bei noch höheren Temperaturen gelingt es mehr und mehr Elektronen die Energie der
340
e tkörperphysilc
T/K
300
50
30
15
Störstellenerschöpfung
1010
Störstellen-
10
0,00
0,02
0,04
1/TK- 1
0 06
00
Bild8.U
dung trägerkonzentration in mit Pbo .
phor d (ienem n- ilicium in Abhängigkeit
von er Temperatur (Donatorkonzentra15
li on D = 10 cm -3 Bindungsenergie
ED = 0,0 e )
verbotenen Zone zu überwinden und ins Leitungsband zu gelangen. Wegen (8.11) wächst dabei
die Zahl der Elektron-Loch-Paare exponentiell, und der Widerstand nimmt weiter ab. Im Halbleiter dominiert nun die Eigenleitung. Die Temperaturabhängig eit des Ider tandes ist also im
wesentlichen durch die Temperarurabhängigkeit der Ladungsträgerkonzentration gegeben. Der
Verlauf von n(T) ist in B.ild 8 .12 d~gestel1t.
•
•
•
•
Übungen:
8.7: Bestimmen Sie die Elektronenkonzentration in reinem Silicium bei T = 300 K. Vergleichen
Sie das Ergebnis mit der Abschätzung aus der vorigen Übung.
8.8: Berechnen Sie die Lage des Fermi-Niveaus bei Zimmertemperatur in Si und GaAs.
8.9: Das ÜberschußeIektron eines Donators ist nur cbwach an das Störstellenatom gebunden. Berechnen Sie den sicb nach dem Bohrschen Atommodell ergebenden Babnradius diese Elektrons.
Hinweis: Die relative Dielektrizitätskonstante von Silicium sei er = 12.
8.10: Silicium sei mit 10 14 Phosphoratomen pro cm 3 dotiert. Bestimmen ie die Ladungsträgerkonzentrationen n und p für T = 0 K, T = 300 Kund 800 K.
8.5 Generations-, Rekombinations .. und Transportprozesse in Halbleitern
Bisher haben wir die Ladungsträgerkonzentration in Halbleitern im thermischen Gleichgewicht
beschrieben. Die Größen n und p ergeben sich dabei aus der Gleichgewichtsverteilungsfunktion J(E) (8.3), und es gilt (8.11). Für die angewandte Halbleiterphysik sind allerdings meist
Nichtgleicbgewichtssituationen charakteristisch, denn erst Abweichungen vom Gleichgewichtszustand ennöglichen Ladungstransport_ Solche Situationen können durch Einwirkung einer äußeren Störung hervorgerufen werden, wie etwa durch ein angelegtes elektrisches Feld, durch Einstrahlung von Licht oder durch einen künstlich erzeugten Temperaturgradienten. In allen Fällen
wird der Nichtgleicbgewichtszustand dadurch charakterisiert. daß nun im Gegensatz zu (8.11)
np T--I- ni2'1St.
8.5 Generations-, Rekombinations~ und Transportprozesse in Halbleitern
8.5.1
341
Mechanismen der Generation und Rekombination
Die im thenni~ch~~ Glei~hgewjcht vorh~denen Ladungsträger kann man als thermisch generiert
betrachten. PrinzJplell gIbt es nun verschiedene Varianten, die entsprecbenden GleicbgewichtskOßZ'e ntrationen zu ~erändem. ~ine der Möglichkeiten, eine Nicbtgleichgewichtsverteilung zu
erzeugen, besteht dann, durch Emstrahlung Von Licht oder allgemein elektromagnetischer Strahlung mit Energien hf > Ea Elektronen ins Leitungsband anzuheben und dadurch zusätzliche
Elektron-Locb-Paare zu erzeugen (Bild 8.13). Die Ladungsträger sind in diesem Fall optisch
generiert.
•
a)
•
EL
~) ~)
••
o • •
0
•
Ev
•
b)
~l
•
•
0
•
•
•
~
~
0
Ec,
ET
•
Ev
Bild 8.13 Zur Generation und Rekombination von Ladungsträgern: a) opti ehe Generation und b) Rekom~
binationsprozesse
Um wieder in den Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts zu gelangen. muß der
Halbleiter die überschüssigen Elektron-Loch-Paare abbauen. Dieser Abbau erfolgt durch Rc~
kombination. Man fast unter diesem Begriff die verschiedensten mikroskopi chen Mechani rnen
zusammen, die ein Elektron aus dem Leitungsband wieder zurück ins Valenzband überführen
(Bild 8.13). Eine Möglichkeit ist ein unmittelbarer Band-Band-Übergang, bei dem Strahlung
mindestens der Energie hf = Ec emittiert wird. Diese strahlende Band-Band-Rekombination
wird in Leuchtdioden praktisch genutzt (vgl. Abschnitt 8.6).
Neben den gezielt eingebrachten Donatoren oder Akzeptoren enthält das Halbleitermaterial
technologiebedingt stets noch weitere, oft sogar unbekannte Fremdatome. Sie können sehr lokal
begrenzte Störungen im Halbleiter hervorrufen. Durch diese lokalen Störungen werden nun
ähnlich wie bei den Donatoren und Akzeptoren zLlsätzliche elektronische Ni veau erzeugt die in
einigen Fällen energetisch weit entfernt von den Bandkanten irgendwo in der Mitte der verbotenen
Zone liegen. Solche tiefen Zentren können als sogenannte Elektronenfalle (engl. trap) wirken und
dienen sehr oft als Zwischenstufe für eine strahlungslosen Band-Band-Rekombination.
Für die im vorigen Abschnitt festgestellte Abnahme der Löcherkonzentration bei n-D tierung
oder entsprechend die Abnahme der Elektronenkonzenrr-ation bei p-Dotierung im themti ehen
Gleichgewicht ist ebenfalls die Rekombination verantwortlich. Durch die Erhöhung der Konzentration eines der beiden Ladungsträgersorten (Majoritätsladungsträger) wäch t die Wahr heinlichkeit, für die mit geringerer Konzentration vorhandene Ladungsträgersorte (Minoritätsladung träger) einen Rekombinationspartner zu finden.
Die beschriebenen Prozesse lassen sich quantitativ durch dje Generatio rate G und dje
Rekombinationsrate R erfassen. Sie werden durch die Zahl der Ladung träger be timmt,
die pro Zeiteinheit und pro Volumeneinheit generiert werden oder rekombinieren. Die übliche
Maßeinheit ist cm- 3 8- 1 •
Eine weitere Mögüchkeit der Trägererzeugung bietet das Anlegen einer elektrischen Spannung,
wodurch Überschußladungsträger von außen In den Halbleiter gebracht werden können. in
solcher Vorgang wird als Injektion von Ladungsträger bezeichnet. Man kann ich die Situation
342
tkörperphy iII
Feldrichtung
•
+
x=O
•
x
Ev
Bild .14
Mod 11 der gekippten Bänder in einem homogener
elekLri hen Feld
•
für einen Halbleiter im elektrischen Feld gut im Modell der gekippten Bänder veranschaulichen
(Bild 8.14). Legt man an einen Halbleiter ein äußere Spannung an 0 faUt diese über dem
Halbleiter ab und es entsteht im Halbleiter ein homogen elektri he eid. Die Elektrollen
treten vom Minuspol kommend bei x
0 in den Halbleiter ein erlieren beim Durchqueren des
Halbleiters ihre potentielle Energie und verlassen diesen wieder auf der anderen Seite. Dabei wirkt
auf sie gemäß Q
-e und (4.3) die Kraft F
-eE zu der nach (4.13 das Potential-eEx
gehört. Legt man den ullpunkt des Potentials auf die Stelle x = 0 und betrachtet dazu noch
,eine zweite beliebige Stelle x innerhalb des Halbleiters, so verlangt der Energieerhaltungssatzfür
ein Elektron im Leitungsband EL (O) + 0 EL(X) + eEx. Das bedeutet, daß sicb die Lage der
Leitungsbandkante in Abhängigkeit von x verändert. Für Löcher im Valenzband gelten analoge
Betrachtungen. Ganz allgemein kann man sich die Bänder in einem homogenen elektrischen Feld
also gemäß En(x) En(O} - eEx als gekippt vorstellen (Bild 8.14).
In Halbleiterbauelementen treten stets innere, allerdings im allgemeinen inhomogene elektrische Felder auf, die entsprechende Bandverbiegungen hervorrufen. Bei der Untersuchung der
elektronischen Eigenschaften solcher Bauelemente werden gekippte Bänder oder allgemeiner
Bandverbiegungen. eine wesentliche Rolle spielen (vgl. Ab chnitt 8.6). Dazu kann es hilfreich
sein, sich die folgende Regel einzuprägen:
=
=
=
=
=
Treten infolge VOll elekmsehen Feldern im Bändermodell Bandverbiegungen auf, so
folgen Elektronen diesen Feldern stets in Richtung kLeinerer Energien (nach unten),
während Löcher sich in Richtung größerer Energien (nach oben) verschieben.
8.5.2 Drift und Diffusion
Elektronen, die sich bei endlichen Temperaturen im Leitung band ej ne Halbleiters befinden,
führen ungeordnete thermische Bewegungen aus. Legt man ein elektri ches eId an, dann überlagert sich dieser Bewegung eine geordnete Bewegung entgegen der eldrichtung, die man als Drift
bezeichnet. Mikroskopisch betrachtet, nehmen die Elektronen einer eits au dem Feld Energie
auf und werden dadurch beschleunigt; andererseits werden sie aber an Gitter chwingungen oder
Fremdatomen gestreut und geben dabei Energie ab. Dadurch stellt ich im zeitlichen Mittel eine
konstante. zur elektrischen Feldstärke proportionale Driftgeschwindigkceit n ein, die allerdjngs
nur sehr klein im Vergleich zur thermischen Geschwindigkeit i t (vgl. Übungen). Da ie der
Feldstärke entgegengerichtet ist, gilt also
v
(8.13)
8.5 Generations-, Rekombinations- und Transportprozesse in Halbleitern
343
wobei ~an fL"f}; di~ Beweglichk~it ~er ~Ie~onen nennt. Beachtet ~an noch, daß nach (4.34) die
StromdIchte J nut der <?eschwmdlgkelt V n der Elektronen durch j
-envn verknüpft ist, so
läßt sich für die durch dle Elektronen hervorgerufene Stromdichte schreiben:
In
-
...
=
= enJ.Ln E .
jn
(8.14)
v=
Analog läßt sich die Beweglichkeit J.Lp für Defektelektronen gemäß p
J.LpE definieren und ihr
entsprechender Beitrag zur Stromdichte
epVp bestimmen. Man findet
h=
(8.15)
Ein zweiter möglicher Beitrag zur Stromdichte in einem Halbleiter resultiert au eventuellen
Unterschieden in der örtlichen Verteilung der Ladungsträger, wie sie etwa durch eine räumlich
unterschiedliche Dotierung erzeugt werden können. Die Ladung träger folgen dann den vorhandenen Konzentrationsgradienten. und es resultiert ein Ladungstran port durch Diffusion. Gemäß
(3.72) lassen sich die entsprechenden Beiträge zum Ladungstran port durch die Diffu ion konstanten für Elektronen D n und Defektelektronen D p ausdrücken. Zu ammen mit ( .14) und
(8.15) ergibt sich für die Gesamtstromdichten von Elektronen und Defektelektronen.
...
...
...jn = enJ.LnE
... + eDngradn
jp = epJ.LpE - eD pgradp .
( .16)
Zusammenfassend kann festgestellt werden:
In dotierten Halbleitern erfolgt der Ladungstranspon sowohl durch Drift der Elektronen und Defektelektronen im elektrischen Feld als auch durch Diffusion der
Ladungsträger, bedingt durch vorhandene Konzentrationsgradiente1l.
Im folgenden wollen wir uns auf den eindimensionalen Fall be chränken und den Ladung _
transport in x-Richtung genauer untersuchen. Dazu berechnen wir die Änderung der trOmdichten
für Elektronen und Löcher im Intervall X, X + dx. Eine olche Änderung kann nur durch Generation oder Rekombination von Ladungsträgern verursacht sein. Da Elektronen und Löcher in
(0 - R )dx
diesen Prozessen stets als Paar beteiligt sind, muß gelten jn(x + dx) - jn(x)
für Elektronen sowie jp(x + dx) - jp(x) = e(G - R)dx für Löcher. ach Divi ion durch d x
ergibt sich
=-
mit in
djn(x) = -e(O(x) - R(x)) und djp(x) = e(G(x) - R(x))
dx
dx
und jp gemäß der eindimensionalen Version von (8.16) al
Jn
.
= enJ.LnE(x) + eDn
.
dp(x)
= epJ.LpE(x) - eDp~ .
]p
( . 17)
dn(x)
dx
(8.1 )
Um aus diesen Transportgleichungen die Größen n(x) und p(x) und damit die G amtstromdichte
im Halbleiter bestimmen zu können. benötigt man noch den Zusammenhang zwischen E(x) und
den Ladungsdichten. Enthält der Halbleiter ionisierte Donatoren der Konzentration D und
+
ionisierte Akzeptoren der Konzentration NA, dann ist die Gesamtladung dichte p
NA - P - ND) und die Maxwellsche Gleichung divD [[og (vgl. Ab chnitt 4.4.9) liefert für
die Feldstärke in einem (eindimensionalen) Halbleiter
=
=- (
4Man beachte, daß wir in die em Kapitel als auch schon im Kapilel,,EJektrizitä[ und Magneti mu • mit i .in od. . jp
die elektrische Stromdichten bezeichnet haben, während wir in (3.71) und (3.72) mit]", die Teilchendichte c
e 1er1
haben. Stromdichten ergeben sich au Teilcbendichten einfach durch Multiplikation mit der Ladung
344
8 Fe tkörperphysik
dE(x)
€€o dx
= -e[n(x)
+ NA(X) -
p(x) - ND( X)] .
(8.19)
Die Gleichungen (8.17) und (8.19) bildet zusammen mit (8.18) die eindimensionale Version
der Grundgleichung der inneren Elektronik. Die im allgemeinen numerisch bestimmten Lösungen dieses Systems oder seiner zwei- und dreidimensionalen Verallgemeinerungen gestatten
die Bestimmung des Ladungstransportes und der Verteilung des elektrischen Feldes in Halbleiterstrukturen. Sie dienen in der Praxis zur mathematischen Modellierung der Eigenschaften
elektronischer Bauelemente und geben wertvolle Hinweise zur Optimierung technologischer
Prozesse.
Übung:
• 8.11: Berechnen Sie das Verhältnis aus thermischer Geschwindigkeit und Driftgeschwindigkeit
für Elektronen in Silicium bei einer elektrischen Feldstärke von E = 10 3 V/ern bei Zimmertemperatur.
8.6
Elektronische und optoelektronische Bauelemente
8.6.1
Der pn-Übergang
Die Funktion elektronischer und optoelektronischer Bauelemente beruht auf den besonderen
Transporteigenschaften von räumlich inhomogen dotierten Halbleitern. Der einfachste Fall einer solchen Halbleiterstruktur ist der pn-Übergang. Er wird nicht nur selbst in verschiedenen
Versionen als Bauelement genutzt, sondern die Kenntnis seiner Eigenschaften ist auch eine notwendige Voraussetzung für ein Verständnis komplizierterer Bauelemente, wie Bipolartransistor
oder Thyristor. WIr werden ihn im folgenden ausführlicher besprechen.
C
~
Diode
~
Z-Diode
C
rJD
G~;s
B
B
E
E
npn-Transistor
pnp-Transistor
n-Kanal MOS-FET
(Anreicherungstyp)
Bild 8.15 Schaltzeichen einiger Halbleiterbauelemente
Wie der Name schon verrät, entsteht ein pn-Übergang dadurch, daß man in einem Halbleiter \
auf einem schmalen Übergangsbereich « 1 J-Lm) den Charakter der Dotierung ändert. Dadurch
erfolgt ein Wechsel entweder von einem n-dotierten Bereich auf einen p-dotierten Bereich oder
umgekehrt. Technologisch können solche Übergänge z. B. durch Diffusion hergestellt werden.
Geht man etwa von n-Silicium aus, so werden in einer Diffusionskammer bei Temperaturen
von T > 1000 K Dotanten vom p-Typ (Akzeptoren) in das Ausgangsmaterial eindiffundiert.
8.6 Elektronische und optoelektronische Bauelemente
345
Weitere Herstellungsverfahren beruhen auf dem Legieren von n-Sill'c'
. . d Akze
.
.
"
.
lUm mJt en .
ptoren
oder Nutzen
dIe
Techniken
der
Epitaxie
und
der
Ionenimplantation
B
.
d
E
.
.
.
]äß'
.
.. .
.,
.
,. .
. el er pltaxIe
t man
neue dotIerte SlliclUmschichten, Wle etwa p-SiliClUID, auf einem Substr t f
h
.
. h d' S'l"
d d' D
a au wac en, wobeI
SIC
le ) IClUmatome un
le otanten aus einer Gasatmosphäre ab h'd
d'
S·Cl. SiH
d PR
sc el en, Je au den
· d
4 un
3 bestehen könnte. Bei der Ionenim I tat'
d'
VerbIn ungen 1 .l4.
..
11'
.
h
h
E
"
.
p
an
Ion
wer
en dIe
Storste emonen mIt 0 er nergle 10 das Kristallgitter geschossen.
a)
p-Gebiet
,
,
---
n-Gebiet
0 0 0 0 10 @!,, ~ @
o o 0 0::00 @i, ~ @I
0 0 0 0 0 @i@ •@
1
1
1
1
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I
.
E
Ecl-_ __
•••
---------------------------
Evl--- 000
Grenzschicht
b)
x
n-Gebiet
@ Si •S
0
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,
o 0:100 0 @ e., •@I+
0 0 0 0 @ -(d,, @
1
I
E
I
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I
1
eUD
-@ - -S
-@ -S •S I
-@ -S -@
1
••
Ev
e(UD
+ U)
0 0
+'
1
Grenzschicht
c)
p-Gebiet
+
000 00 0
oo 0 0 0 0
o00000
n-Gebiet
~
x
E
E c 1_ _ _--.
~
Ev
•••• 1e(UD - U)
0000
Bild 8.16 Der pn-Übergang und sein entsprechendes Bändermodell im Gleicbgewicht (a), in Sperrichtung
(b) und in Flußrichtung (c)
Betrachten wir zuerst die Gleichgewichtssituation an einem solchen pn-Übergang. Infolge von
Diffusion werden Elektronen aus dem n-Gebiet in das p-Gebiet übergehen, und ebenso werden
Löcher aus dem p-Gebiet in das n-Gebiet wechseln. Dabei treffen sie jeweils auf die in Überzahl
vorhandenen Ladungsträger mit entgegengesetztem Vorzeichen, mit denen ie rekornbinieren.
Dabei verschwinden in einer Grenzschicht die freien Ladungsträger und es bleiben don nur die
unbeweglichen ionisierten Störstellenatome zurück (Bild 8,16a), Diese wiederum verur achen
eine elektri che Doppelscrucht und damit ein elektrisches Feld welches einer eits eine Diffu ion
von weiteren Majoritätsladungsträgem verhindert, andererseits aber einen Drift der 'inoritäten
auf die andere Seite des Übergangs ermöglicht. Insgesamt bildet ich chließlich ein dynami her
Gleichgewichtszustand heraus, in dem sich Diffusions- und Driftanteil der tromdichte ow hl
für Elektronen als auch für Löcher gegenseitig kompensieren.
346
8 Festkörperphysik
Verbindet man nun den pn-Übergang mit einer Spannungsquelle, so daß der Pluspol an die nSeite und der Minuspol an die p-Seite angeschlossen ist, so werden die beweglichen Ladungsträger
von den Kontakten angezogen. Dadurch verbreitert sich die Grenzschicht. und gegen das nun
verstärkte innere elektrische Feld ist keine Diffusion der Ladungsträger mehr möglich. Bei
dieser Polung kann abgesehen von wenigen Minoritätsladungsträgem kein Ladungstransport
durch den Übergang erfolgen - er sperrt den Stromfluß (Bild 8.16b). Bei umgekehrter Polung
werden die Ladungsträger von beiden Seiten in die Grenzschicht gedrückt und schwemmen diese
zu. Das nun schwächere innere elektrische Feld gestattet stärkere Diffusion der Ladungsträger,
diese erreichen als Minoritätsladungsträger die jeweils andere Seite des Übergang, wo sie einer
verstärkten Ladungsträgerrekombination unterliegen. Elektron-Loch-Paare verschwinden dabei,
aber neue Ladungsträger werden von der Spannungsquelle nachgeliefert und können wieder
durch den Übergang diffundieren - es fließt ein elektrischer Strom (Bild 8.16c).
Es ist interessant, das Verhalten eines pn-Überganges auch vom Standpunkt des Bändermodells
zu betrachten. Den Verlauf der Bandkanten für die Gleichgewichtssituation sowie für Sperrichtung
und Durchlaßrichtung zeigt die rechte Seite von Bild 8.16. Durch das elektrische Feld in der
Grenzschicht sind die Bandkanten bereits ohne eine äußere Spannung, also im GJeichgewicht,
verbogen. Über der Grenzschicht fällt die Diffusionsspannung UD ab, wodurch die n-Seite
um die Energie -eUD abgesenkt wird. Das Fermi-Niveau Ep ist im Gleichgewicht durch den
ganzen Übergang hindurch konstant. Wäre dies nämlich nicht so, dann könnten die Ladungsträger
durch Umverteilung das System in einen energetisch günstigeren Zustand überführen, was im
Widerspruch zum angenommenen Gleichgewichtszustand wäre.
Das Anlegen einer Spannung U auf der n-Seite erteilt den Elektronen dort gemäß (4.14) eine
zusätzliche Energie - eU, was zu einer entsprechend stärkeren Absenkung der Bandkanten führt
und die Diffusionsbarriere verstärkt. In entsprechender Weise führt eine Spannung -U zu einer
Anhebung der Bänder um (-e)( -U) = eU, wodurch die Diffusionsbarriere reduziert wird.
Einen noch detaillierteren Einblick in die Physik des pn-Übergangs erhält man durch die Lösung
der entsprechenden Transportgleichungen. Der interessierte Leser sei diesbezüglich auf das Ende
dieses Abschnitts verwiesen, wo wir eine solche Lösung für den ideal abrupten pn-Übergang
herleiten und diskutieren werden.
IjmA
40
20
UBr
-100
!
Durchlaßrichtung
-50
.25
.5 UjV
-10
Sperrichtung
-20
I j f-tA
Bild 8.17
Kennlinie einer Silicium-Halbleiter-Diode
(qualitativ)
Fassen wir unsere Erkenntnisse hinsichtlich des Stromflusses durch einen pn-Übergang zusammen, so ergibt sich qualitativ eine Kennlinie, wie sie für einen idealen abrupten pn-Übergang
im Silicium in Bild 8.17 dargestellten ist. Für einen solchen Übergang läßt sich die Kennlinie
durch
8.6 Elektronische und optoelektronische Bauelemente
347
(8.20)
u..
beschreiben. Während der Strom für
> 0 exponentiell wächst, nähert er sich für U < 0
einem konstanten Sättigungsstro~ I s· Ub~rste~gt die Spannung dabei allerdings die sogenannte
Durchbruchsspa~~ung UBr, so konnen Minontätsladungsträgerin dem dann sehr starken elektrischen Feld des Ubergangs so viel Energie aufnehmen, daß sie durch Stoßionisation weitere
Ladungsträger erzeugen können. Darüber hlnaus besteht die Möglichkeit, daß Elektronen bei
diesen hohen Feldstärken die verbotene Zone durchtunneln. Dieser Mechanismus heißt ZenerEffekt und wur de durch C. M. Zener a~fgrund .quantenmechanischer Rechnungen vorhergesagt.
Insgesamt kommt es dadurch zur AusbIldung emer Ladungsträgerlawine und damit zum Durchbruch, wobei der Sperrstrom drastisch ansteigt.
Ein Vergleich mit der Kennlinie einer Vakuumdiode (vgl. Bild 4.27) zeigt, daß beide in einer
Richtu~g den Stro~ sp~rren und.i~ der ande~en durchlassen. Mittels eines pn-Übergang läßt sich
daher eme Halble.terdlOde realISIeren. Genngere Herstellungskosten, eine größere Zuverläs igkeit sowie ein geringer Platzbedarf und die dadurch resultierenden kürzeren Schaltzeiten haben
dazu geführt, daß die Halbleiterdiode in elektronischen Schaltungen die Vakuumdiode weitgehend verdrängt hat.
+
R
Bild 8.18
Z-Diode als Spannungsstabilisator
Auch die größere Vielseitigkeit hat dabei eine entscheidende Rolle gespielt. Solche Halbleiterdioden werden nämlich in unterschiedlichsten Varianten hergestellt und technisch genutzt. ine
der bekanntesten Anwendungen ist die Gleichrichtung von Wechselströmen. Bei der Kapazitä •
diode nutzt man die Möglichkeit der Beeinflussung der Sperrschichtkapazität (in Abhängigkeit
von der Spannung wird im Übergangsgebiet Ladung gespeichert! ) über die Sperr pannung zur
Frequenzabstimmungen in Schwingkreisen. Die Z-Diode5 arbeitet für Sperrspannungen im Bereich der Durchbruchspannung und kann zur Spannungsstabilisierung oder zur Amplitudenbegrenzung eingesetzt werden (vgl. Übungen). Das Prinzip einer entsprechenden Schaltung zeigt
Bild 8.18
Weitere Anwendungen des pn-Übergangs erfolgen in der Solarzelle und der Lumineszenzdiode. Eine Solarzelle dient der Umwandlung von Energie des Sonnenlichtes in elektrische Energie
durch den photovoltaisehen Effekt. Er besteht darin, daß in die Grenzschicht eines po-Übergang
eindringende Photonen dort Elektron-Loch-Paare generieren, diese im starken elektri chen Feld
dieser Grenzschicht getrennt werden und durch die damit verbundene Anreicherung der n-Seite
5Sie wurde früher als Zener-Diode bezeichnet, da man den Durchbruch al Folge d Zener-Effektes aufgefaßt hat.
Heute geht man davon aus, daß u. a. Lawinenbildung durch Stoßionisation eine entscheidendere Rolle spielt.
348
8 Festkörperphysik
p-Gebiet
~ n-Gebiet
Bild 8.19
Zur Wirkungsweise einer SoLarzelle
Ev
mit Elektronen und der p-Seite mit Löchern eine Photospannung erzeugt wird (Bild 8.19). Dabei
wird ein Teil der Diffusionsspannung abgebaut. Verbindet man die Enden der Solarzelle mit
einem sehr hochohmigen Widerstand, so kann man dann die Leerlaufspannung Ul eer abgreifen.
Schließt man andererseits die beiden Enden kurz, so fließt durch den äußeren Stromkreis der
Kurzschlußstrom I kurz.
I
u
DunkelkennLinie
-l/(RL
Kennlinie
bei Bestrahlung
+ R.)
Bild 8.20
Kennlinienfeld einer Solarzelle
Legt man an eine Solarzelle eine veränderliche äußere Spannung an, so läßt sich für unterschiedliche Beleuchtungsstärken die Kennlinie aufnehmen. Da in der Solarzelle durch das
einfallende Licht ein Strom in Sperrichtung erzeugt wird, verschiebt sich die Kennlinie mit zunehmender Beleuchtungsstärke in Richtung des größeren Sperrstroms (Bild 8.20). Sie läßt sich
daher in Verallgemeinerung von (8.20) durch
1 = ls
(exp (k~T ) - 1) - I
ph
(8.21 )
beschreiben, wobei I ph als Photostrom bezeichnet wird und nahezu mit dem Kurzschlußstrom
übereinstimmt. Er wächst proportional zur Bestrahlungsstärke bei gleichbleibender spektraler
Verteilung. Das Kennlinienfeld kann man nutzen, um für eine Solarzelle eine Leistungsanpassung vorzunehmen. Darunter versteht man die Auswahl eines geeigneten Lastwiderstandes, der
mit der Solarzelle betrieben eine maximale Leistungsaufnahme realisiert. Um die So]arzeJle als
Stromgenerator zu nutzen, betreibt man sie im 4. Quadranten der Kennlinie, wo ein negativer
Strom fließt. Hat die SolarzeUe einen lnnenwiderstand ~, und fließt der Strom über den Lastwiderstand RL, dann gilt nach dem Ohmschen Gesetz I = -U/(~ + RL), und der Arbeitspunkt
8.6 Elektronische und optoelektronische Bauelemente
349
A der Solarzelle liegt im Kennlinienfeld beim Schnittpunkt dieser Geraden mit der Kennlinje.
Das Produkt aus UA und JA b~stimm~ die vom Lastwiderstand aufgenommene Leistung. Sie ist
grafisch durch die Fläche des emgezelchneten Rechtecks gegeben. Man erkennt, daß sie von der
Lage des Arbeitspunktes und damit von R[; abhängt.
Photovoltaik und Solarzellen: Mit etwa 15,6 . 1017 kWhja ist die Sonne mit Abstand die
bedeutendste natürliche Energiequelle. Eine effektive Ausnutzung dieser Ressourcen kann einen
entscheidenden Beitrag zur Minderung der heute existierenden globalen Umweltprobleme liefern,
die ja bekanntlich maßgeblich durch die verschiedenen Fonnen konventioneller Energieerzeugung hervorgerufen werden. Neben der Sonnenstrahlung selbst stehen dabei auch Windenergie,
Wasserkraft oder Biomasse als mittelbare Konsequenzen der Sonnenenergie zur Verfügung.
Die Solarzelle gestattet eine unmittelbare Umwandlung der Strahlungsenergie der Sonne in
elektrische Energie. Sie ist das entscheidende Bauelement der Photovoltaik, wie man den entsprechenden Zweig der Energietechnik nennt. Die Nutzung der Sonnenenergie in dieser Wei e
und damit ein verstärkter Einsatz photovoltaiseher Systeme in der Zukunft wird icher we entlieh
von einer Senkung der Herstellungskosten und einer Erhöhung des Wrrkungsgrades von Solarzellen abhängen. Mit sehr aufwendiger Technologie und damit teuer kann man heute schon auf der
Basis von 3-5-Verbindungen Solarzellen mit Wirkungsgraden bis etwa 30% her te11en. Billigere
Solarzellen, die aus polykristallinem oder amorphem Silicium hergestellt werden, erreichen aber
nur etwas mehr als den halben Wirkungsgrad.
•
•
p-Gebiet
•
,-Jf hf
~.L
I~
EL
+
n-Gebiet
~
o 0'-0-0--
Ev
Bild 8.21
Zur Wirkungsweise einer Lumineszenzdiode
Die entgegengesetzte Zielstellung wird durch die Lumineszenzdiode (engt light emitting
diode, LED) realisiert (Bild 8.21). Betreibt man eine Diode in Flußrichtung, 0 werden von
der n-Seite Elektronen und von der p-Seite Löcher in die Grenz chicht injiziert. Diese können
miteinanderrekombinieren und die dabei frei werdende Energie durch Emis ion von Photonen der
Ea abgeben. Elektrische Energie wird somit in Lichtenergie verwandelt WObei
Energie hf
die Farbe des Lichtes vom jeweiligen Halbleitermaterial abhängt. Es muß eine verbotene Zone
im sichtbaren Bereich besitzen und wird im allgemeinen auf der Basis von 3-5-Verbindungen
hergestellt.
=
Der ideale abrupte pn-Übergang in Depletion-Näherung: Es soll angenommen werden, daß
der Übergang von der Akzeptorkonzentration NA zur Donatorkonzentration ND abrupt bei x = 0
erfolgt. Wrr behandeln die Gleichgewichtssituation und nehmen dazu weiterhin an daß man in
diesem Fall im Bereich der Grenzschicht -dp ~ x ~ dn die Konzentration der beweglichen
Ladungsträger bei der Berechnung von Feldstärke und Potential vernachlässigen kann d. h. in
diesem Bereich gelte n( x) = p( x) = 0 (Depletion-Näherung).
Wrr wollen zuerst die über der Grenzschicht existierende Diffusion spannung UD be timmen:
350
8 Festkörperphysik
Da im Gleichgewicht weder ein Elektronenstrom noch ein Löcherstrom exi tien, folgt aus (8.18)
z. B. für die Elektronen
enJ1n E
dn
+ eD n dx
= 0.
Die Diffusionsspannung kann nun wegen (4.13) durch Integration der Feldstärke über die Grenzschicht erhalten werde. Es folgt
UD -
_j. d. E(x)dx = D jdn. dn =
n
-cL" n
J1.n
-dp
D n In ( n(dn ) )
/Ln
n( -dp )
.
Sind alle Donatoren ionisiert, so gilt in guter Näherung n( dn ) = ND und p( -dp ) = NA. Letzteres
nt /
Schließlich ergibt sich für die Diffusionsspannung 6
führt wegen np = n; auf n{ -dp )
=
NA.
UD = D/Ln In (ND~A)
=
n,
n
kBT In (. ND~A)
e
ni
.
(8.22)
Hat der pn-Übergang den Querschnitt A, so verlangt die Ladungsneutralität für die gesamte
Grenzschicht die Gültigkeit der Gleichung eNDdnA = eNAdpA bzw.
(8.23)
Im Rahmen unseres Modells läßt sich auch der Verlauf des elektrischen Feldes in der Grenzschicht leicht berechnen: Aus (8.19) folgt
dE(x)
dx
- eNA,
wenn
dE(x)
€rEO dx
+eND)
wenn
€rEO
- dp
~
x
<0
0 < x < dn
1
was nach Integration und Berücksichtigung der Randbedlngungen E(dp )
elektrisches Feld entsteht nur in der Grenzschicht!) auf
E(x)
eNA
--(x+dp) ) wenn
€r 6 0
E(x)
eND
+--(x -d,J,
wenn
61' 6 0
=
E(dn )
=
0 (ein
-dp<x<O
o <x< dn
(8.24)
führt. Die maximale Feldstärke tritt an der Stelle x = 0 auf und ist durch
(8.25)
gegeben.
Da nach (4.13) die Feldstärke die negative Ableitung des Potentials
Integration
6 War
nutzen hier die aus der Theorie der Diffusion bekannte Einstein·Relation
D =l.I.
kBT
e
die Diffusionskonstante und Beweglichkeit miteinander verknüpft.
,
q; ist, liefert eine weitere
8.6 Elektronische und optoelektronische Bauelemente
eNA x 2
351
<jJ(x)
+-(+ d"x)
~r€O 2
,
wenn
<jJ(x)
eND x 2
--(--dnx) ,
wenn
€reO
2
-dp~x~O
O~x<dn .
(8.26)
Die Integrationskonstanten sind dabei so bestimmt worden, daß der Nullpunkt des Potentials bei
x = 0 liegt. Insgesamt hat man über der Grenzschicht eine der Diffusionsspannung entsprechende
Potentialdifferenz von
e
UD = <jJ(dn) - 4>( -dp ) = -2-(NDd~ + NAd;) .
€r€O
Zusammen mit (8.23) ergibt dies für die Breite der Grenzschicht
Coro:UD ND(N: + NDl)
A
(
2€r~OUD
ND
e
NA(NA +ND )
)1/2
c)
b)
a)
1/2
(8.27)
d)
E
linear
quadTatisch
-~"
n p
UD
-d"
Bild 8.22 Dotierungsprofil (a), Feldstärkeverlauf (b) und Potentialverlauf (e) und Ladungsträgerdichten
(d) an einem abrupten pn-Übergang
Bild 8.22 verdeutlicht die gewonnenen Ergebnisse qualitativ. Eine quantitative Auswertung un·
serer Rechnungen soll am Beispiel eines Übergangs im Silicium durchgeführt werden. wobei wir
etwa Zimmertemperatur (T = 300 K, dies entspricht kT / e = 0,026 V). eine Akzeptorkonzentration von NA
1017 cm -3 im p-Gebiet und eine Donatorkonzentration von ND = 101S cm- 3
annehmen wollen. Die benötigten Materialgrößen werden aus Tabelle 8.1 entnommen. Im einzelnen findet man aus (8.23) bis (8.27) eine Diffusionsspannung von UD = 0 71 V, für die Breite
der Verarmungszone dn = 0, 95 fJID und dp :::; 9,5 nm sowie eine maximale Feld tärke von
E max 1,47.104 V cm- 1 .
=
=
Übungen:
8.12: Im Gleichgewicht kompensieren sich Diffusions- und Driftstrom. Nutzen Sie die gerade
für den pn-Übergang gewonnenen Ergebnisse, um die Größenordnung dieser heiden Ströme au
dem Diffusionsstrom abzuschätzen.
8.13: Leiten Sie aus der Forderung nach dem Verschwinden des Löcherstroms, einen Au druck •
für UD her und vergleichen Sie das Resultat mit (8.22).
8.14: Schätzen Sie aus der Kennlinie (8.20) den Widerstand einer Silicium-Diode für eine kleine
Spannung in Sperrichtung und für eine Spannung von 0, 5 V in Flußrichtung ab. Der Sättigung strom sei I s = 1 run.